专题01 集合与充要条件（讲义）-2026年天津市（高职分类考试）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年天津市（高职分类考试）二轮复习《数学考纲专题练》依据《天津市高职分类招生（面向中职毕业生）考试数学科目考试说明》及天津历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年天津市（高职分类考试）二轮复习《数学考纲专题练》的第1个专题，内容为集合与充要条件。 2026年天津市（高职分类考试）《数学考纲专题练》 专题01 集合与充要条件 一、考纲解读 1. 集合 · (1)集合及其表示: · (2)集合之间的关系: · (3)集合的运算: 2. 充要条件 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 1 集合/集合的运算（补集） 6 （1）题型：集中在选择题。 （2）分值：分值一般在6分左右。 （3）内容：集合的运算。 2024 选择题 1 集合/集合的运算（交集） 6 2023 选择题 1 集合/集合的运算（并集） 6 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年天津市对口招生考试依然有1道题目考查集合，题型设置为单项选择题，分值6分。 具体考点可能涉及如下内容： · 集合的运算 四、知识梳理 （一）集合的概念及表示方法 一组对象的总体构成一个集合． 1．集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性． 2．集合的三种表示方法： 列举法　、 描述法　、 图示法　. 3．元素与集合的两种关系：属于，记为 ∈　；不属于，记为 ∉　. 4.五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示 正整数集　，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示 整数集　，Q表示 有理数集　，R表示实数集． （二）集合之间的关系 类别 文字语言 图形语言 符号表示 子集  集合A中 　任意一个  元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有　包含　关系,称集合　A　为集合　B　的子集    　A⊆B　　或    B⊇A　　  真子集  如果集合A⊆B,但存在元素 x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集    A⫋B　或    B⫌A　　  相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 注意：(1)空集用 ∅　表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为 2n　，真子集的个数为 2n－1　，非空真子集的个数为 2n－2　. (3)空集是任何集合的子集，是任何 非空集合　的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A ⊆C． （三）集合的运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 注意：1．A∩A＝A，A∩∅＝∅. 2．A∪A＝A，A∪∅＝A. 3．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 5．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． （四）充要条件 1.命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． 2.充分必要条件 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 注意：若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A⫌B，则p是q的必要不充分条件； 五、10分钟小测验 1．已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．设全集，则（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知全集，集合，（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 9．“”是“”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．“是矩形”是“是正方形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案解析】 1．B 【分析】由补集运算即可求解. 【详解】由，集合， 可得：， 故选：B 2．B 【分析】根据集合交集的概念运算即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：B. 3．D 【分析】根据并集的定义即可求出. 【详解】利用并集的定义可得． 故选：D． 4．B 【分析】先求出，再求出补集即可. 【详解】全集，则，. 故选：B. 5．A 【分析】直接根据交集运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：A 6．C 【分析】根据补集的定义即可求出. 【详解】由补集的定义可知. 故选： 7．D 【分析】根据交集含义即可得到答案. 【详解】根据交集含义得. 故选：D. 8．D 【分析】利用元素与集合的关系，集合间的基本关系逐一判定选项即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，是含有一个元素0的集合，而是不含任何元素的空集，故，C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D 9．C 【分析】解方程，利用集合的包含关系判断即可. 【详解】解方程得， 因为，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 10．B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由是矩形得不到是正方形，故充分性不成立； 由是正方形一定可以得到是矩形，故必要性成立， 所以“是矩形”是“是正方形”的必要不充分条件. 故选：B 六、经典例题解析 （一）集合 【考试题型1】集合的交并补运算 例1．（24-25高三下·天津·职教高考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集的概念，求解即可. 【详解】因为集合, 所以. 故选：A 例2．（21-22高三下·天津·职教高考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合交集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：B. 例3．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集和补集的计算方法，即可求解. 【详解】由题意知全集，集合，， 所以，所以. 故选：D. 例4．（23-24高三下·天津·职教高考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的运算即可求解. 【详解】由题意得，集合. 则. 故选：D. 例5．（22-23高三下·天津·职教高考）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的概念计算即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：B. （二）充要条件 【考试题型1】充分必要条件 例1． （2017年）若，则“”是“”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的概念. 【详解】由条件成立，能够推出成立；由成立，不能推出成立，因此“”是“”的充分条件 故选：A. 七、专题归纳小结 专题易错点总结： 1、 空集（∅）—— 最容易被遗忘的集合 （1）空集是任何集合的子集。 （2）空集是任何非空集合的真子集。 （3） 在处理形如 A ⊆ B 的问题时，第一步必须考虑 A 是否为 ∅。 2、混淆元素与集合的关系（∈）与集合与集合的关系（⊆） ∈ 是元素与集合的关系。例如：1 ∈ {1, 2, 3}。 ⊆ 是集合与集合的关系。例如：{1} ⊆ {1, 2, 3}。 关键：看清对象是“个体”还是“整体”。{1} 是一个集合，1 是一个元素。 3、 端点取值 易错点：在数轴上表示集合求交、并、补或包含关系时，端点值取等号判断错误。 养成习惯：在数轴上用实心点(●)表示包含端点，用空心圈(○)表示不包含端点。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $