专题05 三角函数的概念及运算（讲义）-江西省（三校生对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年江西省三校生对口升学考试二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及江西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年江西省三校生对口升学考试二轮复习《数学考纲专题练》的第5个专题，内容为三角函数的概念及运算。 2026年江西省三校生对口升学考试《数学考纲专题练》 专题05 三角函数的概念及运算 一、课标解读 依据江西省三校生对口升学考试数学考纲，三角函数的概念及运算作为三角函数板块的基础核心内容，考查聚焦“概念理解—运算熟练—应用灵活”的梯度要求，具体解读如下： 1. 核心概念掌握：理解任意角的概念、弧度制的意义，能熟练进行角度与弧度的互化；掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，明确三角函数值的符号规律，能结合终边位置求三角函数值。 2. 基本关系应用：熟练掌握同角三角函数的基本关系（平方关系、商数关系），能利用其进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明，这是运算类问题的核心基础。 3. 诱导公式运用：掌握正弦、余弦、正切的诱导公式，能运用公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，实现“大角化小角、负角化正角”的转化目标。 4. 综合运算能力：能结合两角和与差的三角函数公式（考频较高），解决三角函数的求值、化简问题，形成“概念—公式—运算”的完整解题链条。 二、考情聚焦 结合真题文档，提取近5年（2021-2025年）三角函数概念及运算相关考题，考情分析如下表所示，直观呈现考查规律： 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 T03 两角差的余弦公式应用 5分 1. 题型分布：以选择题（5分/题）和填空题（5分/题）为主，偶见解答题小问，近5年该模块单题分值稳定，总分值占比13-20分，是基础必拿分板块。 2. 考查重点：聚焦诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式三大核心，其中“诱导公式化简求值”“特殊角三角函数值计算”为高频考点。 3. 命题特征：题目以基础运算为主，难度偏低，多为“公式直接应用”或“一步转化+运算”模式，如将大角用诱导公式转化为特殊角求值。 4. 关联考点：常与三角函数的定义域、特殊角三角函数值结合考查，2024年出现结合正弦函数图像求定义域的考题，体现“概念+图像”的轻度综合。 2024 选择题 T01 诱导公式（cos690°化简求值） 5分 选择题 T17 三角函数定义域（结合正弦函数图像） 5分 2023 选择题 T12 诱导公式（tan390°化简求值） 5分 填空题 T22 同角三角函数关系、二倍角公式（化简求值） 5分 2021 选择题 T07 诱导公式（sin(π+θ)与cos(π/2-θ)化简求和） 5分 选择题 T14 二倍角公式（结合诱导公式求值） 5分 2020 选择题 T10 任意角三角函数定义（终边过定点求sinθ） 5分 三、考点预测（2026年） 结合近5年考情的稳定性与命题趋势，2026年江西省三校生对口升学考试中，三角函数概念及运算的考查将延续“基础为主、轻度综合”的特点，具体预测如下： 预测考点 题型 分值 考查方向 弧度制与角度互化 填空题 5分 将特殊角度（如150°、-60°）化为弧度，或弧度（如π/4、5π/6）化为角度，结合三角函数值计算 诱导公式化简求值 选择题 5分 针对180°±θ、360°±θ等常见角度，考查正弦或余弦函数的化简，结果为特殊角三角函数值 任意角三角函数定义 选择题 5分 已知角的终边过坐标平面内定点，求该角的正弦、余弦或正切值，需先计算终边半径r 同角三角函数关系应用 填空题 5分 已知一个三角函数值，求另外两个三角函数值，需结合角的象限判断符号 两角和与差公式应用 选择题/解答题小问 5-6分 利用两角和或差的正弦、余弦公式，计算如sin75°、cos105°等非特殊角的三角函数值 四、知识梳理（聚焦考点・关联 2025 年真题） 结合考纲要求与近5年真题考查重点，聚焦“弧度制、三角函数概念、同角关系、诱导公式”核心内容，梳理如下，剔除不考的复杂内容： 1. 核心概念 · 弧度制：定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度（记为1rad），圆周角为2π rad，故180°=π rad。 · 互化公式：角度数×(π/180)=弧度数；弧度数×(180/π)=角度数。如30°=π/6 rad，π/3 rad=60°。 任意角三角函数定义：设角θ的终边过点P(x,y)，且P到原点的距离r=√(x²+y²)>0，则：sinθ=y/r，cosθ=x/r，tanθ=y/x（x≠0）。 符号规律：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”（按象限记忆，第一象限全正，第二象限正弦正，第三象限正切正，第四象限余弦正）。 2. 核心公式 （1）同角三角函数基本关系 · 平方关系：sin²θ + cos²θ = 1（核心应用：已知sinθ求cosθ，或反之，需结合象限定符号）。 · 商数关系：tanθ = sinθ/cosθ（θ≠kπ+π/2，k∈Z，应用于弦切互化）。 （2）诱导公式（核心口诀：“奇变偶不变，符号看象限”） 公式类型 sinθ cosθ tanθ θ+2kπ（k∈Z） sinθ cosθ tanθ π+θ -sinθ -cosθ tanθ π-θ sinθ -cosθ -tanθ -θ -sinθ cosθ -tanθ π/2-θ cosθ sinθ cotθ（不常考） （3）两角和与差公式（高频应用） · sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB · cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB （4）特殊角三角函数值（必记） 角度 0° 30° 45° 60° 90° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 sinθ 0 1/2 √2/2 √3/2 1 cosθ 1 √3/2 √2/2 1/2 0 tanθ 0 √3/3 1 √3 无意义 3. 常见题型解法 · 诱导公式求值：“两步走”——①将角用诱导公式转化为锐角；②代入特殊角三角函数值计算。如tan390°=tan(360°+30°)=tan30°=√3/3。 · 同角关系求值：“定符号→用公式”——①根据角的象限确定所求函数值的符号；②代入平方关系或商数关系计算。如已知sinθ=1/2，θ在第二象限，则cosθ=-√(1-sin²θ)=-√3/2。 · 终边定点求值：“算r→代定义”——①由定点坐标(x,y)计算r=√(x²+y²)；②根据三角函数定义计算sinθ、cosθ等。 五、10分钟小测验 本测验聚焦三角函数概念及运算的基础知识点与真题高频考点，题量8道，限时10分钟，旨在夯实核心能力。 1. 将135°化为弧度是（ ） A. π/4 B. 3π/4 C. 5π/4 D. 7π/4 2. 已知角θ的终边过点(3,-4)，则sinθ的值为（ ） A. 3/5 B. -3/5 C. 4/5 D. -4/5 3.计算cos(-60°)的值为（ ） A. 1/2 B. -1/2 C. √3/2 D. -√3/2 4. 已知sinθ=√3/2，且θ在第二象限，则cosθ=（ ） A. 1/2 B. -1/2 C. √3/2 D. -√3/2 5. 计算tan(π+π/6)的值为（ ） A. √3/3 B. -√3/3 C. √3 D. -√3 6. 已知sinα=1/3，则sin²α + cos²α=________。 7. 计算sin75°的值为________（用最简根式表示）。 8. 已知tanθ=2，则sinθ/cosθ=________。 参考答案：1.B 2.D 3.A 4.B 5.A 6.1 7.(√6+√2)/4 8.2 六、经典例题解析 本部分精选10道经典例题，涵盖真题文档及本省模拟题，按考点分类解析，突出解题思路与方法提炼。 考点1：弧度制与三角函数定义 例1（2020·江西·T10）：若角θ的顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点(-4,3)，则sinθ=（ ） 解析：根据任意角三角函数定义求解，步骤如下： ①计算终边到原点的距离r=√[(-4)²+3²]=√(16+9)=5； ②由定义sinθ=y/r，其中y=3（终边点的纵坐标），故sinθ=3/5。答案为A。 方法提炼：终边定点求三角函数值，核心是“先算r，再代定义”，r始终为正数，符号由y（sinθ）或x（cosθ）的正负决定。 例2（2023·江西模拟）：将弧度5π/3化为角度，并求其cos值。 解析：①弧度化角度：5π/3 × (180/π)=300°； ②求cos300°：利用诱导公式，300°=360°-60°，故cos300°=cos(360°-60°)=cos60°=1/2。 考点2：诱导公式应用 例3（2024·江西·T01）：计算cos690°的值。 解析：利用诱导公式将大角化为特殊角，步骤： ①690°=2×360°-30°，属于“θ=2kπ-30°”型； ②根据诱导公式“cos(2kπ-θ)=cosθ”，得cos690°=cos(-30°)=cos30°=√3/2。答案为√3/2。 易错提醒：诱导公式应用需先将角化为“k×360°±θ”“180°±θ”等标准形式，再判断符号。 例4（2021·江西·T07）：计算sin(π+θ)+cos(π/2-θ)的值。 解析：分别用诱导公式化简两项： ①sin(π+θ)=-sinθ（“π+θ”型，奇变偶不变，符号看第三象限，sin为负）； ②cos(π/2-θ)=sinθ（“π/2-θ”型，奇变偶不变，符号看第一象限，cos为正）； ③求和：-sinθ + sinθ=0。答案为0。 例5（2023·江西·T12）：计算tan390°的值。 解析：①390°=360°+30°，属于“2kπ+θ”型； ②诱导公式：tan(360°+θ)=tanθ，故tan390°=tan30°=√3/3。 答案为√3/3。 考点3：同角三角函数关系 例6（2023·江西·T22）：已知f(x)=cos⁴x - sin⁴x，求f(π/6)的值。 解析：先化简函数解析式，再代入求值： ①利用平方差公式化简：cos⁴x - sin⁴x=(cos²x+sin²x)(cos²x-sin²x)； ②由同角关系cos²x+sin²x=1，得f(x)=cos²x - sin²x； ③进一步化简为cos2x（二倍角公式），代入x=π/6，得f(π/6)=cos(2×π/6)=cos(π/3)=1/2。答案为1/2。 例7（2019·江西模拟）：已知sinα=3/5，α在第二象限，求cosα和tanα的值。 解析：①求cosα：由平方关系cos²α=1 - sin²α=1 - (9/25)=16/25；α在第二象限，cosα为负，故cosα=-4/5； ②求tanα：由商数关系tanα=sinα/cosα=(3/5)/(-4/5)=-3/4。 答案：cosα=-4/5，tanα=-3/4。 考点4：两角和与差公式 例8（2024·江西模拟）：计算cos15°的值。 解析：将15°化为“45°-30°”，用两角差的余弦公式：cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB；代入A=45°，B=30°，得cos15°=cos45°cos30°+sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=√6/4 + √2/4=(√6+√2)/4。 答案为(√6+√2)/4。 例9（2025·江西·T03）：已知cosA=√3/2，cosB=1/2，且A、B均为锐角，求cos(A-B)的值。 解析：先求sinA、sinB，再用两角差公式： ①由同角关系，sinA=√(1-cos²A)=√(1-3/4)=1/2；sinB=√(1-cos²B)=√(1-1/4)=√3/2；②代入公式cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB=(√3/2)(1/2)+(1/2)(√3/2)=√3/4 + √3/4=√3/2。 答案为√3/2。 例10（2022·江西模拟）：计算sin105°的值。 解析：105°=60°+45°，用两角和的正弦公式：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB；代入A=60°，B=45°，得sin105°=sin60°cos45°+cos60°sin45°=(√3/2)(√2/2)+(1/2)(√2/2)=√6/4 + √2/4=(√6+√2)/4。 答案为(√6+√2)/4。 七、专题归纳小结 本专题结合考情与教学经验，从解题策略、易错点规避、核心逻辑梳理三方面总结，突出实用性，与前文形成互补。 1. 核心解题“三步法” · 第一步：定“要素”——明确已知与目标：拿到题目先标注已知条件（如“角的终边定点”“已知sinθ值”）和求解目标（如“求cosθ”“化简表达式”），避免盲目套用公式。例如已知“θ在第三象限，tanθ=3”，目标求sinθ，需先关联“tanθ=sinθ/cosθ”与平方关系。 · 第二步：选“公式”——匹配对应工具：根据已知与目标的关联选择公式：①“大角求值”选诱导公式；②“知一求二”选同角关系；③“非特殊角求值”选两角和与差公式；④“终边定点”用三角函数定义。公式选择的核心是“看转化方向”，如“负角→正角”“大角→锐角”均优先用诱导公式。 · 第三步：验“结果”——检查符号与运算：三角函数运算易出错点在“符号”和“特殊角值”，需双重验证：①根据角的象限验证函数值符号（如第二象限cosθ必为负）；②代入特殊角值时核对数据（如sin30°=1/2而非√3/2），避免“低级运算失误”。 2. 高频易错点“避坑指南” · 易错点1：弧度与角度互化遗漏系数：如将180°化为弧度时漏乘π，或5π/6化为角度时漏乘180/π。避坑技巧：牢记“π rad=180°”，互化时写全公式，如120°=120×(π/180)=2π/3，步骤不省略。 · 易错点2：诱导公式“符号看象限”判断错误：将“θ视为锐角”时，误判原角所在象限。避坑技巧：先将原角归到“0°-360°”范围内，再判断象限，如“-100°”=260°，在第三象限，sin(-100°)=-sin100°（第三象限sin为负）。 · 易错点3：同角关系忽略“象限定符号”：已知sinθ=1/2，直接得出cosθ=±√3/2，未结合题目中“θ在第二象限”的条件。避坑技巧：拿到三角函数值先标角的象限，无明确象限时才保留正负号，有象限时必须“定唯一符号”。 · 易错点4：两角和差公式“符号混淆”：如将cos(A-B)记为cosAcosB-sinAsinB。避坑技巧：用特殊角验证，如A=90°，B=0°，cos(90°-0°)=cos90°cos0°+sin90°sin0°=0×1+1×0=0，与sin90°=1一致，强化“cos差为加”的记忆。 3. 专题核心逻辑总结 三角函数概念及运算的核心是“转化”——将未知转化为已知，将复杂转化为简单：①角的转化（负角→正角、大角→锐角）依赖诱导公式；②函数的转化（弦切互化、知一求二）依赖同角关系；③值的转化（非特殊角→特殊角和差）依赖两角和与差公式。 复习时需做到“公式熟、符号准、运算稳”：公式要“会推导”（如由三角函数定义推导同角关系）而非死记；符号要“会判断”（结合象限规律）；运算要“会验证”（用特殊值代入检验）。该板块作为基础必拿分内容，需通过“小测验+错题复盘”强化熟练度，确保考试中“快且准”。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $