精品解析：河北省石家庄市第九中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试题

2025-2026学年第一学期九年级中期学情检测数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 1. 关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（ ） A. 3，，2 B. 3，，2 C. 3，5x， D. 3，， 2. 若一元二次方程有一个根是，则m的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 4. 如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（ ） A. 3.82 B. 4.82 C. 6.18 D. 6.28 6. 如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接、、、． 若， 四边形的面积为．则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则k值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 8. 如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　） A. 4 B. 5 C. D. 9. 新年将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过，，三点作圆，点在第一象限部分的圆上运动，连结，过点作的垂线交的延长线于点，下列说法：①；②；③的最大值为10.其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 12. 如图，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们运动的速度都是．若点、点同时开始运动，设运动时间为的面积为，已知与之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当时，是等腰三角形；②；③当时，；④在运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有个；⑤与相似时，．对以上结论判断正确的是（　　） A. ①②④ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ②③⑤ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知、是方程的两个根，则________． 14. 如图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高是______m．     15. 如图．等边三角形中，，分别以点为圆心，为半径作弧和弧．两弧交于点，点在同一条直线上，则阴影部分的面积是________． 16. 在平行四边形中，是上一点，，连，，且，交于，则________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程： （2）计算： 18. 如图，在中，点是的边上的一点． （1）请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） （2）选择一种正确的方法求证：． 19. 在边长为l的正方形网格中如图所示． ①以点C为位似中心，作出的位似图形，使其位似比为．且位于点C的异侧，并表示出的坐标． ②作出绕点C顺时针旋转后的图形． ③在②的条件下求出点B经过的路径长． 20. 如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，， （1）求圆的半径； （2）求弦的长． 21. 如图，直线与双曲线相交于，两点． （1）求，对应的函数表达式； （2）过点作轴交轴于点，求的面积； （3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 22. 高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，下图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离．一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道人口点的俯角为，小汽车到测速仪的水平距离，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内，参考数据：，，，，，，）． （1）求两点之间的距离（结果精确到）． （2）若该隧道限速，则小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由． 23. 如图，某公司将手工绘画的风景画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制 成一个矩形工艺品后，进行销售，该工艺品长32， 宽20． （1）若该工艺品中间的风景画的面积为， 求画框（空白部分）的宽度． （2）已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件，另外每天 除工艺品的成本外还需支付其它费用共2000元．为了让顾客得到优惠，该公司决定降价 销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把 销售单价降低多少元时，每天所获利润为10000元？ 24. 如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）几秒后，的长度等于？ （2）线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． （3）若与相似，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级中期学情检测数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 1. 关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（ ） A. 3，，2 B. 3，，2 C. 3，5x， D. 3，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的标准形式，需先将方程化为的形式，再确定系数即可得出答案． 【详解】解：原方程为， 移项得， ∴二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2， 故选：A． 2. 若一元二次方程有一个根是，则m的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟知概念、准确计算是解题关键； 把代入原方程得到关于m的一元一次方程，解关于m的方程即可. 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是， ∴， 解得：； 故选：D. 3. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，连接构造直角三角形是解决本题的关键． 连接格点、，在中求出的正切值． 【详解】解：如图，连接格点、， 在中，． 故选：C． 4. 如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握直角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等． 连接，由圆周角定理得到，再由圆周角定理得到，以及，然后直角三角形锐角互余求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（ ） A. 3.82 B. 4.82 C. 6.18 D. 6.28 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，结合求解，即可解题． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接、、、． 若， 四边形的面积为．则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图、菱形的判定与性质，掌握菱形的判定与性质是解题的关键．由作图过程可知，可得四边形是菱形，则，可得，则可得． 【详解】解：由作图过程可知， 四边形是菱形， ， 四边形的面积为， ， ． 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则k值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图， ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍），则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故选：A． 8. 如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置． 【详解】解：∵的外心为O， ∴， ∵， ∴， ∵B、C是方格纸格线的交点， ∴B、C的位置如图所示， ∴． 故选：D． 9. 新年将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意，弄清楚每一名学生要赠送张贺卡，总共有名学生，是解题的关键．九年级一班共有名学生，每一名学生都需要给剩下的名学生赠贺卡，因此共赠贺卡张，由题意可知，共赠贺卡张，即可列方程． 【详解】解：根据题意得：每一名学生要赠送张贺卡，总共有名学生， 所以全班共赠贺卡：． 故答案选：C． 10. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题要结合一次函数和反比例函数图象的性质，通过分析比例系数的符号对两个函数图象的影响，逐一排查选项． 【详解】解：．由的图象位于第一、三象限，得； 则，所以一次函数图象应该位于第一、二、四象限，与选项图象矛盾，不符合题意； ．由的图象位于第二、四象限，得； 则，所以一次函数图象应该位于第一、三、四象限，与选项图象矛盾，不符合题意； ．由的图象位于第一、三象限，得； 则，所以一次函数图象应该位于第一、二、四象限，与选项图象矛盾，不符合题意； ．由的图象位于第二、四象限，得； 则，所以一次函数图象应该位于第一、三、四象限，与选项图象一致，符合题意； 故选． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图象性质，解题关键是根据的符号，分别分析两个函数的图象特征：反比例函数的象限分布、一次函数的增减性和与 轴的交点位置，通过逻辑推理逐一排除不符合的选项． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过，，三点作圆，点在第一象限部分的圆上运动，连结，过点作的垂线交的延长线于点，下列说法：①；②；③的最大值为10.其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】连接AB，由题意得AB为圆的直径，根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD，根据圆周角定理得∠OCB=∠OAB，可推出∠OBA=∠D，根据勾股定理求出AB，可出sin∠D的值，证出△OCD∽△OAB，则 ，OC取最大值等于直径时CD的值最大. 【详解】解：连接AB， ∵∠DOC=90°，∠BOA=90°， ∴∠BOD+∠BOC=90°，∠AOC+∠BOC =90°， ∴∠AOC=∠BOD，①正确； ∵∠DOC=90°，∠BOA=90°， ∴∠OCB+∠D=90°，∠OAB+∠OBA =90°， ∵∠OCB=∠OAB， ∴∠OBA=∠D， ∵OA=2，OB=4，AB= ， ∴sin∠D=sin∠OBA= ，②错误； ∵∠DOC=∠BOA=90°，∠OCB=∠OAB， ∴△OCD∽△OAB， ∴ ∵∠BOA=90°， ∴AB为圆的直径， ∴OC取最大值等于直径AB时CD的值最大， ∴CD的最大值 ，③正确. 故选C. 【点睛】本题考查圆的综合题，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及圆周角定理，锐角三角函数的定义． 12. 如图，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们运动的速度都是．若点、点同时开始运动，设运动时间为的面积为，已知与之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当时，是等腰三角形；②；③当时，；④在运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有个；⑤与相似时，．对以上结论判断正确的是（　　） A. ①②④ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ②③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，函数图象与动点问题，相似三角形的性质等，由图可知，整个运动过程分为段，点到达时，点同时到达，由此可知，，，由勾股定理求得，再逐项判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图可知，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ①当时，点在上，点在BC上，且， ∴是等腰三角形，故①正确； ②，故②错误； ③∵，， ∴当时，点在上，点在处， ∴，故③正确； ④如图，以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形； 以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形； 作的垂直平分线，交于，交于，当点位于或处时，是等腰三角形； 综上，运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有个，故④错误； ⑤∵是直角三角形， ∴当且仅当点在上时，与相似， 此时，，且， ∴或， 即或， 解得或（不合，舍去）， ∴当与相似时，，故⑤正确； 综上，正确的有①③⑤， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知、是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接进行解答即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 14. 如图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高是______m．     【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的坡度问题，牢记坡度的定义是解题的关键．根据题意可得∶在中，，从而可得，进行计算即可解答． 【详解】解：滑坡的坡度是， 在中，． ， ． 故答案为：3． 15. 如图．等边三角形中，，分别以点为圆心，为半径作弧和弧．两弧交于点，点在同一条直线上，则阴影部分的面积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式． 连接，，则是一个与等边三角形同边长的等边三角形，得出阴影部分的面积即为扇形的面积，利用扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，，则是一个与等边三角形同边长的等边三角形， ∴弓形与弓形面积相等， ∴， ∴阴影部分的面积即为扇形的面积， ∴， 故答案为：． 16. 在平行四边形中，是上一点，，连，，且，交于，则________． 【答案】 【解析】 【分析】通过平行证明△DEF∽△BAF，再利用△DEF和△EBF高相同,求出 ,即可证明解题. 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC=AB，DC∥AB， ∴DE：AB=1：4， ∵DE∥AB， ∴△DEF∽△BAF， ∴==， ∴ =（）2=（）2= , ∵△DEF和△EBF高相同,设高位h, 则 ==. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质,综合性强,中等难度,通过相似比找到面积之间的关系是解题关键. 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程： （2）计算： 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，零指数幂，特殊锐角函数值： （1）利用配方法解答即可； （2）先根据零指数幂，特殊角锐角函数值，算术平方根的性质化简，再计算即可． 【详解】解：（1） ， ， ， 即， 解得：，； （2） 18. 如图，在中，点是的边上的一点． （1）请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） （2）选择一种正确的方法求证：． 【答案】（1）小星和小红对，小亮错 （2） 证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）． 【小问1详解】 解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错； 【小问2详解】 略 19. 在边长为l的正方形网格中如图所示． ①以点C为位似中心，作出的位似图形，使其位似比为．且位于点C的异侧，并表示出的坐标． ②作出绕点C顺时针旋转后的图形． ③在②的条件下求出点B经过的路径长． 【答案】 ①如图，即为所求： 点的坐标为； ②如图，即为所求： ③ 【解析】 【分析】本题考查了作图—位似变换、旋转变换、弧长公式，根据题意正确作图是解题的关键． ①延长到使，延长到使，则满足条件； ②利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点、，从而得到． ③先计算出的长，然后根据弧长公式计算点B经过的路径长． 【详解】解：①略 ②略 ③， 点B经过的路径长． 20. 如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，， （1）求圆的半径； （2）求弦的长． 【答案】（1）5 （2）8 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理． （1）根据即可求解． （2）根据勾股定理及垂径定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ； 【小问2详解】 解：∵，， ， ， ， ． 21. 如图，直线与双曲线相交于，两点． （1）求，对应的函数表达式； （2）过点作轴交轴于点，求的面积； （3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）求出点P的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中得， ∴， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵轴交y轴于点P，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由函数图象可得关于x的不等式的解集为：或． 22. 高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，下图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离．一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道人口点的俯角为，小汽车到测速仪的水平距离，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内，参考数据：，，，，，，）． （1）求两点之间的距离（结果精确到）． （2）若该隧道限速，则小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由． 【答案】（1）760m （2）小汽车从点行驶到点没有超速， 理由：小汽车从点行驶到点没有超速． 理由：由题意，得． ， 小汽车从点行驶到点没有超速． 【解析】 【分析】（1）分别解，，求得，根据即可求解； （2）根据路程除以速度，进而比较即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得，，． 在中，， ． 在中，， ， ， 两点之间的距离约为760m． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 23. 如图，某公司将手工绘画的风景画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制 成一个矩形工艺品后，进行销售，该工艺品长32， 宽20． （1）若该工艺品中间的风景画的面积为， 求画框（空白部分）的宽度． （2）已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件，另外每天 除工艺品的成本外还需支付其它费用共2000元．为了让顾客得到优惠，该公司决定降价 销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把 销售单价降低多少元时，每天所获利润为10000元？ 【答案】（1）画框（空白部分）的宽度为； （2）当该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用． （1）设画框宽度为未知数，根据工艺品长和宽与画框宽度的关系表示出风景画的长和宽，再利用面积公式列方程求解； （2）设降价金额为未知数，根据利润=（售价-成本）×销售量-其他费用的关系列方程求解． 【小问1详解】 解：设画框（空白部分）的宽度为， 可列方程， 整理得， 解得，， 因为，当时，，不符合实际，舍去， 所以， 答：画框（空白部分）的宽度为． 【小问2详解】 设销售单价降低元， 可列方程， 整理得， 解得（不符合降价让顾客得到优惠的题意，舍去），． 答：当该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元． 24. 如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）几秒后，的长度等于？ （2）线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． （3）若与相似，求t的值． 【答案】（1）当时，的长度等于 （2）经过3秒时，线段能将分成面积的两部分 （3）秒或秒时，与相似 【解析】 【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，涉及一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分的面积为面积的和的面积为面积的，列出方程进行求解即可． （3）设经过t秒时，与相似，分① 时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【小问1详解】 解：设经过秒后，的长度等于， 由题意，得：， ∴， 当时，在中， ， ， 整理，得：， 解得：； ∴当时，的长度等于． 【小问2详解】 解：设经过秒，线段能将分成面积的两部分， 依题意有：的面积， ①当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， 解得：； ②当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， ， ∴方程无实数根； ∴经过3秒时，线段能将分成面积的两部分． 【小问3详解】 解：设经过秒时，与相似， 时， ， ， ． ②当时， ， ， ， 综上所述，秒或秒时，与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $