第一章 第四节 基本不等式（复习讲义）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第四节　基本不等式 课标要求 1.了解基本不等式的推导过程. 2.掌握基本不等式≤（a，b≥0）. 3.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 1.基本不等式≤ （1）基本不等式成立的条件是　　　　　　； （2）等号成立的条件是：当且仅当　　　　时，等号成立； （3）其中叫做正数a，b的　　　　平均数，叫做正数a，b的　　　　平均数. 提醒 应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 2.基本不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2（简记：积定和最小）； （2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S2 （简记：和定积最大）. 几个重要的不等式 （1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）； （2）＋≥2（a，b同号）； （3）ab≤（）2（a，b∈R）； （4）≥（）2（a，b∈R）. 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.（　　） （2）函数y＝x＋（x＞0）的最小值是2.（　　） （3）函数f（x）＝sin x＋的最小值为4.（　　） 2.（人A必修一P45例1改编）函数f（x）＝（x＞0）的最小值是（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 3.（苏教必修一P61练习1题改编）已知m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是（　　） A.9 B.18 C.9 D.27 4.函数y＝x＋（x≥0）的最小值为　　　　. 5.（人A必修一P46例3（2）改编）若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是　　　　.　 基本不等式的常见变形 （师生共研过关） 若0＜a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　） A.b＞＞a＞ B.b＞＞＞a C.b＞＞＞a D.b＞a＞＞ 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 基本不等式的常见变形 （1）ab≤（）2≤； （2）≤≤≤（a＞0，b＞0）. 　〔多选〕已知a，b∈R，且ab≠0，则下列四个不等式中，恒成立的为（　　） A.≥ab B.＋≥2 C.ab≤（）2 D.（）2≤ 利用基本不等式求最值 （定向精析突破） 考向1　配凑法 （1）（2024·广东大联考）若x∈（，1］，则2x＋的最小值为（　　） A.1 B.2 C.2 D.3 （2）已知0＜x＜2，则y＝x的最大值为（　　） A.2 B.4 C.5 D.6 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解题技法 配凑法求最值的实质及关键点 　　配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键. 考向2　常数代换法 （1）已知正实数x，y满足＋＝1，则2x＋y的最小值为（　　） A.1 B.2 C.4 D.8 （2）已知正数a，b满足4a＋b＝ab，则a＋b的最小值为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 常数代换法求最值的基本步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求最值. 考向3　消元法 （人A必修一P58复习参考题5题改编）已知a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 消元法求最值的思路 　　当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值. 1.当x＞0时，的最大值为　　　　. 2.已知0＜x＜1，则＋的最小值是　　　　.　 3.（2024·安庆三模）若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是　　　　. 利用基本不等式解决实际问题 （师生共研过关） 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为多少cm时，用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？ 解题技法 利用基本不等式解决实际问题的策略 （1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； （2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； （3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解. 　近年来冬季气候干燥，冷空气频繁袭来，为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站到社区的距离应为（　　） A.5千米 B.6千米 C.7千米 D.8千米 提示：完成课后作业　第一章　第四节 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四节　基本不等式 【知识·逐点夯实】 知识梳理夯基 1.（1）a＞0，b＞0　（2）a＝b　（3）算术　几何 对点自测诊断 1.（1）×　（2）√　（3）× 2.B　3.B　4.1　5.25 m2 【考点·分类突破】 考点1 【例1】 C　∵0＜a＜b，∴2b＞a＋b，∴b＞＞.∵b＞a＞0，∴ab＞a2，∴＞a.故b＞＞＞a. 跟踪训练 ACD　由a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，得≥ab，A正确；由a，b∈R，取a＝－1，b＝2，则＋＝－2－＜0，故B错误；由于a，b∈R，则ab－（）2＝－≤0，则ab≤（）2，故C正确；由于（）2－＝－≤0，故D正确，故选A、C、D. 考点2 【例2】 （1）D　（2）A　解析：（1）因为x∈（，1］，所以2x－1∈（0，1]，所以2x＋＝［（2x－1）＋］＋1≥2＋1＝3，当且仅当2x－1＝，即x＝1时取等号.故选D. （2）因为0＜x＜2，所以可得4－x2＞0，则y＝x＝≤＝2，当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，上式取得等号，故y＝x的最大值为2.故选A. 【例3】 （1）D　（2）9　解析：（1）因为x，y为正实数，且＋＝1，所以2x＋y＝（＋）（2x＋y）＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，当且仅当2x＝y＝4时取等号.故选D. （2）因为正数a，b满足4a＋b＝ab，所以＋＝1，所以a＋b＝（a＋b）（＋）＝5＋＋.因为a＞0，b＞0，所以＋≥2＝4（当且仅当＝，即b＝2a时取等号，此时a＝3，b＝6），所以a＋b≥9. 【例4】 6　解析：法一 ∵a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，∴a＝且b－1＞0，∴a＋b＝＋b＝1＋＋b＝＋b－1＋2≥2＋2＝6，当且仅当＝b－1，即a＝b＝3时取得最小值. 法二 由ab＝a＋b＋3，可得（a－1）（b－1）＝4，又a＞0，b＞0，∴a＞1，b＞1，∴a＋b＝（a－1）＋（b－1）＋2≥2＋2＝6，当且仅当a＝b＝3时取得最小值. 法三　∵ab＝a＋b＋3≤（a＋b）2，故可得（a＋b）2－4（a＋b）－12≥0，即（a＋b－6）（a＋b＋2）≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2，又∵a＞0，b＞0，故a＋b≥6（当且仅当a＝b＝3时取得最小值）. 跟踪训练 1.　解析：当x＞0时，＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，即的最大值为. 2.9　解析：由0＜x＜1，得1－x＞0.＋＝（＋）[x＋（1－x）]＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝即x＝时取等号，所以＋的最小值是9. 3.　解析：正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，故y＝＝＋，故x＋y＝x＋＋＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝时，等号成立. 考点3 【例5】 解：设直角梯形的高为x cm， ∵宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， ∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8， 故S矩形ABCD＝AD·DC＝（x＋4）·（＋8） ＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472， 当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立. ∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少. 跟踪训练 A　设供热站到社区的距离为x（x＞0）千米，则月自然消费y1＝，月供热费y2＝k2x，由题意得当x＝20时，y1＝0.5，y2＝8，所以k1＝xy1＝10，k2＝＝，所以y1＝，y2＝x.所以两项费用之和为y1＋y2＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝5时等号成立，所以要使这两项费用之和最小，供热站到社区的距离应为5千米.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $