微专题01 二次函数的图象和性质问题七大题型（专项训练）数学北师大版九年级下册

微专题01 二次函数的图象和性质问题七大题型 题型一 根据二次函数的定义求参数 一、解题方法总结（2点） 1. 紧扣定义列条件：严格依据“形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）”的定义，先确定二次项系数a不为0，再根据题目中“二次函数”“一次函数”“常数函数”等关键词，列关于参数的等式（如最高次项次数为2）和不等式（如a≠0）。 2. 分步求解验结果：先解等式确定参数的可能值，再代入不等式排除不符合条件的解，最后将有效参数值代入原函数，验证是否满足题意，避免因忽略a≠0导致错解。 二、解题技巧总结（2点） 1. 抓“最高次项”核心：无论题目是否给出完整函数式，优先锁定含参数的最高次项，通过次数等于2确定参数关系，同时牢记“二次项系数不能为0”是前提，优先排除使a=0的参数值。 2. 分类讨论避遗漏：若函数式中参数同时出现在二次项和一次项/常数项，需按“二次函数”“非二次函数（一次/常数）”分类讨论，明确不同情况下参数的取值范围，确保不遗漏特殊情况。 1．（25-26九年级上·河南许昌·阶段练习）若函数为二次函数，则实数 ． 2．（25-26九年级上·广东珠海·期中）若是关于的二次函数，则 ． 3．（25-26九年级上·北京昌平·期中）已知是关于的二次函数，则值是 ． 4．（25-26八年级上·河北唐山·阶段练习）若函数是二次函数，则 ． 5．（2025九年级·全国·专题练习）已知． （1）当的值为 时，它是关于的一次函数． （2）当的值为 时，它是关于的二次函数． 题型二 二次函数的图象和性质 1. 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 2. 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 3. 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 1．（25-26九年级上·云南文山·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A．开口向下 B．与y轴交于点 C．对称轴是 D．当时，y随x的增大而减小 2．（25-26九年级上·重庆合川·期中）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴是直线 C．其最大值为1 D．当时，随的增大而减小 3．（25-26九年级上·浙江湖州·期中）已知二次函数，下列关于这个函数图象性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．图象与轴有唯一交点 D．当时，随的增大而增大 4．（25-26九年级上·云南临沧·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y有最大值1 D．当时，y随x的增大而增大 5．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．时，y随x增大而减小 6．（25-26九年级上·上海·期中）已知关于的函数解析式，则下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图像平行于轴 B．若，则函数图像过原点，且经过一、三象限 C．若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧 D．若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧 题型三 利用二次函数的增减性比较大小 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 1．（25-26九年级上·重庆·期中）若点在二次函数的图像上，则的大小关系为 ．（用 “ > ”符号连接） 2．（23-24九年级上·河北保定·期中）若抛物线，点，为抛物线上两点，则 ．(填“<”、“>”或“=”) 3．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，，，的大小关系 （用“<”连接） 5．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 6．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）已知二次函数，点，，是该函数图象上的3个点，则，，的大小关系为 ． 题型四 已知二次函数上对称的两点求对称轴 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 1．（24-25九年级上·广东惠州·期中）抛物线的对称轴为 ． 2．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）抛物线过点和，则此抛物线的对称轴为直线 ． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点均在抛物线上，则b的值为 ． 4．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ． 5．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数过点，，且与直线只有一个交点，则的值为 ． 6．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． （1）此二次函数的对称轴为直线 ； （2）已知点和在此函数的图象上，若，则t的取值范围是 ． 题型五 根据二次函数的增减性求最值 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 1．（24-25九年级上·重庆渝北·阶段练习）对于二次函数，当时，y的取值范围为 ． 2．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）二次函数，当时，随的增大而减小，求的取值范围是 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 4．（2025·浙江衢州·模拟预测）已知二次函数，当时，y的最大值为9，则k的值为 ． 5．（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）已知二次函数，且当时，函数最大值与最小值的差为2，则a的值为 ． 6．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为 ． 题型六 画二次函数y=ax²+bx+c的图象 1.列表取值：先确定二次函数y = ax2+bx + c（a≠0），选取关于对称轴x=-对称的自变量x的值，代入函数计算出对应的y值，形成坐标点列表。 2.描点连线：将列表中的坐标点在平面直角坐标系中准确描出，再用平滑曲线按自变量从小到大顺序依次连接各点，得到二次函数图象。图象是抛物线，a>0开口向上，a<0开口向下 。 1．（25-26九年级上·云南临沧·期中）已知二次函数． (1)将函数化为的形式； (2)写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知抛物线． ．．． ．．． ．．． ．．． (1)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； (2)选取适当的数据填入表中，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较，的大小． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数． (1)请把下面的表格补充完整： x … 0 1 2 3 … … ____ 2 ___ 2 … (2)根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． (3)根据图像，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②当时，的取值范围是________． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 2 3 2 ．．． 4．（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）已知二次函数． (1)请直接写出该二次函数的顶点式：_____；对称轴_____； (2)请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图像（填列表）； … 0 … … … (3)根据图像回答问题：当时，的取值范围是_____． … 0 … … 3 0 0 3 … 5．（25-26九年级上·贵州遵义·阶段练习）在函数的研究中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括归纳函数性质的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题 (1)列表： … 0 1 2 … … 2 2 … 写出表中的值：___________，___________； (2)描点、连线：请根据表中各组对应值，在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)请根据（2）中画出的函数图象，写出该函数的一条性质：___________． 6．（25-26九年级上·河南周口·期中）某同学对函数的图象和性质进行探究：无论为何值，函数均有意义，所得自变量与函数的对应值如下表． ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 2 0 2 2 0 ．．． (1)补全上表． (2)根据表中数据，画出函数图象位于轴左侧的部分． (3)由图象可知，方程有___________个实数根． (4)由图象可知，方程有两个不相等的实数根时，的取值范围为___________． (5)随增大而增大时，的取值范围是___________． ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 0 2 2 0 2 2 0 ．．． 题型七 二次函数图象和性质的综合问题 1. 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 2. 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 3. 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线． (1)用配方法确定它的顶点坐标、对称轴； (2)取何值时，？ 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线（m为常数），请回答下列问题： (1)点在该抛物线上，求m的值． (2)若该抛物线经过点，当时，求k的取值范围． 3．（25-26九年级上·福建三明·期中）已知二次函数． (1)写出函数顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）； (3)当时，求y的取值范围． 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与y轴相交于A点． (1)已知，若，y有最大值9，求a的值； (2)①求A点坐标； ②已知，，若抛物线经过，和，且，求的取值范围． 5．（25-26九年级上·福建福州·期中）已知抛物线的对称轴为直线． (1)若点在抛物线上，求的值； (2)若点，在抛物线上， ①当时，求的取值范围； ②若，且，求的取值范围． 6．（25-26九年级上·浙江·期中）已知关于的二次函数． (1)当时． ①求该函数的表达式． ②当时，该函数的最大值与最小值的差是3，求的值． (2)若和是抛物线上的两个点，且，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01 二次函数的图象和性质问题七大题型 题型一 根据二次函数的定义求参数 一、解题方法总结（2点） 1. 紧扣定义列条件：严格依据“形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）”的定义，先确定二次项系数a不为0，再根据题目中“二次函数”“一次函数”“常数函数”等关键词，列关于参数的等式（如最高次项次数为2）和不等式（如a≠0）。 2. 分步求解验结果：先解等式确定参数的可能值，再代入不等式排除不符合条件的解，最后将有效参数值代入原函数，验证是否满足题意，避免因忽略a≠0导致错解。 二、解题技巧总结（2点） 1. 抓“最高次项”核心：无论题目是否给出完整函数式，优先锁定含参数的最高次项，通过次数等于2确定参数关系，同时牢记“二次项系数不能为0”是前提，优先排除使a=0的参数值。 2. 分类讨论避遗漏：若函数式中参数同时出现在二次项和一次项/常数项，需按“二次函数”“非二次函数（一次/常数）”分类讨论，明确不同情况下参数的取值范围，确保不遗漏特殊情况。 1．（25-26九年级上·河南许昌·阶段练习）若函数为二次函数，则实数 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如的函数叫做二次函数，其中a、b、c是常数，且．根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：∵函数 是二次函数， ∴ ． 故答案为2． 2．（25-26九年级上·广东珠海·期中）若是关于的二次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查由二次函数定义求参数，熟记二次函数定义是解决问题的关键． 根据二次函数的定义，最高次项必须为二次且系数不为零，因此指数需满足 ，且系数，求解即可得到答案． 【详解】解：由题意，函数是关于的二次函数， 指数必须满足，且二次项系数， 即，且， 解得，且， ， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·北京昌平·期中）已知是关于的二次函数，则值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，因式分解法解方程，根据二次函数的定义，得出x的最高次数为2，且二次项系数不为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 解得， 故答案为：2 4．（25-26八年级上·河北唐山·阶段练习）若函数是二次函数，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式为（是常数，且），其中最高次项的次数为．要确定函数为二次函数，需根据二次函数定义，先令最高次项的次数为2，再保证二次项系数，从而求解的值． 【详解】解：是二次函数， 且， 即，且 ，且， ， 故答案为：3． 5．（2025九年级·全国·专题练习）已知． （1）当的值为 时，它是关于的一次函数． （2）当的值为 时，它是关于的二次函数． 【答案】 或或或或或 【分析】（1）根据一次函数的定义，分析各项的次数和系数的条件来求解的值； （2）根据二次函数的定义，分析各项的次数和系数的条件来求解的值． 【详解】解：（1）要使该函数为关于的一次函数，则化简后含的最高次项的次数为，原式中存在项，因此必须使二次项系数之和为，且不存在更高次项， 故需满足，解得， 当时，原函数为，是一次函数， 故答案为：． （2）可分以下四种情况讨论： ①当时，解得； ②当时，解得； ③当时，解得； ④当时，解得． 综上所述，当的值为4或或或或0或1时，它是关于的二次函数． 故答案为：或或或或或． 题型二 二次函数的图象和性质 1. 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 2. 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 3. 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 1．（25-26九年级上·云南文山·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A．开口向下 B．与y轴交于点 C．对称轴是 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，包括开口方向、与y轴交点、对称轴和增减性，通过分析二次函数的系数可以判断各选项 【详解】解：，其中, , ， ，抛物线开口向上，故A错误； 当时，， 与y轴交于点 ，故B错误； 对称轴， 对称轴是，故C正确； ，对称轴为， 当时，随的增大而增大，故D错误， 故选：C 2．（25-26九年级上·重庆合川·期中）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴是直线 C．其最大值为1 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由二次函数顶点式可知，，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，最大值为，当时，y随增大而减小，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴，开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为，最大值为， ∵， ∴当时，随的增大而减小； 故选：D． 3．（25-26九年级上·浙江湖州·期中）已知二次函数，下列关于这个函数图象性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．图象与轴有唯一交点 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程根的判断．也考查了二次函数的性质．先利用配方法得到，可根据二次函数的性质可对A、B、D进行判断；通过解方程可对C进行判断． 【详解】解：∵， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为， A、开口向上，错误； B、顶点坐标应为，不是，错误； C、令，得 ，即，判别式，有两个交点，不是唯一交点，错误； D、∵ 开口向下，对称轴 ， ∴ 当 时，y 随x的增大而增大，正确． 故选：D． 4．（25-26九年级上·云南临沧·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y有最大值1 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的一般形式，通过系数判断开口方向，利用对称轴公式求对称轴，在顶点处求最值，并分析增减性． 【详解】解：∵二次函数为，其中， ∴，函数图象开口向下，故A错误； 对称轴为，故B错误； 当时，， ∵开口向下， ∴有最大值1，故C正确； ∵对称轴且开口向下， ∴当时，y随x增大而减小，故D错误． 故选：C． 5．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．时，y随x增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，包括开口方向、顶点坐标、对称轴和单调性．通过直接计算顶点坐标和对称轴来判断选项． 【详解】解：∵ 二次函数 中，， ∴ 抛物线开口向下，选项A错误． 对称轴， ∴ 对称轴是直线 ，选项C错误． 顶点横坐标为，代入得纵坐标， ∴ 顶点坐标为，选项B错误． ∵ 开口向下，对称轴， ∴ 当 时，随x增大而减小． ∵ 时，满足， ∴ 选项D正确． 故选：D． 6．（25-26九年级上·上海·期中）已知关于的函数解析式，则下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图像平行于轴 B．若，则函数图像过原点，且经过一、三象限 C．若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧 D．若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义和性质，准确分析判断是解题的关键． 根据二次函数的定义和性质，分别计算各选项下函数的表达式，判断开口方向、对称轴位置等． 【详解】函数为 ， 对于：当时，，为常数函数，图像平行于x轴，不平行于y轴，错误； 对于：当时，，过原点，但斜率，图像经过第二、四象限，不经过第一、三象限，错误； 对于：当时，，开口向上；，对称轴 ，在y轴左侧，错误； 对于：当时，，开口向上；，对称轴 ，在y轴右侧，正确． 故选． 题型三 利用二次函数的增减性比较大小 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 1．（25-26九年级上·重庆·期中）若点在二次函数的图像上，则的大小关系为 ．（用 “ > ”符号连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像上点的大小比较，掌握二次函数的性质，开口向上，点离对称轴越远，函数值越大是解题的关键． 通过确定抛物线的开口方向和对称轴，根据点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】二次函数的二次项系数，因此抛物线开口向上， 对称轴为直线 ， 由于开口向上，点离对称轴越远，函数值越大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 因为 ，所以． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·河北保定·期中）若抛物线，点，为抛物线上两点，则 ．(填“<”、“>”或“=”) 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像与性质比较函数值大小，先将抛物线解析式化为顶点式，即，求出对称轴，发现点，关于直线对称，从而得到，推导出“点，关于直线对称”是解题的关键． 【详解】解： 抛物线对称轴为直线， 点，是抛物线上两点， ， 点，关于直线对称， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握增减性的影响因素是解题关键． 把二次函数解析式化为顶点式可得对称轴为直线，从而得到关于对称轴的对称点为，再根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴二次函数图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，，，的大小关系 （用“<”连接） 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点都在该抛物线上，， ∴， 故答案为： 5．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据解析式求得对称轴为直线，开口向上，可知离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大，分别计算几个点的横坐标与对称轴的距离，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴开口向上，对称轴为直线，离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大， ，， ∵ ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）已知二次函数，点，，是该函数图象上的3个点，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．由二次函数解析式可得对称轴为，且，故函数在对称轴处取得最小值，距离对称轴越远的点函数值越大．通过比较各点与对称轴的距离即可判断大小关系． 【详解】解：由题意知，二次函数的对称轴为 ， 点在对称轴上，故最小， 点与对称轴的距离为，点 与对称轴的距离为 ，由于，故， 因此． 故答案为：． 题型四 已知二次函数上对称的两点求对称轴 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 1．（24-25九年级上·广东惠州·期中）抛物线的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称轴公式． 利用二次函数图象的对称性，结合与x轴的两个交点坐标推导即可． 【详解】解： 与x轴的交点坐标为，， ∴对称轴为直线． 故答案为：直线． 2．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）抛物线过点和，则此抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．判断出点和是抛物线上对称的两点，据此求出抛物线的对称轴即可得． 【详解】解：∵抛物线过点和， ∴由二次函数的对称性可知，此抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点均在抛物线上，则b的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据的纵坐标相等得出关于抛物线的对称轴对称，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：∵点均在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， ． 故答案为：． 4．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，求出二次函数图象与x轴的两个交点坐标，利用抛物线的对称性即这两个交点关于对称轴对称，即可求得． 【详解】解：令，解得：， 即抛物线与x轴的两个交点坐标为， 由于抛物线的对称轴是直线，即， 解得： 故答案为：． 5．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数过点，，且与直线只有一个交点，则的值为 ． 【答案】675 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，轴对称的性质，正确理解二次函数的轴对称是解题的关键．先根据抛物线是轴对称图形，结合两点确定该抛物线对称轴方程为，然后根据抛物线与直线只有一个交点确定抛物线顶点的纵坐标为1，写出抛物线顶点式为，将点的坐标代入顶点式求出，最后代入所求代入式即可求解． 【详解】解：二次函数过点，， 抛物线的对称轴方程为， 抛物线与直线只有一个交点， 抛物线顶点纵坐标为1，即抛物线的顶点坐标为， 该抛物线的顶点式为， 将点代入顶点式，得， ， ． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． （1）此二次函数的对称轴为直线 ； （2）已知点和在此函数的图象上，若，则t的取值范围是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）令，可求出函数与x轴交点的横坐标，由二次函数的对称性可求出对称轴； （2）因为抛物线开口向上，所以抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，若，则，据此解答即可． 【详解】（1）∵二次函数， 令，即， ， ∴函数经过和是对称点， ∴对称轴为直线， 故答案为：． （2）∵二次函数， ∴二次项系数为， ∴函数图象开口向上， 又∵和在此函数的图象上，对称轴为直线， ∴， ∴， 故答案为：． 题型五 根据二次函数的增减性求最值 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 1．（24-25九年级上·重庆渝北·阶段练习）对于二次函数，当时，y的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质得出该函数图象开口向下，当时，有最大值4，再结合当时，，当时，，即可以得到当时的取值范围． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向下，当时，有最大值4， 当时，，当时，， ， 的取值范围为， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）二次函数，当时，随的增大而减小，求的取值范围是 【答案】 【分析】该题考查了二次函数的性质，由于二次函数开口向上，在对称轴左侧函数递减．根据条件，当时随的增大而减小，故对称轴应大于或等于1． 【详解】解：二次函数的对称轴为． 因为，函数图像开口向上， 所以在对称轴左侧，随的增大而减小． 由题意，当时，随的增大而减小，故对称轴， 解得． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分、和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵当自变量时，函数有最大值为10， ∴当即时，时取最大值，即， 解得， 当即时，号时取最大值，即， 则 ∵，方程没有实数根， 当时即，时取最大值，即， 解得 综上，的值为或， 故答案为：或． 4．（2025·浙江衢州·模拟预测）已知二次函数，当时，y的最大值为9，则k的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函数的顶点式可得在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则可得当时，取得最大值，由此即可得． 【详解】解：将二次函数化成顶点式为，对称轴为直线， ∴抛物线开口向上，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∵离二次函数的对称轴比离二次函数的对称轴更远， ∴当时，取得最大值，最大值为， 又∵当时，的最大值为9， ∴， 解得， 故答案为：1． 5．（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）已知二次函数，且当时，函数最大值与最小值的差为2，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由可知二次函数图象开口向下，将二次函数化为顶点式，得出顶点坐标为，对称轴为，再根据二次函数的性质得出当时，函数有最小值，结合题意列出方程，即可求出a的值． 【详解】解：， 二次函数的图象开口向下， ， 顶点坐标为，对称轴为， 函数最大值为， ，，且， 当时，函数有最小值，最小值为， 由题意得，， 解得：． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为 ． 【答案】0或5/5或0 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题． 二次函数开口向下，对称轴为，根据对称轴与区间范围的位置关系分类讨论：当时，最大值在处取得；当时，最大值在处为0，不符合题意；当时，最大值在处取得，分别解方程求． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为， 当时，当时，随着的增大而减小， ∴函数在处取得最大值，即， 解得或（舍去，因为），故； 当时，在处函数取得最大值0，但，无解； 当时，当时，随着的增大而增大， ∴函数在处取得最大值，即，解得（舍去，因为）或，故， 综上，的值为0或5， 故答案为：0或5． 题型六 画二次函数y=ax²+bx+c的图象 1.列表取值：先确定二次函数y = ax2+bx + c（a≠0），选取关于对称轴x=-对称的自变量x的值，代入函数计算出对应的y值，形成坐标点列表。 2.描点连线：将列表中的坐标点在平面直角坐标系中准确描出，再用平滑曲线按自变量从小到大顺序依次连接各点，得到二次函数图象。图象是抛物线，a>0开口向上，a<0开口向下 。 1．（25-26九年级上·云南临沧·期中）已知二次函数． (1)将函数化为的形式； (2)写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】(1) (2)开口向上，对称轴：，顶点坐标为 (3)图象见解析 【分析】（1）利用配方法即可化成顶点式； （2）由（1）可直接进行解答； （3）由（2）及五点法进行作图即可． 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及五点法作图是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：∵二次函数的开口向上， 顶点坐标为，与轴的交点为，对称轴为直线，与轴的交点坐标为，则关于对称轴对称的点坐标为，然后在平面直角坐标系里描出这五个点，进而用圆滑的曲线连接即可，如图示： ． 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知抛物线． ．．． ．．． ．．． ．．． (1)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； (2)选取适当的数据填入表中，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较，的大小． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的综合知识，二次函数中对称轴的计算方法，顶点的计算方法和绘图的方法，熟知二次函数图像的性质是解题的关键． （1）将抛物线变为顶点式即可求解顶点坐标； （2）根据抛物线自变量的取值范围，适当选取自变量的值，计算函数值，并在平面直角坐标系中描点，连线即可； （3）根据函数图像的性质即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的对称轴是，顶点坐标是， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时， 或 解得， 当时， ， 综上所述，可选取， 依次描点、连线如图所示， （3）解：∵， ∴由图可得． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数． (1)请把下面的表格补充完整： x … 0 1 2 3 … … ____ 2 ___ 2 … (2)根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． (3)根据图像，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②当时，的取值范围是________． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 (3)减小， 【分析】本题考查求二次函数的函数值，画二次函数的图像，二次函数的图像和性质，正确的画出函数图像是解题的关键． （1）把自变量的值代入函数解析式进行求解即可； （2）描点，连线，作图即可； （3）直接根据图像作答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 补全表格如下： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 2 3 2 ．．． （2）解：画出二次函数的图像如下： （3）解：①观察图像可知，当时，随x的增大而减小； 故答案为：减小； ②观察图像可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）已知二次函数． (1)请直接写出该二次函数的顶点式：_____；对称轴_____； (2)请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图像（填列表）； … 0 … … … (3)根据图像回答问题：当时，的取值范围是_____． 【答案】(1)； (2)填表见解析，画图见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，将二次函数一般式化为顶点式，画二次函数的图象； （1）运用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，从顶点式中可知二次函数的对称轴； （2）根据二次函数的解析式填写表格，然后在坐标系中描点即可画出二次函数的图象； （3）观察二次函数图象，结合二次函数的解析式可求出当时，的取值范围. 【详解】（1）解： ∴该二次函数的顶点式为，关于直线对称. （2）解：填表如下： … 0 … … 3 0 0 3 … 画图如下： （3）解：由图像得：对称轴在的范围之内， ∴当时，是最小值， ∵抛物线开口向上，范围的这个端点离对称轴更远， ∴当时，是最大值， ∴当时，的取值范围为. 5．（25-26九年级上·贵州遵义·阶段练习）在函数的研究中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括归纳函数性质的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题 (1)列表： … 0 1 2 … … 2 2 … 写出表中的值：___________，___________； (2)描点、连线：请根据表中各组对应值，在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)请根据（2）中画出的函数图象，写出该函数的一条性质：___________． 【答案】(1)，3 (2)见解析 (3)当时，函数的最小值为（不唯一） 【分析】本题主要考查了画二次函数图象、画函数图象、从函数图象获取信息等知识点，掌握数形结合是解题的关键． （1）把分别代入，求出y值即可解答； （2）根据列表、描点、连线画出函数图象即可； （3）结合图象根据增减性，最小值等写出一条性质即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； 当时，， 故答案为：，3． （2）解：列表、描点、连线画出函数图象，如图所示： （3）解：根据函数图象可知，存在最小值，即当时，函数的最小值为． 故答案为：当时，函数的最小值为（不唯一）． 6．（25-26九年级上·河南周口·期中）某同学对函数的图象和性质进行探究：无论为何值，函数均有意义，所得自变量与函数的对应值如下表． ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 2 0 2 2 0 ．．． (1)补全上表． (2)根据表中数据，画出函数图象位于轴左侧的部分． (3)由图象可知，方程有___________个实数根． (4)由图象可知，方程有两个不相等的实数根时，的取值范围为___________． (5)随增大而增大时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 (4)或 (5)或 【分析】（1）分别把的值代入所给函数式即可得解； （2）描点即可得出函数图象； （3）结合图象和表格可得出结论； （4）根据函数图象可直接得到； （5）由图象可直接求得结论． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 故答案如下： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 0 2 2 0 2 2 0 ．．． （2）图象如图所示： （3）解：由图象可知，当时，或或， 故答案为：3； （4）解：由图象可知，当时，方程有两个不相等的实数根， 函数，最大值在或时取得，此时； ∴当时，方程有两个不相等的实数根， 故答案为：或； （5）解：由图象可知，当或时，随的增大而增大； 故答案为：或 ． 题型七 二次函数图象和性质的综合问题 1. 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 2. 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 3. 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线． (1)用配方法确定它的顶点坐标、对称轴； (2)取何值时，？ 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴是直线 (2) 或 【分析】本题考查了用配方法将二次函数的一般式化为顶点式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据配方法可以将抛物线化为顶点式，然后即可写出该抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）令求出的值，然后根据二次函数的性质，即可写出取何值时，． 【详解】（1）解：， 该抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线； （2）解：， 该函数图象开口向下， 当时，，得，， 当或时，． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线（m为常数），请回答下列问题： (1)点在该抛物线上，求m的值． (2)若该抛物线经过点，当时，求k的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题重点考查了二次函数的图像与性质，时，当时，取得最小值，，在对称轴左侧，即时，随着的增大而减小，在对称轴右侧，即时，随着的增大而增大；时，当时，取得最大值，，在对称轴左侧，即时，随着的增大而增大，在对称轴右侧，即时，随着的增大而减小，同时还考查了一元二次方程的求解，熟练掌握二次函数的图像与性质是本题求解的关键． （1）将点代入抛物线方程，得到关于的一元二次方程，即可求得的值． （2）将点代入抛物线方程，得到，整理得到关于的二次函数即，得到对称轴为，此抛物线，开口向上，故在时，随着的增大而减小，求得，在时，随着的增大而增大，求得，综合得到的取值范围为． 【详解】（1）解：将点代入抛物线方程， 得到， 故或． 答：的值为或． （2）解：将点代入抛物线方程， 得到， 即， 此抛物线对称轴为直线， 当时，随着的增大而减小，得到的取值范围为， 在时，随着的增大而增大，的取值范围为， 综合得到当时，的取值范围为． 答：当时，的取值范围为． 3．（25-26九年级上·福建三明·期中）已知二次函数． (1)写出函数顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）； (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2)增大 (3) 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标、对称轴方程及函数的增减性是解答此题的关键． （1）根据顶点坐标式即可得出其顶点坐标； （2）由（1）知抛物线的对称轴方程及开口方向即可求解； （3）再分别求出，时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴顶点坐标为 （2）解：由（1）知：抛物线的对称轴为，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大； （3）解：∵当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 顶点坐标为：， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为：． 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与y轴相交于A点． (1)已知，若，y有最大值9，求a的值； (2)①求A点坐标； ②已知，，若抛物线经过，和，且，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由，可得，进而对称轴是直线，再结合当，有最大值，分为①若开口向下，和若开口向上，分别计算可以得解； （2）依据题意，令，则，可得；依据题意，由，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，再由抛物线过，，可得对称轴是直线，结合，且抛物线过，，，故，即，再分类讨论计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵， ∴， ∴对称轴是直线， ∵当，有最大值， 若开口向下， ∴当时，， ∴， ∴； 若开口向上， 当时，取最大值， ∴， ∴； 综上，或． （2）解：由题意，令，则， ∴， 由题意，∵， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， 又抛物线过，， ∴对称轴是直线， ∵，且抛物线过，，， ∴，即， 第一种情形：当时，即， ∴无解． 第二种情形：当时，即． ∴． ∴． 第三种情形：当时，即． ∴． ∴． 第四种情形：当时，即． ∴无解． 综上，． 5．（25-26九年级上·福建福州·期中）已知抛物线的对称轴为直线． (1)若点在抛物线上，求的值； (2)若点，在抛物线上， ①当时，求的取值范围； ②若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①或 ② 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的顶点式， 对于（1），将点代入抛物线得，再根据抛物线的对称轴可得答案； 对于（2）①，当时求出，再将抛物线得关系式化为顶点式，然后分两种情况讨论得出答案； ②，先根据抛物线的性质可得，再将点代入抛物线的表达式整理得，然后根据与可得，接下来结合可得，进而得出答案． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得 ， 则． ∵抛物线的对称轴为， ∴； （2）解：①当时，， 则抛物线，顶点坐标为， ∵点在抛物线上， 当时，， 解得； 当时，， 解得． 故答案为：或； ②∵点在抛物线上，， ∴在对称轴的右边，且函数值y随着x的增大而增大， ∴． 将点代入抛物线的表达式，得 ， ，得， ∴． 由，得，则， 即，则． ∵， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 综上所述，． 6．（25-26九年级上·浙江·期中）已知关于的二次函数． (1)当时． ①求该函数的表达式． ②当时，该函数的最大值与最小值的差是3，求的值． (2)若和是抛物线上的两个点，且，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①将代入解析式即可得出结果；②根据二次函数的增减性分类讨论进行求解即可； （2）求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】（1）解：①当时，； ②∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小， 当时： ①时，当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为，则， 解得或（舍去）； ②当时，当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为，则，不符合题意； ③当时，当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为，则， 解得，均不满足，故舍去； 综上：； （2）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小， ∵和是抛物线上的两个点，且， ∴， 解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $