第12章全等三角形 单元综合练习题 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

2025-2026学年华东师大版八年级数学上册《第12章全等三角形》 单元综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 2．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则，， C．若，则 D．钝角三角形中有两个锐角 3．如图，已知，，如果只添加一个条件使，则添加的条件不能为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，平分交于点，，则点D到的距离是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，已知的面积为12，平分，且于，则的面积是（　　）    A．9 B．8 C．7 D．6 6．如图所示，，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理 ． 9．将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式是 ． 10．一个等腰三角形一边长为6，另一边长为4，则三角形的周长为 ． 11．如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于、交于，且，如果，，，那么的周长是 ． 12．如图，在中，，，垂足为，若，，求的长为 ． 13．如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，连接并延长至点，使得，连接，则四边形（阴影部分）的面积为 ． 14．如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点、，若为边的中点，为线段上一动点，则周长的最小值是 cm． 三、解答题 15．如图，给出下列等量关系：①，；②；③AF平分；请你以其中两个为条件，另一个为结论，写出一个正确命题，并加以证明． 16．如图，在中，，是的角平分线，于E，F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的值． 17．如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为19，求的长度； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 18．如图，在中，高线，，相交于点，，. (1)求的长； (2)是直线上的一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒，则是否存在值.使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值，若不存在，请说明理由． 19．在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点M，使，连．判断的形状，并说明理由； (3)如图3，若，，延长、交于N，当时，求的长． 20．已知在四边形中，，． (1)【问题背景】如图（1），连接，若，，求的长度； (2)【类比探究】如图（2），点P、Q分别在线段、上，满足，探究、、的数量关系，并证明； (3)【拓展应用】如图（3），若点Q在的延长线上，点P在DA的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为______． 参考答案 1．A 【分析】本题考查了判断是否是命题，根据①命题是一个判断的语句，必须是一个完整的句子；②命题的核心是“判断”，是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答，据此分析各选项． 【详解】解：∵ A“对顶角相等”是一个判断的语句，作出了肯定回答，∴ A是命题； ∵ B“a，b两条直线平行吗”是问句，不是判断的语句，∴ B不是命题； ∵ C“画一个角等于已知角”和D“过一点画已知直线的垂线”是描述操作的句子，不是判断的语句，∴ C、D不是命题． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了逆命题的真假判断，把原命题的题设和结论互换写出对应的逆命题，再判断真假即可得到答案． 【详解】解：A、原命题的逆命题为：若，则，这是一个假命题，不符合题意； B、原命题的逆命题为：若，，，则，这是一个假命题，不符合题意； C、原命题的逆命题为：若，则，这是一个真命题，符合题意； D、原命题的逆命题为：有两个锐角的三角形是钝角三角形，这是一个假命题，不符合题意； 故选：C． 3．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据全等三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A.根据，，，无法判定， 该选项符合题意； B.∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； C. ∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； D. ∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 角平分线上的点到角两边的距离相等．利用角平分线的性质进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， 过点作于点， 平分， ， 点 D到的距离是2， 故选B． 5．解：延长交于点E，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 6．解：∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 7．解：由题意得：， ， ， ， 在和中， ， ； ∴， ，即两堵木墙之间的距离为． 故选C． 8．“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 【分析】本题考查了逆定理，解题关键是掌握逆定理是通过交换原定理的题设和结论得到的．原定理的题设是“三角形是等腰三角形”，结论是“两个底角相等”，因此逆定理的题设应为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”． 【详解】解：原定理“等腰三角形的两个底角相等”的题设是“三角形是等腰三角形”，结论是“两个底角相等”， 则交换题设和结论后，得到逆定理“有两个角相等的三角形是等腰三角形”， 故答案为：“有两个角相等的三角形是等腰三角形”． 9．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的改写，理解命题的构成是解题的关键．根据命题的条件与结论即可改写． 【详解】解：将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式是如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 10．或14 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．因为边为4和，没说是底边还是腰，所以有两种情况，分类讨论即可． 【详解】解：当4为底时，其它两边都为， ∵， ∴、、4可以构成三角形， ∴周长为； 当为底时，其它两边都为4， ∵， ∴、4、4可以构成三角形， ∴周长为； 故答案为：或14． 11．32 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，对顶角的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 首先根据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可推得，根据等角对等边得出，结合对顶角相等和全等三角形的判定证明，根据全等三角形的性质得出的长，然后可求得的长，于是可求得的周长． 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴． ∴， ∵是的中点， ∴． ∵， ∴． 由对顶角相等可知：． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴的周长． 故答案为：32． 12． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内外角关系，解题的关键是正确地作出辅助线将所求线段转换到已知的线段长所在的三角形中进行等量代换求解．在上取一点，使，可知垂直平分， 得到，， 结合已知以及外角的性质，等量代换易得， 根据等角对等边得到的长， 进而根据可求得的长． 【详解】解：如图所示，在上取一点，使， ， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为： ． 13． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义，三角形面积，由是边的中点，则，证明，所以，通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14． 【分析】因为是的垂直平分线，所以，则，连接交于点，连接，此时值最小，即周长最小，最小值为，根据等腰三角形三线合一可知是的高，利用三角形面积可求出长，则题目可解． 【详解】解：∵，为边的中点， ∴， 若周长最小，只需最小， 是的垂直平分线， ， ， ∴连接交于点，连接，此时值最小等于， 为边的中点，， ， ，面积是， ， 周长最小值， 故答案为：． 15．见解析 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定以及角平分线的判定， 选取①②为条件，③为结论，先证明，进而可得，由角平分线判定即可证明结论； 选取①③为条件，②为结论，先证明，得，再证明即可得出结论． 【详解】选择（1）：①②为条件，③为结论， 即已知：如图，①，；②，那么③AF平分； 证明：∵，； ∴， 又∵，， ∴ ∴，， ∴， ∴，即， 又∵，； ∴AF平分； 选择（2）：①③为条件，②为结论， 即已知：如图，①，；③AF平分；那么②， ∵AF平分； ∴， ∵，； ∴， 又∵， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， 16．(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及角的平分线的性质，掌握全等三角形的判定与性质及角的平分线的性质是解题的关键． （1）由是的平分线，利用角的平分线的性质定理得到，再由得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，由，及（1）中等量代换即可求的长． 【详解】（1）证明：∵，是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， ∴． 17．(1) (2)点在边的垂直平分线上，证明见解析． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【详解】（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为19， ， ， ， ， ； （2）点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、，如图 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 18．(1) (2)当秒或4秒时，以点、、为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，适当的添加辅助线． （1）根据三角形的高得，根据角之间的关系得，用即可证明，根据全等三角形的性质得，即可得； （2）由题意得，，，，分情况讨论：时，，得，进行计算即可得，时，，得，进行计算即可得． 【详解】（1）证明：、是的高， ， ， ， 在和中，， ， ， ， . （2）解：存在. 理由：由题意得，，， ， ， ， 如图，当时，， ， 解得，； AI 如图，当时，， ， 解得，； 综上所述，当秒或4秒时，以点、、为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等. AI 19．(1)见解析 (2)为等边三角形，理由见解析 (3)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，再证明，得出，由等边对等角可得，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，，证明，得出，，，证明为等边三角形，得出，求出，即可得解； （3）证明，得出，即，再证明，即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：为等边三角形，理由如下： ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20．(1)5 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． （1）由已知可得，再根据全等三角形的性质可以得到解答； （2）如图2，延长，在上面找一点K，使得，连接，通过证得到：，，然后结合已知可以得到，根据全等三角形的性质可以得到要证结论； （3）如图3，在延长线上找一点K，使得，连接，构建全等三角形：，由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理证得：，则其对应角相等：，结合四边形的内角和是360度可以推得：． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5； （2）解：，理由如下： 证明：如图，延长，在上面找一点K，使得，连接， ∵， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ∴， ∴即； （3）解：，理由如下： 如图3，在延长线上找一点K，使得，连接， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $