1.3 常用逻辑用语-【库课文化】2026版江苏省高职单招复习教材·数学

江苏省高职单招复习教材·数学 1.3 常用逻辑用语 8考点1充要条件 1.命题 「真命题：判断为真 命题（能判断真假的陈述句）{假命题：判断为假 般形式：如果p,那么q(p为条件，g为结论) 2.充分条件与必要条件 “若p,则g”为真命题，是指由p可以推出q,称p是q的充分条件或q是p的必要条件，记作p→q. 在命题“若x>3,则x>2”中，x>3称为命题的条件P,x>2称为命题的结论q 一个数大于3时，这个数肯定大于2，故 x>3→x>2(p→q), 因此，“x>3”是“x>2”的充分条件，“x>2”是“x>3”的必要条件 “小范围”→“大范围”，“大范围”今“小范围” 3.充要条件 如果p是q的充分条件(p→q),p又是q的必要条件(q→p),那么称p是q的充要条件，记作p→q 4.p与q的四种关系 p与g的推出关系的不同情况如下. p与g的关系 结论 p→g,但9p p是g的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)》 g→p,但p≠g p是g的必要不充分条件(g是p的充分不必要条件) p→q,且g→p p与q互为充要条件 ppq,且qp p是g的既不充分也不必要条件(g是p的既不充分也不必要条件) ￡考点2全称量词命题与存在量词命题 1,全称量词与存在量词 (1)全称量词 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“H”表示.含有全称量词的命题，叫 作全称量词命题. 例如，命题“对任意的n∈Z,则2n+1是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题， (2)存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“了”表示.含有存在量词的命 10 第一章 集合与常用逻辑用语 题，叫作存在量词命题。 例如，命题“有的平行四边形是菱形”“有一个素数不是奇数”都是存在量词命题， 2.全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题的否定是存在量词命题， 全称量词命题：Hx∈M,P(x), 全称量词命题的否定：3x∈M,p(x). (2)存在量词命题的否定是全称量词命题， 存在量词命题：3x∈M,p(x), 存在量词命题的否定：Vx∈M,p(x). 特别提示 (1)全称量词命题“对M中任意一个x,P(x)成立”可用符号简记为Hx∈M,P(x). (2)存在量词命题“存在M中的元素x,P(x)成立”可用符号简记为3x∈M,P(x) (3)“p(x)”表示“p(x)不成立” 心典例剖析 题型1：充分条件与必要条件的判断 例1已知p:a2=1,9:1al=1,则p是g的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】易知a2=1→a=±1,1a1=1→a=±1， 所以a2=1曰1a1=1. 故p是g的充要条件. 【答案】c 例2（真题）设a,beR,则“a>b>0”是“a2>b2”的 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】a>b>0=→a2>b2,充分性成立； 若a2>b2,则a>b>0或a<b<0,则a2>b2a>b>0,必要性不成立. 故a>b>0是a2>b2的充分条件. 【答案】A 名师点拨 记命题“若P,则g”中，条件p对应的范围为集合A,结论q对应的范围为集合B,则 (1)若A手B,则p→q,9p,即p是q的充分不必要条件. (2)若A=B,则p曰>q,即p是q的充要条件. 811 江苏省高职单招复习教材·数学 题型2：全称量词命题与存在量词命题的否定 例3（真题，判断题）命题“x∈R,x2+x+1>0”的否定为“3x∈R,2+x+1≤0”.() 【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，全称变存在，结论再否定 故“Hx∈R,x2+x+1>0”的否定为“3x∈R,x2+x+1≤0” 【答案】V 例4已知命题p:3x∈[0，+∞)，ln(1+x)=x,则p为 A.3x(0,+o),ln(1+x)=x B.Hx[0,+o),ln(1+x)=x C.3x∈(0，+∞)，ln(1+x)≠x D.Hx∈[0，+o),ln(1+x)≠x 【解析】因为命题p:3x∈[0，+∞)，ln(1+x)=x, 所以p:Hx∈[0，+∞)，ln(1+x)≠x. 【答案】D 名师点拨 (1)全称量词命题的否定的口诀为“全称变存在，结论再否定”；存在量词命题的否定的口诀为“存在 变全称，结论再否定” (2)常见量词的否定：“=”的否定“≠”；“>”的否定“≤”；“<”的否定“≥”；“是”的否定“不是”； “一定是”的否定“不一定是”；“都是”的否定“不都是”；“至少有N个”的否定“至多有N-1个”(N≥1) 实战演练 参考答案见答案册P2 窗基础巩固 一、单项选择题 1.“a=2”是“a>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.“1a1>3”是“a-3>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知a∈R,则“a>0”是“a2>1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.命题“Hx∈R,x2≥0”的否定是 A.Hx∈R,x2<0 B.3x∈R,x2≥0 C.Vx∈R,x2≥0 D.3x∈R,x2<0 2 第一章集合与常用逻辑用语 5.命题“3x∈R,x+1≥0”的否定是 () A.Hx∈R,x+1<0 B.Hx∈R,x+1>0 C.3x∈R,x+1<0 D.3x∈R,x+1>0 6.(真题)给出下列命题： ①面积相等的三角形是全等三角形； ②矩形的对角线互相垂直； ③若xy=0,则1x1+川y|=0; ④若a>b,则a+c>b+c. 其中真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 二、判断题 7.“x>1”是“(x-1)(x+2)>0”的充分不必要条件 8.设x,y∈R,则“x=y”是“x2=y2”的必要不充分条件 能力提升 一、单项选择题 9.设x∈R,则“-1<x<1”是“1x1<1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.“AUB=B”是“A军B”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、判断题 1L.命题“]x∈R,-x2-x-1≤0”的否定为“x∈R,x2+x+1<0”. 12.(真题)“√a2=√”是“(a)2=(Vb)”的必要不充分条件.江苏省高职单招复习教材·数学 1.2集合的基本运算 窗基础巩固 1.C【解析】因为集合M=0,2,3},N=1,3}的所有元素为0,1,2,3，所以MUN={0,1,2,3. 2.B【解析】因为全集U={1,2,3,4,5引，A={1,5},所以CA=2,3,4. 3.A【解析】因为集合A={-1,0,1{与集合B={0,2,4的共同元素为0，所以A∩B=0}. 4.B【解析】因为集合A={x1-2≤x<1},B={-2,-1,0,1},所以A∩B={-2,-1,0. 5.C【解析】如图所示，利用数轴表示集合A={x1-2<x≤3，B={xl1<x<5},所以AUB={x1-2<x<5. -2-1012345x 6.C【解析】因为集合A=0,x},B={1,2,且A∩B={2,所以集合A中一定含有元素2，所以A={0,2, 所以x=2. 7.B【解析】因为集合A={1,2,m,B=2,4},且AUB=1,2,3,4,所以3∈A,所以m=3. 8.×【解析】由A={0,1,2},B={x1x<2}及交集运算得A∩B={0,1{. 9.V【解析】由集合A=1,2,3},B=☑及并集运算得AU0={1,2,3. 广能力提升 10.D【解析】因为A={x∈N1x≤6}={0,1,2,3,4,5,6，B=2,0,22,所以AUB={0,1,2,3,4,5,6,22}, 共有8个元素. 11.C【解析】由题意得A={xeN1-2<x<5}=0,1,2,3,4},B={-1,0,1,5,集合A和B的所有共同 元素为0,1，所以AnB={0,1 12.B【解析】因为A=aeZla2≤4}={a∈Z1-2≤a≤2}={-2，-1,0,1,2}，B={b∈N1b<3}= {0,1,2,所以集合A和B的所有共同元素为0,1,2，所以A∩B=0,1,2 13.D【解析】因为B=x∈Z1x2+2x≤0}={x∈Z1-2≤x≤0}=-2，-1,0，A={-2,0,1},所 以集合A和B的所有元素为-2，-1,0,1，所以AUB={-2,-1,0,1} 14.D【解析】因为U=Z,A={-1,0,1,2},B={xlx2=2x={0,2,所以CB=x∈Z1x≠0且x≠2}， 所以A∩(C,B)=-1,1. 1.3常用逻辑用语 ?基础巩固 1.A【解析】由a=2→a>0知，“a=2”是“a>0”的充分条件.由a>0a=2知，“a=2”不是“a>0” 的必要条件.故“a=2”是“a>0”的充分不必要条件 ·2. 答案全解全析 2.B【解析】由IaI>3得a>3或a<-3,所以1a>3不能推出a>3,但a>3能推出1a「>3，所以 “1a1>3”是“a-3>0”的必要不充分条件. 3.D【解析】当a=1时，满足a>0,但不满足a2>1,故充分性不成立：当a=-2时，满足a2>1,但不满足 a>0,故必要性不成立.所以“a>0”是“a2>1”的既不充分也不必要条件。 4.D【解析】命题“Hx∈R,x2≥0”的否定是“3x∈R,x2<0” 5.A【解析】命题“3x∈R,x+1≥0”的否定为“Hx∈R,x+1<0”. 6.A【解析】全等三角形是能够完全重合的三角形，面积相等的三角形的形状和边长不一定完全相同，所以命题 ①为假命题；矩形的性质是对角线相等且互相平分，菱形（正方形是特殊的菱形）的对角线互相垂直，一般矩 形（非正方形）的对角线不互相垂直，所以命题②为假命题：若y=0,则x=0或y=0,比如x=0,y=5时， xy=0,但1x1+y1=10|+151=5≠0，所以命题③为假命题；不等式两边同时加（或减）同一个数（或式 子)，不等号的方向不变，则a>b,两边同时加c,可得a+c>b+c,所以命题④为真命题.综上，只有命题④是 真命题，真命题的个数是1. 7.V【解析】由(x-1)(x+2)>0得x<-2或x>1.当x>1时，(x-1)(x+2)>0成立，所以“x>1” 是“(x-1)(x+2)>0”的充分条件；由(x-1)(x+2)>0不能推出x>1.所以“x>1”不是“(x-1)(x+ 2)>0”的必要条件.故“x>1”是“(x-1)(x+2)>0”的充分不必要条件 8.×【解析】当x=y时，x2=y2;由x2=y2得x=y或x=-y.所以“x=y”是“x2=y2”的充分不必要条件 旷能力提升 9.C【解析】由|x1<1得-1<x<1,所以-1<x<1台1x1<1,所以“-1<x<1”是“1x1<1”的充 要条件 1O.B【解析】因为AUB=B台ACB,ACB≠A军B,A手B曰ACB,所以“AUB=B”是“A手B”的必要 不充分条件. 11.V【解析】“3x∈R,-x2-x-1≤0”即“3x∈R,x2+x+1≥0”.“3x∈R,x2+x+1≥0”的否定为 “Hx∈R,x2+x+1<0”,故命题“3x∈R,-x2-x-1≤0”的否定为“Hx∈R,x2+x+1<0”. 12.√【解析】由（√a)2=(b)2得a=b≥0.“√=√"→“a2=b2”羚“a=b≥0”，则“√a= 辰”(a)2=(√万)2，充分性不成立：（√a)2=(b)2→a=b台√a=√辰，必要性成立，故“√= √”是“（√a)2=(b)2”的必要不充分条件 .3