6.1.1 数轴上的距离公式与中点公式（教学设计）--人教版《数学 基础模块下册》《上好课》

1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 人教版《数学基础模块下册》 第六章 直线和圆的方程 6.1.1 数轴上的距离公式与中点公式 一、教材 人民教育出版社《数学》（基础模块下册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 教材分析 数轴上的距离公式与中点公式是“直线和圆的方程”章节的开篇内容，既是对初中数轴知识的延伸，也是后续学习平面直角坐标系中两点距离、中点公式的基础。教材先通过数轴上点的坐标对应关系，引导学生从具体实例抽象出距离公式和中点公式。这种具象实例→抽象公式的编排，既符合中职学生“从直观到理性”的认知规律，也突出了数学知识的实用性——为后续解决生活、专业中的位置计算提供工具，同时渗透“数形结合”的数学思想，帮助学生建立“用代数公式描述几何关系”的思维习惯。 五、学情分析 学生已掌握数轴的基本概念、实数与数轴点的一一对应关系，具备用数轴表示数的基础，类比学习距离与中点公式的认知条件已初步具备。但中职学生抽象思维能力较弱，对“公式从何而来”的理解易停留在“机械记忆”层面，部分学生可能混淆距离公式的绝对值符号（忽略距离的非负性）、中点公式的运算细节（如符号处理）。同时，学生虽熟悉生活中的“距离”“中点”概念，但将实际问题转化为数轴模型的能力不足，易出现“懂公式但不会用”的情况。因此，教学中需借助直观数轴画图、生活/专业实例，引导学生从具象场景中理解公式的意义，逐步提升其数学建模与应用能力。 六、教学目标 1．理解数轴上两点间距离的实际意义，熟记距离公式d =x1−x2，能说清公式中是两点对应的数轴坐标； 2．掌握中点坐标公式x=x1+x22，会灵活变形； 3．明确两个公式的适用场景,能将生活场景转化为数轴模型，用公式解决实际问题。 七、教学重点 1.理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系； 2.掌握数轴上两点之间的距离求解方法； 3.掌握线段中点坐标的计算方法. 八、教学难点 忽略距离公式中距离的非负性。 九、教学方法 讲授法：对于距离公式、中点公式等重要知识点进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 课堂练习：通过典型案例与练习帮助学生更好地掌握距离公式与中点公式的应用。。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的. 下图所示的就是一条数轴。 思考：我们如何定义数轴上点P的位置？ 如不特别说明，我们约定数轴水平放置，正方向为从左到右．为了方便起见，如果点P与数x 对应，则称 点P的坐标为x，记作P(x). 如图，点P的坐标为－4.5，记作P(－4.5)，点B的坐标为－2　，记作B(－2)，点A的坐标为3，记作A(3). 如图所示：我们知道，A(-1)，B(2)，C(-3).而且 |AB|=|2−(−1)|=3，|AC|=|−3−(−1)|=2，|BC|=|2−(−3)|=5. 通过数轴上的点的定义方法来引出距离公式，有利于学生思考。 导入新知 一般地，在数轴上，如果A(x₁)，B(x₂)，则这两点之间的距离公式为: AB=x1−x2 总结距离公式的表达式。 案例分析 【例题】点M−8到原点的距离等于（ ） A．8 B．4 C．0 D．−8 【解析】由距离公式得：MO=8−0=8． 所以点M−8到原点的距离等于8. 故选：A. 【例题】点M2与点N5的距离为（ ） A．3 B．29 C．7 D．4 【解析】已知点M2与点N5为数轴上的两点， 代入数轴上两点距离公式d=5−2=3． 故选：A. 通过案例分析来帮助学生理解距离公式。 学以致用 【练习】已知点A−1，B3，则AB为（ ） A．−2 B．2 C．4 D．−4 【解析】因为点A−1，B3，则AB=−1−3=4， 故选：C. 【练习】已知点A−1,B−3，则AB为（ ） A．−4 B．4 C．−2 D．2 【解析】由两点间的距离公式可得，AB=−3−−1=2. 故选：D． 通过及时练习进一步加深学生对距离公式的理解和运用。 教学引入 想一想： 若在数轴上给出两点的坐标，如何确定以这两点为端点的线段中点坐标？ 如图所示,我们知道: 以A(-1)，C(-3)两点为端点的线段中点坐标为-2，而(−1)+(−3)/2=-2; 以A(-1)，D(1) 两点为端点的线段中点坐标为0 ，而(−1)+(1)/2=0. 通过数轴上的线段中点坐标来引出中点公式，有利于学生思考。 导入新知 一般地，在数轴上，以A(x₁)，B(x₂)两点为端点的线段中点坐标x满足中点公式：x=x1+x22 总结中点公式的表达式。 案例分析 【例题】点A−2，B1的中点坐标是（ ） A．−1 B．−0.5 C．0 D．3 【解析】由中点公式得， AB中点为：−2+12=−0.5． 故选：B 【例题】数轴上到点A1的距离与到点B9的距离相等的点的坐标为（ ） A．−4 B．4 C．−5 D．5 【解析】由题意，数轴上到点A1的距离与到点B9的距离相等的点，即AB的中点， 所以所求点的坐标为1+92=5． 故选：D. 通过案例分析来帮助学生理解中点公式。 学以致用 【练习】已知点A−3，B−7，则线段AB的中点坐标为（ ） A．−2 B．2 C．−5 D．5 【解析】由题意，设点Mx是线段AB的中点， 因为点A−3，B−7， 根据两点间的距离公式可知x=−3−72=−5． 故选：C. 【练习】已知点P10,−2，Q−2,−4，则线段中点PQ的坐标是（ ） A．8,−6 B．−6,8 C．4,−3 D．−3,4 【解析】根据公式Px1,y1，Qx2,y2的中点坐标为Ox1+x22,y1+y22， 代入已知条件可得PQ的中点是4,−3. 故选：C. 通过及时练习进一步加深学生对中点公式的理解和运用。 课堂练习 【练习1】已知点A3，B−3，C6，D8，线段AB、CD的中点分别为E,F，则EF为（ ） A．−6 B．6 C．−7 D．7 【解析】因为点A3，B−3，C6，D8， 所以线段AB的中点坐标为3−32=0，线段CD的中点坐标为6+82=7， 即E0，F7， 根据数轴上两点间的距离公式可得EF=7−0=7． 故选：D. 【练习2】已知点A(2),B(−3)，则AB|为（ ） A．−5 B．5 C．−1 D．1 【解析】根据两点间的距离公式可知，AB=(−3)−2=5. 故选：B． 【练习3】已知点A3，B−3，线段AB的中点为C，则AC为（ ） A．−6 B．6 C．−3 D．3 【解析】因为点A3，B−3， 所以线段AB的中点为3−32=0，即C0， 根据两点间的距离公式可知，AC=0−3=3． 故选：D. 【练习4】点Aa,b关于Mb,a的对称点B的坐标为（ ） A．a+b2,a+b2 B．a−b2,b−a2 C．2b−a,2a−b D．2a−b,2b−a 【解析】设对称点为B(x,y)，‌由于点M是点A和点B的中点，‌根据中点坐标公式，‌ 可得：x+a=2by+b=2a，解得x=2b−ay=2a−b. 故选：C. 【练习5】数轴上点A的坐标是2，点M的坐标是−3，则AM=（ ） A．5 B．−5 C．1 D．−1 【解析】由题知，AM=−3−2=5. 故选：A 【练习6】在数轴上存在一点P，它到点A(-9)的距离是它到点B(-3)的距离的2倍，则P的坐标为（ ） A．2 B．-3 C．5 D．3或-5 【解析】设所求点P的坐标为x，则x−−9=2x−−3，所以x=3或x=-5，所以P（3）或P(-5). 故选：D. “你出题我来答” 同学们，现在咱们交换身份！你们自己编1道距离题或中点题（比如“我在数轴坐标3，同桌在坐标x，距离是4，求x”），同桌之间互相计算，算完举手分享你们的题目和答案~ 稍后随机抽2组同桌展示进行距离公式的绝对值、中点公式的点评。 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 (1)一般地，在数轴上，如果A(x₁)，B(x₂)，则这两点之间的距离公式为: AB=x1−x2 (2)以A(x₁)，B(x₂)两点为端点的线段中点坐标x满足中点公式： x=x1+x22 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 距离公式:AB=x1−x2 中点公式： x=x1+x22 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 教学反思 在本节课的教学过程中，通过“教学实例+公式推导+课堂练习”的环节设计，借助数轴画图等场景，帮助学生较好地理解了距离公式与中点公式的含义，多数学生能独立完成基础计算，也初步学会了将生活问题转化为数轴模型，达成了预设的知识与能力目标。但教学中也存在一些不足：一是部分学生对距离公式中“绝对值”的必要性理解不够，遇到未知点坐标的题目时，容易忽略多解情况。后续教学中，需要增加“绝对值几何意义”的直观演示，设计分层练习兼顾不同层次学生，并结合学生专业设计小型任务，强化知识的实用性与理解深度。