专题07 解三角形（讲义）-江西省（三校生对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年江西省三校生对口升学考试二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及江西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年江西省三校生对口升学考试二轮复习《数学考纲专题练》的第7个专题，内容为解三角形。 2026年江西省三校生对口升学考试《数学考纲专题练》 专题07 解三角形 一、课标解读 依据江西省三校生对口升学考试数学考纲，正余弦定理和解三角形是三角函数模块的核心应用考点，也是连接几何与代数的重要纽带。考纲明确要求学生掌握以下核心能力： 1. 掌握正弦定理、余弦定理的表达式及适用场景，能准确书写定理公式并理解其几何意义； 2. 能运用定理解决三角形中的基本问题：已知“两角及一边”“两边及一角”“三边”等条件时，求解未知边或角； 3. 掌握三角形面积公式的多种形式及应用，能结合正余弦定理计算三角形面积； 4. 能根据边或角的关系判断三角形形状，解决与三角形相关的简单综合问题。 该考点侧重考查运算求解能力和逻辑推理能力，题目难度以基础、中档为主，是高考中“稳分”的关键板块，近5年每年必考，需扎实掌握。 二、考情聚焦 注：以下考情基于2020-2025年江西省三校生对口升学考试真题整理，数据精准对应真题内容。 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 填空题 T23 正弦定理判断三角形形状、勾股定理求边长、三角形面积公式应用 5分 · 考查频率：近5年每年必考，解答题是固定题型（2020、2022、2024年各1道），填空题为重要补充（2020、2021、2025年涉及），未出现选择题和判断题，核心考查形式集中在解答题与填空题。 · 考查重点：正弦定理求边/角、余弦定理求边/角、三角形面积计算是三大核心考点，其中“正余弦定理+面积公式”的综合应用占比最高（2020-2025年相关题目均涉及）。 · 分值占比：单年分值10-13分，占数学试卷总分的8%-11%，解答题（8分）是分值核心，填空题（5分/题）为重要加分项，整体占比稳定。 · 命题特点：①基础为主，计算量适中，侧重定理直接应用；②解答题多为两小问，第一问求边/角，第二问求面积或高，层次清晰；③常结合“大边对大角”判断角的范围，避免多解错误（如2022年T26）；④偶尔涉及两角和正弦公式（如2020年T28求sinC），但难度较低。 2024 解答题 T25 （1）余弦定理求第三边；（2）三角形面积公式求AB边上的高 8分 2022 解答题 T26 （1）正弦定理求角B；（2）结合三角形大边对大角判断角的范围，再用面积公式求面积 8分 2021 填空题 T22 余弦定理变形求角A的余弦值，进而确定角A的大小 5分 2020 解答题 T28 （1）正弦定理求边b；（2）三角形内角和求角C，结合两角和正弦公式求sinC，再用面积公式求解 8分 2020 填空题 T19 正弦定理判断三角形解的个数（隐性考查） 5分 三、考点预测（2026年） 预测考点 题型 分值 考查方向 余弦定理求第三边 填空题 5分 已知两边及夹角（如a=4，b=3，C=60°），直接用余弦定理求c 正弦定理求角 解答题（第1小问） 3分 已知两角及一边（如A=30°，B=45°，a=2），求角C和边b 三角形面积计算 解答题（第2小问） 5分 结合第1小问的结果，用S=1/2ab sinC求面积，或求某边上的高 余弦定理判断三角形形状 填空题 5分 已知三边（如a=3，b=4，c=5），用余弦定理求最大角，判断是否为直角三角形 四、知识梳理（聚焦考点・关联 2025 年真题） 1. 核心定理公式 （1）正弦定理 ① 表达式：在△ABC中，a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R为△ABC外接圆半径）； ② 变形形式：a=2R sinA，b=2R sinB，c=2R sinC；sinA=a/(2R)，sinB=b/(2R)，sinC=c/(2R)；a:b:c=sinA:sinB:sinC； ③ 适用场景：已知两角及一边（AAS/ASA）、已知两边及其中一边的对角（SSA，需注意多解问题）、已知三边比例求角。 （2）余弦定理 ① 表达式：在△ABC中，a²=b²+c²-2bc cosA；b²=a²+c²-2ac cosB；c²=a²+b²-2ab cosC； ② 变形形式：cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)；cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)；cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)； ③ 适用场景：已知两边及夹角（SAS）、已知三边（SSS）、已知一边及两角（可先求第三角再用，但正弦定理更简便）、求角的余弦值（判断角的类型）。 （3）三角形面积公式 ① 基本公式：S=1/2×底×高； ② 边角结合公式：S=1/2 ab sinC=1/2 bc sinA=1/2 ac sinB（核心应用公式，常结合正余弦定理使用）； ③ 海伦公式：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2（已知三边时使用，考频较低）。 2. 关键辅助知识点 ① 三角形内角和：A+B+C=180°，故sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC； ② 大边对大角：若a＞b，则A＞B，反之亦然；钝角三角形中最大角的余弦值＜0； ③ 三角形解的个数（SSA型）：当a＞b时，有唯一解；当a=b时，有唯一解（等腰三角形）；当a＜b时，若a＞b sinA，有两解；若a=b sinA，有一解；若a＜b sinA，无解（考频较低，2020年隐性考查）； ④ 三角恒等变换：两角和/差正弦公式（sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB），偶尔用于求sinC（如2020年真题）。 3. 解三角形基本步骤 ① 明确已知条件：判断是“AAS/ASA”“SAS”“SSS”“SSA”哪种类型； ② 选择定理：AAS/ASA/SSA优先用正弦定理，SAS/SSS优先用余弦定理； ③ 计算求解：代入公式计算未知边或角，结合内角和求剩余角，必要时用面积公式计算面积； ④ 验证合理性：结合“大边对大角”判断角的范围，避免出现钝角/锐角判断错误。 五、10分钟小测验 1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=60°，a=√3，B=45°，则b=（ ） A. √2 B. √3 C. 2 D. 3 2.在△ABC中，已知a=5，b=7，c=8，则角B的大小为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 3.在△ABC中，a=2，b=3，C=60°，则△ABC的面积为______ 4.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=2:3:4，则对应边a:b:c=______ 5.在△ABC中，已知a=4，B=30°，C=105°，则边c=______ 6.在△ABC中，a=3，b=4，c=5，该三角形为______三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”） 7.在△ABC中，已知b=5，c=3，A=120°，则边a=______ 8.在△ABC中，a=2，b=2，C=90°，则AB边上的高为______ 10分钟小测验答案 1. A 2. C 3. 3√3/2 4. 2:3:4 5. 2√6 6. 直角 7. 7 8. √2 六、经典例题解析 本部分精选10道经典例题，涵盖真题文档及本省模拟题，按考点分类解析，突出解题思路与方法提炼。 考点1：正弦定理求边/角 例1（2020·江西·T28（1））：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=60°，a=√3，C=45°，求边b的长。 解析：第一步，由三角形内角和为180°，求角B：B=180°-A-C=180°-60°-45°=75°； 第二步，根据正弦定理“a/sinA = b/sinB”，代入已知条件：√3/sin60° = b/sin75°；第三步，计算sin60°=√3/2，sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√2/2×√3/2 + √2/2×1/2=√6/4 + √2/4=(√6+√2)/4； 第四步，求解b：b=√3/(√3/2) × (√6+√2)/4=2×(√6+√2)/4=(√6+√2)/2。 例2（2022·江西·T26（1））：在△ABC中，a=2，b=√3，A=45°，求角B的大小。 解析：由正弦定理“a/sinA = b/sinB”，得sinB = b sinA / a；代入数值：sinB=√3×sin45°/2=√3×(√2/2)/2=√6/4； 结合“大边对大角”，a=2＞b=√3，故A＞B，角B为锐角. 因此B=arcsin(√6/4)≈30°（考试中可直接写角度值）。 考点2：余弦定理求边/角 例3（2024·江西·T25（1））：在△ABC中，已知AB=4，AC=3，角BAC=60°，求BC边的长。 解析：设BC=a，AB=c=4，AC=b=3，角A=60°；由余弦定理“a²=b²+c²-2bc cosA”，代入得a²=3²+4²-2×3×4×cos60°=9+16-24×1/2=25-12=13；故BC=√13。 例4（2021·江西·T22）：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，求角A的余弦值及角A的大小。 解析：由余弦定理“cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)”，代入数值：cosA=(4²+5²-3²)/(2×4×5)=(16+25-9)/40=32/40=4/5；因cosA=4/5＞0，且A为三角形内角，故A=arccos(4/5)≈37°（或用特殊角表示，此处直接写角度近似值即可）。 考点3：三角形面积计算 例5（2024·江西·T25（2））：承接例3，求△ABC中AB边上的高。 解析：方法一：先求三角形面积，再用面积公式求高。由例3知BC=√13，也可先算面积S=1/2 bc sinA=1/2×3×4×sin60°=6×√3/2=3√3；设AB边上的高为h，AB=c=4，由S=1/2×c×h，得h=2S/c=2×3√3/4=3√3/2。 方法二：直接用高的定义，h=AC×sinA=3×sin60°=3√3/2，更简便。 例6（2020·江西·T28（2））：在△ABC中，A=60°，a=√3，C=45°，求△ABC的面积。 解析：由例1知b=(√6+√2)/2，c可由正弦定理求得：a/sinA = c/sinC，c=√3/(√3/2)×sin45°=2×√2/2=√2； 面积S=1/2 bc sinA=1/2×(√6+√2)/2×√2×√3/2=1/2×(√12+√4)/2×√3/2=1/2×(2√3+2)/2×√3/2=1/2×(√3+1)×√3/2=(3+√3)/4。 考点4：正余弦定理综合应用（判断形状、求最值等） 例7（2025·江西·T23）：在△ABC中，已知a=5，b=12，c=13，判断三角形形状并求其面积。 解析：第一步判断形状：计算三边平方，a²=25，b²=144，c²=169，满足a²+b²=25+144=169=c²，由勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，角C=90°； 第二步求面积：S=1/2 ab=1/2×5×12=30。 例8（江西某重点中职校模拟题）：在△ABC中，若(a+b)(a-b)=c(b+c)，求角A的大小。 解析：先整理已知等式：a²-b²=bc+c²，即b²+c²-a²=-bc；由余弦定理“cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)”，代入得cosA=(-bc)/(2bc)=-1/2； 因A为三角形内角（0°＜A＜180°），故A=120°。 考点5：结合三角恒等变换的综合问题 例9（2020·江西·T28拓展）：在△ABC中，A=60°，B=75°，a=2，求sinC及三角形面积。 解析：角C=180°-60°-75°=45°，sinC=√2/2；由正弦定理“a/sinA = c/sinC”，得c=2×sin45°/sin60°=2×(√2/2)/(√3/2)=2√6/3； 面积S=1/2 ac sinB=1/2×2×(2√6/3)×sin75°= (2√6/3)×(√6+√2)/4=(12+2√12)/12=(12+4√3)/12=(3+√3)/3。 例10（江西中职联考真题）：在△ABC中，sinA=2sinBcosC，判断三角形形状。 解析：方法一：由正弦定理，sinA=a/2R，sinB=b/2R，代入得a/2R=2×(b/2R)×cosC，即a=2b cosC；由余弦定理cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)，代入得a=2b×(a²+b²-c²)/(2ab)，化简得a=(a²+b²-c²)/a，即a²=a²+b²-c²，故b²=c²，b=c，三角形为等腰三角形。 方法二：用三角恒等变换，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，结合已知sinA=2sinBcosC，得sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，即cosBsinC-sinBcosC=0，sin(C-B)=0；因C、B为三角形内角，故C-B=0，C=B，三角形为等腰三角形。 七、专题归纳小结 1. 解题策略“三定” ① 定定理：根据已知条件快速锁定适用定理——“知角求边或知边求角，边角成对用正弦；知两边及夹角或三边，用余弦定理最保险”； ② 定顺序：解答题按“先求角/边，再求面积”的顺序解题，符合高考命题逻辑，避免步骤混乱； ③ 定细节：计算时先写公式再代入数值，减少漏写错误；涉及三角函数值时，特殊角（30°、45°、60°）的函数值要记准，非特殊角可保留表达式或写近似值。 2. 高频易错点“三避” ① 避“多解漏判”：SSA型问题中，忘记用“大边对大角”判断角的范围，导致出现两个角的错误答案（如例2中若忽略a＞b，易误判B为150°）； ② 避“公式混淆”：余弦定理中“减2bc cosA”易记成“加”，正弦定理中比例关系易颠倒（如写成a/sinB = b/sinA），建议通过“边与对角对应”强化记忆； ③ 避“计算失误”：平方运算、根式化简、三角函数值计算是高频失误点，如“√3×√2”误算为“√5”，建议计算时分步进行，最后检查结果。 3. 专题核心总结 正余弦定理和解三角形的核心是“用代数运算解决几何问题”，高考命题始终围绕“定理应用+面积计算”展开，难度稳定在基础档。 复习时需做到：① 熟记正弦定理、余弦定理及面积公式的表达式和变形；② 针对“已知两边及夹角求第三边+面积”“已知两角及一边求边+面积”两种高频题型强化训练；③ 重视计算细节和逻辑验证，确保“会做的题不丢分”。该专题是高考“稳分”板块，只要扎实掌握公式和方法，就能轻松突破。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $