专题06导数及其应用（期末真题汇编，江苏专用）高二数学上学期苏教版

专题06 导数及其应用 4大高频考点概览 考点01 导数的概念与几何意义 考点02 导数的计算 考点03 利用导数研究函数的性质 考点04 导数的综合运用 地 城 考点01 导数的概念与几何意义 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)函数在区间上的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均变化率的定义即可求得. 【详解】由平均变化率定义得， 故选：C 2．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)当某种针剂药注入人体后，血液中该药的浓度C与时间t的关系式近似满足其中，则血液中该药的浓度，在时的瞬时变化率约是时的瞬时变化率的多少倍（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导，将与代入即可求得答案. 【详解】函数求导得， 将代入得，将代入得， 则， 故选：B 3．(24-25高二上·江苏南京田家炳高级中学·期末)已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求导，得，利用导数的几何意义得到切线的斜率，再利用点斜率式，即可求解. 【详解】因为， 则， 所以， 又，所以的图象在处的切线方程为，即， 故选：A. 4．(24-25高二上·江苏句容·期末)函数在区间上的平均变化率为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由平均变化率计算公式求解． 【详解】解：函数在区间上的平均变化率为 ． 故选：B. 5．(24-25高二上·江苏南京金陵中学·期末)实数、、、满足：，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两点坐标表示距离公式可知的最小值转化为上的点与上的点的距离的平方的最小值，利用导数的几何意义和点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】由，得，又 ， 所以，的最小值转化为 上的点与上的点的距离的平方的最小值， 由，得， 与平行的直线的斜率为， 由，解得或（舍），可得切点为， 切点到直线的距离的平方，即为 的最小值， 所以，的最小值为． 故选：D. 6．(23-24高二上·江苏南京外国语学校·期末)若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】由导数的定义可得； 【详解】. 故选：C. 7．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)已知直线与曲线相切，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点，利用切点处的导数等于切线的斜率，切点既在曲线上，又在直线上，联立求解即可. 【详解】设切点，故， 又切点在直线上，所以. 故选：C. 8．(24-25高二上·江苏南京五校联盟·期末)已知曲线C：上一点，则曲线C在点P处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线的倾斜角. 【详解】因为，所以，则， 所以曲线C在点P处的切线的斜率为，则倾斜角为. 故选：B 9．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 【答案】C 【分析】根据平均变化率和导数概念判断即可. 【详解】解：因为 所以表示在上的平均变化率. 故选：C. 10．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程即可. 【详解】由，求导得，则， 因此曲线在点处的切线为，即. 故选：D 11．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)已知函数在处可导，且，则等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据导数的定义进行求解即可. 【详解】由， 故选：B 二、多选题 12．(24-25高二上·江苏连云港·期末)蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（    ） A．从到，蜥蜴体温下降了 B．从到，蜥蜴体温的平均变化率为 C．当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是 D．蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻 【答案】ABC 【分析】对于A，分别求出和时的蜥蜴体温，即可得到从到的蜥蜴体温下降量；对于B，根据平均变化率计算公式即可得出结果；对于C，求出，令，即可求出蜥蜴体温的瞬时变化率；对于D，令，求出的值，即是蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻. 【详解】对于A，当时，，当时，,所以从到，蜥蜴的体温下降了，故A正确； 对于B，从到，蜥蜴体温的平均变化率为，故B正确； 对于C，，当时，，所以当时，蜥蜴体温的瞬时变化率为，故C正确； 对于D，令，解得，故D错误. 故选：ABC. 13．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)已知某物体运动的位移方程为（    ） A．该物体位移的最大值为100 B．该物体在内的平均速度为15 C．该物体在时的瞬时速度是32 D．该物体的速度ν和时间t时的关系式是 【答案】BD 【分析】根据单调递增，求出最大值，判断A错；由计算，判断B正确；对函数求导，求，可判断C错；位移的导数即是速度，可判断D正确. 【详解】因为在上单调递增，所以，故A错； 该物体在内的平均速度为，故B正确； 又，则该物体在时的瞬时速度是，故C错； 该物体的速度和时间时的关系式是，故D正确； 故选：BD 三、非选择题 14．(24-25高二上·江苏宿迁中学·期末)若曲线只有一条过原点的切线，则的值为 ． 【答案】或 【分析】设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，并结合题意得方程有且只有一个实数根，再结合判别式求解即可. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, ∴切线方程为：, ∵切线过原点， ∴,整理得：, ∵曲线只有一条过坐标原点的切线切， ∴,解得或, ∴或, 故答案为：或 15．