小题限时卷02（专项训练，ABC三组提分卷）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

小题限时卷02（A组+B组+C组） （模式：10道选择题+5道填空题 满分：65分 限时：40分钟） 一、单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式，根据集合的运算即可得解. 【详解】由可得，又， 所以 ，即为. 故选：D. 2．若复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部是（    ） A．2i B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算求出，再根据复数的概念可得结果. 【详解】因为，所以， 所以复数的虚部为. 故选：D 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间上为减函数的为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，y为反比例函数，为奇函数，不符合题意； 对于B，y＝cosx为余弦函数，在（﹣∞，0）上不是单调函数，不符合题意； 对于C，y＝2﹣x，不是偶函数，不符合题意； 对于D，y＝|x|+1，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为减函数，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题． 4．已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】由，得，得，得(1，k)·(2，4)＝0，解得， 反之，当时，，所以，所以， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，考查向量的运算，属于基础题 5．已知向量，，且，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的坐标，然后根据以及，简单计算，可得结果. 【详解】设 由，且，所以① 又，所以② 由①②可知：或 故向量或 故选：B 【点睛】本题考查向量的坐标运算，重在计算，属基础题. 6．“”是“圆与轴相切”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的定义和圆心到轴的距离求出可得答案. 【详解】时，圆的圆心坐标为，半径为2，此时圆与轴相切； 当圆与轴相切时，因为圆的半径为2， 所以圆心到轴的距离为，所以， “”是“圆与轴相切”的充分不必要条件 故选：A． 7．设的数的图象为曲线C，那么“”是“曲线C关于直线对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据三角函数的图象与性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，可得， 此时，即是函数的一条对称轴， 所以充分性成立； 当曲线C关于直线对称，即， 解得，即，即必要性不成立， 综上可得，“”是“曲线C关于直线对称”的充分不必要条件. 故选：A. 8．已知正四棱锥，底面边长是，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正四棱锥的高为h，由体积是，求出.利用勾股定理求出侧棱长. 【详解】因为正四棱锥，底面边长是，所以底面积为. 设正四棱锥的高为h，由，所以. 所以侧棱长为. 即侧棱长为. 故选：C 9．函数，其中P， M为实数集的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中正确判断有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据函数定义，结合特殊值，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】取，满足， 但，，故①错误； 若，由函数的定义可得， 则，故②正确； 取，满足， 但，，故③错误； 若，则； 若，假设， 则，所以， 所以，所以， 与矛盾，所以假设不成立，； 所以若，则，故④正确. 故选：C. 10．已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要使函数有三个零点，则有三个不相等的实根，即与的图象有三个交点，结合函数的性质及图象即可得出. 【详解】 要使函数有三个零点，则有三个不相等的实根，即与的图象有三个交点， 当时，在上单调递减，； 当时，在上单调递增，； 当时，在上单调递增，； 由与的图象有三个交点，结合函数图象可得， 故选：A. 二、填空题 11．展开式中的系数等于 . 【答案】 【详解】试题分析：的展开式的通项为,令,得到的系数为,故答案为. 考点：二项展开式的通项及系数. 12．抛物线的焦点坐标是 . 【答案】 【分析】根据抛物线的标准方程直接求出焦点坐标即可. 【详解】因为抛物线标准方程为， 所以焦点坐标为， 故答案为：. 13．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】作出符合题意得图形，从而得到的取值范围，再由三角函数的性质得到最小值. 【详解】由题意，画出图形，得，    函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴当且仅当时等号成立，即的最小值为. 故答案为：. 14．记为数列的前项和，若，则 . 【答案】 【分析】根据公式 ，化简即可得出答案. 【详解】当时，. 当时，因为化简得. 所以数列为以为首项，为公比的等比数列. 所以. 故答案为. 【点睛】本题考查根据递推关系求数列的前项的和.属于基础题.解本类题型需熟练掌握公式. 15．十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，，即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数成为斐波那契数列.因以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.关于斐波那契数列给出以下四个结论： ①是奇数； ② ③        ④ 其中所有正确结论的序号为 . 【答案】①③④ 【分析】直接根据斐波那契数列的递推关系及数列求和，相消法的应用进行判断即可求解. 【详解】因为的项具有2奇1偶，3项一周期的周期性，所以是奇数，所以①正确； 因为，，所以②错误； 因为，所以③正确； 因为 ，所以④正确． 故答案为：①③④ 一、单选题 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合，根据并集运算求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C 2．已知复数 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据除法和乘法化简复数，再写出共轭复数，最后根据模长公式计算即可. 【详解】, . 故选:A. 3．下列函数中在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次计算每个函数的单调区间得到答案. 【详解】A. ，在上单调递增，排除； B. 在上单调递减，在上单调递增，排除； C. ，在上单调递减，正确； D. ，在上单调递增，排除； 故选： 【点睛】本题考查了函数的单调性，意在考查学生对于函数性质的应用. 4．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，则的系数为（    ） A．14 B． C．240 D． 【答案】C 【解析】先写二项展开式的通项公式及展开式中第2项与第3项的二项式系数，利用已知条件求得n值，再令展开式通项中的指数为，求得，计算该项的系数即可． 【详解】二项展开式的第项的通项公式为， 由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5， 可得：，即，故，解得：. 所以中， 令，解得：， 所以的系数为， 故选：C. 【点睛】易错点点睛： 二项式的展开式中，学生容易混淆二项式系数和项的系数，而出现答题失误.二项式系数是指展开式中每一项的组合数，而项的系数是指前面乘的全部常数（包括符号），因此做题时一定要看清楚题中条件和要求. 5．在中，为上一点，且，则实数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，将用表示，替换，再结合三点共线，即可求出的值. 【详解】 ， 因此， 因为三点共线，所以，， 故选：B. 6．已知数列是等差数列，其前n项和为，则“，使得”是“，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】对等差数列的公差进行分类讨论可知充分性成立，再由等差数列前n项和公式可得必要性成立，可得结论. 【详解】根据题意可知，若等差数列的公差为0， 可知“，使得”一定能推出“，使得”， 若等差数列的公差为， 由“，使得”可知都为正数， 因此一定能推出“，使得”； 若等差数列的公差为， 由“，使得”可知都为正数， 当尽量小时，一定能推出“，使得”， 综上可知，充分性成立； 若，使得，即，即可得； 因此至少有一项大于零，即“，使得”， 所以必要性也成立； 即“，使得”是“，使得”的充要条件. 故选：C 7．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：      则，解得，即． 故选：C． 8．如图，在平面四边形ABCD中，设AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体.使⊥平面BCD，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与平面所成的角为60° D．四面体的体积为 【答案】B 【分析】由已知中四边形中，，，，将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，我们根据线线垂直的判定方法，可证明A的正误，利用线面垂直的性质，可以判断B的对错，由与平面所成的角为知C的真假；求出四面体的体积即可判断D的真假． 【详解】解：四边形中，，，，平面平面， 则由与不垂直，，故与平面不垂直，则仅与平面与平行的直线垂直，故A错误； 由，平面平面，我们易得平面，，又由，，可得，因为，则平面，又平面，所以，，故B正确； 由，平面平面，易得平面，则即为线面角的平面角，，，，△为等腰直角三角形，，则与平面所成的角为，知C不正确； 四面体的体积，则D错误. 故选：B. 9．“绿水青山就是金山银山”的理念已经提出18年，我国城乡深化河道生态环境治理，科学治污.现有某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米，已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t（单位：天）河水污染质量指数（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的50倍.若从现在开始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的，需要的时间大约是（参考数据：，）（    ） A．1个月 B．3个月 C．半年 D．1年 【答案】B 【分析】由题意可知，，利用指数与对数的运算性质进行化简求解，即可得到答案． 【详解】由题意可知，，故， 则，即， 所以，则要使河水的污染水平下降到初始时的，需要的时间大约是90天，即三个月． 故选：B． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） ①时，的最大值为； ②时，方程在上有且只有三个不等实根； ③时，为奇函数； ④时，的最小正周期为 A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质判断命题①，结合平方关系，正弦函数性质化简不等式求方程的解，判断命题②，根据奇函数的定义及正弦函数和余弦函数性质判断命题③，根据三角恒等变换及余弦型函数的周期公式判断命题④，由此可得正确选项. 【详解】因为， 所以当时，，此时函数的最大值为，命题①为真命题； 当时，，方程可化为， 当时，，故，由正弦函数性质可得方程在上有两个解， 当时，原方程可化为，方程在上无解， 所以方程在上有且只有两个不等实根；命题②为假命题； 当时，，， ，所以，所以不为奇函数，命题③为假命题； 当时， ， 所以的最小正周期为，命题④正确； 故选：D. 二、填空题 11．已知抛物线的焦点为，则的坐标为 ；过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比为 ． 【答案】 / 【分析】第一空，根据抛物线方程，即可得答案；第二空，求出B点坐标，进而求出直线AB的方程，连理求出A点以及C点坐标，结合即可求解答案. 【详解】对于抛物线，其标准形式为，焦点坐标为. 已知，由抛物线定义，得，代入得， 根据抛物线对称性，不妨取，    则直线的斜率为， 过的直线方程为，联立， 解得（另一解即为B点横坐标）. 直线与准线交于， 分别看作以为底，F到AB的距离为高， 故，设AB的斜率为k，则， 所以与的面积比 ， 故答案为：；. 12．数列满足：对任意，数列，，是公差为的等差数列，且数列也是等差数列．若，，，则 ；的前9项和等于 ． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，利用依次表示，进而求出；再求出即可求出前9项和. 【详解】设等差数列的公差为，依题意，成等差数列，公差， 由成公差为的等差数列，得， 由成公差为的等差数列，得， 而，即，解得，所以； 则，由成公差为的等差数列，得， 所以的前9项和 . 故答案为：； 13．已知双曲线的左､右焦点分别为，直线与双曲线的一个交点为点，与双曲线的一条渐近线交于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据得到且，P，Q三点共线，从而求出P，Q的纵坐标，求出，，列出方程，求出，进而求出离心率. 【详解】如图，因为，所以，即，所以，P，Q三点共线，将代入双曲线中，，双曲线渐近线为，把代入渐近线中，，故，，故，解得：，因为，解得： 故答案为： 14．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，有下列命题，其中为真命题的是 .（填序号） ①若，则； ②到原点的“折线距离”不大于的点构成的区域面积为； ③原点与直线上任意一点M之间的折线距离的最小值为； ④原点与圆上任意一点M之间的折线距离的最大值为. 【答案】①③④ 【分析】根据定义直接计算①，设点到原点的“折线距离”不大于，即可得到，画出图象，求出面积即可判断②，设即可表示再根据分段函数的性质计算可得③，依题意设，则，再利用点到直线的距离求出的范围，即可判断④； 【详解】解：对于①若则，故①正确； 对于②，设点到原点的“折线距离”不大于，则，即，则点在下图所示的平面区域内，则所围成的区域的面积为，故②错误； 对于③，设，则，函数图象如下所示：则，故③正确； 对于④，因为圆表示以为圆心，为半径的圆， 设，则，令，则 所以，解得，即，故④正确； 故答案为：①③④ 15．一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期．给出下列四个判断： ①对于数列，若，则为周期数列； ②若满足：，则为周期数列； ③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立； ④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列． 其中所有正确判断的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】对于①，举例判断；对于②，由数列的偶数项都相等，奇数项都相等判断；对于③，由为周期数列，则一个周期必存在最大值判断；对于④，举例判断. 【详解】对于①，若为:，，满足题意，但是数列不是周期数列，故①错误; 对于②，由可知，，...， 即数列的偶数项都相等，奇数项都相等， 所以当时，能使得当取每一个正整数时，都有， 故数列为周期数列，故②正确; 对于③，若为周期数列，不妨设周期为， 所以数列中项的值有个，即数列中的项是个数重复出现， 故存在正整数，使得恒成立，故③正确; 对于④，取数列为首项， 当时，， 即， 则当为奇数时，，当为偶数时，，取， 则恒成立，但不为周期数列，故④错误. 故答案为：②③. 一、单选题 1．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断是一个单调递减的奇函数，列出不等式即可求解. 【详解】， 因为在定义域内单调递增，在定义域内单调递减， 所以根据复合函数单调性判断原则：同增异减知：严格递减， 又，为奇函数； 解之： 故选：A. 2．已知表示复数z的共轭复数，为非零复数，“”是“存在非零实数t，使得”（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】求出的等价条件，的等价条件，分别讨论复数为纯虚数，实数，都不为0的情况，结合充分条件、必要条件可得解. 【详解】设， 则， 若，则， 若，则，即， 由于为非零复数，所以，当时，满足， 此时存在非零实数t，使成立，反之亦成立； 当时，满足，此时存在非零实数t，使成立，反之亦成立； 当时，满足，则，即， 所以，反之亦成立； 综上，“”是“存在非零实数t，使得”成立的充要条件. 故选：C 3．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 4．已知点是直线上一动点，与是圆的两条切线，为切点，则四边形的最小面积为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用当与直线垂直时，取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出的最小值，然后利用勾股定理计算出、的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形面积的最小值． 【详解】如下图所示： 由切线的性质可知，，，且， ， 当取最小值时，、也取得最小值， 显然当与直线垂直时，取最小值，且该最小值为点到直线 的距离，即， 此时，， 四边形面积的最小值为，故选A. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算以及四边形的面积，本题在求解切线长的最小值时，要抓住以下两点： （1）计算切线长应利用勾股定理，即以点到圆心的距离为斜边，切线长与半径为两直角边； （2）切线长取最小值时，点到圆心的距离也取到最小值． 5．已知非零向量，，在同一平面，其中是单位向量.与的夹角为，，则的最小值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值. 【详解】以向量的起点为原点，以为轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则，设，， 则由与的夹角为得，得，， 由得， 所以点在直线上，点在圆上， 又， 因此，等于点到点的距离， 圆的圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1， 即为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法. 6．在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】10个因式的乘积中，有8个选，有1个选，有1个选，可得的系数，9个因式的乘积中，有8个选，有1个选，可得的系数为，求解即可． 【详解】的展开式表示10个因式的乘积， 故在这10个因式中，有8个选，有1个选，有1个选， 即可得到含的项，故的系数为，即； 在的展开式表示9个因式的乘积， 故在这9个因式中，有8个选，有1个选，即可得到含的项， 故的系数为，即， 所以. 故选：B． 7．“”是函数满足：对任意的，都有”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，在上递减，在递减，且在上递减，任意都有，充分性成立；若在上递减，在上递增，任意，都有，必要性不成立，“”是函数满足：对任意的，都有”的充分不必要条件，故选A. 8．如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论： ①三棱锥的体积的最大值为； ②的最小值为； ③点到直线的距离的最小值为． 其中所有正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据锥体的体积公式判断①，将将翻折到与矩形共面时连接交于点，此时取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断②，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得. 【详解】在直三棱柱中平面， 对于①：因为点在棱上，所以，又， 又，，，点在棱上，所以，， 所以，当且仅当在点、在点时取等号，故①正确； 对于②：如图将翻折到与矩形共面时连接交于点，此时取得最小值， 因为，，所以，所以， 即的最小值为，故②错误； 对于③：如图建立空间直角坐标系，设，，，， ， 所以，， 则点到直线的距离 ， 当时， 当时，，，则， 所以当取最大值，且时， 即当在点在点时点到直线的距离的最小值为，故③正确； 故选：C 9．在计算机系统中，缓存的核心作用是加速数据访问.当缓存加载完成后，未被读取的信息比例会随时间的推移逐渐下降，其变化规律可用函数模型近似描述.其中表示稳态未被读取比例，表示初始时未被读取的“额外”比例，为衰减时间常数.某工程师对某服务器缓存进行性能测试，下表记录了以下数据（缓存加载完成后开始计时）： （分钟） 0 5 10 75 45 30 用该模型推算当时，缓存中未被读取的信息比例约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知建立方程组分别求出，、，从而代入计算可得. 【详解】由题意得：当时，， 当时，， 当时，， 由得， 由得， 由得，所以， 由得，解得，则， 所以当时，， 即当时，缓存中未被读取的信息比例约为. 故选：B. 10．已知数列满足，，为的前项和，则下列结论错误的是（    ） A．存在，使得成立 B．存在，使得且对任意成立 C．对任意，存在，使得成立 D．对任意奇数，存在和，使得成立 【答案】D 【分析】根据题设有且，对于从第二项开始符号不定，再结合各项的描述，应用特例法，对不同项赋予不同符号的组合判断各项的正误即可. 【详解】由题设是首项为1，公比为2的等比数列，则，且， 对于A：若，，，此时，对； 对于B：存在数列，使得对任意，都有且成立， 此条件等价于且对任意成立， 构造数列，该数列满足，， 此时，，满足条件，故B正确； 对于C：当时，成立； 当时，通过选择前项符号为正且第项符号为负，则，故C正确； 对于D：当时，， 当时，（其中）。 由于，令括号内为， 因为为奇数，后续项为偶数，所以必为奇数， 则为一个2倍的奇数，即该数能被2整除但不能被4整除。所以，其形式为型奇数， 因此，（）不可能等于型的奇数，例如，又， 故不存在使得，所以D错误。 故选：D 二、填空题 11．已知.（1） ；（2）若实数，则在区间上的最大值的取值范围是 . 【答案】 【解析】（1）根据分段函数解析式求得. （2）对进行分类讨论，将表示为分段函数的形式，由此求得所求的最大值的取值范围. 【详解】（1）. （2） ， ， 令，画出的图象如下图所示， 区间的长度为，且， 将两条直线组合在一起，从其开始向右平移，到时停止. 通过观察可知区间上，的最大值的取值范围是. 故答案为：； 【点睛】将表示为分段函数的形式并画出图象，是解决本题的关键.利用动态的观点研究函数图象，对能力要求较高. 12．已知数列的各项均为整数，，，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，则集合中所有元素之和为 . 【答案】1023 【分析】根据题意分别求出前11项公差，11项后的公比为，然后可求得，从而可求解. 【详解】设由前12项构成的等差数列的公差为，从第11项起构成的等比数列的公比为， 由，解得或，又数列的各项均为整数，故， 所以，所以， 故 ，所以， 故集合中所有元素之和为. 故答案为：. 13．已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离为 ；直线与抛物线分别交于、两点（点在轴上方），过点作直线的垂线交准线于点，则 . 【答案】 2 【分析】求出焦点及准线方程，从而可得焦点到准线的距离，作交准线于点，易得直线过焦点，则从而可得出答案. 【详解】解：抛物线的焦点，准线为，， 所以焦点到准线的距离为2， 如图，作交准线于点， 因为直线过焦点， 则， 因为，所以轴， 又直线的倾斜角为， 所以，所以， 则. 故答案为：2； 14．设，给出下列四个结论： ①不论为何值，曲线总存在两条互相平行的切线； ②不论为何值，曲线总存在两条互相垂直的切线； ③不论为何值，总存在无穷数列，使曲线在处的切线互相平行； ④不论为何值，总存在无穷数列，使曲线在处的切线为同一条直线． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据导数的几何意义，结合三角函数的性质以及直线的平行、垂直关系逐项分析判断. 【详解】由，则， 对于①，令，则， 即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为， 令，则， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即， 所以在，处的切线平行，故①正确； 对于②，假设函数在处和在处的切线垂直，则， 当时，则，显然不成立，故②错误； 对于③，当时，则（定值）， 且对于，则， 即在的切线不重合，所以在的切线平行，故③正确； 对于④，当时，则（定值）， 且对于，则， 所以在的切线重合，故④正确； 故答案为：①③④. 【点睛】关键点睛：对于③④，结合三角函数的性质，分别构造和，代入检验. 15．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一.设曲线与轴交于两点，与轴交于两点，点是上一个动点，给出下列四个结论： ①曲线关于轴对称； ②曲线恰好经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③面积的最大值为1； ④（为坐标原点）. 其中正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】曲线上的任意点，其关于的对称点为，代入曲线方程验证判断①，根据方程易知，均在曲线上判断②，结合曲线的对称性研究时的曲线性质确定最大值，结合即可判断③，在上，才能保证最大，再应用三角换元及三角恒等变换、正弦型函数的性质求范围判断④. 【详解】曲线上的任意点，其关于的对称点为， 代入曲线左侧有，即点也在曲线上， 所以曲线关于轴对称，①对； 由方程易知，均在曲线上，曲线至少经过4个整数点，②错； 由，即，且， 根据曲线关于轴对称，只需研究时的曲线性质， 对于，当且仅当时取等号， 对于在上单调递增，则， 令，则，可得，结合曲线的对称性有， 所以，最大，③对； 在上，才能保证最大， 令且，此时， 所以 ，且， 所以，当且仅当取等号，④对. 故答案为：①③④ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 小题限时卷02（A组+B组+C组） （模式：10道选择题+5道填空题 满分：65分 限时：40分钟） 一、单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部是（    ） A．2i B． C．2 D． 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间上为减函数的为 A． B． C． D． 4．已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知向量，，且，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 6．“”是“圆与轴相切”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设的数的图象为曲线C，那么“”是“曲线C关于直线对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知正四棱锥，底面边长是，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 9．函数，其中P， M为实数集的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中正确判断有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．展开式中的系数等于 . 12．抛物线的焦点坐标是 . 13．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则的最小值为 . 14．记为数列的前项和，若，则 . 15．十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，，即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数成为斐波那契数列.因以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.关于斐波那契数列给出以下四个结论： ①是奇数； ② ③        ④ 其中所有正确结论的序号为 . 一、单选题 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数 ，则（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，则的系数为（    ） A．14 B． C．240 D． 5．在中，为上一点，且，则实数值为（    ） A． B． C． D． 6．已知数列是等差数列，其前n项和为，则“，使得”是“，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面四边形ABCD中，设AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体.使⊥平面BCD，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与平面所成的角为60° D．四面体的体积为 9．“绿水青山就是金山银山”的理念已经提出18年，我国城乡深化河道生态环境治理，科学治污.现有某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米，已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t（单位：天）河水污染质量指数（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的50倍.若从现在开始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的，需要的时间大约是（参考数据：，）（    ） A．1个月 B．3个月 C．半年 D．1年 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） ①时，的最大值为； ②时，方程在上有且只有三个不等实根； ③时，为奇函数； ④时，的最小正周期为 A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 二、填空题 11．已知抛物线的焦点为，则的坐标为 ；过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比为 ． 12．数列满足：对任意，数列，，是公差为的等差数列，且数列也是等差数列．若，，，则 ；的前9项和等于 ． 13．已知双曲线的左､右焦点分别为，直线与双曲线的一个交点为点，与双曲线的一条渐近线交于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 . 14．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，有下列命题，其中为真命题的是 .（填序号） ①若，则； ②到原点的“折线距离”不大于的点构成的区域面积为； ③原点与直线上任意一点M之间的折线距离的最小值为； ④原点与圆上任意一点M之间的折线距离的最大值为. 15．一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期．给出下列四个判断： ①对于数列，若，则为周期数列； ②若满足：，则为周期数列； ③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立； ④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列． 其中所有正确判断的序号是 ． 一、单选题 1．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知表示复数z的共轭复数，为非零复数，“”是“存在非零实数t，使得”（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知点是直线上一动点，与是圆的两条切线，为切点，则四边形的最小面积为(　　) A． B． C． D． 5．已知非零向量，，在同一平面，其中是单位向量.与的夹角为，，则的最小值是（    ） A．2 B．1 C． D． 6．在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 7．“”是函数满足：对任意的，都有”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论： ①三棱锥的体积的最大值为； ②的最小值为； ③点到直线的距离的最小值为． 其中所有正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．在计算机系统中，缓存的核心作用是加速数据访问.当缓存加载完成后，未被读取的信息比例会随时间的推移逐渐下降，其变化规律可用函数模型近似描述.其中表示稳态未被读取比例，表示初始时未被读取的“额外”比例，为衰减时间常数.某工程师对某服务器缓存进行性能测试，下表记录了以下数据（缓存加载完成后开始计时）： （分钟） 0 5 10 75 45 30 用该模型推算当时，缓存中未被读取的信息比例约为（    ） A． B． C． D． 10．已知数列满足，，为的前项和，则下列结论错误的是（    ） A．存在，使得成立 B．存在，使得且对任意成立 C．对任意，存在，使得成立 D．对任意奇数，存在和，使得成立 二、填空题 11．已知.（1） ；（2）若实数，则在区间上的最大值的取值范围是 . 12．已知数列的各项均为整数，，，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，则集合中所有元素之和为 . 13．已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离为 ；直线与抛物线分别交于、两点（点在轴上方），过点作直线的垂线交准线于点，则 . 14．设，给出下列四个结论： ①不论为何值，曲线总存在两条互相平行的切线； ②不论为何值，曲线总存在两条互相垂直的切线； ③不论为何值，总存在无穷数列，使曲线在处的切线互相平行； ④不论为何值，总存在无穷数列，使曲线在处的切线为同一条直线． 其中所有正确结论的序号是 ． 15．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一.设曲线与轴交于两点，与轴交于两点，点是上一个动点，给出下列四个结论： ①曲线关于轴对称； ②曲线恰好经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③面积的最大值为1； ④（为坐标原点）. 其中正确结论的序号是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $