专题六 函数与导数 微专题1 导数与不等式证明问题 讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数与导数专题中的导数与不等式证明核心考点，将直接作差构造新函数、隔离拆分法、适当放缩、适当同构四大证明方法按逻辑层次构建知识网络，通过问题导向的例题设计和任务驱动，引导学生自主梳理方法联系，形成系统化的证明思路框架。 亮点在于融合诊断性跟踪练习与进阶式学习活动，每个考点配套方法指导与真题演练，如构造函数证明不等式的阶梯式例题，培养学生数学思维的推理能力与数学语言的表达能力。学生可借助跟踪练习自主诊断薄弱环节，教师能依据学情实施个性化指导，有效提升学生自主复习能力与备考实效。

专题六 函数与导数 微专题1 导数与不等式证明问题 一、考点透析 考点1：直接作差构造新函数证明不等式 将证明不等式f (x)>g(x)(或f (x)<g(x))，转化为证明f (x)－g(x)>0(或f (x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f (x)－g(x)． 1．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在上的单调性； (3)若，求证：当时，． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增； 时，在上单调递减；在上单调递增． (3)证明见解析 【详解】（1）略 （2）略 （3）证明：设． ，由（2）可知 ①当时，在上单调递增，所以， 即在上单调递增，所以，满足题意； ②当时， 当时，单调递减； 当时，单调递增， ， ，，即， 在上单调递增，，满足题意， 综上可得，当且时，． 2．（25-26高三上·广东广州·月考）已知函数． (1)当时，求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）当时，， 令，， 由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 所以，即； 令，， 由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，最小值为， 所以，即， 综上：. （2）当时，， 要证明，只需证明， 故只需证明. . 因为函数和函数在上单调递增，所以在上单调递增. ， 所以必定存在唯一一个零点，且， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 由，得，， 所以， 所以. 所以，当时，. 考点2：隔离拆分法证明不等式 在证明过程中，将不等式不等号两端分别“隔离”出两个函数式f（x），g（x），使f（x）min＞g（x）max恒成立，从而f（x）＞g（x），但f（x）与g（x）取到最值的条件不是同一个“x”的值；或者对于较复杂的不等式，也可将不等式的某一部分“隔离”开，单独进行研究，然后再纳入整体进行论证. 1.（2024·高三全国专题练习）已知函数f（x）＝xln x＋x. （1）求函数f（x）的最小值； （2）证明：ln x＋1＞－. 解：（1）f'（x）＝ln x＋2，令f'（x）＝ln x＋2＝0可得x＝， 当x∈（0，）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 所以f（x）min＝f（）＝－. （2）证明：因为x＞0，所以只需证明xln x＋x＞－， 下面考虑证明左边的最小值大于右边的最大值. 设g（x）＝－，则g'（x）＝， 当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增， 当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减， 所以g（x）max＝g（1）＝－，所以g（x）≤－， 由（1）知f（x）＝xln x＋x≥－. 又因为g（x）≤－取等号时x＝1，f（x）＝xln x＋x≥－取等号时x＝， 所以等号不能同时取到，故xln x＋x＞－，则原不等式得证. 2.求证：ex－ex＋1－＞0(x＞0)． 证明：原不等式等价于ex－ex＋1＞(x＞0)． 令F(x)＝ex－ex＋1(x＞0)，F′(x)＝ex－e.当x∈(0，1)时，F′(x)＜0； 当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＞0，所以F(x)min＝F(1)＝e－e＋1＝1. 令G(x)＝(x＞0)，G′(x)＝. 当x∈(0，e)时，G′(x)＞0； 当x∈(e，＋∞)时，G′(x)＜0，所以 G(x)max＝G(e)＝1. 又两个等号不同时取得，所以F(x)＞G(x)， 即ex－ex＋1＞，故原不等式成立． 考点3：适当放缩证明不等式 适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论． 常见的放缩式： ①x>0，ln x≤x－1； ②x∈R，exx＋1； ③0<x<，tan x>x>sin x； ④0<x<，cos x>1－x2． 1.已知函数f（x）＝，g（x）＝，证明：f（x）＞2g（x）－1. 证明：要证f（x）＞2g（x）－1，即证＞－1， 因为当x＞0时ex＞x＋1＞0，即＞，也即＞，－1＞－1. 只需证≥－1，即证xln x≥x－1. 令m（x）＝xln x－x＋1，则m'（x）＝ln x， 所以当x∈（0，1）时，m'（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，m'（x）＞0， 所以m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增， 所以m（x）min＝m（1）＝0，即m（x）≥0， 所以xln x≥x－1，f（x）＞2g（x）－1得证. 2．（2025·天津·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)利用（2）的结论证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）略 （2）函数的定义域为，，令， 依题意，，恒成立， 求导得，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以. （3）由（2）知，，即，当且仅当时取等号， 则当时，，，…，， 因此， 所以原不等式成立. 3．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1），则， 当时，在上单调递增， 当时，令，解得， 单调递减， 单调递增， 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可知，恒成立，又， 当时，在上单调递增，所以可得，不符合题意； 当时，由（1）可知的唯一极小值为，也即函数有最小值为， 所以只需，又， 所以，可得，即， 综上，实数的取值范围为. （3）要证， 即证， ①当时，先证， 令，则， 所以在上单调递减，故， 所以， 又，所以， 所以， 令，则， 令，， 当时，， 所以在上单调递增， 当时，， 所以，即在上单调递增， 所以，即， 所以； ②当时，由，则， 由，则， 所以， 由（2）知，，当时等号成立， 所以当时，， 所以， 综上，当时，，即 考点4：适当同构证明不等式 1．（24-25高三上·河北·月考）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：时，； (3)若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）， 即证，即证， 由（1）可知：，即， 可得，即，当且仅当时，等号成立， 用替换可得，即，当且仅当时，等号成立， 令，则原不等式等价于， 因为，，且，在内单调递减，可得， 所以. （3）， 所以. 当时，，在上单调递减，至多有一个零点； 当时，由得， 则当时，，单调递减， 则当时，，单调递增， 此时. 因为当时，，当时，， 则要使有两个零点，需. 令，则在上单调递增， 又，所以； 综上，实数的取值范围为. 2.(2025·山东威海模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax＋1. (1)求f(x)的极值； (2)证明：ln x＋x＋1≤xex. 解：(1)由题意得f(x)＝ln x－ax＋1的定义域为(0，＋∞)， 则f′(x)＝， 当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值； 当a>0时，令f′(x)<0，则x>，令f′(x)>0，则0<x<， 即f(x)在上单调递增，在上单调递减， 故x＝为函数的极大值点，函数极大值为＝－ln a，无极小值． (2)证明：（法1）设g(x)＝xex－ln x－x－1，x>0， g′(x)＝(x＋1)ex－－1， 令h(x)＝(x＋1)ex－－1， 则h′(x)＝(x＋2)ex＋>0(x>0)， 即h(x)在(0，＋∞)上单调递增， h＝－3<0， h(e)＝(e＋1)ee－－1>0， 故∃x0∈，使得h(x0)＝0， 即＝1， 当x∈(0，x0)时，h(x)<0，g(x)在(0，x0)上单调递减， 当x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，g(x)在(x0，＋∞)上单调递增， 故g(x)min＝g(x0)＝－x0－1＝0， 即g(x)≥0，即xex≥ln x＋x＋1，则ln x＋x＋1≤xex. （法2）原不等式等价于ln x＋x＋1≤ex+lnx 设t=ln x＋x,即证t+1≤et,显然成立. 故原不等式成立. 二、跟踪练习 1．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知，当时，不等式恒成立，则的值不可能为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】由 有：，所以对任意恒成立， 令， 则直线应介于函数与函数之间， 所以，令，得， 当， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 由，当， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 作出和的图像： 所以， 故选：D. 2．（25-26高三上·内蒙古包头·月考）设函数，. (1)求的单调区间. (2)证明：. (3)当时，证明：. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1），定义域为，. 因为与在上均单调递增，所以在上单调递增. 又，所以当时，；当时，. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）令， 则. 令 令. 令. 因为单调递减，且， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递增，在是单调递减. 所以当时，取得极大值，即最大值为. 所以在上恒成立，所以在上单调递减. 又因为，所以当时，；当时，. 所以在上单调递增，在是单调递减. 所以当时，取得极大值，即最大值为. 所以恒成立，即恒成立，即. （3）令. 则. 令，则. 因为在上单调递减，且，所以当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值为 当时，，所以在上存在一个零点，记为. 又，所以当时，；当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 当时，，且.所以恒成立. 所以恒成立，即. 由（2）知，所以. 所以. 因为当时，， 所以当时，得证. 3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)设，证明：. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当时，. 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由，， 则， 设，则， 当时，，，则， 所以函数在上单调递减， 则，符合题意； 当时，，则在上单调递减， 所以，则， 所以在上单调递减， 则，符合题意； 当时，， （i）当时，，则在上单调递增， 所以，则， 所以在上单调递增，则，不符合题意； （ii）当时，若，则， 所以，则在上单调递减，所以，则， 所以在上单调递减，则，符合题意； （iii）当时，令，其中， 所以当时，单调递增，则，即， 所以在上单调递增，则，不符合题意. 综上所述，的取值范围为. （3）由（2）可知，取，得，，则， 所以，， 令，有， 所以， 则，得证. 4．（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知，函数，曲线在点处的切线为. (1)证明：过定点； (2)证明：除点外，曲线都在的下方； (3)若，当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意得，                                     则，且，                                                     所以的方程为，即.   故过定点. （2）原命题等价于，即； 设，则. 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，仅当时等号成立，即原命题成立. （3）(法1)当时，可转化为.                                 设，则.                                 当时，，由（2）可知在上单调递减， 又， 所以在内存在唯一的零点，                                               当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以.                                               又，所以， 所以，所以，即实数的取值范围是. (法2)原不等式等价于 设t=x-lnx-1,则上式可化为 -t,即有：. 设S（t）= ,易知S（t）最大值为 . 所以 . 故 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题六 函数与导数 微专题1 导数与不等式证明问题 一、考点透析 考点1：直接作差构造新函数证明不等式 将证明不等式f (x)>g(x)(或f (x)<g(x))，转化为证明f (x)－g(x)>0(或f (x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f (x)－g(x)． 1．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在上的单调性； (3)若，求证：当时，． 2．（25-26高三上·广东广州·月考）已知函数． (1)当时，求证：； (2)当时，求证：． 考点2：隔离拆分法证明不等式 在证明过程中，将不等式不等号两端分别“隔离”出两个函数式f（x），g（x），使f（x）min＞g（x）max恒成立，从而f（x）＞g（x），但f（x）与g（x）取到最值的条件不是同一个“x”的值；或者对于较复杂的不等式，也可将不等式的某一部分“隔离”开，单独进行研究，然后再纳入整体进行论证. 1.（2024·高三全国专题练习）已知函数f（x）＝xln x＋x. （1）求函数f（x）的最小值； （2）证明：ln x＋1＞－. 2.求证：ex－ex＋1－＞0(x＞0)． 考点3：适当放缩证明不等式 适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论． 常见的放缩式： ①x>0，ln x≤x－1； ②x∈R，exx＋1； ③0<x<，tan x>x>sin x； ④0<x<，cos x>1－x2． 1.已知函数f（x）＝，g（x）＝，证明：f（x）＞2g（x）－1. 2．（2025·天津·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)利用（2）的结论证明：． 3．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：. 考点4：适当同构证明不等式 1．（24-25高三上·河北·月考）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：时，； (3)若有两个零点，求实数的取值范围. 2.(2025·山东威海模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax＋1. (1)求f(x)的极值； (2)证明：ln x＋x＋1≤xex. 二、跟踪练习 1．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知，当时，不等式恒成立，则的值不可能为（   ） A．2 B． C． D． 2．（25-26高三上·内蒙古包头·月考）设函数，. (1)求的单调区间. (2)证明：. (3)当时，证明：. 3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)设，证明：. 4．（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知，函数，曲线在点处的切线为. (1)证明：过定点； (2)证明：除点外，曲线都在的下方； (3)若，当时，，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $