第4章 图形的相似 同步单元达标练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第4章 图形的相似 同步单元达标练习 一．选择题 1．下列两个三角形不一定相似的是（　　） A．有一个内角是105°的两个等腰三角形 B．腰与底的比都是2：3的两个等腰三角形 C．两边对应成比例的两个直角三角形 D．一个内角为50°的两个直角三角形 2．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（　　） A．2：3 B．： C．2：5 D．4：9 3．如图，△ADE中，BC∥DE，，S四边形BDEC＝16，则S△ADE为（　　） A．40 B．30 C．25 D．20 4．如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE与△ABC相似的条件是（　　） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D． 5．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，如图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁3米，爸爸拿的光源与小明手的距离为1米，如图2，在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应（　　） A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少0.5米 6．已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则（　　） A． B． C． D． 7．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果AD：BC＝1：3，那么下列结论中不正确的是（　　） A．S△BOC＝3S△COD B．S△AOB＝3S△AOD C．S△AOB＝S△DOC D．S△BOC＝3S△AOD 8．如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．12 9．如图，在平行四边形ABCD中，，DE交AC于点F，那么的值是（　　） A． B． C．1 D． 10．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，点E、O、F在另一条直线上．以下结论：①△AEG∽△DGF；②；③；④EF＝3DF．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题 11．三角形三边之比为3：4：5，与它相似的另一个三角形的最长边为10，则这个相似三角形的最短边为　 　 ． 12．如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点E处放置了一平面镜，并测得BE＝12米；然后沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A，并测得DE＝3米，眼睛到地面的距离CD＝1.6米（此时∠AEB＝∠CED），那么凉亭AB的高为　 　 米． 13．已知：，那么　 　 ． 14．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是1.6厘米，那么A、B两地的实际距离是　 　 千米． 15．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠AED＝∠B，AF⊥DE，垂足为点F．如果AF＝2，BC＝6，△ABC的面积为9，那么△ADE的面积为 　 　 ． 16．如图，有一块三角形余料ABC，它的面积为36cm2，边BC＝12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则加工成的正方形零件的边长为　 　 cm． 17．如图，在菱形ABCD中，∠B＝120°，点E是BC上一点，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转120°至FE，连接AF与CD交于点G，若，则　 　 ． 三．解答题 18．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝3，CD＝18． （1）求AC的长； （2）求证：△ABE∽△ACB； （3）若DE＝12，求BC长． 19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）． （1）将△ABC向下平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1； （3）△A1B1C1与△A2B2C2关于M点位似，请写出M点坐标． 20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝20cm，点P从点A出发，沿AB的方向匀速运动，速度为5cm/s；同时点M由点C出发，沿CA的方向匀速运动，速度为4cm/s，过点M作MN∥AB交BC于点N．设运动时间为ts（0＜t＜5） （1）求线段MN的长（用含t的代数式表示）； （2）连接PN，是否存在某一时刻t，使S四边形AMNP＝48？若存在，求出t的值；若不存在说明理由； （3）连接PM、PN，是否存在某一时刻t，使点P在线段MN的垂直平分线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 21．综合实践小组的同学利用镜子、尺子等工具测量文化广场上路灯的高度，如图所示，将路灯记为AB，在支架CD的点C处放置一个平面镜（平面镜大小忽略不计），支架与路灯的水平距离BD为12m，当观察者与支架的水平距离DF为2m时，刚好能从镜子中看到路灯的顶部点A．已知观察者的眼睛到地面的高度EF为1.6m，支架的高度CD为0.4m，点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，EF⊥BD交BD的延长线于点F，求路灯AB的高度． 22．小刘在学习相似三角形的判定定理1“两角分别相等的两个三角形相似”时，发现当三角形为直角三角形时会产生丰富的比例关系．请你根据小刘的思路，完成下列问题． 【感知】如图①，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且∠AED＝∠B，易证△ABC∽△AED． 【探究】如图②，在△ABC中，点D与点B重合，且∠AEB＝∠ABC． （1）求证：△ABC∽△AED； （2）如图③，当∠BEA＝∠ABC＝90°时，则图中共有　 　 组相似三角形，线段AB、AC、AE的数量关系为　 　 ． 【应用】（3）如图④，在△ABC中，作CD⊥AB于点D，作DE⊥BC于点E、作DF⊥AC于点F．若AC＝3，BC＝5，则的值为　 　 ． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C B B D C B D 二．填空题 11．6． 12．6.4． 13．． 14．16． 15．4． 16．4． 17．． 三．解答题 18．（1）解：∵AB∥CD， ∴△CDE∽△ABE； ∴， ∴CE9， ∴AC＝AE+CE＝12； （2）证明：∵，， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACB； （3）解：∵AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴， ∴BE＝4， ∵△ABE∽△ACB， ∴， ∵AB＝6，AE＝3，AC＝12，BE＝4， ∴， ∴BC＝8． 19．解：（1）将△ABC向下平移3个单位得到△A1B1C1，如图1即为所求； （2）如图2，△A2B2C2即为所求； （3）M（0，﹣2）．理由如下： 如图3， ∵A1（4，﹣2），B1（2，0），C1（1，﹣1），A2（﹣8，﹣2），B2（﹣4，﹣6），C2（﹣2，﹣4）， ∴M（0，﹣2）． 20．解：（1）∵AB＝25cm，AC＝20cm，∠C＝90°， ∴， 由题意，CM＝4tcm，AP＝5tcm， ∵MN∥AB， ∴△CMN∽△CAB， ∴，即：， ∴MN＝5tcm； （2）存在； 由（1）知：AP＝5tcm，CM＝4tcm，MN＝5tcm， ∴MN＝AP，AM＝AC﹣CM＝（20﹣4t）cm， 又∵MN∥AB， ∴四边形AMNP为平行四边形， ∴PN∥AC， ∵∠C＝90°， ∴CN⊥CM， CN3tcm， ∴S四边形AMNP＝AM•CN＝（20﹣4t）•3t＝48， 解得t＝1或t＝4； 故当t＝1或t＝4时，S四边形AMNP＝48； （3）存在； 作MD⊥AB于点D，则：∠ADM＝∠C＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△AMD∽△ABC， ∴，即：， ∴， 当点P在线段MN的垂直平分线上时，则：PM＝PN， 由（2）可知四边形AMNP为平行四边形， ∴PN＝AM， ∴PM＝AM， ∵MD⊥AB， ∴， ∴， 解得； 21．解：如图所示，过点C作MN∥BF， ∵由题意可得：AB⊥MN，CD⊥MN，EF⊥MN， ∴∠AMC＝∠ENC＝90°， ∴四边形MBFN为矩形， ∴MB＝CD＝FN＝0.4m， 由题意可得：∠ACM＝∠ECN， ∴△AMC∽△ENC， ∴， ∵BD＝12m，DF＝2m， ∴CM＝BD＝12m，CN＝DF＝2m， ∵CD＝0.4m，EF＝1.6m， ∴EN＝EF﹣CD＝1.2m， ∴， ∴AM＝7.2， ∴AB＝AM+BM＝7.2+0.4＝7.6（m）． 答：路灯的高度为7.6m． 22．解：（1）∵∠AEB＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC， ∴△ABC∽△AED． （2）共有3组相似三角形，线段AB、AC、AE的数量关系为AB2＝AE•AC，理由如下： ∵∠BEA＝∠ABC＝90°， ∴∠BEC＝∠BEA＝∠ABC＝90°， ∴∠A+∠ABE＝90°，∠CBE+∠ABE＝90°， ∴∠A＝∠CBE， ∵∠BEC＝∠BEA， ∴△ABE∽△BCE， ∵∠BAE＝∠BAC，∠BEA＝∠ABC， ∴△ABE∽△ACB， ∴， ∴AB2＝AE•AC， ∵∠ACB＝∠BCE，∠BEC＝∠ABC， ∴△CBE∽△CAB， ∴共有3组相似三角形，线段AB、AC、AE的数量关系为AB2＝AE•AC． 故答案为：3；AB2＝AE•AC； （3）由（2）可知，CD2＝CF•AC，CD2＝CE•BC， ∴CF•AC＝CE•BC， ∴． 故答案为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/22 23:45:57；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $