6.2.1 直线与方程 6.2.2 直线的倾斜角和斜率（教学课件）--人教版《数学 基础模块下册》《上好课》

6.2.1 直线与方程 6.2.2 直线的倾斜角和斜率 第六章 直线和圆的方程 人教版 基础模块下册 学习目标 1．理解“直线的方程”的定义， 能根据直线上点的特征写出直线方程并判断某点是否 在给定直线上； 2．熟记倾斜角与斜率的定义， 明确倾斜角与斜率的对应关系； 3．能通过直线的倾斜角求斜率（或通过斜率求倾斜角），会用两点坐标计算直线的斜率。 教学引入 我们知道，一次函数的图象是一条直线. 如图所示，y=x+3的图象是直线AB. 可以发现： y=x+3是一个代数方程，而直线AB是一个几何图形，也就是说，代数方程可以用几何图形来表示，几何图形也可以用代数方程来表示. 教学引入 情境思考： 平面直角坐标系中的任意一条直线，都是由点组成的. 若已知任意一点的坐标，怎样才能判断它是不是在给定的直线上呢？ 教学引入 事实上，我们需要找出该直线上的点的特征性质，即只有这条直线上的点具有的性质. 例如，通过点(2,0)垂直于x轴的直线，它的特征性质是什么呢？ 如图所示，显然，在直线上的点的横坐标都是2；反之，横坐标是2的点也一定在直线上.因此，直线l的特征性质可以表述为x=2. 教学引入 所以，对于平面直角坐标系中的任意一点， 我们只需要看它的坐标是否满足上述方程，就能 判断出它是否在直线l上. 比如： 点A(2,1)的坐标满足上述方程，所以点A在直线上； 点B(2.3,2)不满足上述方程，所以点B不在直线 上. 导入新知1 一般地，在平面直角坐标系中，给定一条直线，如果直线上点 的坐标都满足某个方程，而且满足这个方程的坐标所表示的点都在 给定的直线上，那么这个方程称为这条直线的方程. 由上面的例子可知，图中直线的方程是 x=2. 案例分析 学以致用 教学引入 同学们，我们学习了直线可以用方程来描述，例如，车间里垂直于地面的流水线对应的方程是x=2。但实际生产里，更多传送带是“倾斜”的——比如这条从左上角到右下角的传送带，它的倾斜程度该怎么用数学语言表示呢？ 导入新知2 在数学中，我们选择用倾斜角和斜率来衡量直线相对于x轴的倾斜程度。 一般地，在平面直角坐标系中，直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角α称为这条直线的倾斜角. 特别地，当直线与y 轴垂直时，规定这条直线的倾斜角为. 直线倾斜角α的取值范围是≤α≤. 案例分析 学以致用 导入新知3 倾斜角α的正切值称为这条直线的斜率，通常用k表示，即： . 特别地，倾斜角为90°的直线，斜率不存在. 我们知道，在平面直角坐标系中，给定两个不同的点(, ) 和 , ) ，通过这两点的直线的倾斜角是确定的，如果倾斜角不是的话，它的斜率也是确定的. 接下来我们将研究两个点的坐标与直线斜率之间的关系. 导入新知3 如图所示，A点坐标为A(1,1)，B点坐标为B（3,5)，如何求AB直线的斜率？ 【解析】 从A,B分别向x轴作垂线AA1,BB1，过A向BB1作垂线AC，连接AB. 导入新知3 一般地，若，则过点和的直线的斜率为 不难看出: 当 = 时，直线垂直于 x轴，此时它的倾斜角为，斜率不存在； 当= 时，直线垂直于 y 轴，此时它的倾斜角为，斜率 k = 深入理解 下面我们证明直线的斜率. 如图所示，过作x轴的垂线，过作y轴的垂线，假设它们相交于点M，则 是一个直角三角形.又因，所以M的坐标为. 深入理解 ①如果α是锐角，如图(1)所示，此时 α=∠, = 因此直线的斜率为 k == 深入理解 ②如果α是钝角，如图(2)所示，此时 α=∠, = 因此直线的斜率为 k == 案例分析 学以致用 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 师生交流 【练习】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 假设你是一名“工程测量小能手”。 在市政工程中，道路的坡度需要用斜率表示——已知一条上坡路的倾斜角是60°，谁能算出它的斜率？如果另一条路的斜率是，它的倾斜角是多少？ 稍后抽一位同学上台在黑板上写出答案，同学们一起判断结果对不对~ 【答案】 斜率：α=60°，，所以斜率为 倾斜角：结合倾斜角的取值范围是≤α≤，所以当斜率为倾斜角为60°。 课堂小结 （1）什么是直线方程？ 一般地，在平面直角坐标系中，给定一条直线，如果直线上点的坐标都满足某个方程，而且满足这个方程的坐标所表示的点都在给定的直线上，那么这个方程称为这条直线的方程. （2）什么是直线的倾斜角？ 一般地，在平面直角坐标系中，直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角α称为这条直线的倾斜角. （3）直线的斜率如何表示？ 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 【例题】若点在直线上，则（ ） A． B．11 C． D．7 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知点在直线， 则有， 解得. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】点在直线上，则等于（ ） A．1 B． C．5 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为点在直线上， 所以，解得. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知直线经过点，，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 设直线的倾斜角为， ∵直线经过点，，∴直线的斜率，从而， ∵，∴． 故选：B． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知点，则直线的倾斜角是（ ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为，所以， 倾斜角为，，， 即，所以直线的倾斜角是锐角. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】过，两点的直线的斜率为（ ） A． B．4 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为，， 所以过的直线的斜率， 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为， 则直线的斜率为. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】已知直线的方程为，则下列各点中在该直线上的是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知直线的方程为， 将点代入直线的方程为，故不在直线上， 将点代入直线的方程为，故不在直线上， 将点代入直线的方程为，故在直线上， 将点代入直线的方程为，故不在直线上， 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】直线的方程是指（ ） A．直线上点的坐标都是方程的解 B．以方程的解为坐标的点都在直线上 C．直线上点的坐标都是方程的解且以方程的解为坐标的点都在直线上 D．以上都不对 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 直线的方程是指直线上点的坐标都是方程的解且以方程的解为坐标的点都在直线上，故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】直线过点，，则直线的斜率为（ ） A． B． C．1 D．2 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为直线过点，， 所以直线的斜率为. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】若经过点和点的直线的斜率为1，则的值为（ ） A． B． C．1 D．4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为经过点和点的直线的斜率为1， 即，解得. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】已知直线经过点，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为直线经过点， 所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，且， 所以，可得. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习6】经过两点的直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 . 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $