24.4解直角三角形(基础篇）练习2025-2026学年华东师大版 数学九年级上册

24.4解直角三角形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 解直角三角形的概念： 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2. 解直角三角形的理论依据 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c （1）三边之间的关系：（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系： 型 习 练 题 解直角三角形的相关计算 1．如图所示的网格是正方形网格，点、、、、是网格交点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，分母有理化，结合网格的特点正确添加辅助线是解题关键．设正方形网格的边长为，则，，，在中，，证明，得到，同理可证，，由等腰三角形的性质，得到，在中，，则，从而得出，即可得解． 【详解】解：如图， 设正方形网格的边长为， ，，， 在中，， 由网格可知，，，， ， ， 同理可证，， 由网格可知，，， ， 在中，， ， ， ， 故选：B． 2．如图，中，为上一点，，，，则的长是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、勾股定理及三角函数，正确添加辅助线是解题的关键． 根据，构造直角三角形，过点作于点，过点作于点，由是等腰三角形，利用“三线合一”的性质可证明，根据相似三角形的性质建立方程组，解方程组即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图： ， ， 设，，则 在中， ，即 在中，由勾股定理得 联立 解得：， ． 故选：D． 3．如图，在正方形网格中，点A、B、O都在格点上，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．连结，先根据勾股定理的逆定理证明，再根据正切函数的定义求解． 【详解】解：连结， ，，， ， ， ． 故选：D． 4．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．过点作于点，先利用三角函数的定义和勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，最后在中求出的度数． 【详解】如图所示，过点作于点， ，， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：C． 5．如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（    ）． A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，根据同角的余角相等，得到，进而得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴； 故选C． 仰角俯角问题 6．如图，两建筑物水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查锐角三角函数的实际应用，矩形的判定和性质，正确理解俯仰角是解题关键．过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，米，，，在直角三角形中，利用正切值，求出，米， 在中，米，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，米，，， 米，， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， （米）， 故选：D． 7．飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为 千米．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据俯角的定义，构造直角三角形，利用正弦的定义即可求解飞机与目标点的距离． 【详解】解：如图所示，为飞机，飞机离地面高度为，测得目标的俯角为， 则，，， 在中，， ∴ ∴ 飞机与目标的距离为 千米； 故选：A． 8．为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形分别求出的长，则可求出的长． 【详解】解：由题意得，， 在中，， 在中，， ∴， 故选：C． 9．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从层直达层，“飞梯”的截面如图，已知的长为米，点处的仰角为，那么高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查的是锐角三角函数的应用，灵活运用正弦函数的定义是解题的关键．根据正弦函数的定义，结合直角三角形的边长关系，进而求出高的长度． 【详解】解：为仰角，米， 在中，， （米）． 故选：． 10．如图，已知点在同一直线的水平地面上，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，若，则建筑物的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，设，根据解直角三角形求出，得到，再根据解直角三角形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设， 在中，， ， ， 在中，， 解得：， 故选：． 方向角问题 11．某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角形的方位角应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 依题意， 则 在中， ， ， ． 故选：C 12．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【答案】A 【分析】本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． 13．如图，从小明家（处）到学校有两条路，一条沿北偏东方向可直达学校前门（处），另一条从小明家一直往东，到商店处，向正北走，到学校后门（处），若两条路的路程相等，学校的后门在小明家北偏东处．则学校从前门到后门的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据为，利用的余弦值可得的长，也就是的长，减去即为所求的距离． 【详解】解：由题意得，米，， ， ， 解得：， （米）， （米）， 故选：A 14．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（ ）海里 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作，交的延长线于，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， 则， 由题意可知：，海里， ∴海里，， ∵， ∴， ∴, ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 15．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于（   ）米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，由题意得，，垂足为D，，，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图，由题意得，，垂足为D，，， 在中，，米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 故选：C． 坡度坡比问题 16．如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（    ） A．路线的坡角是 B．路线的坡度是 C．的长度为 D．路线的坡比是 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形——坡度、坡比问题，熟练掌握坡比等于垂直距离与水平距离的比是解题关键．根据正弦的定义得出，，解直角三角形得出，根据坡比的定义逐一判断即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即路线的坡角是，故A选项正确，不符合题意， ∴，故C选项正确，不符合题意， ∴路线的坡度是，故B选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意． 故选：B． 17．如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是（即），河堤的高度为，则坡面的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据坡度的定义，求出，然后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵河堤横断面迎水坡的坡比是， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 18．如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为，则这两棵树之间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理求线段长，涉及坡度概念，熟记勾股定理是解决问题的关键． 在中，坡度，设，则，结合相邻两棵树间的水平距离为，求出值，再由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：在中，坡度，设，则 ， 则由勾股定理可得， 故选：B． 19．如图，小丽从点出发，沿坡角为的斜坡向上走了150米到达点，则她沿垂直方向升高了（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图所示， 根据题意：，米， 故， 故选：D． 20．某水坝的坡度，坡长米，则坝的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】此题考查了坡度和勾股定理的应用．根据坡度设铅直高度为x，则水平宽度为，利用勾股定理列方程并解方程即可． 【详解】解：由，设铅直高度为x，则水平宽度为， 据勾股定理得，， 解得（负值已舍去） 故选A． 其他问题 21．如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为a，一辆小汽车车门宽为b，当车门打开角度为α时，车门边缘的点A处与墙的距离为（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 如图：过点A作于点C，解三角形求出的长度，进而完成解答． 【详解】解：如图：过点A作于点C， 在中， ∴车门边缘的点A处与墙的距离为． 故选：A． 22．如图，一根3米长的竹竿斜靠在墙边（），倾斜角为，当竹竿的顶端A下滑到点时，底端B向右滑到了点，此时倾斜角为，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，分别解直角三角形，直角三角形，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， 在中，， 在中，， ∴； 故选D． 23．桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角的绳索，则桑梯顶端D到地面的距离（单位：米）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，根据已知求得，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：过点作，垂足为， ， ∵米，， ， ， 米， 在中， ， 故选：D． 24．如图所示的是一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为500米，，则缆车从A点到B点上升的高度（即线段的长）为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题考查解直角三角形应用，解题的关键是正确掌握锐角三角函数的定义，选择适当的锐角三角函数模型．在中，，斜边是已知边，是已知角，而要求的是的对边的长，所以选择的正弦，即可求出结果． 【详解】解：如图，在中，，， ， ， （米）， （米）． 故选∶B． 25．如图，游乐场有一个长的跷跷板，O为的中点，它的支撑柱垂直于地面，垂足为点H，当一端A着地时，，则支撑柱的长可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据线段中点的定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：为的中点，， ， 在中，， ， 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.4解直角三角形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 解直角三角形的概念： 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2. 解直角三角形的理论依据 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c （1）三边之间的关系：（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系： 型 习 练 题 解直角三角形的相关计算 1．如图所示的网格是正方形网格，点、、、、是网格交点，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，为上一点，，，，则的长是（    ） A．8 B． C． D． 3．如图，在正方形网格中，点A、B、O都在格点上，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 4．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（    ）． A．7 B．8 C．9 D．12 仰角俯角问题 6．如图，两建筑物水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为 千米．（    ） A． B． C． D． 8．为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 9．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从层直达层，“飞梯”的截面如图，已知的长为米，点处的仰角为，那么高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．如图，已知点在同一直线的水平地面上，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，若，则建筑物的高度为（   ） A． B． C． D． 方向角问题 11．某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 12．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 13．如图，从小明家（处）到学校有两条路，一条沿北偏东方向可直达学校前门（处），另一条从小明家一直往东，到商店处，向正北走，到学校后门（处），若两条路的路程相等，学校的后门在小明家北偏东处．则学校从前门到后门的距离是（   ） A． B． C． D． 14．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（ ）海里 A． B． C． D． 15．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于（   ）米． A． B． C． D． 坡度坡比问题 16．如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（    ） A．路线的坡角是 B．路线的坡度是 C．的长度为 D．路线的坡比是 17．如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是（即），河堤的高度为，则坡面的长度是（   ） A． B． C． D． 18．如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为，则这两棵树之间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 19．如图，小丽从点出发，沿坡角为的斜坡向上走了150米到达点，则她沿垂直方向升高了（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 20．某水坝的坡度，坡长米，则坝的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 其他问题 21．如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为a，一辆小汽车车门宽为b，当车门打开角度为α时，车门边缘的点A处与墙的距离为（  ）． A． B． C． D． 22．如图，一根3米长的竹竿斜靠在墙边（），倾斜角为，当竹竿的顶端A下滑到点时，底端B向右滑到了点，此时倾斜角为，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 23．桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角的绳索，则桑梯顶端D到地面的距离（单位：米）为（    ） A． B． C． D． 24．如图所示的是一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为500米，，则缆车从A点到B点上升的高度（即线段的长）为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 25．如图，游乐场有一个长的跷跷板，O为的中点，它的支撑柱垂直于地面，垂足为点H，当一端A着地时，，则支撑柱的长可表示为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $