专题05 带电粒子在复合场中的模型 讲义 -2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

专题05 带电粒子在复合场中的模型 模型梳理 模型01 组合场模型 3 模型02 叠加场模型 11 模型03 带电粒子在交变电、磁场中的运动模型 18 ▒　　▒　　▒　　▒　　▒　　▒　　▒　　▒　　▒　　▒　　▒ 一、带电粒子在组合场中的运动 1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，一般为两场相邻或在同一区域电场、磁场交替出现。 2．三种常用的解题方法 (1)带电粒子在电场中做加速运动，根据动能定理求速度。 (2)带电粒子在电场中做类平抛运动，需要用运动的合成和分解处理。 (3)带电粒子在磁场中的圆周运动，可以根据磁场边界条件，画出粒子轨迹，用几何知识确定半径，然后用洛伦兹力提供向心力和圆周运动知识求解。 3．要正确进行受力分析，确定带电粒子的运动状态。 (1)仅在电场中运动 ①若初速度v0与电场线平行，粒子做匀变速直线运动； ②若初速度v0与电场线垂直，粒子做类平抛运动。 (2)仅在磁场中运动 ①若初速度v0与磁感线平行，粒子做匀速直线运动； ②若初速度v0与磁感线垂直，粒子做匀速圆周运动。 4．分析带电粒子的运动过程，画出运动轨迹是解题的关键。 特别提醒　从一个场射出的末速度是进入另一个场的初速度，因此两场界面处的速度(大小和方向)是联系两运动的桥梁，求解速度是重中之重。 二、带电粒子在叠加场中的运动 1．叠加场：电场、磁场、重力场中的两者或三者在同一区域共存，就形成叠加场。 2．带电体在叠加场中运动的几种情况 如图所示，匀强磁场垂直于纸面向里，匀强电场竖直向下。一带负电粒子从左边沿水平方向射入复合场区域。 (1)若考虑重力，且mg＝qE，则粒子做匀速圆周运动。 (2)若不计重力，且qvB＝qE，则粒子做匀速直线运动。 (3)若不计重力，且qvB≠qE，则粒子做变加速曲线运动。 1．带电粒子在组合场中的运动 模型 运动情景 图示 先电场后磁场 带电粒子先在电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入磁场做圆周运动 先电场后磁场 带电粒子先在电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做圆周运动 先磁场后电场 带电粒子先在磁场中做圆周运动，然后垂直进入电场做类平抛运动 两个磁场 带电粒子先在磁场Ⅰ中做圆周运动，然后垂直进入磁场Ⅱ做圆周运动 2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直 线运动 粒子所受的合力为0 平衡条件 匀速圆 周运动 除洛伦兹力提供向心力外，另外两力的合力为零，即qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的 曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 模型01 组合场模型 【实战1】（多选）（2025秋•成都期中）利用电场可使带电粒子加速或偏转，据此在多个领域加以应用。如图为装置竖直截面图，足够长的平行极板和荧光屏之间有平行于极板的匀强电场，在极板上有一小孔，在极板右侧有以孔为圆心，半径分别为和的弧形极板，其间有辐状电场，两弧形极板在垂直于荧光屏的延长线上有两小孔、，现有电荷量相同、质量分别为和（且的粒子1、2从孔无初速度进入辐状电场。不计空气阻力、粒子重力及之间的相互作用，粒子的电荷量小，不影响原电场。下列说法正确的是 A．粒子1、2从孔运动到孔用时相等 B．粒子1、2进入孔时的速率之比为 C．粒子1、2通过匀强电场的过程中，动量的变化量大小之比为 D．粒子1、2打在荧光屏上的位置与点的距离之比为 【答案】 【分析】在辐状电场中，带电粒子做加速运动，可根据动能定理求出粒子进入孔时的速率；在匀强电场中，粒子做类平抛运动，可根据类平抛运动的规律求出粒子在电场中的运动时间、偏转位移等，进而分析各选项。 【解答】解：在辐状电场中，粒子做加速运动，根据动能 定理为辐状电场的电势差） 可得粒子进入孔时的速率 粒子在辐状电场中的运动时间，由于辐状电场中电场力方向与运动方向一致，粒子做初速度为零的匀加速直线运动 为运动的路程（这里为弧形轨道的长度，与半径有关，两粒子运动路程相同） 将代入 可得 因为 所以粒子1、2从孔运动到孔用时不相等，故错误； 由动能定理 可得 则粒子1、2进入孔时的速率之比为 故正确； 粒子在匀强电场中做类平抛运动，水平方向 为间的距离） 竖直方向， 动量的变化量△ 代入可得 所以粒子1、2通过匀强电场的过程中，动量的变化量大小之比为 故错误； 粒子在匀强电场中做类平抛运动，偏转位移 又因为 则 即偏转位移与粒子质量无关，所以粒子1、2打在荧光屏上的位置与点的距离之比为 故正确； 故选：。 【实战2】（2025秋•莱西市期中）如图所示，在边长为的正方形区域内存在竖直向上的匀强电场，为竖直放置、足够长的挡板，在右侧有垂直纸面向里的匀强磁场。质量为、电荷量为的带电粒子从点沿以速度射出，不计粒子的重力。已知当区域加电场和不加电场时，粒子均刚好到达点。 （1）求电场强度大小； （2）磁场磁感应强度大小； （3）如果区域内电场强度大小可以变化，求粒子打在上的位置距点的最大距离。 【答案】（1）电场强度大小为； （2）磁感应强度大小为； （3）粒子打在上的位置距离的最大距离为。 【分析】（1）有电场时，对带电粒子受力分析，可知粒子做类平抛运动，根据粒子可以恰好到达点，即可得到电场强度大小； （2）无电场时，对带电粒子受力分析，可知粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据带电粒子可以恰好到达点，即可得到磁感应强度大小； （3）根据粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做圆周运动，结合几何关系，即可得到其到达上的位置与的间距表达式，结合数学知识，即可得到最大距离。 【解答】解：（1）有电场时，对带电粒子受力分析，可知粒子做类平抛运动，根据粒子可以恰好到达点， 可得：水平方向：，竖直方向：，， 解得电场强度大小：； （2）无电场时，对带电粒子受力分析，可知粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据带电粒子可以恰好到达点， 可得：，，解得磁感应强度大小：； （3）根据粒子在电场中做类平抛运动，可得粒子在水平方向：，竖直方向：，，其中：， 粒子进入磁场时，与夹角为，如下图所示： 粒子在磁场中做圆周运动，由图可知：， 结合几何关系：，， 即可得到其到达上的位置与的间距：， 结合数学知识化简得：，而，即最大距离为。 答：（1）电场强度大小为； （2）磁感应强度大小为； （3）粒子打在上的位置距离的最大距离为。 【实战3】（2025秋•沙河口区校级期中）如图所示是某种粒子探测器原理图，粒子源释放质量为、电荷量为的粒子，经加速电压加速后由通道入口的中缝进入通道，该通道截面是内径为、外径为的半圆环，磁感应强度为的匀强磁场垂直于半圆环，正对着通道出口处放置一张照相底片，能记录粒子从出口射出时的位置。不计粒子重力，则： （1）若加速器的电压为，求粒子的比荷与粒子打到底片上的位置距点的距离的关系式； （2）若加速电压在之间变化，求该种粒子在磁场中运动时间的范围。 【答案】（1）若加速器的电压为，粒子的比荷与粒子打到底片上的位置距点的距离的关系式为； （2）若加速电压在之间变化，该种粒子在磁场中运动时间的范围为。 【分析】（1）由动能定理和洛伦兹力提供向心力求粒子的比荷与粒子打到底片上的位置距点的距离的关系式； （2）根据动能定理和洛伦兹力提供向心力求粒子的轨迹半径范围，结合周期和时间的关系求该种粒子在磁场中运动时间的范围。 【解答】解：（1）粒子加速过程，由动能定理得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 由题意得，联立解得 （2）若，由 得粒子的轨迹半径范围是 由 得粒子在磁场中做匀速圆周运动周期 由题意知粒子在磁场中运动的最大圆心角为 粒子在磁场中运动的最长时间 如图所示 粒子打在内侧半圆环上，轨迹与内侧半圆环交于点。当时，圆弧对应的圆心角最小，粒子在磁场中运动的时间最短，则 所以粒子在磁场中运动时间的范围 答：（1）若加速器的电压为，粒子的比荷与粒子打到底片上的位置距点的距离的关系式为； （2）若加速电压在之间变化，该种粒子在磁场中运动时间的范围为。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。 2．分析思路 (1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出带电粒子的运动轨迹图。 (2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 (3)划分过程：将带电粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 3．常见带电粒子的运动及解题方法 模型02 叠加场模型 【实战4】（多选）（2025秋•浑南区校级期中）利用电场和磁场控制带电粒子的运动是现代电子设备的常见设计。如图所示，两水平正对放置的平行金属板和之间存在竖直向下的匀强电场和磁感应强度大小为、垂直纸面的匀强磁场（未画出）。两金属板的板间距为。质量为、速度为、带电荷量为的粒子甲和质量为、速度为、带电荷量也为的粒子乙先后从、连线的中点处沿两平行金属板中轴线进入电场，甲粒子恰好沿轴线射出金属板，乙粒子恰好从板右侧的点射出。两粒子均可视为质点，不计粒子重力、粒子间作用力。下列说法正确的是 A．磁场的方向垂直纸面向外 B．电场强度的大小为 C．乙粒子从点射出时，速度大小为，方向与的夹角为 D．金属板的长度可能为 【答案】 【分析】由左手定则判断磁场的方向； 根据平衡关系求电场强度的大小； 根据动能定理求粒子在点的速度，再结合速度的合成与分解求乙粒子从点射出时，速度大小为，方向与的夹角； 根据周期与时间的关系求金属板的长度。 【解答】解：．根据题意可知，甲粒子恰好沿轴线射出金属板，则甲受到的电场力与洛伦兹力等大反向，甲粒子做匀速直线运动，由于甲带正电，所以甲受到的电场力方向竖直向下，根据平衡关系可知洛伦兹力方向竖直向上，再根据左手定则可以判断出磁场的方向垂直纸面向里，故错误； ．对甲粒子，根据平衡关系有 解得 故正确； ．对乙粒子，根据动能定理有 联立解得粒子在点的速度 乙粒子的运动可分解为速度大小为的匀速圆周运动和水平向右、速度大小为的匀速直线运动，如图所示 根据速度的合成与分解可知，乙粒子从点射出时的速度方向与的夹角为，故错误； ．乙粒子做圆周运动转过一周前从射出，则在磁场中转过的角度为 乙粒子在磁场中做圆周运动的周期 乙粒子在磁场中做圆周运动的半径 则金属板的长度 故正确。 故选：。 【实战5】（2025•景德镇开学）如图，在竖直平面内建立直角坐标系，和两条竖直分界线把第一象限分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，其中区域Ⅰ中分布着水平向右的匀强电场（大小未知）和垂直于向里的匀强磁场（大小未知），区域Ⅱ中仅分布着与区域Ⅰ相同的匀强电场，区域Ⅲ中分布着与区域Ⅰ相同的匀强磁场和竖直向上的匀强电场（大小与区域Ⅰ相等）。一质量为、电荷量为可视为质点的小球从点进入区域Ⅰ中恰好做匀速直线运动，已知小球的初速度大小为，方向与轴正方向夹角为。小球经点进入区域Ⅱ，然后从点恰好沿轴正方向进入区域Ⅲ。已知区域Ⅰ的宽度为，重力加速度大小为，忽略磁场的边界效应。求： （1）电场强度和磁感应强度的大小； （2）小球在区域Ⅰ、Ⅱ中运动的总时间； （3）小球进入区域Ⅲ后，再次经过线时离轴的距离。 【答案】（1）电场强度，磁感应强度的大小； （2）小球在区域Ⅰ、Ⅱ中运动的总时间； （3）小球进入区域Ⅲ后，再次经过线时离轴的距离。 【分析】（1）根据小球在区域Ⅰ做匀速直线运动，利用受力平衡求解电场强度和磁感应强度； （2）将小球在区域Ⅰ的速度分解，求出在区域Ⅰ的运动时间，再分析小球在区域Ⅱ的运动，求出在区域Ⅱ的运动时间，进而得到总时间； （3）先求出小球进入区域Ⅲ的速度，再分析小球在区域Ⅲ的运动，利用洛伦兹力提供向心力求出半径，进而求出再次经过线时离轴的距离。 【解答】解：（1）在区域Ⅰ，小球做匀速直线运动，由受力平衡可知 解得， （2）在区域Ⅰ，小球水平方向做匀速直线运动，可知 解得 在区域Ⅱ，小球竖直方向只受重力，竖直方向有 解得 故小球在区域Ⅰ、区域Ⅱ运动的总时间 解得 （3）在区域Ⅱ，小球水平方向只受电场力，水平方向有， 解得 在区域Ⅲ， 所以 解得 在区域Ⅰ易知，点到轴的距离 在区域Ⅱ，设、两点的高度差为，小球在竖直方向做匀减速直线运动 解得 根据几何关系可知小球再次经过线时到轴的距离 答：（1）电场强度，磁感应强度的大小； （2）小球在区域Ⅰ、Ⅱ中运动的总时间； （3）小球进入区域Ⅲ后，再次经过线时离轴的距离。 【实战6】（2025秋•海淀区校级期中）利用电磁场使质量为、电荷量为的电子发生回旋共振可获取高浓度等离子体，其简化原理如图。如图甲所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为，平行于纸面向里、大小为的匀强电场绕着过点且垂直纸面的轴顺时针旋转；旋转电场带动电子加速运动，使其获得较高能量，高能电子使空间中的中性气体电离，生成等离子体。 （1）若空间中只存在匀强磁场，电子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，求电子做圆周运动的角速度； （2）将电子回旋共振简化为二维运动进行研究。施加旋转电场后，电子在如图乙所示的平面内运动，电子在运动过程中受到与其速度方向相反的气体阻力，式中为已知常量。最终电子会以与旋转电场相同的角速度做匀速圆周运动，且电子的线速度与旋转电场力的夹角（小于保持不变。只考虑电子受到的匀强磁场洛伦兹力、旋转电场电场力及气体阻力作用，不考虑电磁波引起的能量变化。 （ⅰ）若电场旋转的角速度为，求电子最终做匀速圆周运动的线速度大小； （ⅱ）旋转电场对电子做功的功率存在最大值，求当电场力的功率等于最大功率的一半时，电场旋转的角速度的数值。 【答案】（1）若空间中只存在匀强磁场，电子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，电子做圆周运动的角速度； （2）只考虑电子受到的匀强磁场洛伦兹力、旋转电场电场力及气体阻力作用，不考虑电磁波引起的能量变化。 （ⅰ）若电场旋转的角速度为，电子最终做匀速圆周运动的线速度大小； （ⅱ）旋转电场对电子做功的功率存在最大值，当电场力的功率等于最大功率的一半时，电场旋转的角速度的数值或。 【分析】（1）根据洛伦兹力提供向心力，结合圆周运动公式求解角速度。 （2）电子最终匀速圆周运动，受力平衡，将力分解到切向和法向列方程求解。 先求出功率表达式，再求最大值，最后根据功率一半的条件求角速度。 【解答】解：（1）电子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动 解得 （2）设电场力方向与速度方向的夹角为，沿圆轨迹的半径方向有 沿圆轨迹的切线方向有 根据几何关系有 解得 设电场力方向与速度方向的夹角为，旋转电场对电子做功的功率为 当时，电场对电子做功的功率最大 当时，有 解得 答：（1）若空间中只存在匀强磁场，电子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，电子做圆周运动的角速度； （2）只考虑电子受到的匀强磁场洛伦兹力、旋转电场电场力及气体阻力作用，不考虑电磁波引起的能量变化。 （ⅰ）若电场旋转的角速度为，电子最终做匀速圆周运动的线速度大小； （ⅱ）旋转电场对电子做功的功率存在最大值，当电场力的功率等于最大功率的一半时，电场旋转的角速度的数值或。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．叠加场 电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。 2．带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 粒子所受合力为0 平衡条件 匀速圆周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 模型03 带电粒子在交变电、磁场中的运动模型 【实战7】（2025秋•南阳期中）如图1所示，平面直角坐标系的、轴分别水平向右和竖直向上，第一、四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，第二、三象限水平放置平行于轴的金属板，两板到轴的距离相等，板右端在轴上。两板间加上周期性的匀强电场，电场强度与时间的关系图像如图2所示，电场强度竖直向下为正，图中、已知。边长为的正三角形的点在下极板的右边缘，边水平，轴上与两极板左端齐平的点有一粒子源，可水平向右不停地发射速度大小为、质量为、带电量为的粒子。在时刻发射的粒子恰好在时刻从点飞出电场进入磁场，粒子经过边上的点时速度与边垂直，接着粒子到达轴上的点（未画出），忽略重力及粒子间的相互作用，求： （1）极板的长度及两极板间的距离； （2）匀强磁场的磁感应强度大小； （3）0时刻发出的粒子从点到点的运动时间。 【答案】（1）极板的长度为，两极板间的距离为； （2）匀强磁场的磁感应强度大小为； （3）0时刻发出的粒子从点到点的运动时间为：。 【分析】（1）根据粒子在电场中水平方向做匀速直线运动，结合粒子在电场中竖直方向做匀加速直线运动分析求解； （2）根据粒子的轨迹，结合几何关系，洛伦兹力提供向心力分析求解； （3）根据粒子在电场和磁场运动的时间分析求解。 【解答】解：（1）粒子在电场中水平方向做匀速直线运动，则极板的长度为 设两极板间的距离为，粒子在电场中竖直方向根据对称性可得 其中 联立解得 （2）根据对称性可知，粒子从点飞出电场时竖直分速度为0，则粒子水平向右进入磁场，且速度为；粒子经过边上的点时速度与边垂直，作出粒子的轨迹如图所示 根据几何关系可得粒子在磁场中的轨迹半径为 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得匀强磁场的磁感应强度大小为 （3）0时刻发出的粒子在电场中的运动时间为 在磁场中的运动时间为 则0时刻发出的粒子从点到点的运动时间为 答：（1）极板的长度为，两极板间的距离为； （2）匀强磁场的磁感应强度大小为； （3）0时刻发出的粒子从点到点的运动时间为：。 【实战8】（2025秋•惠州月考）如图（a），在两块水平金属极板间加电压，一个重力不计、比荷带正电粒子，以水平初速度从金属极板正中间射入两板之间。具有理想直线边界的足够大的磁场区，其边界与水平方向成角。粒子经电场偏转后，恰好从下极板边缘点射入磁场，从此刻开始计时，磁感应强度按如图（b）规律变化，已知，磁场方向以垂直于纸面向里为正。求： （1）时，粒子速度的大小及其与水平方向的夹角； （2）若，则粒子在时的位置与点的距离； （3）若仅改变的大小，粒子射入磁场后，恰好不再从边界射出，则的值。 【答案】（1）粒子在电场中偏转后，时速度的大小为，与水平方向的夹角为。 （2）若，则粒子在时的位置与点的距离为。 （3）若仅改变的大小，粒子射入磁场后，恰好不再从边界射出，则的值为。 【分析】（1）粒子在电场中受到电场力作用做类平抛运动，根据动能定理可以求出粒子离开电场时的速度大小，结合初速度方向与末速度方向的关系，利用几何关系可以确定速度方向与水平方向的夹角。 （2）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力求出轨道半径。磁场随时间变化导致粒子运动方向改变，分析粒子在磁场中运动的时间与周期的关系，确定粒子转过的角度，通过几何关系计算粒子最终位置与点的距离。 （3）要使粒子恰好不从边界射出，需要粒子运动轨迹与边界相切。根据几何关系确定粒子在磁场中运动时转过的临界角度，结合磁场变化周期与粒子运动周期的关系，求出对应的值。 【解答】解：（1）粒子在电场中的偏转过程，根据动能定理有，结合几何关系，联立解得：，。 （2）粒子垂直射入磁场后做圆周运动，由洛伦兹力公式，解得：。运动周期，解得：。如图所示： 当时，粒子逆时针偏转的圆心角，解得：，此时粒子速度竖直向上。 再经过后，粒子顺时针偏转相同角度到达点，速度恢复初始方向。由几何关系得，解得：，与边界夹角为，故时粒子距点距离，代入数据解得：。 （3）当粒子轨迹与磁场边界相切于点时，恰好不再从边界射出，如图所示： 由几何关系知，解得：，故轨迹的圆心角为。根据，代入数据解得：。 答：（1）粒子在电场中偏转后，时速度的大小为，与水平方向的夹角为。 （2）若，则粒子在时的位置与点的距离为。 （3）若仅改变的大小，粒子射入磁场后，恰好不再从边界射出，则的值为。 【实战9】（2025秋•惠州月考）如图（a），在两块水平金属极板间加电压，一个重力不计、比荷带正电粒子，以水平初速度从金属极板正中间射入两板之间。具有理想直线边界的足够大的磁场区，其边界与水平方向成角。粒子经电场偏转后，恰好从下极板边缘点射入磁场，从此刻开始计时，磁感应强度按如图（b）规律变化，已知，磁场方向以垂直于纸面向里为正。求： （1）时，粒子速度的大小及其与水平方向的夹角； （2）若，则粒子在时的位置与点的距离； （3）若仅改变的大小，粒子射入磁场后，恰好不再从边界射出，则的值。 【答案】（1）粒子在电场中偏转后，时速度的大小为，与水平方向的夹角为。 （2）若，则粒子在时的位置与点的距离为。 （3）若仅改变的大小，粒子射入磁场后，恰好不再从边界射出，则的值为。 【分析】（1）粒子在电场中受到电场力作用做类平抛运动，根据动能定理可以求出粒子离开电场时的速度大小，结合初速度方向与末速度方向的关系，利用几何关系可以确定速度方向与水平方向的夹角。 （2）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力求出轨道半径。磁场随时间变化导致粒子运动方向改变，分析粒子在磁场中运动的时间与周期的关系，确定粒子转过的角度，通过几何关系计算粒子最终位置与点的距离。 （3）要使粒子恰好不从边界射出，需要粒子运动轨迹与边界相切。根据几何关系确定粒子在磁场中运动时转过的临界角度，结合磁场变化周期与粒子运动周期的关系，求出对应的值。 【解答】解：（1）粒子在电场中的偏转过程，根据动能定理有，结合几何关系，联立解得：，。 （2）粒子垂直射入磁场后做圆周运动，由洛伦兹力公式，解得：。运动周期，解得：。如图所示： 当时，粒子逆时针偏转的圆心角，解得：，此时粒子速度竖直向上。 再经过后，粒子顺时针偏转相同角度到达点，速度恢复初始方向。由几何关系得，解得：，与边界夹角为，故时粒子距点距离，代入数据解得：。 （3）当粒子轨迹与磁场边界相切于点时，恰好不再从边界射出，如图所示： 由几何关系知，解得：，故轨迹的圆心角为。根据，代入数据解得：。 答：（1）粒子在电场中偏转后，时速度的大小为，与水平方向的夹角为。 （2）若，则粒子在时的位置与点的距离为。 （3）若仅改变的大小，粒子射入磁场后，恰好不再从边界射出，则的值为。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路 先读图 看清并且明白场的变化情况 受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况 过程分析 分析粒子在不同时间段内的运动情况 找衔接点 找出衔接相邻两过程的物理量 选规律 联立不同阶段的方程求解 学科网（北京）股份有限公司 $