精品解析：陕西省山阳中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

山阳中学2025-2026学年第一学期期中考试试题 高二数学 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将答题卡相关项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修二第十章选择性必修第一册第一章、第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，进而结合直线倾斜角的取值范围解出直线倾斜角即可. 【详解】由题意知：，即，则直线的斜率， 所以，又因为，所以. 故选：C. 2. 在进行n次反复试验中，事件A发生频率为，当n很大时，事件A发生的概率与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当n很大时，频率是概率的近似值，从而可得答案 【详解】在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，越来越接近于， 所以可以用近似的代替，即， 故选：A 3. 已知向量，若，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标条件即可求解. 【详解】由，得，解得. 故选：B 4. 直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把直线方程整理为，根据题意，列出方程组，求解即可. 【详解】根据题意，把直线方程整理，得， 令，解得，所以当变动时，所有直线恒过定点. 故选：C 5. 已知点，，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】计算，利用空间向量法求距离即可求解. 【详解】由题意得，所以点到平面的距离. 故选：B. 6. 为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相切或相交 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点在圆内，得到，再计算圆心到直线的距离为d，并与半径作比较，即可得到答案． 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为M在圆内，且不为圆心，则， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与该圆位置关系为相离. 故选：C． 7. 在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】由题意可知，，两两垂直， 故分别以直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A. 8. 已知点为直线上一点，则的最小值是（ ） A. B. 7 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点关于直线的对称点的坐标，然后转化成求两点间的距离求解即可. 【详解】因为在直线上，设点关于直线的对称点为， 则解得故，连接交直线于点， 当在点时，取得最小值，其最小值为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知两圆和，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，，外切 B. 当时，，相交 C. 当时，，内切 D. 不存在实数使得，相离 【答案】ABC 【解析】 【分析】先计算圆心距，利用圆心距和半径的关系逐项判断即可求解. 【详解】由题意有：， 所以，，， 当时，，所以，外切，故A正确； 当时，，所以，所以，相交，故B正确； 当时，，所以，内切，故C正确； 当时，即时，，外离，当时，即时，，内含，故D错误. 故选：ABC. 10. 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（ ） A. “至少一个红球”的概率为 B. “恰有一个黑球”的概率为 C. “一个红球和一个黑球”的概率为 D. “两个都是红球”的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出2个红球为，2个黑球为，写出选取2个小球的所有情况，从而得到四个选项中的可能情况和概率. 【详解】A选项，设2个红球为，2个黑球为， 选取2个小球，则可能情况有，共6个， 所以“至少一个红球”的情况有，共5个， 故“至少一个红球”的概率为，A正确； B选项，“恰有一个黑球”的情况有，共4个， 故“恰有一个黑球”的概率为，B正确； C选项，“一个红球和一个黑球”的情况有，共4个， 故“一个红球和一个黑球”的概率为，C错误； D选项，“两个都是红球”的情况有，故“两个都是红球”的概率为，D正确. 故选：ABD 11. 已知点是圆上的一个动点，过原点的动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最大值为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，结合两点之间的距离可知，，，算出即可；对于CD，结合直线与圆的位置关系可知，当直线过圆心时，最大，当时，最小． 【详解】对于AB，由题意知，则点在圆内， 所以，故AB正确； 对于CD， 当直线过圆心时，，当时，，故C错误，D正确． 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是直线上任意一点，则的最小值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】设，当圆与直线相切时，最小，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设，则表示圆心为原点，半径为的圆， 当圆与直线相切时，最小， 由点到直线的距离公式有：， 所以的最小值为， 故答案为：. 13. 如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2菱形，，为与的交点.则的长等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】先结合题意得到，再利用空间向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】以作为一个基底， 由题意知，， 由数量积的定义可得， 同理可得， 又，可得 ， 故. 故答案为： 14. 高二（6）班和高二（7）班进行班级篮球赛，采用3场2胜制（每场无平局，某个班级先赢得两场比赛比赛结束），已知（6）班实力强劲，其每场获胜的概率为，则最终（7）班能够赢得比赛的概率是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据对立事件的概率公式求出（7）班每场获胜的概率，再运用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式计算即可. 【详解】因（6）班每场获胜的概率为，则（7）班每场获胜的概率为，每场输掉比赛的概率为， 依题意比赛采用3场2胜制，（7）班赢得比赛情况有“胜胜”，“胜败胜”，“败胜胜”共3种， 则其赢得比赛的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）求过点且与直线垂直的直线的方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程，并求出与直线之间的距离. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先求直线的斜率，由求出直线的斜率，利用点斜式即可求解； （2）由求出的斜率，利用点斜式即可求的方程，利用两平行直线的距离公式即可求解. 【小问1详解】 由题意有：，∵，∴， 所以直线的方程为，即， 【小问2详解】 由（1）知，，∴， 所以直线的方程为即， 的方程为，即， 所以与直线之间的距离. 16. 如图，已知直三棱柱，，，为的中点. （1）求点到平面的距离. （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标，利用坐标法求点到面的距离即可； （2）利用向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 由题意有：， 以为坐标原点，分别以方向为轴，建立空间直角坐标系，如图， 由，所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以点到平面的距离为：， 所以点到平面的距离为； 【小问2详解】 由（1）有平面的一个法向量为， 显然平面的一个法向量为， 所以， 所以二面角的余弦值为. 17. 甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译出密码的概率为0.8，乙破译出密码的概率为0.7.记事件：甲破译出密码，事件：乙破译出密码. （1）求甲、乙二人都破译出密码的概率； （2）求恰有一人破译出密码的概率； （3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下： 解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以随机事件“密码被破译”可以表示为，所以. 请指出小明同学错误的原因，并给出正确解答过程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 分析】（1）由相互独立事件概率乘法公式即可求解； （2）恰有一人破译出密码有两种情况：甲破译出密码且乙没有破译出密码和甲没有破译出密码且乙破译出密码，由互斥事件概率加法公式及相互独立事件概率乘法公式即可求解； （3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程中， 方法一：“密码被破译”也就是“甲、乙二人至少有一人破译密码”，可以表示为，且，，两两互斥，利用互斥事件概率的加法公式即可求解；方法二：由和不是互斥事件，，由此能求出密码被破译的概率． 【小问1详解】 由题意可知，，且事件，相互独立，事件“甲、乙二人都破译出密码”可表示为，所以， 所以甲、乙二人都破译出密码的概率为； 【小问2详解】 事件“恰有一人破译出密码”可表示为，且，互斥， 所以； 【小问3详解】 小明同学的错误在于事件，不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式. 正确解答过程如下： 方法一：“密码被破译”也就是“甲、乙二人至少有一人破译密码”，可以表示为，且，，两两互斥， 所以. 方法二：“密码被破译”为事件， 18. 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. 【小问1详解】 证明：在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以； 【小问2详解】 解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 则， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 19. 已知，，，直线的方程为，圆过，，三个点. （1）求圆的方程； （2）设点是直线上的任意一点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是4，求的值； （3）设直线与圆相交于，两点（不与原点重合），直线，斜率分别为，，若，求的值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知圆心为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点，求对应的中垂线方程，进而可得圆心和半径； （2）根据题意结合切线性质分析可得，即圆心到直线的距离，代入运算即可； （3）设，，联立方程可得，，利用韦达定理可得，即可得结果. 【小问1详解】 因为圆过，，三个点， 可知圆心为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， 且线段的垂直平分线的方程为， 可得，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 联立方程组，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 因为，解得， 当且仅当时，取到最小值， 即圆心到直线：的距离，解得或， 所以的值为或. 【小问3详解】 若，则直线：， 联立方程，消去y可得， 则， 设，， 则，， 可得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山阳中学2025-2026学年第一学期期中考试试题 高二数学 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将答题卡相关项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修二第十章选择性必修第一册第一章、第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率与的关系是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相切或相交 7. 在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为直线上一点，则的最小值是（ ） A. B. 7 C. D. 5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知两圆和，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，，外切 B. 当时，，相交 C. 当时，，内切 D. 不存在实数使得，相离 10. 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（ ） A. “至少一个红球”的概率为 B. “恰有一个黑球”的概率为 C. “一个红球和一个黑球”的概率为 D. “两个都是红球”的概率为 11. 已知点是圆上的一个动点，过原点的动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 最小值为2 D. 的最大值为6 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是直线上任意一点，则的最小值为________. 13. 如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.则的长等于___________. 14. 高二（6）班和高二（7）班进行班级篮球赛，采用3场2胜制（每场无平局，某个班级先赢得两场比赛比赛结束），已知（6）班实力强劲，其每场获胜概率为，则最终（7）班能够赢得比赛的概率是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）求过点且与直线垂直的直线的方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程，并求出与直线之间的距离. 16. 如图，已知直三棱柱，，，为的中点. （1）求点到平面的距离. （2）求二面角的余弦值. 17. 甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译出密码的概率为0.8，乙破译出密码的概率为0.7.记事件：甲破译出密码，事件：乙破译出密码. （1）求甲、乙二人都破译出密码概率； （2）求恰有一人破译出密码的概率； （3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下： 解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以随机事件“密码被破译”可以表示为，所以. 请指出小明同学错误原因，并给出正确解答过程. 18. 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 19. 已知，，，直线的方程为，圆过，，三个点. （1）求圆的方程； （2）设点是直线上的任意一点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是4，求的值； （3）设直线与圆相交于，两点（不与原点重合），直线，斜率分别为，，若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $