专题05数列（期末真题汇编，江苏专用）高二数学上学期苏教版

专题05 数列 4大高频考点概览 考点01 数列的概念与简单表示法 考点02 等差数列 考点03 等比数列 考点04 数列求和 地 城 考点01 数列的概念与简单表示法 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)已知数列的首项，且 （），则这个数列的第4项是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】可根据数列的递推公式，由首项逐步求出、，进而求出 【详解】已知，将代入递推公式中， 可得： ， 将代入递推公式中，此时， 则： ， 将代入递推公式中，此时， 则： ， 这个数列的第项是. 故选：A. 2．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)已知等比数列{an}的前n项和为 Sn，且，则（   ） A．24 B．16 C．8 D．无法确定 【答案】B 【分析】由，的关系即可求解； 【详解】由条件可知：, 故选：B 3．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用化简得出数列是等比数列，再应用等比数列通项公式计算求解. 【详解】因为，则， 当时，作差得，所以， 所以，所以，因为，当时，， 数列是以为首项以为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 4．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)已知数列满足：，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的周期性来求得正确答案. 【详解】因为，且， 所以，，，，，…… 所以数列为周期数列，周期为2， 所以 故选：B 5．(24-25高二上·江苏南通·期末)在等比数列中，，则（    ） A． B．1 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据题意令，代入运算即可得结果. 【详解】因为数列为等比数列，则， 又因为， 令，可得，所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据递推公式特征，结合题意巧妙赋值. 6．(24-25高二上·江苏天一中学·期末)在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由累加法和裂项相消法求通项即可得出答案. 【详解】由可得： ， ．经验证，也适合上式. 故选：B. 7．(24-25高二上·江苏常州·期末)数列中，（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】探索数列奇数项的特点，可求的值. 【详解】令，则 . 令，则， 所以 . 又，所以，所以. 故选：A 8．(24-25高二上·江苏南京文枢高级中学·期末)数列2，，6，，…的通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分析数列各项变化的规律，即可得答案． 【详解】根据题意，数列2，，6，，， 其中，，，， 其通项公式可以为， 故选：B． 9．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)数列满足，，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累乘法求出通项公式，再由错位相减法求和即可. 【详解】由可得， 累乘可得， 即，所以，也符合该式，故. 所以，① ，② ①②可得， 因此，. 故选：D 二、多选题 10．(24-25高二上·江苏南京文枢高级中学·期末)已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用递推关系逐一求解即可判断A；求出前四项可判断数列 的周期为3，根据周期性逐一计算即可判断BCD. 【详解】A： 由题意， ， ， 则 ，故A正确； B： ， 结合A的计算，可得数列 的周期为3，即 ， 因为 ，所以 ，故B错误； C： 一个周期的和为 ，而 ，故C正确； D： 由于 ，所以 ， 所以，故D错误. 故选：AC. 11．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知数列共有项（为不小于5的正整数），且．若对于任意正整数，有，则称该数列为“反比数列”.记“反比数列”的前项和为，前项乘积为，则下列说法正确的有（　　） A． B． C．中不可能出现连续五项构成等比数列 D．当时，，则的最大值为 【答案】AB 【分析】根据“反比数列”的定义，结合数列的前n项和、前n项乘积的性质，对每个选项逐一进行分析求解. 【详解】对于A，，而，故，故A正确； 对于B， ，所以，故B正确； 对于C，如为反比数列且为等比数列，故C错误； 对于D，因为，所以，故 ，则， 当时，此时，此时， 当时，此时，此时， 当时，此时，此时， 综上，，故D错误. 故选：AB. 12．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)已知数列满足，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用即可求解判断. 【详解】数列中，，当时，， ，两式相减得，满足， 所以，，AC正确；BD错误. 故选：AC 13．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)已知数列{an}的前n项和为，则下列说法正确的是 （   ） A． B．数列 {an}是递减数列 C．数列{Sₙ}的最小项为S₂₂和S₂₃ D．满足的最大正整数n=22 【答案】AD 【分析】对于A，令即可判断，对于B由求出即可判断，对于C由即可求出最小值，即可判断，对于D由求出即可判断. 【详解】由有，当时，，所以，故A正确 当时，，所以，当，所以为递增数列，；故B错误； 由可知二次函数开口向上，当时，函数取最小值，由 因为，所以的最小值为，故C错误； 由有，所以最大正整数为，故D正确， 故选：AD. 14．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)已知数列满足，，设其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用累加法求出数列的通项公式，可判断AB选项；利用并项求和法可判断C选项；利用裂项相消法可判断D选项. 【详解】因为，， 当时，， 也满足，故对任意的，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，因为， 所以， ，C错； 对于D选项，， 所以，，D对. 故选：ABD. 15．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)已知数列的前项和为，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】本题考查数列的递推关系，数列的周期性.根据数列的递推公式求得，，，可得数列是以3为周期的周期数列，所以，可求得的值，根据，可求得的值. 【详解】由题可得，，∵， 可求得，，，故A错误，B正确； 由此可得数列是以3为周期的周期数列，所以，C正确； 同理，可得，可求得，D正确. 故选：BCD. 16．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)已知数列的前n项和为且则（    ） A． B． C． D．数列的前n项和为 【答案】ABD 【分析】利用给定条件求解数列单调性判断A，利用累乘法求出数列通项公式判断B，利用等差数列求和公式结合给定条件判断C，利用裂项相消法求和判断D即可. 【详解】由题意得，且， 可知，则为正项递增数列， 得到，即，故A正确； 由，则时， ， 又符合上式，故， 当时，，故B正确； 由等差数列求和公式得，则，故C错误； 而， 故数列的前n项和为 ，故D正确. 故选：ABD 17．(24-25高二上·江苏天一中学·期末)数列满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由数列各项不为两边同除以得，构造等比数列，进而求出通项，求出相应项可判断AB；再结合不等式性质与二项式定理求范围，进而放缩求解和的范围判断CD. 【详解】首先证明数列中任意一项不为. 证明：假设数列中存在某项， 由， 得，将代入得 则有，即，同理依次递推可知，这与矛盾. 故假设错误，即数列中从第2项起均不为. 又已知，故数列中任意一项不为，得证. 由证明结论可得，由， 两边同除以得，即， 两边同加上整理得，，又， 所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，所以. A项，，故A正确； B项，，则，故B错误； C项，，其中，， 则，所以，故C正确； D项，当时，；当时，，； 当时，， 所以，此时. 综上，，故D正确 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过构造法得是以为首项，为公比的等比数列，再求出，再一一分析即可. 18．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)已知数列满足，，则（   ） A． B．是递增数列 C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A，由递推公式依次求出即可判断；对于B，计算即可判断；对于C，将放缩成，利用等比数列求和公式即可判断；对于D，法一，由C可得，借助等比数列求和公式验证即可；法二，由B可知，由可得，利用裂项相消法计算判断. 【详解】对于A，由已知得，，，故A错误； 对于B，因为， 所以，即是递增数列，故B正确； 对于C，由AB知，， 所以， 所以， 所以，故C正确； 对于D，（方法一）由C知， 所以， 两式相减所以，所以， 所以. （方法二）由B知，因为， 所以当时，，所以.， 所以当时， ， 又，所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助数列求通项及和的方法分析、探讨，从而解决问题. 三、非选择题 19．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)已知数列{an}满足,且其前62项的和为1885，则 ． 【答案】88 【分析】根据题意，分类讨论为奇数和偶数时的通项关系式，分组求和可计算出，再根据已知结论求解. 【详解】当n为偶数时，，两式相加，得. 当n为奇数时，，两式相减，得. 所以 ， 所以. 又，所以， 因为，所以，同理可得， 所以，而，所以. 故答案为：88. 20．(24-25高二上·江苏南京田家炳高级中学·期末)斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列可以用如下方法定义：，，若此数列各项除以的余数依次构成一个新数列，则 ． 【答案】 【分析】列举出数列的前几项，根据题意求出的前几项，即可判断出数列是以为周期的周期数列，进而即可求解. 【详解】因为， 所以数列为 此数列各项除以的余数依次构成的数列为 所以是以为周期的周期数列，则， 故答案为：. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于根据条件列出中的部分项，从而得出中的部分项，进而得出是以为周期的周期数列. 21．(24-25高二上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知数列前项和为，，且，则 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，结合前项和的意义，求出即可得解. 【详解】在数列中，由，得，则， 由，得， ，所以. 故答案为： 22．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，使得需要 步雹程；若，则所有可能的取值集合 . 【答案】 7 【分析】根据题中条件，由，根据数列的递推公式，逐步计算，即可得出结果；由，根据递推公式，逐步计算，即可得出集合M. 【详解】当时，则按运算法则得到：，使得需要7步雹程； 依题意，为正整数， 若，由，解得； 当时，由，解得， 当时，由，解得或， 当时，由，解得， 当时，由，解得， 当时，由，解得， 当时，由，解得或， 当时，由，解得或， 当时，由，解得， 当时，由，解得， 当时，由，解得， 当时，由，解得， 当时，由，解得或， 当时，由，解得或， 所以则m所有可能的取值集合M为 故答案为：7；. 【点睛】思路点睛：由数列递推公式求数列中的项时，一般根据题中条件，由某一项的值，结合递推公式，逐步计算，即可得出结果. 23．(24-25高二上·江苏天一中学·期末)已知数列满足，，则的前20项和为 . 【答案】 【分析】根据递推公式分别计算各项求解前20项和即可. 【详解】数列满足，， 则 . 故答案为：. 24．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)设数列的前项和为，且，，.请写出一个满足条件的数列的通项公式 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题中条件，得到数列递减，且前项的和最大，直接写出适当的数列即可. 【详解】由，知，数列单调递减， 又，即最大，所以可取； 故答案为：(答案不唯一) 25．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)一点从起点P出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走步且不经过已走的路线和点共有种走法，如则 ，数列相邻三项的递推关系式为 .    【答案】 【分析】先根据题意求出，进而得到相邻项的关系式. 【详解】解 …… 故 即 故答案为： 26．(24-25高二上·江苏连云港·期末)已知数列中，，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 27．(24-25高二上·江苏南京五校联盟·期末)已知数列满足，若，则 . 【答案】 【分析】根据递推公式代入求，再代入求. 【详解】因为，所以，，所以，． 故答案为： 28．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)已知等差数列的首项为1，，数列的前项和为，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设出等差数列的公差，由等差数列的通项整理等式，可得的通项，利用前项和与末项的关系，结合累乘法，再验首项，可得的通项； （2）利用错位相减法可得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，则， 化简可得，由，则，所以； 由，则（），两式相减可得， 所以（），当时，， 可得，则（），显然可使上式成立， 所以. （2）由题意可得， 则， 两式相减可得， 则， 所以. 29．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)设数列的前n项和为，， (1)证明：数列为等比数列; (2)求数列的通项公式，并求数列的最大项; (3)是否存在正整数p，q，且，使得，，成等差数列?若存在，求p，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)，最大项为 (3)存在， 【分析】（1）由可得，配凑后可证为等比数列； （2）根据数列的单调性可求数列的最大项； （3）根据等差中项可得，故可得，从而可得或，代入计算后可得的值. 【详解】（1）①，②， ②-①，， 故， 而在①中令，又， ，， 是首项为1，公比为的等比数列. （2）由（1）得，， 则， 所以数列是以首项为，公差为1的等差数列. 所以，解得 由，解得， 所以， 所以数列的最大项为 （3）由，，成等差数列，得 因为，所以，所以 又，， 显然，不成立， ，不成立， 所以，若p存在，或 当时，，即， 当时，，即 而， 根据数列的单调性，当时，，所以q无解. 综上，存在，，使得，，成等差数列. 【点睛】思路点睛：对于与数列有关的方程的整数解问题，我们可以通过不等式的性质确定出参数满足的范围，再利用代入检验法求出参数的值. 30．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)在数列中，按照下面方式构成：，，，其中表示数列中最大的项. (1)若数列的前4项分别为，求数列的前4项； (2)若满足，且. ①求的值； ②求的前项和. 【答案】(1) (2)①392；② 【分析】（1）根据题意求，即可得结果； （2）根据题意分析可知数列是以首项和公比均为的等比数列，进而可得.①结合题意即可得；②根据题意可得的通项公式，利用分组求和法结合错位相减法运算求解. 【详解】（1）因为数列的前4项分别为， 则， 所以的前4项分别为 （2）因为，即， 且，可知数列是以首项和公比均为的等比数列， 则，所以. ①当为奇数时，； 当为偶数时，，可知数列为递增数列， 可知， 所以； ②当时，； 当时，， （i）当为奇数时， ， 令， 作差得 ， 所以； 经检验也满足上式，所以； （ii）当为偶数时，； 综上所述：. 【点睛】方法点睛：1.错位相减法的关注点 （1）适用题型：等差数列与等比数列对应项相乘型数列求和； （2）步骤：①求和时先乘以数列的公比；②把两个和的形式错位相减；③整理结果形式． 2.分奇偶的求和问题 如果数列的奇数项与偶数项有不同的规律，当n为奇数或偶数时的表达式不一样，因此需要分奇偶分别求. 地 城 考点02 等差数列 一、单选题 31．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)在1和7之间插入m个数，使得这m+2个数成等差数列.若这m个数中第1个为x，第m个为y，则的最小值是（   ） A． B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】由题意可得，利用基本不等式1的代换，可求的最小值. 【详解】由等差数列的性质得，且， 则 =≥=， 当且仅当，即时取等号，即的最小值是 故选：A. 32．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)设等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．6 B．20 C．25 D．30 【答案】D 【分析】利用等差数列前n项和与通项公式即可求得结果. 【详解】因为，所以，解得， 则. 故选：D 33．(24-25高二上·江苏扬州·期末)设等差数列的前项和为，已知，，则（   ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【分析】由等差数列性质通过，求得，进而可求解； 【详解】由是等差数列，， 可得：，， ，所以， 所以， 故选：B 34．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)设为等差数列前n项和，若，则(    ) A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质结合求和公式即可求解. 【详解】依题意为等差数列前n项和，若， 解得，所以. 故选：C. 35．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)等差数列的前n项和为，若，，则等差数列的公差为（ ） A．2 B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】利用等差数列前n项和公式及等差数列的性质可得，再应用等差数列通项公式求公差. 【详解】由题设，则， 所以等差数列的公差. 故选：B 36．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，100，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则数列的各项之和为（   ） A．438 B．450 C．254 D．278 【答案】B 【分析】根据题意求出两个数列相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可. 【详解】由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列： 2，14，26，…，98，是公差为12，项数为9的等差数列， 故新数列的各项之和为. 故选：B. 37．(24-25高二上·江苏南京五校联盟·期末)在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以数列的前6项之和为. 故选：C 二、多选题 38．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)设等差数列的前项和 ，则（   ） A．该数列的公差为 B． C．有最小值 D．有最小值 【答案】AC 【分析】利用、关系先求出通项公式，由此判断A、B，再利用数列函数的性质判断C、D. 【详解】设等差数列的公差为，因为 ， ， 当时，有， 得 ， 检验符合上式，所以， 对于A，，A正确， 定义B，，B错误， 对于C，根据 ， 可知时，有最小值， 所以C正确，D错误. 故选：AC 39．(19-20高二下·江苏盐城·)设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（   ） A．时，取最大值 B． C．若， D．若时， 【答案】BC 【分析】首先根据得到，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】等差数列中， ∵，∴，解得， 对选项A，因为， 所以， 因为无法确定的正负性，所以无法确定是否有最大值，故A错误， 对选项B，，故B正确， 对选项C，因为，所以，故C正确， 对选项D，，， ∵，∴、，，故D错误， 故选：BC. 40．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)已知是各项均为正数的等比数列，公比为，前项和为，且，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列是等比数列 C．数列是公差为1的等差数列 D．数列的前项和不超过 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，求出数列的首项公比，再逐项求解判断得解. 【详解】等比数列中，，而，则数列单调递减， 由，得，又，解得， 对于A，，解得，A正确； 对于B，，数列不是等比数列，B错误； 对于C，，则， ，数列是公差为1的等差数列，C正确； 对于D，，数列的前项和， ，D正确. 故选：ACD 41．(24-25高二上·江苏徐州·期末)若数列的通项公式为，前项和为，则（    ） A． B．数列中存在三项成等比数列 C．数列是公差为1的等差数列 D．数列的前项和为 【答案】BD 【分析】根据条件可得数列是以2为首项，2为公差的等差数列，表示可得选项A错误；根据可得选项B正确；根据可得选项C错误；利用裂项相消法可得选项D正确. 【详解】由得，， ∴数列是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴. A. ，选项A错误. B．由题意得，， ∴，即成等比数列，选项B正确. C.∵，∴， ∴数列是公差为的等差数列，选项C错误. D.∵， ∴数列的前项和为，选项D正确. 故选：BD. 42．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)已知等差数列满足，记为的前项和，则下列说法正确的是（    ） A． B．是递增数列 C．当时，取得最小值 D．使得的的最小值为13 【答案】BC 【分析】根据给定条件可得，公差，再结合等差数列性质及前项和公式逐项判断即可. 【详解】由，得，等差数列的公差， 对于B，数列是递增数列，B正确； 对于AC，数列的前7项都为负，从第8项起为正， 因此，当时，取得最小值，A错误，C正确； 对于D，，因此使得的的最小值不为13，D错误. 故选：BC 三、非选择题 43．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)在无穷等差数列中，若，且，则 ． 【答案】0 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式求出，进而求出答案. 【详解】设等差数列的公差为， 所以， 故. 故答案为：0. 44．(24-25高二上·江苏扬州·期末)设数列的前项和为，已知则 ． 【答案】 【分析】利用数列前项和与通项关系转化所求为连续项和式，令由前几个连续和发现规律，猜想并证明再应用结论求解即可. 【详解】. 由， ， 猜想：. 下面用数学归纳法证明：若，则对任意自然数，成立. 证明：当时，由上可知命题成立； 假设当时，， 则当时， 所以当时，命题也成立. 综上所述，对任意自然数，. 故. 故答案为：. 45．(24-25高二上·江苏泰州·期末)设数列的前n项和为，若数列为各项均为正数的等差数列，成等比数列，其中m为正整数，则 ． 【答案】96 【分析】令的公差为，由等差数列片段和的性质及已知可得，再应用等比中项的性质得求得，，最后应用等差数列前n项和公式求. 【详解】令的公差为，由题设， 且为等差数列且公差为，则， 由成等比数列，则， 所以且m为正整数，，可得，，则， 所以. 故答案为：96 46．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)在等差数列中，已知，，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求解. 【详解】在等差数列中，由，得，即， 解得，而，所以. 故答案为： 47．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)数列的通项公式为，则它的前6项和为 . 【答案】147 【分析】根据数列通项公式特点，运用分组求和，利用等差（等比）数列求和公式计算即得. 【详解】因，则该数列的前6项和为： . 故答案为：147. 48．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)已知数列和，数列的前n项和，（），数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3). 【分析】（1）由求出数列的通项，再根据等差数列的定义判断即可； （2）将代入求出，进一步求得，利用错位相减法求解； （3）判断数列的单调性，求出最大项得解. 【详解】（1）当时，； 当时，. 又也符合上式，所以（）. 因为， 所以数列是等差数列. （2）由，得， 故， ， 则， 两式相减得 ， 即. （3）因为， 当时，，即，当时，易得， 所以，故是数列中的最大项，且. 要使对一切恒成立，只需即可， 故实数m的取值范围为. 49．(24-25高二上·江苏宿迁中学·期末)已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是的等比中项，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用基本量，结合题意，列出方程组，求得以及公差，即可求得两个数列的通项公式； （2）根据（1）中所求，利用裂项求和法，即可求得. 【详解】（1）设的公差为，因为是的等比中项，故， 即， 整理得：，又，故可得； 又，即，故，， 解得，，； 故，. （2）由（1）可知，，故， 故 . 故数列的前项和 . 50．(24-25高二上·江苏扬州·期末)设等差数列的前项和为，已知，，求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用等差数列的通项公式、前n项和公式及已知列方程求基本量，即可得的通项公式； （2）应用分组求和、裂项相消法求. 【详解】（1）等差数列中，由，得，由，得， 联立，解得，所以； （2）因为， 所以， 整理得. 51．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)已知为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.数列的前项和为. ①求数列的通项公式； ②若，则在数列中是否存在3项，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②不存在，理由见解析. 【分析】（1）由可得； （2）①由等差数列可得，进而可得； ②根据错位相减法可得，进而可得，由，，得，进而可得. 【详解】（1）当时，，得， 当时，，得， 故为首项为，公比为的等比数列，故. （2）由题意，得，得. 由可得， 故， ， 上面两式相减可得， 得， ， 由题意，， 得， 得，化简得，得， 这与成等差数列相矛盾， 故不存在这样的3项. 52．(24-25高二上·江苏常州·期末)已知等差数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)若，求前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可. （2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）因为是等差数列，设其公差为， 由题知，解得， 所以的通项公式为. （2）由题知， 所以. 地 城 考点03 等比数列 一、单选题 53．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A．7 B． C． D． 【答案】D 【分析】设数列的公比为，由已知可得，进而计算，得解. 【详解】设数列的公比为，则，即， 所以. 故选：D. 54．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)已知等比数列中，，，则（    ） A．9 B． C．81 D． 【答案】A 【分析】利用该性质找到与、的关系，再结合等比数列奇数项或偶数项符号相同来确定的值. 【详解】在等比数列中，根据等比数列性质，即. 已知，，那么. 由，可得. 因在等比数列中，偶数项的符号相同，，，所以，故. 故选：A. 55．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)已知为等比数列的前项和，且，，则数列的公比为（   ） A．1 B． C．1或2 D．1或 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用数列前项和的意义，结合等比数列通项列式求解. 【详解】在等比数列中，由，，得，则， 所以或. 故选：D 56．(24-25高二上·江苏徐州·期末)在等比数列中，若，则的公比为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式计算可得结果. 【详解】设数列的公比为， 由得，，解得. 故选：C. 57．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)已知正项等比数列的前项和为，则（    ） A．9 B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用给定条件求出等比数列的基本量，再利用等比数列求和公式求解目标式取值即可. 【详解】设公比为，因为，， 所以，解得， 而正项等比数列的前n项和为， 得到，故C正确. 故选：C 二、多选题 58．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知数列的首项，则下列说法中正确的有（   ） A．若是公差为2的等差数列，则是以5为首项，4为公差的等差数列 B．若是公差为2的等差数列，则是以9为首项，3为公比的等比数列 C．若是公比为3的等比数列，则是以8为首项，3为公比的等比数列 D．若是公比为3的等比数列，则是以为首项，1为公差的等差数列 【答案】AD 【分析】由等差数列，等比数列的通项公式逐项判断即可； 【详解】对于A：易得，所以，即以5为首项，4为公差的等差数列，正确； 对于B：易得，所以，是以9为首项，9为公比的等比数列，错误； 对于C：易得，所以，是以12为首项，9为公比的等比数列，错误； 对于D，易得，所以，以为首项，1为公差的等差数列，正确； 故选：AD 59．(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知数列满足，且是公比为的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意写出前7项，观察归纳得到，，再应用数学归纳法证明判断A、B；应用裂项相消法、放缩法证明不等式判断C、D. 【详解】由，且是公比为的等比数列， 所以为，为，为，， 由上观察归纳有，，显然时，满足， 若时，成立， 又是公比为的等比数列， 则，， 所以，有，满足归纳结论， 综上，，，A错，B对； 由，则，C对； 由 ，D对. 故选：BCD 60．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，则（ ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等比数列 【答案】ACD 【分析】根据等比数列的通项公式，可以求出数列的通项公式，代入选项计算可得答案. 【详解】A，由题意得，所以是常数列，故是首项为2，公差为0的等差数列，故A正确； B，由，所以是首项为1，公比为2的等比数列，故B错误； C，由， 所以数列是首项为0，公差为的等差数列，故C正确； D，由， 所以是首项为2，公比为4的等比数列，故D正确. 故选：ACD 61．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)已知各项均为正数的等比数列的公比为q，，，则（    ） A． B． C． D．数列的前n项和为 【答案】ABD 【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式，对数的运算性质、等差数列的定义和前项和公式逐一判断即可. 【详解】A：由，， 因为各项均为正数的等比数列的公比为q，所以， 于是由，，或， 当时，， 当时，不符合题意，因此本选项正确； B：因为，所以本选项正确； C：，， 所以，因此本选项不正确； D：，显然数列是等差数列， 因此数列的前n项和为，所以本选项正确， 故选：ABD 三、非选择题 62．(24-25高二上·江苏句容·期末)已知等比数列的前n项和为，且，则 ． 【答案】14 【分析】根据题意，利用等比数列的性质，得到也成等比数列，列出方程，即可求解． 【详解】由等比数列满足，可得等比数列的公比， 根据等比数列的性质，可得也成等比数列， 即， 得， 解得． 故答案为： 63．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)设数列的前n项和为，若数列与均为等比数列，且公比相等，则实数 . 【答案】/ 【分析】设数列 的公比为q，由题设列出的前三项，利用公比相等建立方程组求出q，即可得答案. 【详解】设数列的公比为q， 由题意，，，， 所以，即， 所以，即，所以或， 当时，不是等比数列，不合题意； 当，时， 此时，， 故与均为等比数列，且公比相等且为，符合题意； 所以. 故答案为： 64．(24-25高二上·江苏徐州·期末)若将公比不为1的等比数列，，调整顺序后为等差数列，则的一个值为 . 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】根据等比数列的通项公式列出调整顺序后的数列满足等差数列的等式，进而求出公比的值. 【详解】设等比数列为，调整顺序后为等差数列有以下几种可能情况： 情况一：为等差数列， 根据等差数列性质，， 因为（等比数列首项不为），得到， 解得或，因为，所以， 情况二：为等差数列， 则，得，解得或，因为，所以， 情况三：为等差数列， 则，得，解得或，因为，所以， 综上所得，的一个值为或. 故答案为：（或，答案不唯一）. 65．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)将数列与的所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列，其前n项的和为，则 ， ． 【答案】 6 15660 【分析】先求的前4项，确定数列的第108项大小为324，从而可根据数列的第8项与第9项的数值来确定的值. 【详解】数列中，， 数列的第108项为，而数列的第8项为，第9项， 数列其前n项的和为，等差数列算到是的第100项时，包含恰好的前8项， ∴． 故答案为：6；15660. 66．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)设是公比为的等比数列，为其前n项和，若成等差数列，则 . 【答案】/ 【分析】应用等差中项及等比数列前n项和可得，即可求公比. 【详解】由题设，则，整理得， 所以. 故答案为： 67．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)在数列中， (1)证明：数列是等比数列． (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由题设得，结合等比数列定义即可得证； （2）由（1）求出数列的通项公式，再由等差、等比数列前n项和公式即可计算得解. 【详解】（1）由得，， 所以数列为首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，则， . 68．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差、公比的方程组，求解即可得通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差、等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q， 由，得，而，解得，， 所以， （2）由（1）得，，设数列的前n项和为， 则 69．(24-25高二上·江苏连云港·期末)设数列满足递推关系：，且. (1)设，证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，得到数列的递推关系式，由等比数列定义得证； （2）由数列的通项公式得数列的通项公式，再利用分组求和法求和. 【详解】（1）因为，而， 所以， 又因为所以，则， 由以上可得，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，， 所以即， 则数列的前项和， 所以. 地 城 考点04 数列求和 一、单选题 70．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)已知正项等比数列中，若存在两项、，使，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式与性质得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】由于，，， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 71．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ） A．3盏 B．5盏 C．7盏 D．9盏 【答案】A 【分析】设塔顶共有灯盏，根据题意，各层灯数构成以为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列求和公式计算可得. 【详解】设塔顶共有灯盏，根据题意，各层灯数构成以为首项，2为公比的等比数列， 所以，解得. 故选：A. 72．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)记为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．1或 D．或 【答案】B 【分析】先判断，再运用等比数列求和公式化简方程，求得，利用等比数列通项公式化简所求式即得. 【详解】设等比数列的公比为，若，则，故， 则由可得：， 因，可将其化简为：，即， 解得（舍去）或.则. 故选：B. 73．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)已知等比数列的公比为2，且前n项和为，，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 【答案】B 【分析】根据等比数列的求和公式得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 74．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知无穷数列的通项公式为，其前项和为，若对于任意，有恒成立，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，分为偶数和奇数讨论，当为偶数时，可得，当为奇数时，可得，结合条件分析得解. 【详解】因为， 当为偶数时， ， 且时，； 当为奇数时， ， 且时，； 由对任意，， 故当为偶数时，；当为奇数时，， 则实数只能为1. 故选：B. 75．(24-25高二上·江苏南京田家炳高级中学·期末)已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】因为①， 当时，②， 由①②得到，得到， 又时，，满足，所以，则， 所以， 则数列的前项和为， 故选：D. 76．(24-25高二上·江苏南京金陵中学·期末)已知数列满足，，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用递推公式可求得数列的通项公式，再由裂项相消法可求出. 【详解】根据，可知，因此可得为常数； 即数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以，即； 因此； 可知数列的前项和. 故选：A 77．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)南宋数学家杨辉在《解析九章算法•商功》一书中记载的三角垛､方垛､刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，用累加法求得，从而得，再利用裂项相消法求解即可. 【详解】由题意可得，，，，， 于是有， 所以，，， ，，， 将以上个式子相加，得， 所以， 所以 . 故选：D. 78．(24-25高二上·江苏连云港新海高级中学·期末)已知数列满足，，若为数列的前项和，则（   ） A．624 B．625 C．626 D．650 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式，按奇偶分类求和即得. 【详解】数列中，，， 当，时，，即数列的奇数项构成等差数列， 其首项为1，公差为2，则， 当，时，，即数列的偶数项构成等比数列， 其首项为1，公比为，则， 所以. 故选：C 二、多选题 79．(24-25高二上·江苏南京五校联盟·期末)已知数列是公差为的等差数列，是公比为的正项等比数列.记，，，，则（   ） 参考公式：. A．当时， B．当时， C． D． 【答案】BD 【分析】根据等差数列、等比数列的性质及求和公式一一计算即可. 【详解】A项，由为公比为的正项等比数列， 则当时，， ，显然时，，故A错误； B项，由数列为公差为的等差数列， 则， 所以， 解得， 即，故B正确； C项，由为公比为的正项等比数列，可得， 所以， 故， 所以， ， 故，当且仅当时取得等号；综上可得，故C错误； D项，由题意得，， 则， 故 ， 故裂项可得：， 所以 ，故D正确； 故选：BD 【点睛】关键点点睛：C项的关键在于化简得，利用倒序相加法转化为求解的最值，利用基本不等式求最值即可得；D项的关键在于利用条件化简得，再用裂项相消求和判定不等式. 80．(24-25高二上·江苏南京金陵中学·期末)数列满足，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C．数列的前项和为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】根据的关系式可得，即A正确，再由分组并项求和计算可得B错误，利用等差数列前项和公式计算可得C错误，由判断出其符号即可得D正确. 【详解】对于A，由，得①， 当时，；当时，②， 由①－②，得，解得 ， 当时也成立，所以，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，数列的前项和为，故C错误； 对于D，因为，当时，，当时，，且， 故当或9时，的前项和取最小值，最小值为，故D正确. 故选：AD. 81．(24-25高二上·江苏南京金陵中学·期末)已知是正项等比数列，是等差数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于的等式，可求出的值，进而可求出、的值，再结合等比和等差数列的通项公式可求出数列和的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由题意可得，即，即， 因为，解得，故， ，所以，， 故. （2）因为， 则， 可得， 上式下式可得 ， 化简得. 82．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)已知公差不为0的等差数列{ }的前n项和为，且成等比数列，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为 Tn，若对一切恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用等比数列的基本性质及等差数列的通项公式求出首项和公差,进而求出数列的通项公式; (2)利用裂项相消法求和，求得，然后作差法判断的单调性，以及结合，求得，然后根据恒成立建立不等式组，从而得解. 【详解】（1）设等差数列{ }的公差为， 由题意知： 解方程组得，所以， 即 （2）， ， 单调递增，， 又 若使得对一切恒成立，则，解得， ∴实数m的取值范围是． 83．(24-25高二上·江苏南通·期末)已知等差数列的前项和为，公差不为成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式以及等比数列的性质，求出首项和公差，由此能求出通项． （2）利用裂项相消法求出数列的前项和即可证明． 【详解】（1）依题意得，且，化简得， 解得； （2）， 则 84．(24-25高二上·江苏常州·期末)已知，，其中. (1)时，求的最大值； (2)时，记，求数列前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由展开式的通项以及求出，再通过不等式法解出系数最大项即可； （2）代入，通过赋值法令得到，进而得，再利用错位相减法即可求得. 【详解】（1）由题知 ， 所以.   ， 由得 ，化简得，解得 因为，所以. 所以的最大值为. （2） 时，， 令，得， ∴.   则， ， ∴ 所以. 85．(24-25高二上·江苏徐州·期末)已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）运用与关系式计算即可;（2）运用错位相减法计算即可. 【详解】（1）因为，当时，，所以， 当时，， 所以，即. 又，所以，从而数列为公比为2的等比数列， 所以. （2）由（1）得，所以. 所以， ， 两式相减得 所以. 因为，所以，所以. 三、非选择题 86．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢?”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列的和.然而，“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究. (1)若a=3，b=4，求S₆的值; (2)若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，求该垛积最上层的小球个数ab; (3)三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，…，设第n层放mn个物体堆成的堆垛（如图2所示），利用上述材料，求从上往下n层三角垛的物体总数Tn. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用“隙积术”， 代入公式直接计算. （2）用表示，再利用公式建立方程并求出正整数解即可. （3）求出第所放物体数，再将各层物体数乘以2，利用“隙积术”求解即可. 【详解】（1）依题意，，则， 所以. （2）依愿意，， 由给出的公式，得， 即，整理得， 而为正整数，又，则， 而，则是30的正约数，因此或， 或，所以. （3）依题意，第所放物体个数为， 从上往下n层三角垛，将每层所放物体数乘以2， 从上往下各层物体数依次为：，物体总数为， 此时，项数为， ， 所以. 【点睛】关键点点睛：正确理解“隙积术”的意义，确定公式中的各量是求解的关键. 87．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）当时，可得，进而两式相减，可得，进而可得是等比数列，可求通项公式； （2）利用裂项相消法可求得，进而可证结论. 【详解】（1）当时，；当时，； 当时，，可得， 两式相减并整理得，所以. 又，所以，又，满足上式， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）知=， 所以 . 因为，所以递增，所以，即. 88．(24-25高二上·江苏句容·期末)已知数列的前n项和为，． (1)证明数列为等比数列并求数列的通项公式； (2)若______，且，求满足条件的最大整数n． 请在①；②这两个条件中任意选择一个填入上面横线处，并完成解答． 【答案】(1)证明见解析， (2)选择，；选择， 【分析】（1）构造数列等式作差可以判断等比数列，即可求出数列的通项公式； （2）设， 选条件①：则，利用错位相差法求和进行判断即可； 选条件②：则，利用裂项相消法求和进行判断． 【详解】（1）由，① 当时，得，得， 当时，得，② 由①－②得， 得， 得，即， 而，故， 得数列为等比数列，首项为，公比为3， 得， 得． （2）设， 选条件①：则， 令， 则， 两式相减，得， 得， 则， 显然数列单调递增， 得，， 故满足条件的最大整数； 选条件②：则， 则 ， 显然数列单调递增， 得， 故满足条件的最大整数． 89．(24-25高二上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，可得①， 由可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以，. （2）因为，则， 所以，， ， 上式下式得 ， 因此，. 十四、解答题 90．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)已知. (1)若，求的值； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)9； (2). 【分析】（1）利用二项式定理求出，进而列式求出值. （2）利用赋值法求出，再利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求出. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）当时，，则，， 所以数列的前项和. 91．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)设，是数列的前项和，存在，使成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据二次函数的导函数及所过的点可得，进而有，应用的关系求数列的通项公式； （2）利用裂项相消法得 ，根据数列不等式能成立，讨论的奇偶性求参数范围. 【详解】（1）设二次函数且，则，故， 所以，又函数经过坐标原点，则，故， 又点均在函数的图象上，所以， 当，则，故，显然也满足， 所以； （2）由（1）， 所以， 由在上能成立， 当为奇数时，因为，所以； 当为偶数时，因为，所以； 存在，使能成立，只需或， 即. 92．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)已知数列的其前项的和，正项数列满足，且． (1)求、； (2)设，证明数列为等比数列； (3)求的前项的和． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据可求出数列的通项公式；分析可知，数列为等比数列，设数列的公比为，根据题中条件可得出、的方程组，解出这两个量的值，即可得出等比数列的通项公式； （2）化简的表达式，结合等比数列的定义可证得结论成立； （3）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）因为数列的其前项的和， 当时，； 当时，， 所以； 当时，也满足，所以． 因为正项数列满足，所以是等比数列， 设的公比为，由， 可得，解得，故． （2）又， 所以 ， 所以，所以是以为首项，为公比的等比数列． （3）令，                其前项和，① ，② ②得， ， 因此，． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列 4大高频考点概览 考点01 数列的概念与简单表示法 考点02 等差数列 考点03 等比数列 考点04 数列求和 地 城 考点01 数列的概念与简单表示法 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)已知数列的首项，且 （），则这个数列的第4项是（   ） A． B． C． D．3 2．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)已知等比数列{an}的前n项和为 Sn，且，则（   ） A．24 B．16 C．8 D．无法确定 3．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)已知数列满足：，，则（    ） A．3 B． C． D． 5．(24-25高二上·江苏南通·期末)在等比数列中，，则（    ） A． B．1 C． D．无法确定 6．(24-25高二上·江苏天一中学·期末)在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·江苏常州·期末)数列中，（），则（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高二上·江苏南京文枢高级中学·期末)数列2，，6，，…的通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)数列满足，，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．(24-25高二上·江苏南京文枢高级中学·期末)已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 11．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知数列共有项（为不小于5的正整数），且．若对于任意正整数，有，则称该数列为“反比数列”.记“反比数列”的前项和为，前项乘积为，则下列说法正确的有（　　） A． B． C．中不可能出现连续五项构成等比数列 D．当时，，则的最大值为 12．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)已知数列满足，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 13．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)已知数列{an}的前n项和为，则下列说法正确的是 （   ） A． B．数列 {an}是递减数列 C．数列{Sₙ}的最小项为S₂₂和S₂₃ D．满足的最大正整数n=22 14．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)已知数列满足，，设其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 15．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)已知数列的前项和为，，，则（ ） A． B． C． D． 16．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)已知数列的前n项和为且则（    ） A． B． C． D．数列的前n项和为 17．(24-25高二上·江苏天一中学·期末)数列满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 18．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)已知数列满足，，则（   ） A． B．是递增数列 C． D． 三、非选择题 19．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)已知数列{an}满足,且其前62项的和为1885，则 ． 20．(24-25高二上·江苏南京田家炳高级中学·期末)斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列可以用如下方法定义：，，若此数列各项除以的余数依次构成一个新数列，则 ． 21．(24-25高二上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知数列前项和为，，且，则 . 22．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，使得需要 步雹程；若，则所有可能的取值集合 . 23．(24-25高二上·江苏天一中学·期末)已知数列满足，，则的前20项和为 . 24．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)设数列的前项和为，且，，.请写出一个满足条件的数列的通项公式 . 25．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)一点从起点P出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走步且不经过已走的路线和点共有种走法，如则 ，数列相邻三项的递推关系式为 .    26．(24-25高二上·江苏连云港·期末)已知数列中，，则 . 27．(24-25高二上·江苏南京五校联盟·期末)已知数列满足，若，则 . 28．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)已知等差数列的首项为1，，数列的前项和为，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 29．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)设数列的前n项和为，， (1)证明：数列为等比数列; (2)求数列的通项公式，并求数列的最大项; (3)是否存在正整数p，q，且，使得，，成等差数列?若存在，求p，若不存在，说明理由. 30．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)在数列中，按照下面方式构成：，，，其中表示数列中最大的项. (1)若数列的前4项分别为，求数列的前4项； (2)若满足，且. ①求的值； ②求的前项和. 地 城 考点02 等差数列 一、单选题 31．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)在1和7之间插入m个数，使得这m+2个数成等差数列.若这m个数中第1个为x，第m个为y，则的最小值是（   ） A． B．4 C．3 D． 32．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)设等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．6 B．20 C．25 D．30 33．(24-25高二上·江苏扬州·期末)设等差数列的前项和为，已知，，则（   ） A．50 B．60 C．70 D．80 34．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)设为等差数列前n项和，若，则(    ) A．0 B．3 C．6 D．9 35．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)等差数列的前n项和为，若，，则等差数列的公差为（ ） A．2 B． C．1 D．3 36．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，100，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则数列的各项之和为（   ） A．438 B．450 C．254 D．278 37．(24-25高二上·江苏南京五校联盟·期末)在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 二、多选题 38．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)设等差数列的前项和 ，则（   ） A．该数列的公差为 B． C．有最小值 D．有最小值 39．(19-20高二下·江苏盐城·)设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（   ） A．时，取最大值 B． C．若， D．若时， 40．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)已知是各项均为正数的等比数列，公比为，前项和为，且，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列是等比数列 C．数列是公差为1的等差数列 D．数列的前项和不超过 41．(24-25高二上·江苏徐州·期末)若数列的通项公式为，前项和为，则（    ） A． B．数列中存在三项成等比数列 C．数列是公差为1的等差数列 D．数列的前项和为 42．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)已知等差数列满足，记为的前项和，则下列说法正确的是（    ） A． B．是递增数列 C．当时，取得最小值 D．使得的的最小值为13 三、非选择题 43．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)在无穷等差数列中，若，且，则 ． 44．(24-25高二上·江苏扬州·期末)设数列的前项和为，已知则 ． 45．(24-25高二上·江苏泰州·期末)设数列的前n项和为，若数列为各项均为正数的等差数列，成等比数列，其中m为正整数，则 ． 46．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)在等差数列中，已知，，则 . 47．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)数列的通项公式为，则它的前6项和为 . 48．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)已知数列和，数列的前n项和，（），数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数m的取值范围. 49．(24-25高二上·江苏宿迁中学·期末)已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是的等比中项，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 50．(24-25高二上·江苏扬州·期末)设等差数列的前项和为，已知，，求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前项和． 51．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)已知为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.数列的前项和为. ①求数列的通项公式； ②若，则在数列中是否存在3项，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 52．(24-25高二上·江苏常州·期末)已知等差数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)若，求前n项和. 地 城 考点03 等比数列 一、单选题 53．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A．7 B． C． D． 54．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)已知等比数列中，，，则（    ） A．9 B． C．81 D． 55．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)已知为等比数列的前项和，且，，则数列的公比为（   ） A．1 B． C．1或2 D．1或 56．(24-25高二上·江苏徐州·期末)在等比数列中，若，则的公比为（    ） A． B． C．2 D． 57．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)已知正项等比数列的前项和为，则（    ） A．9 B． C．3 D．2 二、多选题 58．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知数列的首项，则下列说法中正确的有（   ） A．若是公差为2的等差数列，则是以5为首项，4为公差的等差数列 B．若是公差为2的等差数列，则是以9为首项，3为公比的等比数列 C．若是公比为3的等比数列，则是以8为首项，3为公比的等比数列 D．若是公比为3的等比数列，则是以为首项，1为公差的等差数列 59．(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知数列满足，且是公比为的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 60．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，则（ ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等比数列 61．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)已知各项均为正数的等比数列的公比为q，，，则（    ） A． B． C． D．数列的前n项和为 三、非选择题 62．(24-25高二上·江苏句容·期末)已知等比数列的前n项和为，且，则 ． 63．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)设数列的前n项和为，若数列与均为等比数列，且公比相等，则实数 . 64．(24-25高二上·江苏徐州·期末)若将公比不为1的等比数列，，调整顺序后为等差数列，则的一个值为 . 65．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)将数列与的所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列，其前n项的和为，则 ， ． 66．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)设是公比为的等比数列，为其前n项和，若成等差数列，则 . 67．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)在数列中， (1)证明：数列是等比数列． (2)求数列的前n项和． 68．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 69．(24-25高二上·江苏连云港·期末)设数列满足递推关系：，且. (1)设，证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 地 城 考点04 数列求和 一、单选题 70．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)已知正项等比数列中，若存在两项、，使，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 71．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ） A．3盏 B．5盏 C．7盏 D．9盏 72．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)记为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．1或 D．或 73．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)已知等比数列的公比为2，且前n项和为，，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 74．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知无穷数列的通项公式为，其前项和为，若对于任意，有恒成立，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 75．(24-25高二上·江苏南京田家炳高级中学·期末)已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 76．(24-25高二上·江苏南京金陵中学·期末)已知数列满足，，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 77．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)南宋数学家杨辉在《解析九章算法•商功》一书中记载的三角垛､方垛､刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（    ） A． B． C． D． 78．(24-25高二上·江苏连云港新海高级中学·期末)已知数列满足，，若为数列的前项和，则（   ） A．624 B．625 C．626 D．650 二、多选题 79．(24-25高二上·江苏南京五校联盟·期末)已知数列是公差为的等差数列，是公比为的正项等比数列.记，，，，则（   ） 参考公式：. A．当时， B．当时， C． D． 80．(24-25高二上·江苏南京金陵中学·期末)数列满足，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C．数列的前项和为 D．的最小值为 81．(24-25高二上·江苏南京金陵中学·期末)已知是正项等比数列，是等差数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 82．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)已知公差不为0的等差数列{ }的前n项和为，且成等比数列，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为 Tn，若对一切恒成立，求实数m的取值范围． 83．(24-25高二上·江苏南通·期末)已知等差数列的前项和为，公差不为成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，证明：. 84．(24-25高二上·江苏常州·期末)已知，，其中. (1)时，求的最大值； (2)时，记，求数列前项和. 85．(24-25高二上·江苏徐州·期末)已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 三、非选择题 86．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢?”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列的和.然而，“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究. (1)若a=3，b=4，求S₆的值; (2)若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，求该垛积最上层的小球个数ab; (3)三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，…，设第n层放mn个物体堆成的堆垛（如图2所示），利用上述材料，求从上往下n层三角垛的物体总数Tn. 87．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 88．(24-25高二上·江苏句容·期末)已知数列的前n项和为，． (1)证明数列为等比数列并求数列的通项公式； (2)若______，且，求满足条件的最大整数n． 请在①；②这两个条件中任意选择一个填入上面横线处，并完成解答． 89．(24-25高二上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 十四、解答题 90．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)已知. (1)若，求的值； (2)若，求数列的前项和. 91．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)设，是数列的前项和，存在，使成立，求的取值范围. 92．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)已知数列的其前项的和，正项数列满足，且． (1)求、； (2)设，证明数列为等比数列； (3)求的前项的和． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $