3.3抛物线单元过关检测卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3抛物线单元过关检测卷 （2025-2026学年第一学期高二数学选择性必修第一册第三章（2019）人教A版） 一、单选题 1．抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，则（   ） A．3 B． C．6 D． 3．已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，若点P在第一象限，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，则的焦距为（ ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为， 则长度为（   ） A．2 B．3 C． D．4 6．与直线相切，且与圆外切的圆的圆心轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 7．已知抛物线的焦点为，点是上一点，过点作垂直于轴的直线. 若截所得弦长为2，则（    ） A．3 B． C． D．5 8．已知过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点（点A在x轴上方），O为坐标原点，点为C上一点，记的面积分别为，若，则的最小值为（    ） A．16 B．20 C．25 D．28 二、多选题 9．已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 10．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（    ） A．焦点的坐标为 B．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点 C．直线与抛物线相交所得弦长为8 D．抛物线与圆交于两点，则 11．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．的面积为 三、填空题 12．设点在抛物线上，为的焦点，则 . 13．在抛物线 上有横坐标为 2 的点 A，过A作 AB垂直于 C 的准线，垂足为，记C的焦点为F ，连接AF ，BF ，若△ABF的面积为 则p的值为 . 14．已知抛物线的焦点为是抛物线上两点，若8，则的中点到轴距离的最小值为 ． 四、解答题 15．根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2； (3)对称轴是轴，经过点． 16．在平面直角坐标系中，点到点的距离比点到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知直线过点且与曲线交于两点，求的值. 17．已知抛物线，焦点为. (1)求的坐标及抛物线的准线方程； (2)已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值. 18．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． 19．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，其图象上两点A，B满足，其中点A在第一象限，点B在第四象限，不与x轴垂直.且当时，点B的横坐标为6. (1)求抛物线E的标准方程； (2)记点，为上一点，求证：. 解析 一、单选题 1．抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 答案：A 分析：根据抛物线的性质及焦点坐标公式计算求解. 解析：由已知，所以，且焦点在轴的正半轴上，所以焦点坐标为. 故选：A. 2．已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，则（   ） A．3 B． C．6 D． 答案：C 分析：利用抛物线的定义即可求解. 解析：点在抛物线上，抛物线开口向右，， 又点到抛物线焦点的距离为4，，. 故选：C. 3．已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，若点P在第一象限，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 答案：C 分析：先将抛物线方程化为标准形式，再由抛物线的定义可得点的坐标. 解析：将抛物线化为标准方程为，则抛物线的焦点坐标为，准线方程为. 设抛物线上一点，，由抛物线的定义可知，解得， 所以点P的坐标为. 故选：C. 4．已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，则的焦距为（ ） A． B． C． D． 答案：B 分析：先根据抛物线的焦点得到，再根据的关系求，焦距为可得答案. 解析：由题意得的焦点为，则，而， 得半焦距，焦距为. 故选：B 5．已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（   ） A．2 B．3 C． D．4 答案：D 分析：根据焦点可得抛物线方程，进而由面积公式可得点的坐标，即可根据焦半径公式求解. 解析：由，得，即，故抛物线的方程为. 设，则的面积为，得， 将代入，得，由焦半径公式. 故选：D. 6．与直线相切，且与圆外切的圆的圆心轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 答案：C 分析：由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切的可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可得动点的轨迹. 解析：记与圆外切的圆为圆， 设圆的圆心为，半径为，圆的圆心为， 因为圆与圆外切，所以， 设圆圆心到直线的距离为，则， 所以，即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线. 故选：C 7．已知抛物线的焦点为，点是上一点，过点作垂直于轴的直线.若截所得弦长为2，则（    ） A．3 B． C． D．5 答案：D 分析：由条件求点的坐标，直线的方程，由此可求截所得弦长，列方程求，由此可求抛物线方程，再求点的坐标，结合抛物线定义求. 解析：抛物线的焦点的坐标为， 由已知直线的方程为， 联立，可得或， 即抛物线与直线的交点坐标为或， 所以直线截抛物线所得弦长为，解得， 所以抛物线的方程为， 抛物线的准线方程为， 因为点是抛物线上一点，所以，解得，所以点的坐标为 由抛物线定义可得。 故选：D. 8．已知过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点（点A在x轴上方），O为坐标原点，点为C上一点，记的面积分别为，若，则的最小值为（    ） A．16 B．20 C．25 D．28 答案：C 分析：根据给定条件，求出抛物线方程，设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理、结合抛物线定义及基本不等式求出最小值. 解析：由点在抛物线C上，得，由，得，解得， 抛物线C：的焦点，设直线l：，， 由，得，则，则， 则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为25． 故选：C 二、多选题 9．已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 答案：BC 分析：分别对抛物线焦点位置进行分类讨论，求出直线与坐标轴交点即可得出结果. 解析：由于焦点在直线上， 当焦点在y轴上时，令，可得，所以焦点坐标为， 设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的标准方程为； 当焦点在x轴上时，令，可得，所以焦点坐标为， 设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的标准方程为， 故选：BC． 10．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（    ） A．焦点的坐标为 B．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点 C．直线与抛物线相交所得弦长为8 D．抛物线与圆交于两点，则 答案：ACD 分析：先求出抛物线方程，对选项逐一判断即可. 解析：由题可知抛物线方程为 对于A，焦点的坐标为，故A正确 对于B，过点有抛物线的2条切线，还有，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误 对于C，，弦长为，故C正确 对于D，，解得（舍去），交点为，有，故D正确 故选：ACD 11．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．的面积为 答案：ACD 分析：由抛物线的焦点坐标可判断A，由抛物线的定义计算过焦点的弦长可判断B，根据圆和直线的位置关系可判断C，利用点到直线的距离公式计算高，再由三角形面积公式可判断D. 解析：对于A，由题意，在直线中，令，可得，所以抛物线的焦点为， 则，，故A正确； 对于B，设，，联立得， 则，，故B错误； 对于C，， 设中点为，则， ，到直线的距离，以为直径的圆的半径， 由于，所以以为直径的圆与相切，故C正确； 对于D，到的距离， 则的面积为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．设点在抛物线上，为的焦点，则 . 答案：4 分析：确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义即可求解出. 解析：由题意知抛物线，则得，准线，又点在抛物线上， 则点到焦点的距离等于该点到准线的距离，所以. 故答案为：4. 13.在抛物线上有横坐标为2的点A，过点A向C的准线作垂线，垂足为， 记C的焦点为F ，连接AF，BF，若△ABF的面积为 则p的值为 . 答案：1 分析：根据题意设出的坐标，再根据准线得到的坐标，从而求出的长度和焦点到的距离，利用三角形面积得到和的等式，再利用点在抛物线上，得到，通过解方程组得到的值. 解析：   在抛物线 上有横坐标为 2 的点, 设，抛物线的准线方程为， 过点A向C的准线作垂线，垂足为，， ，抛物线C的焦点为,在轴上， 到的距离为， ，， 又在抛物线上，，联立方程组， 得,即: 解得. 故答案为：1 14．已知抛物线的焦点为是抛物线上两点，若8，则的中点到轴距离的最小值为 ． 答案：3 分析：的中点到轴距离，由，利用抛物线的性质，求的最小值即可. 解析：抛物线的焦点坐标，准线方程为， 过两点作准线的垂线，垂足分别为，如图所示， 则，当且仅当三点共线时等号成立， 则有，得， 的中点到轴距离，当且仅当三点共线时等号成立， 即的中点到轴距离的最小值为3. 故答案为：3. 四、解答题 15．根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2； (3)对称轴是轴，经过点． 分析：根据题意结合抛物线的标准方程分析求解即可. 解析：（1）因为抛物线的准线方程为， 所以可设抛物线的标准方程为，则，可得， 所以抛物线的标准方程是． （2）因为对称轴是轴，所以可设抛物线的标准方程为或． 因为顶点到焦点的距离等于2，所以，即， 所以抛物线的标准方程是或． （3）因为对称轴是轴，经过点，所以设抛物线方程为， 因为抛物线经过点，所以，解得， 所以抛物线的标准方程是． 16．在平面直角坐标系中，点到点的距离比点到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知直线过点且与曲线交于两点，求的值. 分析：(1)根据给定条件，利用抛物线的定义求出方程； (2)设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示计算得解. 解析：（1）由点到点的距离比点到直线的距离小， 得点到点的距离等于点到直线的距离， 因此点的轨迹是以点为焦点、直线为准线的抛物线， 所以点的轨迹的方程为. （2）显然直线不垂直于轴，设其方程为，，， 由消去得，恒成立，， 所以. 17．已知抛物线，焦点为. (1)求的坐标及抛物线的准线方程； (2)已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值. 分析：（1）根据抛物线方程求得焦点坐标以及准线方程. （2）根据抛物线的定义求得正确答案. 解析：（1）将抛物线：化为标准方程得，， 其焦点坐标为，准线方程为. （2）由抛物线的定义知，点P到焦点的距离即为点P到准线的距离， 为点P到定点的距离与点P到准线的距离之和， 要使得最小，则点P，A在一条垂直于准线的直线上， 故最小值即为点到准线的距离为3， 所以，的最小值为3. 18．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． 分析：（1）由抛物线的焦点求得，即得抛物线的方程； （2）法1：设的方程为，与抛物线C联立方程组，利用根与系数的关系结合中点，求得，即可求解直线的方程．法2：用点差法求斜率k。 （3）由抛物线定义可知根据题意得到，结合根与系数的关系代入即可求解. 解析：（1）∵抛物线的焦点为，∴，即. ∴抛物线的方程为. （2）法1：设，显然直线斜率存在. 设的方程为， 联立方程，消去，整理得， 因为点是的中点，由，解得. 所以直线AB的方程为．即． 法2：设点,,依题意,则有： , 两式相减得： ，,两边同时除以得： ， 即 , 所以直线AB的方程为．即． （3）由抛物线定义可知 所以, 由（2）知, ∴， 所以 所以当时，取得最小值为． 19．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，其图象上两点A，B满足，其中点A在第一象限，点B在第四象限，不与x轴垂直.且当时，点B的横坐标为6. (1)求抛物线E的标准方程； (2)记点，为上一点，求证：. 分析：（1）由抛物线的定义进行求解 （2）不妨设直线，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，再由直线与直线的斜率乘积为-1进行证明． 解析：（1）不妨记，，由，可知， 由抛物线的定义可得，解得， 故抛物线E的标准方程为. （2）证明：由可知，即 不妨设直线，联立， 可得到， ∴，， ∴， 代入可得∴，整理得， 易知，代入可得，故 ∴的斜率，而的斜率， ∴，∴ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $