第一章 第四节 基本不等式（课时跟踪检测） -【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第四节　基本不等式 1.不等式（x－2y）＋≥2成立的前提条件为（　　） A.x≥2y B.x＞2y C.x≤2y D.x＜2y 2.已知a＞0，b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为（　　） A. B.4 C. D.2 3.已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为（　　） A.4 B.6 C.8 D.9 4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（　　） A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 5.若xy＞0，则（x＋）2＋（y＋）2的最小值是（　　） A.3 B. C.4 D. 6.〔多选〕已知a＞0，b＞0，则下列命题正确的是（　　） A.若ab≤1，则＋≥2 B.若a＋b＝4，则＋的最小值为4 C.若a2＋b2＝4，则ab的最大值为2 D.函数y＝a＋的最小值为1 7.〔多选〕（2024·甘肃高考诊断考试）已知a＞0，b＞0，若a＋2b＝1，则（　　） A.ab的最大值为 B.a2＋b2的最小值为1 C.＋的最小值为8 D.2a＋4b的最小值为2 8.设实数a＞0，x＋（x＞－2）的最小值为6，则a＝　　　　. 9.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： （1）xy的最小值； （2）x＋y的最小值. 10.已知a＞0，b＞0，设M＝max{a，b，＋}，则M的最小值等于（　　） A.1 B. C. D.2 11.若正实数x，y满足＋＝1，且x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A.m＜－2或m≥4 B.m＜－4或m≥2 C.－2＜m＜4 D.－4＜m＜2 12.〔多选〕若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是（　　） A.a＋b＋c≤ B.（a＋b＋c）2≥3 C.＋＋≥2 D.a2＋b2＋c2≥1 13.已知a，b为两个正实数，且a＋4b＝1，则＋2的最大值为　　　　. 14.甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的，固定成本为a元. （1）将全程运输成本y（单位：元）表示为速度v（单位：km/h）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最低，货车应以多大的速度行驶？ 15.（创新知识交汇）半径为4的球面上有A，B，C，D四点，且满足AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，则S△ABC＋S△ACD＋S△ADB的最大值为　　　　. 16.（创新考法）已知a，b，c＞0时，有＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）≥6，利用分拆、重组、配对，使用基本不等式求出最值.依此启示，求证当a，b，c＞0时，＋＋≥. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四节　基本不等式 1.B　因为不等式成立的前提条件是x－2y和均为正数，所以x－2y＞0，即x＞2y，故选B. 2.D　由题意得4＝2a＋b≥2，即2≥，两边平方得4≥2ab，∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，∴ab的最大值为2. 3.C　法一 ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝＋－1＝（a＋b）（＋）－1＝＋＋4≥2＋4＝8（当且仅当＝，即a＝，b＝时取“＝”）.故选C. 法二 ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时取“＝”.故选C. 4.C　由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×（2x＋）≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号. 5.C　（x＋）2＋（y＋）2＝x2＋＋＋y2＋＋＝（x2＋）＋（y2＋）＋（＋）≥1＋1＋2＝4，当且仅当x2＝，y2＝，＝同时成立，即x＝y＝±时，等号成立.故选C. 6.ABC　因为0＜ab≤1，所以≥1，所以＋≥2≥2，故A正确；若a＋b＝4，则＋＝（a＋b）（＋）＝（＋＋10）≥（2＋10）＝4，当且仅当a＝1，b＝3时等号成立，故B正确；若a2＋b2＝4，则ab≤＝2，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；由于a＞0，b＞0，所以y＝a＋＝a＋1＋－1≥1，当且仅当a＋1＝，即a＝－2或a＝0时等号成立，这与已知矛盾，故D错误.故选A、B、C. 7.ACD　对于A，由基本不等式可得a＋2b＝1≥2，解得ab≤，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，所以A正确；对于B，a2＋b2＝（1－2b）2＋b2＝5b2－4b＋1＝5（b－）2＋，当且仅当b＝，a＝时，a2＋b2取到最小值，故B错误；对于C，由＋＝（a＋2b）（＋）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，所以C正确；对于D，2a＋4b≥2＝2＝2，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，所以D正确.综上，选A、C、D. 8.16　解析：由于a＞0，x＋2＞0，根据基本不等式x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝2－2，当且仅当x＝－2时，x＋（x＞－2）取到最小值2－2，即2－2＝6，解得a＝16. 9.解：（1）由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1. 又x＞0，y＞0， 则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64， 当且仅当＝，即x＝16且y＝4时，等号成立. 所以xy的最小值为64. （2）由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 则x＋y＝（x＋y） ＝10＋＋≥10＋2 ＝18. 当且仅当＝，即x＝12且y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 10.B　由题设得M≥a，M≥b，所以2M≥a＋b.又M≥＋，于是2M2≥（a＋b）（＋）≥4，因此M≥.故当a＝b＝时，Mmin＝. 11.D　因为正实数x，y满足＋＝1，则x＋2y＝（x＋2y）（＋）＝4＋＋≥8，当且仅当即时，x＋2y取得最小值8，从而只要m2＋2m＜8，即－4＜m＜2时不等式恒成立，故选D. 12.BD　由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴2（a2＋b2＋c2）≥2（ab＋bc＋ca）＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c＝±时，等号成立.∴（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3，∴a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥.若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3＜2.因此A、C错误，B、D正确. 13.　解析：法一 因为a，b为两个正实数，所以（＋2）2＝a＋4＋4b＝1＋4≤1＋a＋4b＝2，当且仅当a＝4b，即a＝，b＝时，等号成立，故＋2的最大值为. 法二 ≤＝＝＝，当且仅当a＝4b，即a＝，b＝时，等号成立，则＋2≤，故＋2的最大值为. 14.解：（1）由题意，得可变成本为v2元，固定成本为a元，所用时间为 h， 所以y＝（v2＋a）＝1 000（v＋），定义域为（0，80]. （2）y＝1 000（v＋）≥1 000×2＝1 000（元），当v＝时，得v＝2，因为0＜v≤80， 所以当0＜a≤1 600时，货车以v＝2 km/h的速度行驶，全程运输成本最低； 当a≥1 600时，函数y＝1 000（v＋）在（0，80]上单调递减，故货车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最低. 15.32　解析：设AB＝a，AC＝b，AD＝c，以AB，AC，AD为棱补成球的内接长方体，由于此时长方体的体对角线即为球的直径，故有a2＋b2＋c2＝4R2＝64，故S△ABC＋S△ACD＋S△ADB＝（ab＋bc＋ac）≤（＋＋）＝＝32，当且仅当a＝b＝c时取等号. 16.证明：由于＋＋＋3＝（＋1）＋（＋1）＋（＋1）＝＋＋＝[（b＋c）＋（c＋a）＋（a＋b）]·（＋＋） ＝［3＋＋＋］ ＝［3＋（＋）＋（＋）＋（＋）］≥， 从而＋＋≥，当且仅当a＝b＝c时，原不等式等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 $