6.2.3 直线方程的几种形式（教学课件）--人教版《数学 基础模块下册》《上好课》

6.2.3 直线方程的几种形式 第六章 直线和圆的方程 人教版 基础模块下册 学习目标 1.理解并掌握直线点斜式方程、斜截式方程、一般式方程的定义； 2.明确三种方程形式的适用条件，掌握三种方程形式之间的互化方法； 3.体会“不同方程形式对应不同应用场景”的数学实用性，感受数形结合思想在直线描述 中的作用. 知识回顾 同学们，在上一节课堂中，我们学习了直线与方程、直线的倾斜角和斜率。接下来，让我们进行简单的回顾： 1.什么是直线的倾斜角？ 一般地，在平面直角坐标系中，直线向上的方向与x 轴正方向所成的最 小正角α称为这条直线的倾斜角（取值范围是≤α≤）. 2.直线的斜率如何计算？ 教学引入 思考： 如果直线的倾斜角或斜率是确定的，那么这样的直线是唯一的吗？ 任意给定一个角α(≤α≤)，都可以作出无数条倾斜角为α的直线. 例如，图中的直线l，m，n的倾斜角都是. 由倾斜角和斜率的关系式k =可知，倾斜角相同的直线，斜率也相等. 因此： 给定斜率，不能确定一条直线。 教学引入 思考： 如果直线的倾斜角为60°(即斜率为)，而且通过点(0,0)，那么这样的直线是唯一的吗？ 【解析】 ∵即, ∴直线的方程为 ∴当直线满足上述条件时，是唯一的。 导入新知1 一般地，给定斜率k和定点(, ) ，通过点且斜率为k的直线是确定的. 下面我们来求直线的方程. 设直线 上不同于 的任意一点P(x, y)，则由直线的斜率为k可知 k = , 整理得 =k 上式称为直线的点斜式方程. 案例分析 学以致用 导入新知2 一条直线，如果与 y 轴交于点(0, b)，则称这条直线在y轴上的截距为b. 由直线的点斜式方程可知，如果直线的斜率为k，截距为 b，如图所示，则直线的方程为，即 上式称为直线的斜截式方程. 案例分析 学以致用 导入新知3 由前面的知识我们知道，平面直角坐标系中的直线: (1)如果斜率存在，那么它的方程一定可以表示成 y = kx + b(k, b为常数)的形式； (2)如果斜率不存在，那么它的方程可以表示成x = a(a为常数)的形式. 不难看出，直线的方程都可以表示成 Ax + By + C = 0的形式，其中 A, B 是不同时为零的常数。 导入新知3 例如，直线y = 3x - 4可表示为3x - y - 4 = 0，直线 y = 3可表示为y - 3 = 0，直线x = -5可表示为 x + 5 = 0. 不仅如此，我们还能够证明，二元一次方程 Ax + By + C = 0() 在平面直角坐标系中对应的一定是直线.上式称为直线的一般式方程. 深入理解 想一想：我们如何证明二元一次方程对应的是直线呢？ 深入理解 证明过程如下： 给定一个二元一次方程Ax + By + C = 0()① (1)如果 B≠0 ，则①式可以改写为, 这表示的是斜率为，截距为的直线; (2)如果B = 0 ，由可知A≠0，则①式可以改写为 x = , 这表示的是与x轴垂直，且与x轴交于点(, 0)的直线. 案例分析 学以致用 学以致用 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 师生交流 【练习】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 车间工程任务闯关 机电车间要装3条流水线，大家当“定位工程师”，根据条件写方程： 流水线1：经过工位A(2,3)，斜率为2； 流水线2：与y轴交于(0,1)，倾斜角为45°； 流水线3：经过原点，斜率为-。 现请3名学生分别上黑板进行解答，其余学生在练习本完成. 课堂小结 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 【例题】某工地需要在平面上划定一条直线作为边界，已知该直线经过点和，则该直线的方程为（ ）． A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 直线过两点和，则直线的斜率为，直线方程为，即，故选：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】城市道路规划中，一条道路经过点 且斜率为，这条道路的直线方程是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 根据点斜式，将点和代入，得到， 展开并化简得． 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则该直线的斜截式方程为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线在轴上的截距为，所以该直线的斜截式方程为. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】机械厂的传送带可看作直线，直线在轴上的截距为，斜率为，则传送带的直线方程为（ ）. A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为直线在轴上的截距为，斜率为，所以直线方程为. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】把直线方程化为一般式方程是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为直线方程，化为一般式得. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】在x轴和y轴的截距分别为，3的直线的一般式方程是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为直线在x轴和y轴的截距分别为，3， 所以直线与x轴和y轴的交点坐标分别为， 设直线的方程为，代入直线得，， 故直线方程为，即. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则的值是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 对于， 令，得，则； 令，得，解得，则； 综上，. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】过点且倾斜角为的直线的一般式方程为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 直线倾斜角为，直线的斜率， 由点斜式方程可知，所求直线方程为， 即一般式方程为. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】港口船只调度， 船坐标， 船坐标，船在轴上，若 船到两船距离之和最小，则 C 船坐标为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为 船坐标， 船坐标， 作关于轴的对称点，连接与轴交点即为 点， 所在直线方程为，即，令，解得，所以船坐标为.故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】直线l的倾斜角是，在y轴上的截距是，则直线l的方程是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由题可知，直线的斜率， 所以直线的方程为：. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】若方程表示直线，则、应满足的条件为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 方程表示直线，则不同时为，所以. 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习6】过点，且在两轴上的截距相等的直线方程是（ ） A． B．或 C．或 D．或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 若直线过原点可设直线方程为，将点代入得，，， 则直线方程为，即；若直线不过原点，则设直线方程为，截距相等，有，将点代入得，，解得， 则直线方程为，即； 综上直线方程为或； 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $