26.1.2 反比例函数的图象与性质 第二课时 教学设计 2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数图像与性质（第二课时），核心探究k的几何意义。复习导入通过点在图像上求参数、判断象限、三角形交点k取值范围等题目激活旧知，搭建新旧知识支架，降低学习难度。 以“自主画图—观察归纳—对比辨析”为主线，通过面积探究活动培养几何直观（数学眼光），推理k与矩形面积关系（数学思维），对比k正负差异构建知识体系，提升学生分析与创新能力，助力教师高效教学，落实核心素养。

26.1.2反比例函数的图像与性质第二课时 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是人教版初中数学九年级（下册）第26章“反比例函数”的第二节。内容包括：反比例函数图象的图象与性质以及k的几何意义。 （二）教学内容解析 从数学思想来看，本节课进一步强化数形结合思想（通过k的正负判断图象特征与性质，用图象验证性质）、对比思想、归纳思想（从具体函数图象归纳一般规律）。这些思想方法的巩固的运用，能提升学生分析问题、归纳总结的能力。 从教学价值来看，本节课的学习能帮助学生全面掌握反比例函数的核心性质，为解决函数综合题、实际应用问题提供关键支撑；同时，通过自主探究与对比分析，培养学生的逻辑思维严谨性，让学生体会数学知识的系统性与完整性。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】 理解和掌握反比例函数(k≠0）中k的值与相应矩形及三角形面积之间的关系. 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1.掌握反比例函数的图象特征（位置、对称性）；理解反比例函数在每个象限内y随x的变化规律； 2.能熟练对比反比例函数的图象与性质差异，形成完整的知识体系；能运用反比例函数的图象与性质解决简单的比较大小、图象判断等问题。 （二）教学目标解析 知识与技能目标是本节课的核心，其中 “图象与性质掌握” 是重点，“对比辨析” 是难点。学生需在第一课时基础上，通过自主探究完成知识的拓展与整合，形成完整的反比例函数性质体系。 过程与方法目标注重学生的自主学习体验，通过 “自主画图 — 独立观察 — 对比归纳” 的流程，让学生主动参与知识的完善过程，避免被动接受，帮助学生深刻理解k的正负对函数图象与性质的影响。 情感态度与价值观目标贯穿教学始终，通过自主探究、对比总结等环节，让学生在学习中获得成就感，激发学习兴趣；同时，通过知识体系的建构，让学生感受数学的系统性，培养严谨的思维品质。 三、学生学情分析 学生在之前已经学习了正比例函数和一次函数，对函数的概念、图象和性质有了一定的了解，具备了一定的函数学习基础。同时，学生也已经掌握了一些基本的数学方法和技能，如描点法画图、观察分析图象等，这为本节课的学习提供了有力的支持。然而，反比例函数的图象与性质与正比例函数和一次函数相比，有着明显的不同。反比例函数的图象是双曲线，这对于学生来说是一种全新的函数图象，其形状、变化趋势以及与坐标轴的关系等都需要学 生进行深入理解和探究。此外，反比例函数的性质在理解和应用上也存在一定的难度，学生可能会在理解反比例函数的增减性与自变量取值范围的关系等方面遇到困难。 【教学难点】逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数中比例系数“k"的几何意义，培养学生类比、转化及数形结合的数学思想方法;能灵活运用函数图象和性质解决一些综合的问题，提高学生的数学思维能力. 四、教学过程分析 （一）复习引入 1.点在反比例函数图象上，则= . 2.反比例函数的图像在第一、三象限，则点()在第__四___象限． 3.如图，△ABC的三个顶点分别为(1，2)，(4，2)，(4，4).若反比例函数在第一象限内的图象与△ABC有交点，则的取值范围是_____ 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 例1 已知反比例函数的图象经过点 A（2，6）． 　　（1）这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ 　　（2）点 B（3，4），C（，），D（2，5）是否在这个函数的图象上？ 练习： 1.已知一个反比例函数的图象经过点A（3， – 4）. （1）这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？ （2）点B（ – 3，4），C（ – 2，6），D（3，4）是否在这个函数的图象上？为什么？ 归纳： （1）反比例函数的图象上一点的坐标 判断其图象所在的象限 根据图象说性质. （2）若点（a，b）满足解析式（即ab = k），则点（a，b）在此函数的图象上. 例2　如下图，它是反比例函数图象的一支，根据图象，回答下列问题： 　　（1）图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ 　　（2）在这个函数图象的某一支上任取点 A（x1，y1）和点B（x2，y2），如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的关系？ 解：（1）反比例函数的图象只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. 因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以 m–5 ＞0 解得m＞5. （2）因为m – 5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小，因此当x1 ＞ x2时，y1 ＜ y2. 探究：求图中矩形的面积 归纳总结：过反比例函数图象上任意一点P分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，它们与坐标轴形成的矩形面积是不变的。 结论： （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1.如图，反比例函数的图象经过点，那么矩形的面积为 6 ； 2.如图，点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A，当点P从左向右移动时，的面积___4____ 3.如图，A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点作轴、轴的垂线段． ， ， 分别表示图中三个矩形的面积，若，且，则值为__3.5_____ 4.如图所示，直线与双曲线交于A,B两点,P是AB上的点,△AOC的面积、△BOD的面积、 △POE的面积的大小关系为 . 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $