2.1 等式性质与不等式性质-【库课文化】2026版江苏省高职单招复习教材·数学

第二章一元二次函数、方程和不等式 YE6 9知识导图 比较实数的大小的基本事实 等式的基本性质 等式性质与 元二次函数 不等式性质 不等式的基本性质 元一次不等式（组）的解法 方程 基本不等式的解法 二次函数与一元二次方程、不等式 不等式 不等式的解法 分式不等式的解法 绝对值不等式的解法 ⊙课标解读 (1)梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质： (2)掌握基本不等式，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题： (3)会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数，了解一元二次不 等式与相应函数、方程的联系； (4)能从实际情境中抽象出一元二次不等式，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表 示一元二次不等式的解集， 2.1等式性质与不等式性质 知识讲堂 2考点1比较实数的大小的基本事实 (1)数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大. 第二章一元二次函数、方程和不等式 (2)关于实数a,b大小的比较，有以下基本事实： 关系 另一表达方法 在数轴上的位置关系 点A在点B的右侧 a xb a-b>0 点A与点B重合 a =b a-b=0 A(B〕 (b) 点A在点B的左侧 a <b a-b<0 B 6注 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可转化为比较它们的差与0的大小 考点2等式的基本性质 等式的基本性质如下， 性质1：如果a=b,那么b=a. 性质2：如果a=b,b=c,那么a=c 性质3：如果a=b,那么a±c=b±c. 性质4：如果a=b,那么ac=bc. 性质5：如果a=b,c≠0，那么0= c 9考点3不等式的基本性质 不等式的基本性质如下. 性质1：如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b. 性质2：如果a>b,b>c,那么a>c 性质3：如果a>b,那么a+c>b+c 性质4：如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc. 性质5：如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. 性质6：如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. 性质7：如果a>b>0,那么a”>b"(n∈N,n≥2). 9考点4一元一次不等式的解法 一元一次不等式的求解应遵循以下几个步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1. 例女-元一火不等式产1>2+2的解法知下 第一步：去分母（不等式两边同乘4），得2(x+1)-4>8+(2-x) 第二步：去括号，得2x+2-4>8+2-x 15 江苏省高职单招复习教材·数学 第三步：移项，得2x+x>8+2-2+4. 第四步：合并同类项，得3x>12. 第五步：系数化为1，得x>4. 易错警示 (1)去分母时，不等式两边易漏乘各分母的最小公倍数 (2)移项时，易忘记改变符号 (3)括号前有“-”时，去括号易忘记将括号内各项改变符号 (4)系数化为1时，注意不等号方向是否改变。 2考点5一元一次不等式组的解法 若a<b,则 任<的解为x<a,即“同小取小”： lx <b 区>的解为x>6,即“同大取大”： x >b :>的解为a<x<6,即“大小小大中间找”： (x <b <“无解，即“大大小小无解” lx >b 心典例剖析 题型1：作差法比较两个实数（代数式）的大小 例1设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则 () A.M>N B.M=N C.M<N D.M≤N 【解析】因为M-N=[2a(a-2)+7]-(a-2)(a-3)=(2a2-4a+7)-(a2-5a+6)=a2+a+1= 3 所以M>N. 【答案】A 名师点拨 作差比较法的步骤是：作差，求差值，定符号，确定大小根据条件确定差值的符号是关键，当差值含 有字母时常用的变形手段是配方或因式分解，以达到“定号”的目的. 题型2：不等式的基本性质 例2下列说法正确的是 A.若a>b>0,则ac>bc B.若a>b,则1al>1b1 C.若a<b<0,则a2>ab D若a>6>6则后>8 16 第二章一元二次函数、方程和不等式 【解析】对于A,若c=0,则ac=bc,故A错误； 对于B,若a=1,b=-2,则1al<b1,故B错误； 对于C,若a<b<0,则在不等式a<b的两边同时乘a,不等号的方向改变，即a2>ab,故C正确； 对于n,若0=3b=2e=-1,用号8中名=2，号<8故D缝民 b 2'b+c 1 【答案】C 题型3：解一元一次不等式（组） 例3不等式3+5x<3(x+3)的解集为 A.(-3,+) B.(-0,-3) C.(-0,3) D.(3,+0)》 【解析】去括号，得3+5x<3x+9, 移项，得5x-3x<9-3, 合并同类项，得2x<6, 系数化为1，得x<3, 所以原不等式的解集为(-0,3). 【答案】C 例4要使式子x-2·√x+了有意义，则x的取值范围为 () A.{x1x≥-2} B.{x1x≥-5 C.{xlx≤5引 D.{xlx≥2} 【解析】 由题意得~2≥0，即：≥2， ’即 解得x≥2， (x+5≥0，(x≥-5， 所以x的取值范围为{x|x≥2}. 【答案】D 名师点拨 不等式组的解集：同大取大，同小取小，一大一小中间找，矛盾为空集 实战演练 参考答案见答案册P4 逾基础巩固 单项选择题 1.若3a-2≥4a-7,则实数a的取值范围是 ( A.al ax5 B.ala≥5} C.al a <5 D.{ala≤5 2.要使式子√x+3有意义，则x的取值范围是 ) A.(0,+0) B.（-3,+∞) C.[-3,+o) D.(-o,-3] 17 江苏省高职单招复习教材·数学 3.已知a<b<0,则 ( a B.ab 1 C6>1 D.a2<b2 2x+2>0, 4.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是 (x-4≤2-2x A. -2-1(0123 -2-10123 C. -210123x -2-101Σ3 5.若a>b,则下列结论正确的是 A.ac bc B.as>b5 C.1a1>1b1 D.a+c>b 6.已知a,b∈R,设M=a2-ab,N=ab-b2,则M与N的值的大小关系是 A.M<N B.M≤N C.M>N D.M≥N 又西数y=十+V2的自变量的取值范固为 A.[0,2] B.(-∞，-1)U(-1,2] C.（-0,2) D.(-∞，-1)U(-1,2) 能力提升 一、单项选择题 8.若点P(a-1,2a)在第二象限，则a的取值范围是 A.{a1-1<a<0 B.{al0<a<1 C.al a< D.{a1a>1} 9.对于实数a,b,c,“a>b”是“ac2>bc2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.若a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式一定成立的是 A<市 1 c2 -<0 a C.ac be D.(a-b)c2≥0 11.已知x,y满足m=x2+y2+19,n=4(2y-x)-1,则m,n满足的大小关系是 ( A.m>n B.m n C.m≤n D.m≥n 二、填空题 12.已知-1<x<2,1<y<4,则x+y的取值范围是 18第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 韵基础巩固 1.D【解析】由3a-2≥4a-7,移项得7-2≥4a-3a,解得a≤5，所以a的取值范围为ala≤5. 2.C【解析】要使式子√x+3有意义，须x+3≥0，解得x≥-3. 3C【解折1因为a<b<0,所以b>0a-6<0.b-a>0a+6<0-}=5>0,所以， a6 ab b' 故A项错误：若a03,6=-01,.清足a<6<0.但6=003<1，故B项错误：日-1=“， 6>0,所 以分>1，放C项正确：。2-=(a+b(a-)>0,所以。>，放D项错误 4.C【解析】由2x+2>0得x>-1,由x-4≤2-2x得x≤2，所以不等式组的解集是{x1-1<x≤2，在 数轴上表示如下 -210123 5.B【解析】当c<0时，ac<bc,故A项错误.易知当a>b时，a>b,故B项正确.当a=1,b=-1时，满足 a>b,但1a1=1b1,故C项错误.当a=1,b=-1,c=-3时，满足a>b,但a+c<b,故D项错误. 6.D【解析】因为M=a2-ab,N=ab-b2,所以M-N=a2-ab-(ab-b2)=(a-b)2≥0，当且仅当a= b时等号成立，故M≥N. (2-x≥0， 入B【解折】由质数y=十+？-有京文得 解得x≤2且x≠-1，所以自变量x的取值范围 x+1≠0， 为(-x,-1)U(-1,2]. 有能力提升 a-1<0, 8.B【解析】因为点P(a-L,2m)在第二象限，所以 解得0<a<1,所以a的取值范围是 2a>0. {a10<a<1}. 4. 答案全解全析 9.B【解析】当a>b,c=0时，ac2=bc2,故充分性不成立；当ac2>bc2时，c≠0，所以c2>0,所以a>b,故必 要性成立.故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件. 10D【解折1当。=16。-1时满起a>6,但=1，=-1日>故A结误：者c=0则 故B错误；若c≤0，则ac≤bc,故C错误；由a>b得a-b>0,又c2≥0，所以(a-b)c2≥0，故D正确. 1L.D【解析】m-n=x2+y2+19-4(2y-x)+1=(x+2)2+(y-4)2≥0，当且仅当x=-2,y=4时等号 成立，所以m≥n. 12.(0,6)【解析】因为-1<x<2,1<y<4,所以-1+1<x+y<2+4,即0<x+y<6,故x+y的取 值范围是(0,6) 2.2不等式的解法 奥基础巩固 kA【解折由x>0,得x+≥2，· =2,当组仅当=士即=1时，等号成立，所以+士的最小 值为2. 2.D【解析】易知方程(x-1)(x-2)=0的两根分别为x,=1,x2=2.又不等式(x-1)(x-2)≤0的二次 项系数为1>0，所以(x-1)(x-2)≤0的解集为[1,2]. 3.A【解析】由1x-21>3得x-2>3或x-2<-3,解得x>5或x<-1,所以原不等式的解集为 (-∞，-1)U(5,+0). 4C【解标1当均为正数.且x+y=4时≤（任） =4,当且仅当x=y=2时，等号成立，所以y的 最大值为4 5.D【解析】易知方程x2-x-2=0,即(x-2)(x+1)=0的两根分别为x,=2,x2=-1.因为不等式x2-x- 2<0的二次项系数为1>0，所以不等式x2-x-2<0的解集为{x1-1<x<2. 解析J因为a<6<0,所。>有故A错误；因为a<6<0,所以云>，即-a<0,b> 以6-a=P-2 <0,所以：≤名故B错误因为a<6<0.所以片>0，号>0，且片≠号所以合 a a a >2 2.4=2,故C正确：因为4<6<0，所以十b “7<0.又va>0.所以2≤v,放D错误 7.B【解析】由题意得(t+10)(-t+35)≥500(0<t≤30，t∈N),即2-25t+150≤0(t∈N),解得10≤ t≤15(teN). 8.C【解析】由二次函数的图像可得，当x<-2或x>2时，函数图像在x轴的上方，故y>0;当-2<x<2时， .5.