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)已知直线与曲线相切，则的最大值为 .. 【答案】 【分析】设切点，由导数的几何意义求得，构造，通过求导确定单调性即可求解； 【详解】设切点为，因为， 所以解得 所以. 令，则， 令，得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即的最大值为. 故答案为： 16．(24-25高二上·江苏泰州·期末)过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入解出切点坐标，即可得切线方程. 【详解】由可得， 设过点作曲线的切线的切点为，则， 则该切线方程为， 将点代入切线得，解得或， 所以切点为或， 所以切线方程为或. 故答案为：（答案不唯一） 17．(24-25高二上·江苏连云港·期末)若方程有且仅有一个实数根，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】将方程有且仅有一个实数根转化为函数和只有一个交点，分和进行研究. 【详解】根据题意，方程，即， 画出函数和的图象， 当时，显然只有一个交点，如图， 当时，设切点为，， 则，解得， 所以当时，函数和相切时只有一个交点，如图， 综上所述，当时，方程有且仅有一个实数根. 故答案为： 18．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)曲线上的点到直线的最短距离是 ． 【答案】 【分析】求出和平行的直线和相切，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标即可得到结论. 【详解】与平行的直线和相切，则斜率为， 因为，所以， 令，解方程得，代入直线方程得切点， 则点到直线的距离就是曲线的点到直线的最短距离， 由点到直线的距离公式知， 故答案为：. 19．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在上的值域； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出导函数，进而求，即可写出切线方程； （2）利用导数判断单调性，进而根据极值、端点值确定区间值域. 【详解】（1）由， 因此在处的切线是. （2）由，列表如下 1 3 + 0 0 + 0 增 4 减 0 增 20 从上表可知，在上的值域是. 20．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)已知函数. (1)求； (2)若曲线在处的切线与曲线也相切，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用赋值法求解原函数即可. （2）利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切线方程，再结合给定条件求解参数即可. 【详解】（1）因为，所以， 即，故. （2）因为，所以在处的切线方程 为，即， 设在处切线为， 因为，所以，化简得， 因为，所以，解得，故的值为. 21．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)已知函数的图象在点处的切线为． (1)求函数的解析式; (2)若曲线在点P处的切线与直线垂直， 求点P 的横坐标． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用导数的意义求出切线的斜率，再利用切线方程求出即可； （2）由两直线垂直得到斜率关系，再利用导数的意义求解即可； 【详解】（1）函数， ， 在点处的切线为， 解得， 所以 （2）设，则由题可知，即， 所以P的横坐标为2． 22．(24-25高二上·江苏南京五校联盟·期末)已知函数. (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由平均变化率的公式即可求解； （2）依次求出的值，利用导数的几何意义即可求切线方程； （3）首先设出切点坐标，利用可求出切点坐标，可得切线方程． 【详解】（1）因为， 所以在区间上的平均变化率为 ． （2）由，有，从而，， 则切点坐标为，切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （3）易知直线与曲线不相切， 故设切点为， 则由，可得，即，解得或， 当时，切点为，， 此时满足题意的切线方程为，显然它过点， 当时，切点为，， 此时满足题意的切线方程为，即，显然它过点， 综上所述，满足题意的切线方程为或． 地 城 考点02 导数的计算 一、单选题 23．(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导，再代入自变量求导数值即可. 【详解】由题设，则 . 故选：C 24．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知函数，则的值为（　　） A．2 B．4 C． D．0 【答案】B 【分析】求导，代入运算得解. 【详解】由，则. 故选：B. 25．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)下面导数运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求导公式和法则计算、逐一判断即可． 【详解】解 ，故A正确； 故B正确； 故C正确， 故D错误. 故选： 二、多选题 26．(24-25高二上·江苏镇江中学·期末)下列求导的运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本函数的导数公式和运算法则逐项求解即可； 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：ACD. 27．(24-25高二上·江苏句容·期末)下列函数的求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】直接利用导数的运算法则与基本初等函数的导函数逐一求解得答案. 【详解】对于A,，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC. 28．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件对任意的都有，构造函数，利用导数可得在时单调递增，结合各个选项化简即可得出结果． 【详解】设，则， 因为对任意的都有； 则，则在上单调递增； 因为，所以，，所以A正确； 因为，所以，，所以B错误； 因为，所以，，所以C正确； 因为，所以，，所以D正确； 故选：ACD． 29．(23-24高二下·山东淄博淄博中学·期中)下列求导运算正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】由导数的求导运算求解． 【详解】对于A.，A错误； 对于B.，B正确； 对于C.，C错误； 对于D. ，D正确. 故选：BD. 三、非选择题 30．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)若函数，则 . 【答案】 【分析】根据两函数积的求导法则求解即可. 【详解】因为,所以, 所以. 故答案为: 31．(23-24高二上·云南昭通一中教研联盟·期末)函数在处的切线方程为 . 【答案】 【分析】利用导数可求得切线斜率，结合直线过点可得切线方程. 【详解】，所以切线的斜率为， 所以函数在处的切线方程为，即. 故答案为：. 32．(20-21高二下·北京西城区育才学校·期中)已知，则 . 【答案】 【分析】求出的导函数，把带入即可. 【详解】，所以. 故答案为： 【点睛】要注意复合函数求导法则. 地 城 考点03 利用导数研究函数的性质 一、单选题 33．(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值并列不等式求参数范围. 【详解】由题设，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， ，且时趋向，时趋向， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A 34．(24-25高二上·江苏宿迁中学·期末)在等比数列中，是函数的极值点，则（   ） A． B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】首先通过函数求导得出极值点所满足的方程，利用韦达定理得到与的乘积和和，再根据等比数列的性质求出的值，结合的正负确定的值. 【详解】已知，对求导可得. 因为，是函数的极值点，所以，是方程的两个根. 所以，. 所以，则. 由，且，可知与同号， 又因为，所以，.在等比数列中，奇数项的符号相同， 所以，因此. 故选：D. 35．(24-25高二上·江苏连云港·期末)函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 【答案】B 【分析】对函数求导，令导数等于0，求得，分别研究导函数在,和时的单调性，从而得极小值点，代入函数解析式求得极小值. 【详解】由函数，求导得, 令,得, 当时, ,函数单调递增; 当时, ,函数单调递减; 当时, ,函数单调递增; 所以是极小值点,所以函数的极小值为. 故选：B 36．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶函数的判断方法，得到为偶函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，根据条件有，再比较的大小，即可求解. 【详解】易知的定义域为，关于原点对称 又，所以为偶函数， 又， 当时，，所以当时，， 令，则恒成立，所以在上单调递增， 则当时，，所以当时，，即在区间上单调递增， 因为， 又易知，，， 所以， 故选：B. 【点晴】关键点点晴：本题的关键在利用当时，，从而有当时，，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，可得，即在区间上单调递增，即可求解. 37．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】我们可以通过构造函数，利用函数的单调性和极值来确定方程有两个不相等实数根时的取值范围. 【详解】设，对求导，可得. 令，即，得到，设与的交点横坐标为. 当时，，在上单调递增. 当时，，在上单调递减.   因为方程有两个不相等的实数根，所以的最大值. 由可得，即. 而. 设，显然在上单调递增，且，所以. 又因为，当时，. 故选：C. 38．(24-25高二上·江苏宿迁中学·期末)已知函数，则的大致图象为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，，所以在单调递增，则B、D错误； 当时，，，则在单调递减，单调递增，所以A正确，故选A． 点睛：本题通过对函数的单调性分析得到图象．由于本题函数是绝对值函数，则去绝对值分类讨论，分别通过求导分析，得到单调性情况，得到正确的图象．图象选择问题也常用特殊值法排除错误选项． 二、多选题 39．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)对于函数，下列说法正确的是（　　） A．函数在上单调递减 B．对于任意实数恒成立 C．0是函数的一个极大值点 D．函数有无数个极大值点 【答案】BCD 【分析】对A，由，举反例可判断；对B，由可判断；对C，由，结合，结合极大值定义判断；对D，求导，令，即，利用图象分析判断得解. 【详解】对于A，由，，则， 所以在上不是单调递减函数，故A错误； 对于B，因为，故B正确； 对于C，由，结合，在附近，均有，由极大值的定义可得0是极大值点，故C正确； 对于D，由，令， 所以，即，    如图，则有无数个解，所以函数有无数个极大值点，故D正确. 故选：BCD. 40．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)如图是函数的导函数的图象，则（   ） A．函数的图象在处切线的斜率小于零 B．函数在区间上单调递增 C．在时，函数取得极值 D．在时，函数取得极值 【答案】BC 【分析】根据导函数图象分析原函数的性质判断各项的正误即可. 【详解】对于A，的图象在处的切线斜率为，故A错误； 对于B，当时，且，此时单调递增，故B正确； 对于C，是导函数的一个变号零点，故当时取得极值，故C正确； 对于D，不是导函数的一个变号零点，故当时不能取得极值，故D错误. 故选：BC 41．(24-25高二上·江苏南京田家炳高级中学·期末)已知函数为定义在上的奇函数，若当时，，且，则（    ） A． B．当时， C． D．不等式解集为 【答案】ACD 【分析】构造函数结合导数求出单调性，再结合奇偶性，分别判断各个选项即可. 【详解】构造函数，其中， 因为函数为定义在上的奇函数，则， 所以，故函数为偶函数， 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则，则. 因为，所以，即，，故A正确； 不妨取，则，，B错误； 因为偶函数在上单调递增，则， 即，整理可得，C正确； 当时，由可得，解得， 当时，由可得，解得. 综上所述，不等式解集为，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：构造函数，根据导函数判断函数的单调性，结合函数的奇偶性判断不等关系 三、非选择题 42．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)已知函数，则的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】对函数求导，令导函数大于零求解即可. 【详解】由题意， 由得， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 43．(24-25高二上·江苏南京金陵中学·期末)已知函数有两个极值点，且，则的取值范围是 【答案】 【分析】求，根据是的两个极值点可得为方程的两个根，结合韦达定理可得，令，构造函数分析单调性可得的值域，即得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∴为方程的两个根， ∴，∴，， ∴ 代入可得：， 设，∵，∴， 设，则， ∴在上单调递减， ∵， ∴ ，即的取值范围是. 故答案为：. 44．(24-25高二上·江苏句容·期末)已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线垂直斜率之积为求解即可； （2）求导分与的大小关系讨论即可； （3）由题意在上恒成立，再根据函数的性质求解即可. 【详解】（1），故，又斜率为1，故，解得. （2）因为，故， 则， 当时，， 故在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 当时，令有，，且， 故在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. 当时，，在单调递减； 当时，在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. （3）， 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，故，即. 所以a的取值范围为. 45．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知函数，且满足 (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)函数在区间上的最大值为，最小值为 【分析】（1）利用求导公式结合求解即可； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求解最值即可. 【详解】（1）因为， 所以， 令，即方程， 解得 （2）由（1）知，，所以， 令，即， 解得． 列表如下： 2 3 + 0 - 0 + 当时，单调递增： 当时，单调递减： 当时，单调递增． 所以有极大值；有极小值 又． 所以函数在区间上的最大值为，最小值为． 46．(24-25高二上·江苏连云港·期末)如图，在半径为4，圆心角为变量的扇形内作一内切圆，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆外切的小圆，设圆的半径为.    (1)求关于的函数关系式； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的半径为，圆切于，圆切于，根据三角函数得到方程，求出，进而得到； （2）在（1）的基础上，换元得到，求导，得到函数单调性，进而求出最值. 【详解】（1）圆的半径为，设圆的半径为，圆切于，圆切于， 在中，，故. 在中同理可得，，   ； （2）令，由，则，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以当，即时，取得最大值， 最大值为. 47．(24-25高二上·江苏南京金陵中学·期末)已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，分析函数在上的单调性，进而可得函数在上的最大值. （2）求导，根据的不同取值范围，讨论函数在上的单调性，可求函数在上的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以. 由 或. 所以当，所以， 所以在上单调递增， 所以. （2）的定义域为， ， 由 . ①当，即时， 或. 所以在上单调递增， ； ②当，即时，由 或. 由 . 所以在上单调递减，在上单调递增， ； ③当，即时，由 . 所以在上单调递减， . 综上， 地 城 考点04 导数的综合运用 一、单选题 48．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，分析可知，直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，可得， 令，则直线与函数的图象有三个交点， ，令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 如下图所示： 由图可知，当时，即当时， 直线与函数的图象有三个交点， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 49．(24-25高二上·江苏南京田家炳高级中学·期末)已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，通过在上单调递减，列出不等式然后通过函数的最值求解实数的取值范围. 【详解】由题意知在上恒成立， 所以在上恒成立. 令，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递琙， 所以，所以，解得， 即的取值范围是. 故选：C. 50．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A 51．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)若曲线与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】曲线与直线有3个不同的交点，等价于有3个零点，根据的极大值大于0极小值小于0列不等式组求解即可. 【详解】曲线与直线有3个不同的交点，则有3个不同的解， 令，则有3个零点，可得， 若，，则是单调递增函数，不可能有3个零点， 时，由得，则， 当时，，当，， 所以在上递增，在上递减，在上递增. 要使有3个零点，则的极大值大于0，极小值小于0 即，解得. 即实数的取值范围是 故选：C. 二、非选择题 52．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则 . 【答案】 【分析】根据题设在上取得最小值，讨论、、，应用分类讨论及导数研究函数的最值确定参数即可. 【详解】由在上恒成立，即在上取得最小值， 对于，图象开口向上且对称轴为， 若，即时，， 在上单调递减， 在上单调递增， 此时，故，则最小值， 而在上单调递增，故， 综上，满足题设； 若，即时，在上， 在上，则，即单调递增，所以， 综上，满足题设； 若，即时，最小值在上取得， 由于，在上，即单调递减， 在上，即单调递增， 所以最小值在处取得，此时，与前提矛盾； 综上，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据题设有在上取得最小值，结合二次函数的性质、导数研究函数的最小值得到关于参数a的方程为关键. 53．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为 . 【答案】18 【分析】根据长方体的体积公式求得，求得函数的定义域，利用导数法求得最大值即可. 【详解】设小正方形的边长为，依题意，箱子容积， 由，解得，所以的定义域为. 则， 所以在区间单调递增； 在区间单调递减， 所以当时，取到最大值，且最大值为. 故答案为：18 54．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论导数正负情况即可求出函数单调性. （2）由（1）求出函数的最小值，再构造函数，利用导数证明不等式. 【详解】（1）函数中，，求导得， 当时，在上单调递增； 当时，时，时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：由（1）知，当时，， 设，求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，则， 所以. 55．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知函数，a∈. (1)若曲线在点处切线方程为，求实数a的值； (2)设函数在区间I上有定义，若对任意的都有则称函数y=ω（x）为区间I上的下凸函数.利用上述定义证明：函数为定定义域上的下凸函数； (3)若对任意的，都有f（x）≥0，求实数a的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【分析】第一问：对函数求导根据切点的导数值等于切线的斜率求出a的值. 第二问：利用题中下凸函数的定义及函数解析式,作差，结合对数运算性质化简，再根据基本不等式判断差的正负情况，进而得到结论. 第三问：方法1：对原函数求导，对参数a进行分类讨论，然后通过导函数的正负确定原函数的单调性求得最小值看是否符合题意以确定a的取值范围. 方法2（分离法）：对原函数分离常数a构造了新函数，通过进行两次求导确定它的最大值，进而得到a的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以，解得. （2）定义域为，设， 则 因为， 所以， 所以（当且仅当时取等号） 所以（当且仅当时取等号） 所以， 即 所以是定义域内的下凸函数. （3）法1：因为， 当时，因为，所以，即为减函数， 又与矛盾， 所以不满足题意； 当时，令，解得 所以当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以． 设，所以在是增函数， 又， 所以当时，； 当时，． 因为恒成立，所以． 综上可得，即的最小值为1． 法2（分离法）：由且， 得对任意佰成立 设，所以， 令，则 所以函数在上是减函数，且． 所以当时，；当时，． 当单调递增； 当单调递减， ， 所以． 即的最小值为1． 56．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3). 【分析】（1）求出，利用导数的几何意义，根据斜率之积为求解即可； （2）求出函数的导数，分类讨论，解不等式即可得出单调性区间； （3）利用导数确定，分离参数后，再利用导数求函数最小值即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又在处的切线与直线垂直，所以， 即，所以. （2），. ①当时，，所以在上单调递增. ②当时，令，得，又，所以. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由，得在上恒成立. 令，，则，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，即， 则在上恒成立. 令，， 则 . 因为，所以，则， 令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 所以，即的取值范围是. 57．(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求a的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)增区间为，无减区间； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用导数研究的单调区间； （2）对函数求导，讨论、、，结合恒成立求参数范围； （3）根据（2）的结论有得，令，则，即可证结论. 【详解】（1）当时，，所以， 设，则， 当时，有，所以在区间上单调递减， 当时，有，所以在区间上单调递增， 所以，即， 所以的增区间为，无减区间． （2）， （i）当时，有，与矛盾； （ii）当时，有，所以， 所以在单调递增，故，满足题意； （iii）当时，设，则， 当时，由得，所以在上单调递减，则， 即，所以在单调递增，故，满足题意； 当时，若，则，所以在上单调递， 所以，即，所以在单调递减，故，与矛盾； 综上所述：a的取值范围为． （3）由（2）知当时，，其中a的取值范围为， 令得，，即 令，则， 所以． 58．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知为实数，函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)函数在上单调递减，在单调递增 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，判断导数正负得解； （2）设，求导得，令，分和讨论，验证； （3）由（2），当时，，令，可得，得，求和得证. 【详解】（1）由， 令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在单调递增. （2）设，， 则，，令， ①当即时，令，故在上单调递增， 故，所以在上单调递增，故，符合题意； ②当即时，当时，，即单调递减， 故，单调递减，故，不符合题意； 综上，. （3）由（2），当时，，当且仅当时，等号成立， 令，则， 整理得， 所以， 即. 59．(24-25高二上·江苏连云港·期末)已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可求解； （2）令得，令，则，从而令，则利用导数求出最小值可得答案. 【详解】（1）当时，， 曲线在处切线的斜率为， 又切线方程为， 即曲线在处的切线方程为； （2）若有两个零点， 则， 得. ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ， 故. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 60．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)已知函数，其中是自然对数的底数． (1)当，求的极大值； (2)若存在，使得，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，，通过的单调性研究的符号变换情况，进而研究的单调性，由此即可得到极大值. （2）由题意将问题等价转换为函数有零点，通过求导，对进行分类讨论即可得解. 【详解】（1）因为，所以，，， 所以当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在上单调递增． ．因为，所以存在唯一，使得， 所以在区间和上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为． （2）不妨设，所以关于的方程有正实数解，所以，即有正实数解． 设，则， 所以在上单调递增，所以． ①当时，单调递增，所以，不合题意； ②当时，存在，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以存在，使得，符合题意． 综上，的取值范围是． 【点睛】关键点睛：第二问的关键是分析得到关于的方程有正实数解，即有正实数解，然后通过构造函数即可顺利得解. 61．(24-25高二上·江苏南京田家炳高级中学·期末)已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求. 【答案】(1)极小值0，无极大值． (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出导函数，利用导数求出函数的单调性区间，利用极值的定义求解即可； （2）利用导数与函数单调性间的关系，分类讨论求的单调区间即可； （3）利用“函数”的定义，结合导数的几何意义得，然后结合是方程的根，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系得到，即可求解. 【详解】（1）函数，， 当时，，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故有极小值，无极大值. （2）由（1）可知：当时，，在单调递减； 当时，令，得，， 所以，且为增函数， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 综上， 当时，的单调递减区间为，无递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）当时，函数是“函数”， 求导得， 设曲线与直线切点， 则，故，即， 所以且， 设，，易知，且是增函数， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以是方程的根，且唯一， 所以． 62．(24-25高二上·江苏宿迁中学·期末)设函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，记的最小值为，证明：． 【答案】(1)答案见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）由题意可得的定义域为,求出的导函数,通过判断导函数的符号即可判断的单调性； （2）先结合（1）得到，解法一：先求导，，再根据导数的性质求得，进而即可证明；解法二：根据题意可得要证，即证，从而构造函数，求导，再根据导数的性质求得，进而即可证明． 【详解】（1）依题意可得的定义域为， 由， 则， 当时，，则在上单调递增； 当时， 若，，此时单调递减； 若，，此时单调递增； 综上， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知，，即． 解法一： 则， 则，所以单调递减， 又，，所以存在，使得， 则当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 所以， 又，即，即， 所以， 显然在上单调递增， 又，所以，即． 解法二： 要证，即证，即证，即证， 令，则， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 所以， 所以，即． 63．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)已知函数在点处的切线方程为. (1)求实数a的值； (2)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围； (3)对，关于x的方程总有两个不等的实数根，，求证：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求导得，再根据切线方程得到，解出即可； （2）当，，当时，分离参数得，再设新函数，求出其最大值即可； （3）求出的最大值点和与轴交点，再求出两点连线所在直线方程，求出，，再代入计算即可. 【详解】（1）因为函数在点处的切线方程为， ，所以，得. （2）因为对恒成立， 当时，， 当时，等价于恒成立 令，得， 令， 得，则在区间上单调递增． 则，即在区间上恒成立， 所以在区间上单调递减，所以， 所以数的取值范围为. （3）因为在区间单调递增，在单调递减， 最大值为，记最大值点为， 函数与轴的交点记为点． 因为直线， 由（2）知在区间上， 又因为直线， 又当在区间上时，， 又与直线交点横坐标记为， 直线直线交点横坐标记为， 所以 . 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用分离参数法得到，再设新函数，利用多次求出其最大值即可. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 导数及其应用 4大高频考点概览 考点01 导数的概念与几何意义 考点02 导数的计算 考点03 利用导数研究函数的性质 考点04 导数的综合运用 地 城 考点01 导数的概念与几何意义 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)函数在区间上的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)当某种针剂药注入人体后，血液中该药的浓度C与时间t的关系式近似满足其中，则血液中该药的浓度，在时的瞬时变化率约是时的瞬时变化率的多少倍（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江苏南京田家炳高级中学·期末)已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·江苏句容·期末)函数在区间上的平均变化率为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 5．(24-25高二上·江苏南京金陵中学·期末)实数、、、满足：，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．(23-24高二上·江苏南京外国语学校·期末)若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 7．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)已知直线与曲线相切，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．(24-25高二上·江苏南京五校联盟·期末)已知曲线C：上一点，则曲线C在点P处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 10．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 11．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)已知函数在处可导，且，则等于（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题 12．(24-25高二上·江苏连云港·期末)蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（    ） A．从到，蜥蜴体温下降了 B．从到，蜥蜴体温的平均变化率为 C．当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是 D．蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻 13．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)已知某物体运动的位移方程为（    ） A．该物体位移的最大值为100 B．该物体在内的平均速度为15 C．该物体在时的瞬时速度是32 D．该物体的速度ν和时间t时的关系式是 三、非选择题 14．(24-25高二上·江苏宿迁中学·期末)若曲线只有一条过原点的切线，则的值为 ． 15．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)已知直线与曲线相切，则的最大值为 .. 16．(24-25高二上·江苏泰州·期末)过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程 ． 17．(24-25高二上·江苏连云港·期末)若方程有且仅有一个实数根，则的取值范围为 . 18．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)曲线上的点到直线的最短距离是 ． 19．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在上的值域； 20．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)已知函数. (1)求； (2)若曲线在处的切线与曲线也相切，求 21．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)已知函数的图象在点处的切线为． (1)求函数的解析式; (2)若曲线在点P处的切线与直线垂直， 求点P 的横坐标． 22．(24-25高二上·江苏南京五校联盟·期末)已知函数. (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求曲线过点的切线方程. 地 城 考点02 导数的计算 一、单选题 23．(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知函数，则（   ） A． B． C． D． 24．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知函数，则的值为（　　） A．2 B．4 C． D．0 25．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)下面导数运算错误的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 26．(24-25高二上·江苏镇江中学·期末)下列求导的运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 27．(24-25高二上·江苏句容·期末)下列函数的求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 28．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ） A． B． C． D． 29．(23-24高二下·山东淄博淄博中学·期中)下列求导运算正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、非选择题 30．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)若函数，则 . 31．(23-24高二上·云南昭通一中教研联盟·期末)函数在处的切线方程为 . 32．(20-21高二下·北京西城区育才学校·期中)已知，则 . 地 城 考点03 利用导数研究函数的性质 一、单选题 33．(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．(24-25高二上·江苏宿迁中学·期末)在等比数列中，是函数的极值点，则（   ） A． B．4 C．3 D． 35．(24-25高二上·江苏连云港·期末)函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 36．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 37．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．(24-25高二上·江苏宿迁中学·期末)已知函数，则的大致图象为 A． B． C． D． 二、多选题 39．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)对于函数，下列说法正确的是（　　） A．函数在上单调递减 B．对于任意实数恒成立 C．0是函数的一个极大值点 D．函数有无数个极大值点 40．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)如图是函数的导函数的图象，则（   ） A．函数的图象在处切线的斜率小于零 B．函数在区间上单调递增 C．在时，函数取得极值 D．在时，函数取得极值 41．(24-25高二上·江苏南京田家炳高级中学·期末)已知函数为定义在上的奇函数，若当时，，且，则（    ） A． B．当时， C． D．不等式解集为 三、非选择题 42．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)已知函数，则的单调递增区间为 . 43．(24-25高二上·江苏南京金陵中学·期末)已知函数有两个极值点，且，则的取值范围是 44．(24-25高二上·江苏句容·期末)已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 45．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知函数，且满足 (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 2 3 + 0 - 0 + 46．(24-25高二上·江苏连云港·期末)如图，在半径为4，圆心角为变量的扇形内作一内切圆，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆外切的小圆，设圆的半径为.    (1)求关于的函数关系式； (2)求的最大值. 47．(24-25高二上·江苏南京金陵中学·期末)已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. 地 城 考点04 导数的综合运用 一、单选题 48．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．(24-25高二上·江苏南京田家炳高级中学·期末)已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 51．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)若曲线与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、非选择题 52．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则 . 53．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为 . 54．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：. 55．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知函数，a∈. (1)若曲线在点处切线方程为，求实数a的值； (2)设函数在区间I上有定义，若对任意的都有则称函数y=ω（x）为区间I上的下凸函数.利用上述定义证明：函数为定定义域上的下凸函数； (3)若对任意的，都有f（x）≥0，求实数a的最小值. 56．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围. 57．(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求a的取值范围； (3)证明：． 58．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知为实数，函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 59．(24-25高二上·江苏连云港·期末)已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 60．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)已知函数，其中是自然对数的底数． (1)当，求的极大值； (2)若存在，使得，且，求的取值范围． 61．(24-25高二上·江苏南京田家炳高级中学·期末)已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求. 62．(24-25高二上·江苏宿迁中学·期末)设函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，记的最小值为，证明：． 63．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)已知函数在点处的切线方程为. (1)求实数a的值； (2)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围； (3)对，关于x的方程总有两个不等的实数根，，求证：. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $