2.2 不等式的解法-【库课文化】2026版江苏省高职单招复习教材·数学

答案全解全析 9.B【解析】当a>b,c=0时，ac2=bc2,故充分性不成立；当ac2>bc2时，c≠0，所以c2>0,所以a>b,故必 要性成立.故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件. 10D【解折1当。=16。-1时满起a>6,但=1，=-1日>故A结误：者c=0则 故B错误；若c≤0，则ac≤bc,故C错误；由a>b得a-b>0,又c2≥0，所以(a-b)c2≥0，故D正确. 1L.D【解析】m-n=x2+y2+19-4(2y-x)+1=(x+2)2+(y-4)2≥0，当且仅当x=-2,y=4时等号 成立，所以m≥n. 12.(0,6)【解析】因为-1<x<2,1<y<4,所以-1+1<x+y<2+4,即0<x+y<6,故x+y的取 值范围是(0,6) 2.2不等式的解法 奥基础巩固 kA【解折由x>0,得x+≥2，· =2,当组仅当=士即=1时，等号成立，所以+士的最小 值为2. 2.D【解析】易知方程(x-1)(x-2)=0的两根分别为x,=1,x2=2.又不等式(x-1)(x-2)≤0的二次 项系数为1>0，所以(x-1)(x-2)≤0的解集为[1,2]. 3.A【解析】由1x-21>3得x-2>3或x-2<-3,解得x>5或x<-1,所以原不等式的解集为 (-∞，-1)U(5,+0). 4C【解标1当均为正数.且x+y=4时≤（任） =4,当且仅当x=y=2时，等号成立，所以y的 最大值为4 5.D【解析】易知方程x2-x-2=0,即(x-2)(x+1)=0的两根分别为x,=2,x2=-1.因为不等式x2-x- 2<0的二次项系数为1>0，所以不等式x2-x-2<0的解集为{x1-1<x<2. 解析J因为a<6<0,所。>有故A错误；因为a<6<0,所以云>，即-a<0,b> 以6-a=P-2 <0,所以：≤名故B错误因为a<6<0.所以片>0，号>0，且片≠号所以合 a a a >2 2.4=2,故C正确：因为4<6<0，所以十b “7<0.又va>0.所以2≤v,放D错误 7.B【解析】由题意得(t+10)(-t+35)≥500(0<t≤30，t∈N),即2-25t+150≤0(t∈N),解得10≤ t≤15(teN). 8.C【解析】由二次函数的图像可得，当x<-2或x>2时，函数图像在x轴的上方，故y>0;当-2<x<2时， .5. 江苏省高职单招复习教材·数学 函数图像在x轴的下方，故y<0.所以不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>2. 9.A【解析】因为不等式x2-x+a≥0的解集为R,所以方程x2-x+a=0根的判别式△=1-4a≤0，解得 能力提升 10.D【解析】不等式16-2x1≤2等价于12x-61≤2.由12x-61≤2，得-2≤2x-6≤2，解得2≤x≤ 4,所以不等式16-2x1≤2的解集是[2,4]. 11.C【解析】不等式-x2+x+2>0可化为x2-x-2<0.因为方程x2-x-2=0的解是x1= 1+-)4×1×(-2=2,=1--4×1×（-2)=-1,又函数)=-x-2的图 2 2 像是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(-1,0)，(2,0)，所以不等式x2-x-2<0的解集为(-1,2)，所 以原不等式的解集为(-1,2). a-1sa-1+ 4 a-+1≥2a-)·+1=5,当且仅 4 12.A【解析】由a>1,得a-1>0,则a+ 当a-1=。即a=3时，等号成立所以。+ 的最小值是5. a-1 13.C【解析】由题意得-3,2是方程x2+ax+b=0的两个根，由韦达定理得-3+2=-a,-3×2=b,故a= 1.b=-6. 14.D【解析】当a>0,b>0,2a+5b=10时，2a·5b≤ 2a+5b 2 即山≤了当且仅当2=5动.即a: 2 6=1时，等号成立，所以当a=,6=1时6取得最大值5 15B【解析1由≤1得，3-1≤0即)≥ (3x-1)(x+2)≥0， x+2 x+2 t*2≥0，则 (x+2≠0， 解得<-2成x≥行 所以不等式的解集为x产了或<-2斗. .6第二章一元二次函数、方程和不等式 2.2不等式的解法 知识讲堂 9考点1基本不等式的解法 1.基本不等式：√ab≤ a+b 2 (1)不等式成立的条件：a>0,b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立， (3)“称为正数a,6的算术平均数，V而称为正数4，b的几何平均数 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时，等号成立. (2b≤2)(a,6=R),当且仅当a=6时，等号成立 2 (3)a+b≥2√ab(a>0,b>0),当且仅当a=b时，等号成立. 3.与基本不等式有关的最值问题 已知x>0,y>0. (1)如果xy是定值P,那么当且仅当x=y时，x+y有最小值2p(简记：积定和最小). (2)如果x+y是定值，那么当且仅当x=y时，y有最大值（简记：和定积最大）. 2考点2二次函数与一元二次方程、不等式 1.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 若x2=a(a≥0)，则x1=a,x2=-√a. (2)配方法 若++g=0,且0，+=9份，解得-号+g+份 、卫 (3)公式法 ①把方程变为标准形式ax2+bx+c=0(a≠0). 19 江苏省高职单招复习教材·数学 ②求出△=b2-4ac的值，判断A的符号. ③当4>0时，k1=6+B-4ac=6-B-C 36 2a b 当4=0时，x1=x2=- 2a 当△<0时，一元二次方程没有实数根 (4)提公因式法 若ar2+b=0(a≠0)，则x(ax+b)=0,即x=0,=- a (5)平方差公式法 若u￥-2=0(a≠0)，则(ar+b)(ar-b)=0,即x=么.t 2.一元二次不等式的概念及一般形式 概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式不等式. 一般形式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0) 上面不等式中的“>”“<”也可以换成“≥”“≤”或“≠” 3.一元二次不等式与相应方程及函数间的关系 在一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)根的判别式△=b2-4ac的不同情况下，对应函数的图像与x 轴的位置关系及对应不等式的解集如下表所示. 4>0 △=0 4<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图像 ① a.x2+bx+c=0(a>0)的根 x1,x2(x1<x2) 50 没有实数根 (-∞，x1)U(x2,+) ax2+bx+c>0(a>0)的解集 (-,)U(x0,+0) R 系数a>0时，大号取两边 (x1,x2) ax2+bx+c<0(a>0)的解集 0 C 系数a>0时，小号取中间 （-0,x1]U[x2,+0) ax2+bx+c≥0(a>0)的解集 R R 系数a>0时，大号取两边 [x1,x2] ax2+bx+c≤0(a>0)的解集 xo o 系数a>0时，小号取中间 易错警示 二次项系数为负数时，一般先利用不等式的性质将二次项系数转化为正数，再求解. 20 第二章一元二次函数、方程和不等式 4.一元二次不等式的求解过程 以不等式ax2+bx+c>0(a>0)为例，具体如下. x'+a+>0c4>0) 计兑4=书2-4a:的伯 1>0 4=0 d<0 方程ux+r+:=0有两 方附++=0行两 方Ta+b.x+'=0 个不州等的实数秋， 个相等的实数根，解 没有实数根 解得x12<2 得=岛 :不等式的解集为 原不等式的集为 原不等式的 [xlx<] r-】 解集为R 考点3分式不等式的解法 (1)ax+6 cx +d >0可化为(ax+b)(cx+d)>0,然后根据一元二次不等式的解法求解； (2)+ (ax+b)(cx+d)≥0， 然后根据一元二次不等式的解法求解； cx d ≥0可化为 cx+d≠0， (3)x+b cx +d <0可化为(ax+b)(cx+d)<0,然后根据一元二次不等式的解法求解； (4)+≤0可化为ax+b)(+d)≤0 cx+d 然后根据一元二次不等式的解法求解。 cx+d≠0， 9考点4绝对值不等式的解法 1.绝对值不等式|x|<a与|x|>a的解集 解含绝对值不等式的基本思想是将含绝对值的不等式化为同解不等式进行求解. 解集 含绝对值的不等式 同解不等式 a>0 a=0 a<0 I xl<a -a x a {x1-a<x<a} 0 6 I xl>a x>a或x<-a x|x>a或x<-a xlx≠0 中 2.1ax+b1<c(c>0)和1ax+b1>c(c>0)的同解不等式 (1)I ax +bl<c+-c<ax +b c; (2)1ax+b1>c曰a.x+b<-c或ax+b>c. 特别提示 上面不等式中的“>”“<”也可以换成“≥”“≤” 21 江苏省高职单招复习教材·数学 心典例剖析 题型1：利用基本不等式求最值 例1已知x>0,y>0,且4x+9y=6,则xy的最大值为 A B号 C.1 D.2 【解析】当x>0,y>0,且4x+9y=6时， y=64)·(9)≤9 1 362 =1,当且仅当4x=9,即x3 4,y= 时等号成立， 3 所以xy的最大值为 【答案】A 例2（真题）已知>0，y>0,且上+2=1，则y+#+y的最小值为( A.6+53 B.7+43 C.6+43 D.7+53 【解析】 由1+2 =1得xy=2x+y, y 所以++y=江+2y=(8+2生+引=7++≥7+2=7+4，当且收当 y x 6x_2y,即x= 3+23 3 ,y=2+3时，等号成立， 故最小值为7+45. 【答案】B 名师点拨 ()本题的解题关健：利用已知条件中的等式任+子作为”的代提，将月标表达式乘以孩等 式，从而将复杂问题转化为基本不等式的标准形式 (2)在利用基本不等式6≤0+·求最值时，应满足“一正、二定、三相等”三个条件 2 其中“一正”指的是a,b均为正值；“二定”指a,b的乘积或a,b的和为定值；“三相等”指的是当且仅 当a=b时等号成立. 题型2：一元二次不等式的解法 例3不等式6x-5-x2>0的解集是 A.{xlx<2或x>3} B.{x12<x<3 C.{xl1<x<5 D.R 22 第二章一元二次函数、方程和不等式 【解析】不等式6x-5-x2>0可化为x2-6x+5<0, 易知方程2-6r+5=0的解为，=6+√-6=4×1×5 =5,=6-w-62-4×1x5=1, 2 2 因为函数y=x2-6x+5的图像是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(5,0)，(1,0)， 所以不等式x2-6x+5<0的解集为{x11<x<5, 所以原不等式的解集为{x|1<x<5}. 【答案】C 名师点拨 (1)若一元二次不等式的二次项系数小于0，则应先把二次项系数化负为正，同时不等号要改变方向 (2)解一元二次不等式要和方程、二次函数的图像联系起来，结合图像找解集 (3)设方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根为x1,x2,且x1<x2,则不等式ax2+b+c>0(a>0)的 解集在“两根之外”，不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集在“两根之间” 题型3：一元二次不等式与二次函数的关系 例4（真题）已知二次不等式ax2+bx+1>0的解集为x1-2<x<1,则a,b的值为() A.a=-1,b=-2 B.a=-2,b=-1 C.a=b=-1 2 D.a=1,b=2 【解析】 因为二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-2<x<1}, 所以二次函数的图像开口向下(a<0),且方程ax2+bx+1=0的根为x=-2和x=1. (-2)×1=1 2 由韦达定理得 解得 b 1 -2+1=- b=- a 2 【答案】C 题型4：分式不等式的解法 例5不等式1-2>0的解集为 0<x< 1 D{<0或0<<引 【解析】 1-2r>0可化为2-1<0，即x(2x-1）<0,解得0<x<2 所以不等式1,2>0的解条为10<<} 【答案】A 23 江苏省高职单招复习教材·数学 题型5：求解绝对值不等式 例6不等式1x-21>1的解集是 A.{x|-1<x<3} B.{xl1<x<3 C.{x1x<-1或x>3 D.{xIx<1或x>3 【解析】由1x-21>1,得x-2<-1或x-2>1,解得x<1或x>3, 所以不等式Ix-2I>1的解集为{x|x<1或x>3}. 【答案】D 名师点拨 大于取两边：Iax+b|>c(c>0)等价于ax+b>c或ax+b<-c; 小于取中间：Iax+b1<c(c>0)等价于-c<ax+b<c. 实战演练 参考答案见答案册P5 窗基础巩固 单项选择题 1.已知：>0，则：+的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.5 2.不等式(x-1)(x-2)≤0的解集为 A.(1,2) B.[1,2) C.(1,2] D.[1,2] 3.不等式1x-2|>3的解集为 A.(-∞，-1)U(5,+∞) B.(-0,1)U(5,+0) C.(5,+0) D.(1,5) 4.设x,y均为正数，且x+y=4,则xy的最大值为 A.1 B.2 C.4 D.16 5.不等式x2-x-2<0的解集是 A.{x1x<-1 B.{xlx<-1或x>2 C.{x|x>2} D.{xI-1<x<2 6.设a,b∈R,且a<b<0,则 B.5>6 a D.0*6 >√ab 2 24日 第二章一元二次函数、方程和不等式 7.某商品在最近30天内的单价m(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系是m=t+10(0<t≤30，t∈ N),销量y与时间t的函数关系是y=-t+35(0<t≤30，t∈N),则使这种商品日销售金额不小于500元 的t的范围为 () A.{tl15≤t≤20，teN} B.{tl10≤t≤15，t∈N} C.{tl10<t<15,t∈N D.{tI0<t≤10，t∈N} 8.如图是函数y=ax2+bx+c的图像，则不等式ax2+bx+c>0的解集为 A.{x1x>2 B.{x1x>-2 C.{x|x<-2或x>2 D.{xI-2<x<2} 9.不等式x2-x+a≥0的解集为R,则实数a的取值范围是 Aa≥ B.a C.a≤4 D.a≤ 能力提升 单项选择题 10.不等式16-2x1≤2的解集是 A.(2,4) B.[-4,-2] C.(-∞，2)U(4,+) D.[2,4] 11.不等式-x2+x+2>0的解集为 A.(-0,-2)U(-1,+∞) B.(-,-1)U(2,+0) C.(-1,2) D.(-2,-1) 2.已知a>1,则a+,的最小值是 A.5 B.9 C.4 D.12 13.若不等式x2+ax+b>0的解集是x|x<-3或x>2},则a,b的值为 A.a=1,b=6 B.a=-1,b=6 C.a=1,b=-6 D.a=-1,b=-6 14.已知a>0,b>0且2a+5b=10,则ab的最大值为 A.2 B.5 15.不等式3-2≤1的解集是 x+2 A{-2<x≤ B1=写或x<-2 c><-2 D.{1-2<x<