26.1.2反比例函数的图象与性质第一课时教学设计2025-2026学年人教版数学九年级下册

26.1.2反比例函数的图像与性质 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是人教版初中数学九年级（下册）第26章“反比例函数”的第二节。内容包括：反比例函数图象的画法、图象特征（形状、位置、对称性）以及函数性质。 （二）教学内容解析 从知识衔接来看，本节课是反比例函数概念的具象化延伸，也是函数 “数形结合” 思想的核心体现。上一课时学生已掌握反比例函数的概念与解析式，本节课通过图象绘制将抽象的函数关系转化为直观的几何图形，实现 “数” 与 “形” 的双向沟通，既是对一次函数图象与性质学习方法的迁移应用，也为后续学习二次函数等更复杂函数积累 “画图 — 析图 — 用图” 的经验，在整个函数教学体系中起到 “承上启下” 的关键作用。​ 从数学思想来看，本节课深度渗透数形结合思想（通过图象分析函数性质，用函数性质解释图象特征）、类比思想（类比一次函数图象画法探究反比例函数图象）、分类讨论思想（按k的正负分类研究图象位置）。这些思想方法的运用，能帮助学生建立 “数” 与 “形” 的对应关系，提升数学思维的严谨性与灵活性。​ 从教学价值来看，反比例函数的图象（双曲线）是学生首次接触的非直线型函数图象，其独特的形状、对称性和变化规律，能激发学生的探究兴趣；同时，图象与性质的应用广泛存在于实际问题中（如物理学中的压强与受力面积关系、经济学中的单价与销量关系），学好本节课能为解决实际问题提供重要的数学工具。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】探索并理解反比例函数的图象和性质． 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1.掌握反比例函数图象的画法（列表、描点、连线），理解绘制过程中 “取值”“连线” 的注意事项；​ 2.认识反比例函数图象的形状（双曲线）、位置分布与k值符号的关系，掌握图象的对称性（关于原点对称）； （二）教学目标解析 知识与技能目标是本节课的核心，其中 “图象画法” 是基础，“图象特征识别” 是关键，“k>0 时的性质掌握” 是重点。学生需先熟练掌握画图步骤，才能通过图象观察总结性质，三者层层递进、相互依存。​ 过程与方法目标注重学生的探究体验，通过类比迁移降低新知学习难度，通过 “动手操作 — 直观观察 — 逻辑验证” 的流程，让学生主动参与知识形成过程，避免被动记忆，帮助学生深刻理解图象与性质的内在联系。​ 情感态度与价值观目标贯穿教学始终，通过动手实践、小组合作、成果展示等环节，让学生在探究中获得成就感，激发学习兴趣；同时，通过数形结合思想的渗透，让学生感受数学的美学价值与逻辑魅力，促进全面发展。 三、学生学情分析 学生在之前已经学习了正比例函数和一次函数，对函数的概念、图象和性质有了一定的了解，具备了一定的函数学习基础。同时，学生也已经掌握了一些基本的数学方法和技能，如描点法画图、观察分析图象等，这为本节课的学习提供了有力的支持。然而，反比例函数的图象与性质与正比例函数和一次函数相比，有着明显的不同。反比例函数的图象是双曲线，这对于学生来说是一种全新的函数图象，其形状、变化趋势以及与坐标轴的关系等都需要学 生进行深入理解和探究。此外，反比例函数的性质在理解和应用上也存在一定的难度，学生可能会在理解反比例函数的增减性与自变量取值范围的关系等方面遇到困难。 【教学难点】准确画出反比例函数的图象． 四、教学过程分析 （一）复习引入 问题1 我们知道，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是一条直线，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象是一条抛物线．反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是什么样呢？我们可以如何研究？ 追问1.画函数图象的一般步骤有哪些？ 答案：1、列 表；2、描 点；3、连 线 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 教师活动： 提出问题：反比例函数 y=的图象是什么样的？如何画出反比例函数的图象？ 引导学生回顾描点法画函数图象的步骤： 列表：选取适当的 x 值，计算对应的 y 值。 描点：在坐标纸上标出点 (x,y)。 连线：用平滑的曲线连接各点。 问题2 画出反比例函数y＝与y＝的图象． （1）列表． x … －12 －6 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 6 12 … y＝ … … y＝ … … （2）描点． （3）连线． 问题3 观察反比例函数y＝与y＝的图象，尝试归纳反比例函数y＝（k＞0）的图象特征． （1）函数图象分别位于第一、第三象限； （2）在每一象限内，y随x的增大而减小． 提问学生：观察反比例函数的图象，你能总结出哪些性质？ 反比例函数()的图象和性质： (1)由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限； (2)在每个象限内，随的增大而减小; (3)图像都是轴对称图形，有2条对称轴；也是中心对称图形，对称中心是原点; (4)图象无限趋近于坐标轴，与坐标轴永不相交； (5)的值越大，离坐标轴越远. 问题4 类比反比例函数和图象的探究，你能得到反比例函数和的图象特征吗？ 归纳总结 反比例函数 () 的图象和性质： (1)由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限； (2)在每个象限内，随的增大而增大. (3)图像都是轴对称图形，有2条对称轴；也是中心对称图形，对称中心是原点, (4)图象无限趋近于坐标轴，与坐标轴永不相交； (5)的绝对值越大，离坐标轴越远. 例1．已知反比例函数y＝，判断下列结论是否正确： （1）其图像位于第二、四象限； （2）当x＞0时，y随x的增大而增大； （3）若点（m，n）在它的图像上，则点（n，m）也在它的图像上； （4）当－1＜x＜1时，y＞4 ．y x O 2．如图，是反比例函数y＝图象的一支，根据图象回答下列问题 ． （1）图象的另一支位于哪个象限？ （2）常数m的取值范围是什么？ （3）y随x的增大怎样变化？ （4）在这个函数图象的某一支上任取点A（x1，y1）和点B（x2，y2），如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的关系？ （5）若图象经过点A（－2，1），求m的值； （6）在（5）的条件下，点B（2，－1）、C （1，－2）、D（－1，2）在这个函数的图象上吗？ （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1. 反比例函数的图象大致是 ( ) 题1 题2 2.如图是下列四个函数中哪一个函数的图象（ ） A. B. C. D. 3.已知反比例函数的图象经过一、三_______象限,在每一象限内，随的__增大而减小___________ 4.已知反比例函数的图象经过二、四_______象限,在每一象限内，随的_增大而增大____________ 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $