专题04 指数函数与对数函数（讲义）-江西省（三校生对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年江西省三校生对口升学考试二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及江西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年江西省三校生对口升学考试二轮复习《数学考纲专题练》的第4个专题，内容为指数函数与对数函数。 2026年江西省三校生对口升学考试《数学考纲专题练》 专题04 指数函数与对数函数 一、课标解读 依据江西省三校生对口升学考试数学考纲，指数函数与对数函数作为函数板块的核心内容，其考查聚焦于“基础概念理解—运算能力掌握—性质应用深化—综合问题解决”的梯度要求，具体如下： 1. 核心概念：掌握有理数与实数指数幂的定义、对数（含常用对数、自然对数）的概念，明确指数函数与对数函数的定义特征及定义域、值域等基础属性，能区分指数函数与幂函数的形式差异。 2. 运算能力：熟练运用实数指数幂的四则运算法则、对数的积/商/幂运算法则进行化简与求值，这是解决该板块所有问题的核心基础。 3. 性质应用：理解并灵活运用指数函数与对数函数的单调性、定点、值域等核心性质，能结合函数图象分析特征，解决比较大小、判断图象、求取值范围等问题。 4. 综合应用：掌握指数函数与对数函数在实际场景中的简单应用，能结合二次函数等其他函数类型，解决复合函数值域求解、不等式求解等综合问题，同时兼顾奇偶性等函数共性的考查。 二、考情聚焦 结合近5年江西省三校生对口升学考试真题，指数函数与对数函数的考查频次高、题型稳定，现将具体考情整理如下： 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 T26 指数函数单调性应用 8分 1. 题型分布：以选择题、填空题（每题5分）和解答题（8-10分）为主，近5年每年均覆盖这三类题型中的两类及以上，分值占比稳定在16-19分，是高频考点板块。2. 考查重点：集中在对数函数定义域（结合二次/分式不等式）、指数/对数运算法则、函数单调性应用、复合函数值域求解四大核心考点，其中单调性应用贯穿选择、解答题，是考查核心。 2. 命题趋势：基础题（选择/填空）侧重单一知识点考查，难度较低；解答题侧重“求参数+性质应用+值域/不等式求解”的组合题型，强调知识综合运用，2025年新增指数函数单调性基础比较题，进一步凸显基础性质的考查地位。 4. 高频场景：对数真数大于0的定义域限制、指数幂化简（含负指数、分数指数）、函数定点问题是基础题高频场景，复合函数换元法是解答题核心方法。 选择题 T14 分段函数结合对数运算求值 5分 填空题 T20 对数函数定义域（结合一元二次不等式） 5分 2024 解答题 T26 指数与对数函数结合的求值、单调性应用解不等式 8分 2023 选择题 T01 对数运算法则（对数减法化简） 5分 选择题 T17 指数函数图象特征（单调性、定点） 5分 解答题 T27 指数函数求参数、单调性应用解不等式 8分 2022 选择题 T02 指数与对数值的大小比较（单调性应用） 5分 选择题 T16 指数函数与对数函数图象综合判断 5分 三、考点预测（2026年） 结合近5年考情的稳定性与连续性，2026年江西省三校生对口升学考试中，指数函数与对数函数的考查将延续“基础为主、综合为辅”的命题思路，具体预测如下： 预测考点 题型 分值 考查方向 对数函数定义域求解 填空题 5分 结合二次不等式或分式不等式，考查“真数大于0”的核心限制，可能涉及偶次根式与对数的综合定义域 指数幂运算化简 选择题 5分 侧重负指数幂、分数指数幂的混合运算，可能结合零指数幂（a⁰=1，a≠0）考查 指数函数单调性应用 选择题 5分 给定具体指数函数，比较两个函数值的大小，或结合抽象函数单调性判断自变量关系 指数与对数函数图象判断 选择题 5分 根据底数a的范围（0<a<1或a>1），判断函数图象的单调性、定点及与坐标轴的交点特征 指数复合函数值域求解 解答题 8分 以“换元法”为核心，将复合函数（如y=2^(x²-2x)）转化为二次函数与指数函数的组合，分步骤求内层函数值域与外层函数值域，可能包含求参数取值范围的小问 四、知识梳理（聚焦考点・关联 2025 年真题） 结合考纲要求与近5年真题考查重点，对指数函数与对数函数的核心知识进行梳理，剔除不考内容，突出高频考点： （一）核心概念 1.指数幂：有理数指数幂：a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)（a>0，m、n∈N*，n>1）；a^(-m) = 1/aᵐ（a>0，m∈R）。 2.实数指数幂：遵循“底数大于0，指数任意”原则，运算性质与有理数指数幂一致。 对数 定义：若aˣ = N（a>0且a≠1，N>0），则x = logₐN，其中a为底数，N为真数（核心限制：真数N>0）。 特殊对数：常用对数lgN = log₁₀N；自然对数lnN = logₑN（e≈2.718）。 函数定义 指数函数：y = aˣ（a>0且a≠1），定义域为R，值域为(0,+∞)，不可与幂函数y = xᵃ混淆（前者底数为常数，指数为变量；后者反之）。 对数函数：y = logₐx（a>0且a≠1），定义域为(0,+∞)，值域为R，与指数函数y = aˣ互为反函数。 （二） 核心运算法则 运算类型 具体法则 备注 指数幂运算 aᵐ·aⁿ = a^(m+n) a>0，m、n∈R (aᵐ)ⁿ = a^(mn) (ab)ⁿ = aⁿbⁿ aᵐ/aⁿ = a^(m-n) 对数运算 logₐ(MN) = logₐM + logₐN a>0且a≠1，M>0，N>0 logₐ(M/N) = logₐM - logₐN logₐMⁿ = nlogₐM （三）函数核心性质（对比表） 函数类型 底数范围 单调性 定点 值域/定义域特殊特征 指数函数y = aˣ a>1 在R上单调递增 过定点(0,1)（x=0时，y=1） 值域(0,+∞)，无最大值、最小值 0<a<1 在R上单调递减 对数函数y = logₐx a>1 在(0,+∞)上单调递增 过定点(1,0)（x=1时，y=0） 定义域(0,+∞)，无最大值、最小值 0<a<1 在(0,+∞)上单调递减 （四）常见题型核心解法 1.定义域求解：对数函数优先保证真数>0，再结合分式（分母≠0）、偶次根式（被开方数≥0）等限制，转化为不等式（组）求解。 2.大小比较：利用函数单调性，同底数直接比自变量，不同底数可借助“中间值”（如0、1）过渡，如2⁰·³>1，log₂0.3<0，故2⁰·³>log₂0.3。 3.复合函数值域：换元法核心步骤——①设内层函数为t，求t的取值范围；②将原函数转化为y = aᵗ或y = logₐt的形式；③根据外层函数单调性求值域。 4.解析式求解：利用待定系数法，结合函数过定点的条件，列方程（组）求解底数a及常数项。 五、10分钟小测验 本测验聚焦基础知识点与近5年真题高频考查点，题量8道，限时10分钟，旨在夯实基础能力。 1.函数y = log₃(x - 2)的定义域为（ ） A. (-∞,2) B. (2,+∞) C. [2,+∞) D. (-∞,2] 2.计算：27^(-1/3)的值为（ ） A. 3 B. 1/3 C. -3 D. -1/3 3.已知log₅a < log₅6，则a的取值范围是（ ） A. (0,6) B. (6,+∞) C. (1,6) D. (0,1) 4.函数y = (1/2)^x的图象过定点（ ） A. (0,0) B. (0,1) C. (1,0) D. (1,1/2) 5.计算：log₂8 - log₄16 = ________。 6.函数y = √(4 - 2^x)的定义域为________。 7.比较大小：(1/3)^0.2 ________ (1/3)^0.3（填“>”“<”或“=”）。 8.已知函数f(x) = logₐx（a>0且a≠1），若f(9) = 2，则a的值为________。 参考答案：1.B 2.B 3.A 4.B 5.1 6.(-∞,2] 7.> 8.3 六、经典例题解析 考点1：指数/对数函数定义域求解 例1（2025·江西·T20）：求函数y = log₂(x² - 3x + 2)的定义域。 解析：对数函数的核心限制是“真数大于0”，因此需解不等式x² - 3x + 2 > 0。将二次三项式因式分解：(x - 1)(x - 2) > 0，结合二次函数图象，不等式解集为x < 1或x > 2。故函数定义域为(-∞,1)∪(2,+∞)。 方法提炼：对数定义域求解“两步走”——①列出真数>0的不等式；②解不等式（二次不等式优先因式分解，分式不等式注意分母≠0）。 例2（2019·江西模拟）：求函数y = log₂x / (x - 1)的定义域。 解析：该函数为对数与分式的综合，需同时满足两个限制条件：①对数真数>0，即x > 0；②分式分母≠0，即x - 1 ≠ 0 → x ≠ 1。联立得x > 0且x ≠ 1。 故定义域为(0,1)∪(1,+∞)。 考点2：指数/对数运算法则应用 例3（2023·江西·T01）：计算log₃8 - log₃6。 解析：根据对数减法运算法则“logₐM - logₐN = logₐ(M/N)”，直接代入得：原式 = log₃(8/6) = log₃(4/3)。若需计算数值，可借助换底公式，但本题只需化简 结果为log₃(4/3)。 易错提醒：避免混淆对数运算与指数运算，如logₐM - logₐN ≠ logₐ(M - N)。 例4（2022·江西模拟）：计算(1/4)^(-1/2) + 8^(2/3)。 解析：分两步计算，利用指数幂运算法则：①(1/4)^(-1/2) = (4^(-1))^(-1/2) = 4^(1/2) = √4 = 2；②8^(2/3) = (2³)^(2/3) = 2^(3×2/3) = 2² = 4。 故原式 = 2 + 4 = 6。 考点3：指数/对数函数图象与性质 例5（2023·江西·T17）：已知函数f(x) = aˣ - a（a>0且a≠1），则函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当a>1时，函数f(x)=ax-a在R上单调递增，且过定点(0,1-a)，此时1-a<0，图象与y轴交点在y轴下方，B选项符合；当0<a<1时，函数f(x)=ax-a在R上单调递减，且过定点(0,1-a)，此时0<1-a<1，图象与y轴交点在y轴上方且在0到1之间，无选项符合.故选B. 例6（2025·江西·T08）：比较2⁰·⁴与2⁰·⁶的大小。 解析：二者底数相同（均为2），属于同底数指数函数值比较，利用单调性求解：①函数y = 2ˣ的底数2>1，故在R上单调递增；②由于0.4 < 0.6，根据单调性“自变量大则函数值大”，得2⁰·⁴ < 2⁰·⁶。 考点4：指数/对数函数综合应用 例7（2025·江西·真题T26）已知函数（，）的图像过点. （1）求的值； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入函数求值即可； （2）根据二次函数和指数函数的单调性求出复合函数的值域即可. 【小问1详解】 因为函数的图像过点， 将其代入得，解得或（舍）. 【小问2详解】 令，则， 对于二次函数，对称轴为，开口向上， 当时，t取最小值：. 当时，， 当时，，所以. 因为函数是增函数， 所以当时，； 当时，， 因此时，函数的值域为. 例8（2021·江西·T27）：判断函数f(x) = 3ˣ + 3^(-x)的奇偶性。 解析：奇偶性判断“三步法”——①明确定义域：f(x)的定义域为R，关于原点对称，满足奇偶性判断前提；②计算f(-x)：f(-x) = 3^(-x) + 3ˣ = 3ˣ + 3^(-x) = f(x)；③下结论：由于f(-x) = f(x)，故f(x)为偶函数。 例9（2022·江西·真题T27）已知函数的图像经过点，. （1）求的解析式；（2）当时，求的取值范围. 【答案】（1）f(x)=log2x+1；（2）(1,3). 【解析】（1）依题意有，解得，所以f(x)=log2x+1； （2）由f(m-1)<f(2)，得log2(m-1)+1<log22+1，即log2(m-1)<log22，所以0<m-1<2，得1<m<3， 所以m的取值范围是(1,3). 例10（2023·江西模拟）：已知函数f(x) = 4ˣ - 2^(x+1) + 2，求x∈[-1,2]时的值域。 解析：该函数为指数复合函数，用换元法转化为二次函数求解： ①换元：令t = 2ˣ，由x∈[-1,2]得t∈[2^(-1), 2²] = [1/2, 4]； ②转化函数：4ˣ = (2²)^x = (2ˣ)² = t²，2^(x+1) = 2·2ˣ = 2t，故f(x) = t² - 2t + 2；③求二次函数值域：f(t) = t² - 2t + 2 = (t - 1)² + 1，其对称轴为t = 1，在t∈[1/2,4]内。当t = 1时，f(t)取最小值1；当t = 4时，f(4) = 16 - 8 + 2 = 10；当t = 1/2时，f(1/2) = (1/2)² - 2×1/2 + 2 = 1/4 - 1 + 2 = 5/4。 故f(t)的值域为[1,10]，即原函数的值域为[1,10]。 七、专题归纳小结 本专题结合考情与复习经验，从解题策略、易错点、核心逻辑三方面进行归纳，突出实用性与针对性，避免与前文重复。 （一）核心解题策略 1.定义域优先原则：解决指数/对数函数问题时，无论求值域、解不等式还是判断奇偶性，都需先明确定义域。尤其对数函数的“真数>0”、指数函数的“底数>0且≠1”是不可忽略的前提，如解logₐ(2x - 1) > 0时，需先保证2x - 1 > 0，再结合a的范围讨论不等式。 2.换元法“降维”策略：面对指数复合函数（如y = a^(g(x))）或对数复合函数（y = logₐg(x)），通过设t = g(x)将其转化为“基本指数/对数函数 + 二次函数”的形式，将复杂问题转化为基础问题。换元时需注意t的取值范围（即内层函数g(x)的值域），这是后续求值域的关键。 3.单调性“核心应用”策略：单调性是连接“函数值”与“自变量”的桥梁，涉及大小比较、解不等式、求最值等问题时，先判断函数单调性：①同底数指数/对数函数，直接由底数a范围确定单调性；②复合函数单调性遵循“同增异减”（外层与内层函数单调性相同则复合函数增，反之则减）。 4.待定系数法“定解析式”策略：已知函数类型（指数/对数函数）求解析式时，设出标准形式，利用函数过定点的条件列方程（组），求解底数a及常数项。若涉及对数函数，可利用对数运算法则化简方程，简化计算。 （二） 高频易错点警示 1.概念混淆类：①混淆指数函数与幂函数，如将y = x²（幂函数）误认为指数函数，二者核心区别是“变量位置”；②忽略对数真数的正性，如求解log₂(x² - 1)时，仅解x² - 1 = 0，遗漏x² - 1 > 0的限制；③零指数幂与负指数幂的底数限制，如(2x - 1)^0 = 1的前提是2x - 1 ≠ 0，而非仅x为任意数。 2.运算失误类：①对数运算法则记错，如logₐ(M + N) = logₐM + logₐN（错误），正确应为logₐ(MN) = logₐM + logₐN；②指数幂运算符号错误，如(-2)^(-1) = 1/2（错误），正确应为-1/2，需注意底数符号与指数的关系。 3.分类讨论遗漏类：涉及底数a的问题时，未对a>1和0<a<1分类讨论，如解logₐx > 1时，若直接得出x > a则错误，需分a>1（x > a）和0<a<1（0 < x < a）两种情况。 （三）专题核心逻辑总结 指数函数与对数函数的考查核心是“性质应用”，所有题型均围绕“概念—运算—性质”展开： 基础题（选择/填空）侧重单一性质或运算，如定义域、定点、简单运算； 解答题侧重综合性质，如“单调性+值域”“解析式+不等式”的组合。 复习时需做到“三抓”：抓基础概念（定义域、运算法则），抓核心性质（单调性、定点），抓方法技巧（换元法、分类讨论），同时通过小测验与例题强化易错点，确保该板块不失分。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $