1.3 充要条件-【库课文化】2026版江苏省职教高考复习教材·数学

第一章集合与充要条件 1.3充要条件 要点扫描 第 考点充要条件 章 1.命题 真命题：判断为真 命题（能判断真假的陈述句） 假命题：判断为假 般形式：如果p,那么q 2.充分条件与必要条件 “若p,则g”为真命题，是指由p通过推理可以得出q,称p是q的充分条件或q是p的必要条件，记 作p→q: 在命题“若x>3,则x>2”中，x>3称为命题的条件P,x>2称为命题的结论9. 一个数大于3时，这个数肯定大于2，故 x>3→x>2(p→q), 因此，“x>3”是“x>2”的充分条件，“x>2”是“x>3”的必要条件 “小范围”→“大范围”，“大范围”羚“小范围” 3.充要条件 如果p是q的充分条件(p→q),p又是q的必要条件(q→p),则称p是q的充要条件，记作p→g 4.p与q的四种关系 (1)若p→q,但q本p,则p是g的充分不必要条件(g是p的必要不充分条件)； (2)若q→p,但pg,则p是q的必要不充分条件(g是p的充分不必要条件)； (3)若p→q,且q→p,则p与q互为充要条件； (4)若p≠q,且q≠p,则p是q的既不充分也不必要条件(q是p的既不充分也不必要条件). 典例剖析 题型：充要条件的判断 例1(2025,4)已知x是实数，则“x>1”是“x>3”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 11 江苏省职教高考复习教材·数学 解析若x>3,则一定有x>1,所以“x>3”能推出“x>1”,必要性成立； 但当x>1时，不一定有x>3,比如x=2,所以“x>1”推不出“x>3”,充分性不成立. 故“x>1”是“x>3”的必要不充分条件 答案B 例2 (2022,4)已知x是实数，则“1x+11>3”是“x>2”的 第 A.充要条件 B.充分不必要条件 1 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 章 解析由|x+11>3得x+1>3或x+1<-3,解得x>2或x<-4, 所以由1x+11>3推不出x>2,但由x>2能推出1x+11>3, 故“1x+11>3”是“x>2”的必要不充分条件， 答案C 圆3“a>b”是“a-b>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析由a>b可得a-b>0,由a-b>0可得a>b, 所以“a>b”是“a-b>0”的充要条件. 答案C 例4 “两个三角形全等”是“两个三角形的周长相等”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析当两个三角形全等时，它们的周长一定相等，故充分性成立； 当两个三角形的周长相等时，它们不一定全等，如边长为3,4,5的直角三角形和边长为4的正三角形，它 们的周长相等，但不全等，故必要性不成立 所以“两个三角形全等”是“两个三角形的周长相等”的充分不必要条件 答案A 品名师点拨 (1)解决此类问题的基本思路是利用关系的传递性进行推理，注意推出符号的方向. (2)记命题“若P,则g”中，条件p对应的范围为集合A,结论g对应的范围为集合B,则 ①若A军B,则p→q,9p,即p是g的充分不必要条件. ②若B军A,则g→p,P≠q,即p是q的必要不充分条件. ③若A=B,则pq,即p是q的充要条件. 12 第一章集合与充要条件 反遗演练 自基础巩固 1.“a=2”是“a>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 第 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 章 2.“a<5”是“a<3”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.“x>1”是“x2≥1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.“2=1”是“a=1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.“-1<x<3”是“-2<2x<6”的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在△ABC中，三个内角分别为A,B,C,“A是钝角”是“△ABC是钝角三角形”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.“x=1”是“x2-4=0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.“x>0且y>0”是“xy>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 13 江苏省职教高考复习教材·数学 能力提升 9.已知a∈R,则“a>0”是“a2>1”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 第 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 10.“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的 章 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.设p:x<1,q:x<a,若p是q的充分条件，则实数a的取值范围为 A.a>1 B.a<1 C.a≥1 D.a≤1 122 <x<3”的一个必要不充分条件是 1 <x<3 B.-3<x<2 C.-1<x<6 D.-2<x<0 14江苏省职教高考复习教材·数学 1.2集合的运算 2基础巩固 1.C【解析】因为集合M={0,2,3,N=1,3}的所有元素为0,1,2,3，所以MUN={0,1,2,3. 2.B【解析】因为全集0={1,2,3,4,5，A={1,5},所以CA=2,3,4. 3.A【解析】因为集合A={-1,0,1}与集合B={0,2,4的共同元素为0，所以A∩B=0}. 4.C【解析】因为集合A={x1-2<x≤3}，B=x11<x<5},所以AUB={x1-2<x<5. 5.B【解析】因为集合A={x1-2≤x<1},B=-2,-1,0,1},所以A∩B={-2,-1,0 6.D【解析】易得A=x1x2-7x<0=x1x(x-7)<0={xI0<x<7,则CA=x1x≤0 或x≥7}. 7.C【解析】易知集合M={-1,0,1,2}中的所有元素为-1,0,1,2.又1,2是N={x11≤x≤3}中的元素， -1,0不是集合N={x11≤x≤3中的元素，所以M∩N=1,2. 8.D【解析】因为集合A={xl1<x<2,B=xlx<a,且AUB=B,所以ACB,所以a≥2，所以a的 取值范围为ala≥2. 9.1,3【解析】因为集合A={1,2,3与B={1,3的所有共同元素为1,3，所以A∩B=1,3. 有能力提升 10.C【解析】因为集合A={x2<x≤3，集合B={x11≤x<3},所以A实B,B￠A,A∩B=xI2< x<3,AUB=x11≤x≤3}，故只有C正确。 11.A【解析】由AUB=A得BCA,故x的值为2或3. 12.B【解析】由数轴可知，当-1<a≤1时满足题意，即a的取值范围为x1-1<x≤1}. 13.A【解析】因为A∩B≠☑，所以a=3,a=4或a=2a-4.当a=3时，2a-4=2,A={3,4,2,B={3, 满足要求；当a=4时，2a-4=4,但{3,4,2a-4}与集合元素的互异性矛盾，舍去；当a=2a-4时，a=4, 2a-4=4,但{3,4,2a-4与集合元素的互异性矛盾，舍去. 1.3 充要条件 匀基础巩固 1.A【解析】由a=2→a>0知，“a=2”是“a>0”的充分条件.由a>0≠a=2知，“a=2”不是“a>0" 的必要条件.故“a=2”是“a>0”的充分不必要条件. 2 参考答案 2.B【解析】由“a<5”不能推出“a<3”,所以充分性不成立.由“a<3”能推出“a<5”,所以必要性成立.故 “a<5”是“a<3”的必要不充分条件. 3.A【解析】当x>1时，满足x2≥1，即充分性成立；当x2≥1，即x≥1或x≤-1时，不满足x>1,即必要性 不成立.所以“x>1”是“x2≥1”的充分不必要条件. 4.B【解析】由a2=1本a=1知，“a2=1”不是“a=1”的充分条件.由a=1→a2=1知，“a2=1”是“a=1” 的必要条件.故“a2=1”是“a=1”的必要不充分条件 5.A【解析】由-2<2x<6得-1<x<3,所以“-1<x<3”是“-2<2x<6”的充要条件. 6.A【解析】在三角形中，有一个内角是钝角，则该三角形是钝角三角形，故充分性成立；若△ABC是钝角三角 形，则A或B或C是钝角，故必要性不成立.所以“A是钝角”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件. 7.D【解析】由x2-4=0,即x2=4得x=±2，所以“x=1”不能推出“x2-4=0”,即充分性不成立， “x2-4=0”不能推出“x=1”,即必要性不成立.所以“x=1”是“x2-4=0”的既不充分也不必要条件 8.A【解析】由x>0且y>0得y>0,但xy>0时，可能有x>0且y>0,也可能有x<0且y<0,所以 “x>0且y>0”是“y>0”的充分不必要条件 有能力提升 9.D【解析】当a=1时，满足a>0,但不满足a2>1,即充分性不成立：当a=-2时，满足a2>1,但不满足 a>0,即必要性不成立.所以“a>0”是“a2>1”的既不充分也不必要条件. 10.B【解析】因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，如菱形，所以“四边形的四条 边相等”是“四边形是正方形”的必要不充分条件。 11.C【解析】因为p:x<1,g:x<a,p是g的充分条件，所以{x1x<1}C{xlx<a},得a≥1. 2C【解折】由题意可知，集合1-；<<3引是x1-1<x<6的真子集，所以由-1<<6不能推 出)<x<3,即充分性不成立，而，<龙<3可推出-<龙<6，即必要性成立.所以-1<龙<6 是“、 2<x<3”的一个必要不充分条件，故C项符合题意经检验，其他选项均不符合题意 3