6.1.2 平面直角坐标系中的距离公式与中点公式（教学设计）--人教版《数学 基础模块下册》《上好课》

人教版《数学基础模块下册》 第六章 直线和圆的方程 6.1.2 平面直角坐标系中的距离公式与中点公式 一、教材 人民教育出版社《数学》（基础模块下册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 平面直角坐标系中的距离公式与中点公式，是“直线和圆的方程”章节的核心基础内容，既是数轴上距离、中点公式的拓展延伸，也是后续学习直线斜率、圆的方程等知识的工具。教材先借助直角三角形的勾股定理推导距离公式，再通过“作坐标轴垂线、结合数轴中点公式”推导平面中点公式，延续了“具象几何模型→抽象代数公式”的编排逻辑。这种设计既契合中职学生“从直观图形到符号运算”的认知规律，又突出了知识的实用性——为生活中的平面位置计算提供方法，同时深化“数形结合”思想，帮助学生建立“用代数公式描述平面几何关系”的思维，为后续专业相关的数学应用铺路。 五、学情分析 学生已掌握数轴的基本概念、实数与数轴点的一一对应关系，具备用数轴表示数的基础，类比学习距离与中点公式的认知条件已初步具备。但中职学生抽象思维能力较弱，对“公式从何而来”的理解易停留在“机械记忆”层面，部分学生可能混淆距离公式的绝对值符号（忽略距离的非负性）、中点公式的运算细节（如符号处理）。同时，学生虽熟悉生活中的“距离”、“中点”概念，但将实际问题转化为数轴模型的能力不足，易出现“懂公式但不会用”的情况。因此，教学中需借助直观数轴画图、生活/专业实例，引导学生从具象场景中理解公式的意义，逐步提升其数学建模与应用能力。 六、教学目标 1．理解平面直角坐标系中两点距离公式|AB| =的推导逻辑（勾股定理）； 2．掌握中点坐标公式x=，y=，明确公式中各坐标的对应关系； 3．初步培养“数形结合”思维，通过画坐标系辅助理解公式应用。 七、教学重点 1.归纳出在平面直角坐标系中两点间的距离公式； 2.归纳出在平面直角坐标系中两端点之间线段的中点坐标满足的公式. 八、教学难点 忽略距离公式中距离的非负性。 九、教学方法 讲授法：对于距离公式、中点公式等重要知识点进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 课堂练习：通过典型案例与练习帮助学生更好地掌握距离公式与中点公式的应用。。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 下棋是我们日常生活中很常见的娱乐活动，而棋盘上两枚棋子之间的距离和中间位置，对应的就是平面直角坐标系上两点间的距离和线段的中点. 在平面直角坐标系中，平面上任意一点M与有序实数对(a,b)一一对应，这个有序实数对就是点的坐标.反之，对于任意一个有序实数对(a,b)，都有平面上唯一的一点M与它对应. 思考：在平面直角坐标系中，已知两点A(1,1)，B(3,5)，如何计算A,B两点之间的距离？ 如图所示，从A,B分别向x轴作垂线AA1,BB1，过A向BB1作垂线AC，连接AB.所以，,|AB|= 想一想： 在平面直角坐标系中，已知两点A(,)，B(,)，如何求AB之间的距离？ 通过数轴上的点的定义方法来引出平面直角坐标系中的距离公式，有利于学生思考。 导入新知 在上述Rt△ABC中，由勾股定理得 由此得到计算平面直角坐标系的距离公式： |AB| = 我们发现，只要给出两点的坐标，就可以根据上述公式算出两点\的距离。 总结平面直角坐标系中的距离公式的表达式。 案例分析 【例题】已知点，，则 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】因为点，， 则； 故选：C. 【例题】若两点，，则线段的长度等于（ ） A．5 B． C． D． 【解析】两点，， 则线段的长度等于， 故选：. 通过案例分析来帮助学生理解平面直角坐标系中的距离公式。 学以致用 【练习】已知点，，则（ ） A．5 B．4 C．2 D．1 【解析】已知点，，则， 故选：A． 【练习】已知直线上有两点，则（ ） A．10 B． C．2 D．8 【解析】因为， 所以. 故选：B. 通过及时练习进一步加深学生对平面直角坐标系中的距离公式的理解和运用。 教学引入 思考： 在平面直角坐标系中，已知两点A(1,1)，B(3,5)，如何计算AB中点的坐标？ 想一想： 在平面直角坐标系中，已知两点A(,)，B(,)，如何求AB中点M(x,y)的坐标？ 通过平面直角坐标系中的两点的中点坐标来引出中点公式，有利于学生思考。 导入新知 在坐标平面内，已知两点A(,)，B(,)，设点M(x, y)是A，B的对称中心，即线段 AB的中点.由数轴上的中点公式可得： x=，y= 这就是平面直角坐标系中线段中点坐标的计算公式，简称中点公式。 总结平面直角坐标系中的中点公式的表达式。 案例分析 【例题】已知和，则的中点坐标为（ ） A． B． C． D． 【解析】∵和， ∴的中点坐标为， 故选：A． 【例题】若点是点与点的中点，则点A的坐标为（ ） A． B． C． D． 【解析】点是点与点的中点， ，， 所以， 故选：. 通过案例分析来帮助学生理解平面直角坐标系中的中点公式。 学以致用 【练习】已知点，则线段中点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【解析】已知点， 则中点公式为，即. 故选：C. 【练习】已知点P是线段MN的中点，若点，则N的坐标为（ ） A． B． C． D． 【解析】设点的坐标为， 由于点是线段MN的中点，且和， 所以，所以， 因此，点的坐标为. 故选：D. 通过及时练习进一步加深学生对平面直角坐标系中的中点公式的理解和运用。 课堂练习 【练习1】到点的距离等于5的坐标轴上的点有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解析】若点在x轴，设为，， 解得，2个点； 若点在y轴，设为，， 解得，2个点. 共4个点. 故选：A. 【练习2】在平面直角坐标系中，设点，，则线段AB的中点坐标为（ ） A． B． C． D． 【解析】点，， 则线段AB的中点坐标为， 所以线段AB的中点坐标为， 故选：. 【练习3】某物流公司要在 和 两个仓库之间修建一条运输通道，通道的直线距离是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】因为两个仓库为和 ， 所以两个仓库之间通道的直线距离. 故选：C. 【练习4】已知点和，求线段的中点坐标（ ） A． B． C． D． 【解析】由点和可得线段的中点坐标为：. 故选：A. 【练习5】点关于点的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【解析】点关于点的对称点为， 则点为线段的中点， 则有，即， 所以点关于点的对称点的坐标是. 故选：B. 【练习6】已知则的中点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【解析】的中点. 到的距离． 故选：. 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 距离公式:：|AB| = 中点公式：x=，y= 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节课的教学过程中，通过“公式推导→实例应用”的环节设计，借助直角三角形勾股定理演示等场景，帮助学生理解了平面直角坐标系中的距离公式与中点公式的推导逻辑，多数学生能独立完成基础坐标运算，也初步学会了将平面位置问题转化为坐标模型，达成了预设的知识与能力目标。但部分学生对距离公式中“坐标差平方”的几何意义（勾股定理的横向、纵向分量）理解较浅，仅停留在机械套公式层面。后续教学中，需要增加“坐标差平方对应直角边长度”的直观画图演示，结合学生专业设计小型实践任务，强化公式的几何意义理解与专业应用价值。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $