专题 5.5 一元一次方程的应用（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年浙教版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦一元一次方程的应用这一核心知识点，先系统梳理运用方程解决实际问题的一般过程，包括审题、设元、列方程、解方程、检验，再通过义演、工程、日历等10类实际问题构建从理论到情境应用的学习支架，衔接方程解法与实际问题解决。 资料以情境化题型设计和分层练习为特色，通过义演募捐、阶梯电价等真实情境引导学生用数学眼光观察生活，借助工程问题工作量分析、行程问题等量关系推理培养数学思维，每个题型的小结归纳强化模型意识。课中助力教师系统授课，课后分层练习帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

专题 5.5 一元一次方程的应用 目录 一．知识梳理与题型分类精析 2 知识点：运用方程解决实际问题的一般过程是: 2 【题型1】义演问题 2 【小结归纳】 3 【题型2】工程问题 3 【小结归纳】 5 【题型3】日历问题 6 【小结归纳】 8 【题型4】图形面积（周长）问题 8 【题型5】体积问题 10 【题型6】行程问题 12 【小结归纳】 14 【题型7】调配问题 14 【小结归纳】 17 【题型8】配套问题 17 【小结归纳】 19 【题型9】营销盈亏问题 19 【小结归纳】 21 【题型10】问题解决——生活中的阶梯计价问题 21 【小结归纳】 24 二．同步练习​ 25 【★基础巩固（16题）】 25 【★★能力提升（16题）】 34 一．知识梳理与题型分类精析 题号带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 知识点：运用方程解决实际问题的一般过程是: 1.审题:分析题意,找出题中的数量及其关系； 2.设元:选择一个适当的未知数用字母表示； 3.列方程:根据相等关系列出方程； 4.解方程:求出未知数的值； 5.检验:检查求得的值是否正确和符合实际情形,并作答。 【题型1】义演问题 【★例题1】（浙教版七上144页例1改编）（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）某文艺团体为“希望工程”募捐义演，全价票为每张18元，学生享受半价，某场演出共售出966张票，收入15480元，问这场演出共售出学生票多少张？ 【答案】212 【分析】设这场演出共售出学生票x张，则全票为（966-x）张，利用收入15480元，得出等式求出答案． 解：设这场演出共售出学生票x张，则全票为（966-x）张，根据题意可得： 9x+18（966-x）=15480， 解得：x=212， 答：这场演出共售出学生票212张． 【点拨】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出等式是解题关键． 【★★变式1】（24-25七年级上·北京西城·开学考试）学校将礼品颁发给朗诵比赛获得一、二、三等奖的同学，一等奖的每个同学能得到5个礼品，二等奖的每个同学能得到3个礼品，三等奖的每个同学能得到1个礼品．已知一、二、三等奖的同学共有56人，且获得三等奖的人数是获得二等奖人数的2倍，最终共颁发了120个礼品．求获得一、二、三等奖的同学分别有多少人？ 【答案】获得一等奖8人，二等奖16人，三等奖32人． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．设获得二等奖有x人，则获得三等奖有人，获得一等奖有人，依题意列出一元一次方程，继而计算即可． 解：设获得二等奖有x人，则获得三等奖有人，获得一等奖有人，依题意，得 ， 解得， ∴获得三等奖有（人），获得一等奖有（人）， 答：获得一等奖8人，二等奖16人，三等奖32人． 【★变式2】（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）2020年疫情期间，某市共出动八批，共计1362名医护人员驰援武汉，他们是新时代最可爱的人．3月19日，第二批和第八批医护人员共130名乘坐飞机返回该市，其中第二批的人数是第八批人数的3倍还多10名，设第八批该市共出动了x名医护人员． （1）根据题意列出方程； （2）利用等式的性质求出x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了列方程，利用等式的性质解方程，寻找题中等量关系，熟练掌握等式的性质是解题的关键； （1）根据题中条件，求出第二批出动的医护人员总数，再根据第二批和第八批医护人员共130名列出方程； （2）利用等式的性质解方程． 解：（1）因为第八批该市共出动了x名医护人员，所以第二批共出动了名医护人员． 根据题意，得． （2）将（1）中方程整理，得． 方程两边同时减去10，得． 方程两边同时除以4，得． 【小结归纳】 义演问题一般都有两个等量关系，用一个等量关系设未知数，用含未知数表示另一个量，通过另一个等量关系列方程即可。 【题型2】工程问题 【★例题2】（浙教版七上151页作业题B组第5题改编）（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）一件工程，甲单独做需要15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作5天后，甲有其他任务，剩下的工程由乙单独完成，则乙还要几天才能完成全部工程？ 【答案】乙还要工作3天才能完成全部工程 【分析】设乙还要工作x天才能完成全部工程，根据题意，列出方程进行求解即可． 解：设乙还要工作x天才能完成全部工程，设工程总量为单位1， 由题意得，， 解得， 答：乙还要工作3天才能完成全部工程． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是关键． 【★变式1】．（24-25七年级上·全国·期末）学校举办一年一届的科技文化艺术节活动，需制作一块活动展板，请来两名工人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两个人合作完成剩下的部分，设徒弟和师傅合作x天，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．根据工程关系列出方程是关键． 设徒弟和师傅合作x天，根据等量关系：师傅完成的工作量+徒弟完成的工作量=1，列出方程即可求解． 解：设徒弟和师傅合作x天， 根据题意得，． 故选：C． 【★★变式2】（2024七年级上·四川成都·专题练习）一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： （1）完成任务时共用了多少小时？ （2）如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确地用代数式表示甲、乙两人各自的工作效率和各自完成的工作量是解题的关键， （1）假设甲、乙合作小时可以完成，可列方程，得出甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成，设两人各工作7小时后甲还要工作小时才能完成，可列方程得，求出的值，再加上14，就是两人交替工作完成任务时所用的小时数； （2）利用（1）的解法即可求解． 解：（1）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得， 解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成， 设各工作7小时后甲还要工作小时才能完成任务， 根据题意得， 解得， ∴（小时）， 答：完成任务时共用了小时； （2）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得，解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作6小时后，还剩下部分任务由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作完成， 甲、乙两人交替工作，由甲工作7小时，乙工作6小时后，还剩下部分任务由乙完成， 设乙还要工作小时才能完成任务， 根据题意得，解得， ∴， 答：完成任务时共用了小时． 【小结归纳】 这类问题中常常把总工作量看作1,并利用“工作量人均效率×人数×时间”的关系考虑问题，比如：甲工作量+乙工作量=1；已经完成工作量+未完成工作量=1等等建立等量关系。 【题型3】日历问题 【★例题4】（浙教版七上151页作业题B组第5题改编）（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）从某个月的月历表中取一个方框． （1）已知这个方框所围成的个日期之和为，求这个日期； （2）这个方框所围成的个日期之和可能为吗？ 【答案】（1）这个方格的日期为，，，；（2）这个方框所围成的个日期之和不可能为，理由见分析． 【分析】（）设这个方框所围成的个日期分别为，，，，根据题意列出方程，然后求解即可； （）设这个方框所围成的个日期分别为，，，，根据题意列出方程，然后求解并检验即可； 本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 解：（1）解：设这个方框所围成的个日期分别为，，，， 根据题意，得， 解得：， 答：这个方格的日期为，，，； （2）解：这个方框所围成的个日期之和不可能为，理由， 设这个方框所围成的个日期分别为，，，， 根据题意，得， 解得：， 因为在最右边，不符合方框， 所以这个方框所围成的个日期之和不可能为． 【★变式1】（2025·贵州遵义·一模）如图为2025年三月份日历，小红用“X”字形框出日历中的5个日期，这五个日期之和不可能是（    ） A．95 B．60 C．85 D．72 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式以及一元一次方程的应用，根据日历的特征，设“X”字形框中间位置的数为，则其他四个数分别是，则列式计算，即可作答． 解：依题意，设“X”字形框中间位置的数为，则其他四个数分别是， ∴， 当时，则，故A选项不符合题意； 当时，则，故B选项不符合题意； 当时，则，故C选项不符合题意； 当时，则，不是整数，故D选项符合题意； 故选：D 【★变式2】（24-25七年级下·山西临汾·期中）如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为． （1）“U型”中最小的数为13，则最大的数为_______； （2）设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则的值可以是90吗？请说明理由． 【答案】（1）22；（2）不可以；理由见分析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数字类规律探究，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据图形，得到“U型”中最大数字与最小数字的差值为9，进行求解即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可． 解：（1）解：由图可知：“U型”中最大数字与最小数字的差值为9， ∴当“U型”中最小的数为13时，最大的数为； 故答案为：22； （2）不可以，理由如下： 由题意，得：， 解得：， 此时不存在“十字型”，故的值不可以是90． 【小结归纳】 设中间日期为,以“3个连续日期”说明等量关系： 1横向3个日期和:； 2.纵向3个日期和:； 3.斜向3个日期和: 或. 【题型4】图形面积（周长）问题 【★例题4】（浙教版七上148页作业题第2题改编）（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，一个长方形纸片的长为，在这张纸片的长和宽上各剪去宽为的长条，剩下的长方形面积是原长方形面积的，求原长方形纸片的宽． 【答案】原长方形纸片的宽是 【分析】本题考查一元一次方程的应用，注意计算的准确性．设原长方形纸片的宽是，由题意即可建立方程求解． 解：设原长方形纸片的宽是， 由题意得： 解得：； 答：原长方形纸片的宽是． 【★变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）某校开展书法方面的知识宣传活动，如图，书法社的同学需要在长方形的宣纸上书写“书法传承美”五个宇，已知宣纸的长为，每个小方框一样大，且宣纸边缘之间的边空宽相等，若边空宽、字宽、字距的比为，求这张宣纸的面积． 【答案】这张宣传纸的面积为 【分析】本题重点考查比例关系的实际应用与几何建模能力，准确理解题意并将实际问题转化为数学模型（特别是通过比例关系设未知数，并建立方程求解）是解题的关键． 设边空宽、字宽、字距分别为，，，根据宣纸的长为，列出方程求出的值，进而求出宣纸的宽，再根据长方形的面积公式进行计算即可． 解：设边空宽为，则字宽为，字距为， 根据题意得：，解得：， 所以． 答：这张宣纸的面积为． 【★★变式2】（2025·河南·一模）用A，B两种规格的长方形纸板（如图①所示）无重合、无缝隙地拼接成如图②所示的周长为的正方形，已知A种长方形的宽为，则B种长方形纸板的面积为多少？ 【答案】B种长方形纸板的面积为 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，关键是观察图形正确列出方程．设B种长方形的宽为，从图形构造知B种长方形的长比宽多三个A种长方形的宽，从而得B种长方形的长，由大正方形的边长为B种长方形的长与宽之和得正方形的边长，最后根据正方形的周长公式列出方程便可求解． 解：设B种长方形的宽为，则长为，根据题意得， ， 解得， ∴B种长方形纸板的面积为：， 答：B种长方形纸板的面积为． 【小结归纳】利用面积不变或周长不变建立等量关系设未知数或列方程即可 【题型5】体积问题 【★例题5】（浙教版七上149页作业题B第4题改编）（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，一个长方体玻璃容器的内底面长为8cm，宽为6cm，高为16cm，容器内水的高度为2cm，现把一块边长为4cm的立方体金属块放入水中，问容器内的水将升高多少厘米？ 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．设容器内的水将升高xcm，根据体积的计算方法列出方程，解之即可，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 解：设容器内的水将升高xcm， 根据题意得：， ∴， 解得． 答：容器内的水将升高1cm． 【★变式1】（22-23七年级上·浙江·期中）如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为，将瓶子倒放时，空余部分的高度为，现把溶液全部倒在一个底面直径为的圆柱形杯子里． 求： （1）瓶内溶液的体积是多少？ （2）圆柱形杯子溶液的高度是多少？（结果保留） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由于瓶内装着的溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为30cm，倒放时，空余部分的高度为10cm，说明这个瓶的空余部分体积相当于装这种溶液的10cm高的同样底面积圆柱体的体积，设溶液的体积为，那么空余部分的体积为，而已知瓶子的容积为1升，由此建立方程即可求出溶液的体积； （2）根据圆柱体体积公式即可求出圆柱形杯子溶液的高度． 解：（1）解：， 设瓶内溶液的体积为． 根据题意，得， 解得， 答：瓶内溶液的体积是； （2）解：圆柱形杯子溶液的高度， 则， 解得， 答：圆柱形杯子溶液的高度是． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解答这道题的关键是我们要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．此题还有注意单位的统一． 【★变式2】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）小明在数学活动课中制作了一个长方体包装纸盒，下图是小明设计的包装盒平面展开图，过测量得出该包装纸盒的长比宽多，问这个包装纸盒的体积能否达到？请说明理由．      【答案】这个包装纸盒的体积不能达到，理由见分析 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设宽为，则长为，高为，然后根据题意列出方程求出长宽高，然后根据长方体体积公式求解即可． 解：设宽为，则长为， ∴高为 ∴ 解得 ∴宽为，长为，高为 ∴这个包装纸盒的体积为 ∴这个包装纸盒的体积不能达到． 【小结归纳】通过体积公式列代数式表示体积， 再通等体积不变（等积性）列方程即可 【题型6】行程问题 【★例题6】（浙教版七上159页目标与测定第12题改编）（23-24七年级上·浙江杭州·期末）“有一架飞机最多能在空中连续飞行8.8小时，它来回的平均速度分别为920千米/小时和840千米/小时.这架飞机最远飞行多少千米就应返回？” （1）设这架飞机最远飞行x千米就应返回，用来回时间之和等于8.8小时作为等量关系，请列出方程，不需解答； （2）设这架飞机以920千米/小时的速度最远飞行y小时就应以840千米小时的速度返回，用来回路程相等作为等量关系，请列出方程并解答课本中的问题. 【答案】（1）；（2），这架飞机最远飞行3864千米就应返回. 【分析】（1）根据“时间=路程÷速度”分别表示出来回的时间，再根据来回时间之和等于8.8列出方程即可； （2）根据“路程=速度×时间”分别表示出来回的路程，再根据来回路程相等列出方程解答即可. 解：（1）由题意得，； （2）由题意得，， 解得， ∴920×4.2=3864（千米）， 答：这架飞机最远飞行3864千米就应返回. 【点拨】本题考查一元一次方程的应用，正确找出等量关系并表示出相关量是解题的关键. 【★变式1】（23-24七年级上·湖南·期末）一天，小明以48米/分钟的速度去上学，5分钟后小明的爸爸发现他忘了带数学书，于是爸爸立即以72米/分钟的速度去追赶小明．求多少分钟后爸爸能追上小明？如果设分钟后爸爸追上小明，依题意可得的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键在于理解追及过程． 根据“小明前面5分钟的路程小明后面分钟的路程爸爸分钟所走的路程”建立方程，即可解题． 解：根据题意可得的方程是， 故选：A． 【★★变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如下图，现有两条乡村公路和长长1600m．一个人骑摩托车从处以的速度沿公路匀速向处行驶；另一个人骑自行车从处以的速度沿公路匀速向处行驶，并且两人同时出发． （1）经过多少分钟摩托车追上自行车？ （2）两人均在行驶途中时，经过多少分钟在行进路线上相距150m？ 【答案】（1）经过4min摩托车追上自行车；（2）两人均在行驶途中时，经过3.5min或4.5min在行进路线上相距150m． 【分析】（1）摩托车从出发需先经过段才能到达点，之后进入段追赶自行车，据此设方程求解； （2）需分阶段分析两者的运动情况，计算追击时间及相距特定距离的时间点． 解：（1）解：设经过摩托车追上自行车， 由题意，得， 解得， 由于，故符合题意． 答：经过min摩托车追上自行车． （2）解：设经过两人在行进路线上相距m． 分两种情况讨论： ①当摩托车还差m追上自行车时， ， 解得； ②当摩托车超过自行车m时， ， 解得． 由于，故符合题意． 答：两人均在行驶途中时，经过min或min在行进路线上相距m． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用（行程问题），解题关键是根据路程关系建立方程，注意相距问题要分情况讨论． 【小结归纳】 数量关系：路程=速度×时间 . 常见的等量关系： （1）相遇问题：路程和=总距离；（2）追及问题：路程差=初始距离； （3）顺逆水航行问题：顺速航行=船速+水速，逆速航行=船速-水速. 【题型7】调配问题 【★例题7】（浙教版七上150页例6改编）（23-24七年级上·江苏·周测）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有6人，在乙处植树的有10人，在丙处植树的有8人，现调来若干人去支援，使在甲、乙、丙三处植树的总人数之比为．设支援后在甲处植树的总人数有人． （1）根据信息填表： 甲处 乙处 丙处 支援后的总人数 支援的人数 （2）已知支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍，求支援甲、乙、丙三处各有多少人？ 【答案】（1）见分析；（2）支援甲、乙、丙三处各有6人，8人，16人 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确根据题意表示出甲、乙、丙三处支援的人数，进而建立方程求解是解题的关键． （1）根据甲、乙、丙三处植树的总人数之比为得到支援后乙处和丙处指数的总人数分别有人，人，再用支援后的人数减去支援前的人数，即可求出支援三处的人数； （2）根据（1）所求结合支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍建立方程求解即可． 解：（1）解：设支援后在甲处植树的总人数有人，则支援后乙处和丙处指数的总人数分别有人，人， ∴乙处支援的人数为人，丙处支援的人数人， 填表如下： 甲处 乙处 丙处 支援后的总人数 支援的人数 （2）解：由题意得，， 解得， ∴， ∴支援甲、乙、丙三处各有6人，8人，16人． 【★★变式1】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1） 已知A队有32人，B队有28人，从A队调a人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则a的值为 ； （2） 设A队有x人， B队有人， 从A队调m人到B队， 则此时B队比A队多 人； 接下来，又从B队回调m人到A队 （，回调的人数里有男有女），则回调后A队中的女生人数和B队中的男生人数是否相同？ （填“是”或“否”）． 【答案】 13 是 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式的加减，解（1）的关键是根据题意列出方程，解（2）的关键是正确列出算式． （1）根据从A队调a人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人列方程求解即可； （2）用调配后B队人数减去调配后A队人数可求出此时B队比A队多的人数；设回调的m人中有n名男生，分别表示出A队的女生数和B队的男生数即可解答． 解：（1）由题意得 ， 解得． 故答案为：13． （2）∵调配后A队有人，B队有人， ∴此时B队比A队多：人； 设回调的m人中有n名男生， 则回调后A队的女生数有人，回调后B队的男生数有人， ∴回调后A队中的女生人数和B队中的男生人数相同． 故答案为：，是． 【★★变式2】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（找等量关系）植树队要种一批杨树和柳树，每人每天种树的棵数相同，杨树的棵数是柳树的2倍，第一天种杨树的人数是种柳树的3倍，第二天重新分配人数，有的人种柳树，结果杨树刚好种完，而柳树恰好还需要2人种一天，那么这个植树队共有多少人？ 【答案】80人 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是关键．设植树队共有x人．根据杨树的棵数是柳树的2倍列出方程，解方程即可得到答案． 解：设植树队共有x人．由题意可得， 故植树队共有80人． 【小结归纳】 调配问题等量关系是：总量不变”即：总人数、总物资数等在调配前后保持不变或或部分量之间的关系不变。 情景包括：1.人员调配（如学校植树支援、车间工人调动、班级人数调整）；2.2物资调配（如仓库粮食转移、车辆分配、器材调）3.比例型调配（调配后甲、乙、丙的数量比为固定值）等等。 【题型8】配套问题 【★例题8】（浙教版七上151页B组第4题改编）（22-23七年级下·广西南宁·期中）某车间共有36名工人生产桌子和椅子，每人每天平均可生产桌子20张或椅子50把，一张桌子要配两把椅子，已知车间每天安排x名工人生产桌子． （1）车间每天生产桌子多少张，生产椅子多少把？（用含x的代数式表示） （2）如何安排可使每天生产的桌子和椅子刚好配套？ 【答案】（1）桌子：；椅子：；（2）名 【分析】（1）由车间每天安排x名工人生产桌子，车间每天安排名工人生产椅子，再由每人每天平均生产桌子20张或椅子50把，列出代数式即可； （2）结合题意，根据等量关系列方程并求解，即可得到答案． 解：（1）解：每天生产的桌子数为：（张）， 每天生产的椅子数为：（把）， 所以每天生产桌子张，椅子把． （2）解：由题意，得， 解得， ∴当每天安排名工人生产桌子时，生产的桌子和椅子刚好配套． 【点拨】本题考查了代数式、一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【★★变式1】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了一道数学题，大意是：有根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管个或笔套个，已知个笔管与个笔套配套使用，若要使制成的笔管与笔套正好配套，设用于制作笔管的短竹数为根，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设用于制作笔管的短竹数为根，则能制成个笔管，根据题意列出一元一次方程，即可求解． 解：设用于制作笔管的短竹数为根，则能制成个笔管，用于制作笔套的短竹数为根，能制成个笔套， 根据题意可列方程为． 故答案为： ． 【★★变式2】（20-21七年级上·河南漯河·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时可以剪筒身40个或剪筒底120个． （1）七年级（2）班有男生、女生各多少人？ （2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 【答案】（1）男生24人，女生26人；（2）不配套；从男生中抽调4人去支援女生 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设七年级2班有女生人，根据七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，列出方程进行求解即可； （2）设从男生中调y人去支援女生，根据一个筒身配两个筒底，列出方程进行求解即可． 解：（1）解∶ 设七年级2班有女生人，则有男生人． 由题意，得 解得： ∴， 答：七年级（2）班有男生24人，女生26人． （2）男生每小时剪出筒底数为：（个） 女生每小时剪出筒身数为 （个） 因为，所以原计划每小时剪出的筒身与筒底不配套． 设从男生中调y人去支援女生，根据题意： 得， 解得∶ 答：应从男生中抽调4人去支援女生，才能使剪出的筒身筒底刚好配套． 【小结归纳】 这类问题中配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据，按“1配n”比例建立数量关系，如：一个盒身配两个盒底得到等量关系：盒底数量=2倍盒身数量 【题型9】营销盈亏问题 【★例题9】（浙教版七上153页A组第2题改编）（23-24七年级下·四川资阳·期中）某顾客看中了小明妈妈开的服装店里进价为268元的一件上衣，这件衣服按进价的标价的．小明妈妈吩咐服务员在利润率不低于的情况下，可自己决定打折出售，服务员最低能打几折？ 【答案】最低能打折 【分析】本题主要考查一元一次方程解实际应用题，找到等量关系是解题的关键．根据题意设最低能打折，列出等式即可． 解：设最低能打折，利润有， ， 解得， 答：最低能打折． 【★★变式1】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠．小敏在该超市两次购物分别付了99元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏需付款 元． 【答案】或344或或376 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是分情况求出两次购物的原价，再计算合并购物的应付款． 先分情况确定第一次购物的原价（考虑不优惠和九折优惠两种情况），再根据第二次付款判断其原价，最后分第一次购物的不同原价情况，计算两次购物合并后的总原价，按八折算出应付款． 解：设第一次购物购买商品的价格为x元， 当时，， 当时，， 解得：， 第二次购物消费288元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： 第一种情况：消费超过100元但不足350元，这时候小敏是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为y元，那么依题意有， 解得：． 第二种情况：消费不低于350元，这时候小敏是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为元，那么依题意有， 解得：． 即在第二次消费288元的情况下，小敏的实际购物价值可能是320元或360元． 综上所述，小敏两次购物的实质价值为或或，或，均超过了350元． 因此均可以按照8折付款： （元）或（元），或（元），或（元）． ∴小敏需付款元或元或、344元或376元． 故答案为：或344或或376． 【★★变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如表一： 表一 A型利润 B型利润 甲店 200 170 乙店 160 150 表二 A型（40件） B型（60件） 甲店（70件） 乙店（30件） x （1）设分配给乙店A型产品x件，把表二填写完整； （2）若两商店销售这两种产品的总利润为17560元，则分配给甲店A型产品多少件． 【答案】（1）见分析；（2）分配给甲店A型产品38件 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用． （1）设分配给乙店A型产品x件，结合甲乙两店需要的数量，A型产品40件，B型产品60件，再分别列式填表即可． （2）由两店的利润之和等于总利润，再建立方程求解即可． 解：（1）解：填表如下： 表二 A型（40件） B型（60件） 甲店（70件） 乙店（30件） x （2）解：， 解得， ∴分配给甲店A型产品为（件）， 答：分配给甲店A型产品38件． 【小结归纳】 常见等量关系：获利=售价-进价； ； 利润率=利润/进价×100% ； 售价=标价×折扣； 亏损=进价-售价. 【题型10】问题解决——生活中的阶梯计价问题 【★★例题10】（浙教版七上154页阅材料改编）（24-25七年级上·浙江台州·期末）为在节能减排的同时考虑惠民利民，某省居民阶梯电价分夏季与非夏季标准执行：每年的月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准，如图是电价的收费标准： 阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档用电量 千瓦时 千瓦时 第一档电价 元/千瓦时 第二档用电量 千瓦时 千瓦时 第二档电价 元/千瓦时 第三档用电量 601千瓦时及以上 401千瓦时及以上 第三档电价 元/千瓦时 注：电费按月结算． （1）当时，若小王家10月份用电量为475千瓦时，则应交电费多少元？ （2）若小王家11月份用电量为392千瓦时，则应交电费______________元（用含的式子表示） （3）在（2）的条件下，若小王家12月份用电量为435千瓦时，11月和12月共交电费元．求的值． 【答案】（1）元；（2）；（3） 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、有理数四则混合运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）按照夏季的收费标准，列出运算式子计算即可得； （2）按照非夏季标准，列出代数式即可得； （3）按照非夏季标准，根据11月和12月共交电费元建立方程，解方程即可得． 解：（1）解：（元）， 答：应交电费元． （2）解：∵11月份执行非夏季标准，且， ∴应交电费为（元）， 故答案为：． （3）解：由题意得：， 解得， 答：的值为． 【★★变式1】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表，请回答下列问题： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.5元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.5元． （1）若小东乘坐滴滴快车，行车里程为15公里，行车时间为20分钟，则需付车费 元． （2）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则小明应付车费多少元？（用含、的代数式表示，并化简．） （3）小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9公里与12公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差多少分钟？ 【答案】（1）；（2）当时，车费为元；当 时，车费为元；（3）这两辆滴滴快车的行车时间相差 14 分钟 【分析】本题基于滴滴快车的计价规则，计算车费时需要分里程是否超过10公里考虑远途费． （1）根据车费由里程费、时长费、远途费三部分组成进行计算即可； （2）分和两种情况进行讨论用代数式表示并化简即可； （3）设小王行车时间为分，小张行车时间为分，根据他们的所付车费相同，列出方程，即可求解． 解：（1）解：（元）， 故答案为； （2）当时，小明应付车费：元 当时，小明应付车费： 元， 答：当时，车费为元；当 时，车费为元． （3）设小王行车时间为分，小张行车时间为分，依题意有 整理得 答：这两辆滴滴快车的行车时间相差分． 【★★变式2】（2024·浙江台州·一模）某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是先判断出小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度，设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据12月份用电量为500度，电费为319元，列出方程，解方程即可． 解：∵（元），（元）， 又∵， ∴小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度， 设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据题意得： ， 解得：， （度）， 答：小聪家去年全年用电量为4900度． 故选：C． 【小结归纳】 基本等量关系：总费用=各阶梯费用之和；比如：分档的电费：总费=第一档单价×限额+第二档单价×（用量-限额）；超量部分单独计价. 二．同步练习​ 【★基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图是一枚长方形庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其周长是260，长和宽的比为．问这枚纪念币的长和宽?设这枚纪念币的长为，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据这枚纪念币的长为，得到宽为，再结合“其周长是”建立方程，即可解题． 解：因为长方形纪念币长和宽的比为， 设这枚纪念币的长为，则宽为， 因为其周长是， 可列方程为； 故选：A． 2．（22-23七年级上·浙江温州·期末）甲单位到药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位在同一药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位购买总价只相当于甲单位购买总价的，一箱消毒水多少元？设一箱消毒水为元，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知：甲单位花的钱数的乙单位花的总钱数，然后列出方程即可． 解：由题意可得， ， 故选：D． 【点拨】本题考查的是一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10元，求标价多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为元，列出如下方程：．小明同学列此方程的依据是（   ） A．商品的利润不变 B．商品的售价不变 C．商品的成本不变 D．商品的销售量不变 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，元表示八折销售时的成本，元表示六折销售时的成本，依据成本不变列出方程. 解：设标价为x元，则按八折销售成本为元，按六折销售成本为元， ∵成本不变， ∴. 故选：C 4．（25-26七年级上·广西柳州·开学考试）一个体育中心足球场长度是，比宽度的2倍少．足球场宽度是多少米？如果设宽度为，那么下面列出的方程正确的是（   ） ①②③④ A．①③ B．①② C．②④ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查了方程的应用，根据“足球场长度是，比宽度的2倍少”列方程即可． 解：根据题意，得，即， 故选：C． 5．（19-20七年级上·湖北孝感·期末）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2小时，若船速为20千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设A港和B港相距x千米，根据时间路程速度结合顺流比逆流少用2小时，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 解：设A港和B港相距x千米，则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时， 根据题意得：．即． 故选：A． 6．（19-20七年级上·内蒙古赤峰·期末）某车间有工人名，生产一种有一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓个或螺母个，如果你是这个车间的主任，你应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产的螺栓和螺母刚好配套？若设人生产螺栓，则所列方程正确的是（    ） A．） B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据配套关系列方程的方法是解题的关键．根据题意可知人生产螺栓，则有人生产螺母，然后根据螺栓总数螺母总数，即可列出相应的方程． 解：设人生产螺栓，则有人生产螺母， ， 故选：A． 二、填空题 7．（25-26七年级上·天津河西·期中）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2．已知小康平均每小时采摘a，小悦平均每小时采摘b，则他们采摘的时长是 小时． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据采摘的质量得出等式是解题关键．设采摘时长为小时，根据小康采摘的草莓比小悦多2，列出方程求解. 解：设采摘时长为小时，则小康采摘了，小悦采摘了 根据题意，得， 即， 解得 故答案为：. 8．（25-26七年级上·山西临汾·期中）如图，在日历中用十字形框出5个数，分别是中间一个数，以及它上下左右四个数．如果这五个数的和是70，则中间的数是 ． 【答案】14 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解． 设中间的数是x，再表示出它四个方位的数，再根据它们的和列方程求解x的值即可． 解：设中间的数是x， 这个数上方的数是，下方的数是，右边的数是，左边的数是， 列式：， 解得． ∴中间的数是． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·北京·期中）“我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩重闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有个人，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据每人分4个梨，多12个梨可知梨的数量为个，根据每人分6个梨，可知梨的数量为个，据此列出方程即可． 解：由题意得，， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一件工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要 天才能完成该工程． 【答案】7 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握工程问题求解的基本思路是解题的关键．先根据题意得出甲，乙的工作效率分别是，再结合现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，进行列方程，解方程，即可作答． 解：设甲还需要天才能完成该工程， 根据题意，得方程： 方程化为：， 解得：， 故甲还需要7天 故答案为：7 11．（21-22七年级上·全国·期末）某试卷由26道题组成，答对一题得8分，答错一题倒扣5分．有一位同学虽然做了全部的26道题，但所得总分为零，假设他答对了题，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设他做对了x道题，题中有等量关系：得分-扣分=0，据此可得关于x的方程． 解：设他做对了x道题，则他做错了道题， ∵答对一题得8分，答错一题倒扣5分，总分为零， ∴ 故答案为：． 12．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）点表示的数是 ； （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．当点P运动 秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【答案】 或6/6或 【分析】此题考查两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系等量关系并分情况讨论是解题关键． （1）根据数轴上点A表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，两点间的距离为10，求出点B表示的数即可； （2）分两种情况：当Q在P点左边时，当P在Q的左边时，分别列出方程，求解即可． 解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，两点间的距离为10， ∴数轴上点B所表示的数为； 故答案为：； （2）设点P运动x秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，由题意得： ①当Q在P点左边时，， 解得：； ②当P在Q的左边时，， 解得：， 故答案为：或6． 三、解答题 13．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． （1）求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ （2）在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”和“妮妮”均按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是5500元，求m的值？ 【答案】（1）购进“滨滨”400个，购进“妮妮”600个；（2）100 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用．需要准确梳理数量关系，将实际问题转化为数学方程求解，解题的关键是由数量关系建立等式． （1）设购进“滨滨”的个数为未知数，根据购进两种冰箱贴的总数以及总花费列出方程求解． （2）先分别计算出按标价销售和打折销售的收入，再根据利润的关系列出方程求解． 解：（1）解：设购进“滨滨”x个， 因为购进“滨滨”和“妮妮”一共1000个， 所以购进“妮妮”个． 所以， 解得：， 则购进“妮妮”的个数为：（个）． 答：购进“滨滨”400个，购进“妮妮”600个． （2）解：当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个时， 这部分的收入为元． “滨滨”购进400个，卖出m个后，剩余个， 剩余的“滨滨”按八折出售，售价为元/个， 这部分收入为元． “妮妮”购进600个，卖出m个后，剩余个， 剩余的“妮妮”按八折出售，售价为元/个， 这部分收入为元． 所以， 解得：． 14．（19-20七年级上·天津南开·期末）某中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂能加工这批校服．已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件，且单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天． （1）求这批校服共有多少件（列一元一次方程解决此问题）； （2）若先由甲、乙两个工厂按原来的速度合作一段时间后，乙厂引进了新设备，使乙厂每天的加工效率提高了，剩下的部分由乙厂单独完成．如果乙厂全部工作时间是甲厂全部工作时间的2倍还多4天，那么乙厂全部工作时间是多少天？ 【答案】（1）这批校服共有960件；（2）乙厂全部工作时间是28天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程． （1）设这批校服共有x件，根据单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天建立一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）设甲工厂加工的天数为y天，则乙工厂加工的天数为：（天），根据加工天数和总件数建立方程，解方程即可得到答案． 解：（1）解：设这批校服共有x件, 由题意得：甲工厂加工这种校服用的天数为：， 乙工厂加工这种校服用的天数为：， ∵单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天， ∴， 解方程得：， ∴这批校服共有960件； （2）解：乙厂引进了新设备后每天加工的数量为：件， 设甲工厂加工的天数为y天， 则乙工厂加工的天数为：（天）， 由题意得： 解方程得：， ∴， 答：乙工厂加工的天数为28天． 15．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）在数轴上，点、表示的数分别是 和 ，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动；设运动时间为秒． （1）运动秒后，点表示的数是 ，点表示的数是 ． （2）当点与点相遇时，求的值及相遇点表示的数． 【答案】（1）；；（2）的值为，相遇点表示的数为： 【分析】本题主要考查数轴上点的运动问题，列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据数轴上点的运动方向以及运动速度，即可求解； （2）根据题意点与点相遇时，表示的数是同一个数，列出方程，解方程，即可求解． 解：（1）解：运动秒后，点表示的数是 ，点表示的数是 （2）解：依题意，点与点相遇时，表示的数是同一个数，则 解得： 当时， 答：的值为，相遇点表示的数为： 16．（24-25七年级上·全国·期末）某体育用品店出售某品牌的篮球和羽毛球．已知羽毛球的标价为每个5元，篮球的标价为每个40元．节假日期间，为了让利顾客，该店推出两种优惠方案： 甲方案：篮球和羽毛球都按标价打九折出售． 乙方案：买一个篮球送一个羽毛球． 某顾客现要购买40个篮球和a个羽毛球． （1）当时，分别计算按甲、乙两种方案购买，该顾客需付款多少元？ （2）购买羽毛球多少个时，两种方案的收费相同？ 【答案】（1）甲方案1890元，乙方案1900元；（2）购买羽毛球80个时，两种方案的收费相同 【分析】该题考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）分别根据甲方案和乙方案的优惠解答即可； （2）根据“两种方案的收费相同”列出方程求解即可． 解：（1）解：甲方案需付款：； 乙方案需付款：； （2）解：， 解得：， 答：购买羽毛球80个时，两种方案的收费相同． 【★★能力提升（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）数轴上点和点表示的数分别是和2，点到，两点的距离之和为10，则点表示的数是（   ） A． B．或3 C． D．或4 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上两点之间距离，一元一次方程的应用，掌握其距离的计算方法，有理数的混合运算是解题的关键．根据数轴两点之间距离的计算方法分类讨论即可求解． 解：∵数轴上点和点表示的数分别是和2， ∴之间的距离为， ∴点不可能在之间， ①当点在点左边，设表示的数为， ∴，， ∴， 解得，； ②当点在点右边，设表示的数为， ∴，， ∴， 解得，； 综上所述，点表示的数是或， 故选：D． 2．（24-25七年级上·陕西·开学考试）下列数学问题中，不能用方程“”解决的是（  ） A．哥哥今年15岁，比弟弟年龄的3倍多6岁，弟弟几岁？ B．买3本笔记本和1个6元的文具袋共15元，1本笔记本多少元？ C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用． 分别用方程解答各个选项中的问题，看哪个选项中的问题不能用方程“”解决即可． 解：A、设弟弟今年x岁，哥哥比弟弟年龄的3倍多6岁，哥哥岁，则 B、设1本笔记本x元，3本笔记本元，3本笔记本和1个6元的文具袋共15元，则 C、设男生有x人，由图可知男生有人，男女一共15人，则 D、由图可得，即，不能用方程“”解决 故选：D． 3．（20-21七年级上·广东韶关·期末）某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套，则要安排x名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设生产大花瓶的为x人，则生产小饰品的为人，再由2个大花瓶与5个小饰品配成一套列出方程，进一步求得x的值，计算得出答案即可． 解：根据题意，得， 故选：D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用总价单价数量，结合方案一和方案二所需的费用一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 解：根据题意得，， 解得， ∴当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为本， 故选：． 5．（25-26九年级上·天津和平·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，理解题意，找准等量关系是解题的关键．　 根据题意，每株椽的价钱为文，少拿一株椽后，剩下的椽数量为株且运费为文，根据“剩下的椽的运费等于一株椽的价钱”可列出方程； 解：设这批椽的数量为株， 由题意得， 两边同时乘以得； 故选：A． 6．（25-26七年级上·吉林松原·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则代数式的值为（） 0 3 A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，通过幻方的性质，副对角线的三个数之和等于公共和S，直接求出S的值，再利用第一列和主对角线的和等于S，求出x和y的值，最后计算的值即可． 解：∵副对角线上的数分别为3、、， ∴公共和． ∵第一列的数分别为0、x、，且和为S， ∴， ∴． ∵主对角线的数分别为0、、y，且和为S， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：D． 二、填空题 7．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）一个长方形的长减少，宽增加后，面积保持不变，已知这个长方形的长为，则它的宽为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设长方形的宽为，根据长减少、宽增加后，面积保持不变，列出方程求解。 解：设宽为，则原面积为，新面积为．根据题意，得方程， 展开右边：， 移项：， 即， 解得， 即它的宽为． 故答案为：4． 8．（22-23七年级上·吉林白城·期末）某车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，现有个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按配套．为求，可列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了列方程． 根据题意列方程即可 解：个工人生产螺丝，则个工人生产螺母， ∵每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母， ∴每天生产个螺丝和个螺母， ∵恰好每天生产的螺母和螺丝按配套， ∴ 故答案为： 9．（25-26七年级上·重庆·开学考试）小明和爷爷聊天，小明说：“您和爸爸的年龄差恰好是我年龄的3倍．”爷爷笑笑说：“你们父子俩的年龄加起来还跟我差18岁呢！”那么小明今年 岁． 【答案】 【分析】本题考查了差倍问题-年龄问题，可列方程解答，也可用算术方法解答，解决本题的关键是写出等量关系式．爷爷与爸爸的年龄差是小明的3倍，那么爸爸与小明的年龄就比爷爷少两份小明的年龄，爸爸与小明的年龄和比爷爷少18岁，即可列式求解． 解：（岁）， 答：小明今年9岁． 故答案为：． 10．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，吉姆同学在某月的月历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么这四个数是 ． 某月有个星期日，它们的日期之和是，则这个月中最后一个星期日是 号． 【答案】 ，，， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设正方形的方框内的四个数分别为，，，，根据题意列出方程求出可得出这四个数；设个星期日对应的数分别为，，，，，根据题意列出方程求出进而即可求解，理解题意是解题的关键． 解：设正方形的方框内的四个数分别为，，，， 由题意得，， 解得， ∴四个数分别为，，，， 设个星期日对应的数分别为，，，，， 由题意得，， 解得， ∴， ∴这个月中最后一个星期日是号， 故答案为：，，，；． 11．（2025·甘肃武威·二模）如图是用灰白两种颜色的纸片按一定的规律摆成的图案，依此规律继续摆下去，若第n个图案中白色纸片的个数是2023，则n的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律，由题干中所给图案得出第个图案中白色纸片的个数为，令，求解即可，正确得出规律是解此题的关键． 解：由图可得， 第1个图案中白色纸片的个数为， 第2个图案中白色纸片的个数为， 第3个图案中白色纸片的个数为， …， 第个图案中白色纸片的个数为， 令， 解得：， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·北京西城·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．有一种特殊的三角形幻方，是由个较小的三角形和个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为，图是这种特殊的三角形幻方． （1）若，则处的数值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式的加减运算，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形三个顶点处的数之和为，得到，，将代入计算即可； （）先根据每个三角形三个顶点处的数之和相等求出，即可得到答案． 解：（）根据三角形三个顶点处的数之和为，得到，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（2025七年级上·福建·专题练习）深度相同且都注满水的甲、乙两蓄水池，各有一个排水管，放完甲池中的水需要3小时，放完乙水池的水需要5小时，同时打开两个水池的排水管，经过一段时间后，关闭排水管，甲水池水面高度为乙水池的，从开始排水到关闭水管，共用了多少小时？ 【答案】2.5小时 【分析】本题考查工作效率、工作时间和工作总量的关系，明确它们的关系是解题的关键． 把甲乙水池满水时的水量高度看做单位“”，甲每小时排水量： ，乙每小时排水量：，可以设从开始排水到关闭水管已用了x小时，此时甲水池的水面高度为，同理，乙水池的水面高度为，根据题意建立方程式：，据此解出方程即可解答． 解：设从开始排水到关闭水管已用了x小时， 依题意，得， 则， ∴， ∴， 解得． 答：从开始排水到关闭水管共用了2.5小时． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）某商厦以每件80元的价格购进某种商品100件，提高50%后标价．在国庆假期期间，该商厦用打折销售的方式，回馈顾客，活动结束后经统计，有90件商品以每件赚4元的价格售出． （1）国庆假期期间，商厦销售该商品时，打_______折． （2）若商厦在销售完这批商品后想获利8%，则剩余的商品应打多少折？ 【答案】（1）七；（2）剩余的商品应打九折． 【分析】本题涉及商品的进价、标价、折扣以及利润的计算，需要根据这些量之间的关系，通过设未知数建立方程来求解折扣． 解：（1）解：设国庆假期期间打x折 商品进价为每件80元，提高后的标价为元 打x折后的售价为元 已知有90件商品以每件赚4元的价格售出，根据售价-进价=利润， 可得： 化简方程： 移项：，即 解得，所以打7折． （2）解：设剩余的商品应打x折． 由题意，得， 解得． 故剩余的商品应打九折． 【点拨】本题考查了一元一次方程在商品销售问题中的应用，掌握根据商品销售中的进价、标价、折扣、利润之间的关系，建立方程求解折扣是解题的关键． 15．（14-15七年级上·江苏苏州·期末）又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． （1）你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ （2）你能确定两班各有多少名学生吗？ （3）如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 【答案】（1）有，可以节约740元钱；（2）1班有58人，2班有45人；（3）购买151张，总票价为5285元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准确等量关系，要注意考虑全面，购票最省钱的办法就是团体购票． （1）最节约的办法就是团体购票，节省的钱团体票价； （2）分有两种情况：若1班和2班人数都在51～100之间；若1班人数是51～100，2班人数是1～50；分别计算，即可求解； （3）先计算出148人的团体票价，再计算出151人的团体票价，即可求解． 解：（1）解：有．可以节约（元）． （2）解：设1班有x人，则2班有人，根据题意，有两种情况： 若1班和2班人数都在51～100之间， （不符合题意，舍去）； 若1班人数是51～100，2班是1～50， ， 解得：， 则， 答：1班有58人，2班有45人； （3）解：若3班也去，则三个班团体购票最合理，三个班的总人数有148人，总票价元． 若买151张票，总票价为元， ∵， ∴最合理的方法是购买151张，总票价为5285元． 16．（25-26七年级上·吉林·期中）【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． （1）如果代数式的值为，那么代数式的值为_______． （2）如图，若，求长方形与的面积差． （3）两地相距千米，某日，甲从地出发前往地，同时，乙从地出发前往地．已知甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过小时，甲、乙二人相遇．直接写出甲、乙两人相距千米的时间． 【答案】（1）；（2）；（3）小时或小时 【分析】本题主要考查列代数式，求解代数式的值，正确理解题意是做题的关键． （1）利用整体思想，将原式化为，即可求值； （2）先根据图形列出代数式，再整体代入即可； （3）根据题意列方程，再整体代入解方程即可． 解：（1）解：由题意得，， ， ． 故答案为：． （2）解：由图可得长方形与的面积差为： 答：长方形与的面积差为． （3）解：由题意得，， ． 设经过小时甲、乙两人相距千米， 则或， 即或， 解得，或． 答：甲、乙两人相距千米的时间为小时或小时． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.5 一元一次方程的应用 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点：运用方程解决实际问题的一般过程是: 1 【题型1】义演问题 2 【小结归纳】 2 【题型2】工程问题 2 【小结归纳】 3 【题型3】日历问题 3 【小结归纳】 4 【题型4】图形面积（周长）问题 4 【题型5】体积问题 5 【题型6】行程问题 6 【小结归纳】 7 【题型7】调配问题 7 【小结归纳】 8 【题型8】配套问题 8 【小结归纳】 8 【题型9】营销盈亏问题 9 【小结归纳】 9 【题型10】问题解决——生活中的阶梯计价问题 9 【小结归纳】 11 二．同步练习​ 11 【★基础巩固（16题）】 11 【★★能力提升（16题）】 14 一．知识梳理与题型分类精析 题号带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 知识点：运用方程解决实际问题的一般过程是: 1.审题:分析题意,找出题中的数量及其关系； 2.设元:选择一个适当的未知数用字母表示； 3.列方程:根据相等关系列出方程； 4.解方程:求出未知数的值； 5.检验:检查求得的值是否正确和符合实际情形,并作答。 【题型1】义演问题 【★例题1】（浙教版七上144页例1改编）（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）某文艺团体为“希望工程”募捐义演，全价票为每张18元，学生享受半价，某场演出共售出966张票，收入15480元，问这场演出共售出学生票多少张？ 【★★变式1】（24-25七年级上·北京西城·开学考试）学校将礼品颁发给朗诵比赛获得一、二、三等奖的同学，一等奖的每个同学能得到5个礼品，二等奖的每个同学能得到3个礼品，三等奖的每个同学能得到1个礼品．已知一、二、三等奖的同学共有56人，且获得三等奖的人数是获得二等奖人数的2倍，最终共颁发了120个礼品．求获得一、二、三等奖的同学分别有多少人？ 【★变式2】（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）2020年疫情期间，某市共出动八批，共计1362名医护人员驰援武汉，他们是新时代最可爱的人．3月19日，第二批和第八批医护人员共130名乘坐飞机返回该市，其中第二批的人数是第八批人数的3倍还多10名，设第八批该市共出动了x名医护人员． （1）根据题意列出方程； （2）利用等式的性质求出x的值． 【小结归纳】 义演问题一般都有两个等量关系，用一个等量关系设未知数，用含未知数表示另一个量，通过另一个等量关系列方程即可。 【题型2】工程问题 【★例题2】（浙教版七上151页作业题B组第5题改编）（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）一件工程，甲单独做需要15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作5天后，甲有其他任务，剩下的工程由乙单独完成，则乙还要几天才能完成全部工程？ 【★变式1】．（24-25七年级上·全国·期末）学校举办一年一届的科技文化艺术节活动，需制作一块活动展板，请来两名工人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两个人合作完成剩下的部分，设徒弟和师傅合作x天，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【★★变式2】（2024七年级上·四川成都·专题练习）一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： （1）完成任务时共用了多少小时？ （2）如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 【小结归纳】 这类问题中常常把总工作量看作1,并利用“工作量人均效率×人数×时间”的关系考虑问题，比如：甲工作量+乙工作量=1；已经完成工作量+未完成工作量=1等等建立等量关系。 【题型3】日历问题 【★例题4】（浙教版七上151页作业题B组第5题改编）（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）从某个月的月历表中取一个方框． （1）已知这个方框所围成的个日期之和为，求这个日期； （2）这个方框所围成的个日期之和可能为吗？ 【★变式1】（2025·贵州遵义·一模）如图为2025年三月份日历，小红用“X”字形框出日历中的5个日期，这五个日期之和不可能是（    ） A．95 B．60 C．85 D．72 【★变式2】（24-25七年级下·山西临汾·期中）如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为． （1）“U型”中最小的数为13，则最大的数为_______； （2）设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则的值可以是90吗？请说明理由． 【小结归纳】 设中间日期为,以“3个连续日期”说明等量关系： 1横向3个日期和:； 2.纵向3个日期和:； 3.斜向3个日期和: 或. 【题型4】图形面积（周长）问题 【★例题4】（浙教版七上148页作业题第2题改编）（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，一个长方形纸片的长为，在这张纸片的长和宽上各剪去宽为的长条，剩下的长方形面积是原长方形面积的，求原长方形纸片的宽． 【★变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）某校开展书法方面的知识宣传活动，如图，书法社的同学需要在长方形的宣纸上书写“书法传承美”五个宇，已知宣纸的长为，每个小方框一样大，且宣纸边缘之间的边空宽相等，若边空宽、字宽、字距的比为，求这张宣纸的面积． 【★★变式2】（2025·河南·一模）用A，B两种规格的长方形纸板（如图①所示）无重合、无缝隙地拼接成如图②所示的周长为的正方形，已知A种长方形的宽为，则B种长方形纸板的面积为多少？ 【小结归纳】利用面积不变或周长不变建立等量关系设未知数或列方程即可 【题型5】体积问题 【★例题5】（浙教版七上149页作业题B第4题改编）（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，一个长方体玻璃容器的内底面长为8cm，宽为6cm，高为16cm，容器内水的高度为2cm，现把一块边长为4cm的立方体金属块放入水中，问容器内的水将升高多少厘米？ 【★变式1】（22-23七年级上·浙江·期中）如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为，将瓶子倒放时，空余部分的高度为，现把溶液全部倒在一个底面直径为的圆柱形杯子里． 求： （1）瓶内溶液的体积是多少？ （2）圆柱形杯子溶液的高度是多少？（结果保留） 【★变式2】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）小明在数学活动课中制作了一个长方体包装纸盒，下图是小明设计的包装盒平面展开图，过测量得出该包装纸盒的长比宽多，问这个包装纸盒的体积能否达到？请说明理由．      【小结归纳】通过体积公式列代数式表示体积， 再通等体积不变（等积性）列方程即可 【题型6】行程问题 【★例题6】（浙教版七上159页目标与测定第12题改编）（23-24七年级上·浙江杭州·期末）“有一架飞机最多能在空中连续飞行8.8小时，它来回的平均速度分别为920千米/小时和840千米/小时.这架飞机最远飞行多少千米就应返回？” （1）设这架飞机最远飞行x千米就应返回，用来回时间之和等于8.8小时作为等量关系，请列出方程，不需解答； （2）设这架飞机以920千米/小时的速度最远飞行y小时就应以840千米小时的速度返回，用来回路程相等作为等量关系，请列出方程并解答课本中的问题. 【★变式1】（23-24七年级上·湖南·期末）一天，小明以48米/分钟的速度去上学，5分钟后小明的爸爸发现他忘了带数学书，于是爸爸立即以72米/分钟的速度去追赶小明．求多少分钟后爸爸能追上小明？如果设分钟后爸爸追上小明，依题意可得的方程是（    ） A． B． C． D． 【★★变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如下图，现有两条乡村公路和长长1600m．一个人骑摩托车从处以的速度沿公路匀速向处行驶；另一个人骑自行车从处以的速度沿公路匀速向处行驶，并且两人同时出发． （1）经过多少分钟摩托车追上自行车？ （2）两人均在行驶途中时，经过多少分钟在行进路线上相距150m？ 【小结归纳】 数量关系：路程=速度×时间 . 常见的等量关系： （1）相遇问题：路程和=总距离；（2）追及问题：路程差=初始距离； （3）顺逆水航行问题：顺速航行=船速+水速，逆速航行=船速-水速. 【题型7】调配问题 【★例题7】（浙教版七上150页例6改编）（23-24七年级上·江苏·周测）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有6人，在乙处植树的有10人，在丙处植树的有8人，现调来若干人去支援，使在甲、乙、丙三处植树的总人数之比为．设支援后在甲处植树的总人数有人． （1）根据信息填表： 甲处 乙处 丙处 支援后的总人数 支援的人数 （2）已知支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍，求支援甲、乙、丙三处各有多少人？ 【★★变式1】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1） 已知A队有32人，B队有28人，从A队调a人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则a的值为 ； （2） 设A队有x人， B队有人， 从A队调m人到B队， 则此时B队比A队多 人； 接下来，又从B队回调m人到A队 （，回调的人数里有男有女），则回调后A队中的女生人数和B队中的男生人数是否相同？ （填“是”或“否”）． 【★★变式2】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（找等量关系）植树队要种一批杨树和柳树，每人每天种树的棵数相同，杨树的棵数是柳树的2倍，第一天种杨树的人数是种柳树的3倍，第二天重新分配人数，有的人种柳树，结果杨树刚好种完，而柳树恰好还需要2人种一天，那么这个植树队共有多少人？ 【小结归纳】 调配问题等量关系是：总量不变”即：总人数、总物资数等在调配前后保持不变或或部分量之间的关系不变。 情景包括：1.人员调配（如学校植树支援、车间工人调动、班级人数调整）；2.2物资调配（如仓库粮食转移、车辆分配、器材调）3.比例型调配（调配后甲、乙、丙的数量比为固定值）等等。 【题型8】配套问题 【★例题8】（浙教版七上151页B组第4题改编）（22-23七年级下·广西南宁·期中）某车间共有36名工人生产桌子和椅子，每人每天平均可生产桌子20张或椅子50把，一张桌子要配两把椅子，已知车间每天安排x名工人生产桌子． （1）车间每天生产桌子多少张，生产椅子多少把？（用含x的代数式表示） （2）如何安排可使每天生产的桌子和椅子刚好配套？ 【★★变式1】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了一道数学题，大意是：有根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管个或笔套个，已知个笔管与个笔套配套使用，若要使制成的笔管与笔套正好配套，设用于制作笔管的短竹数为根，则可列方程为 ． 【★★变式2】（20-21七年级上·河南漯河·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时可以剪筒身40个或剪筒底120个． （1）七年级（2）班有男生、女生各多少人？ （2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 【小结归纳】 这类问题中配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据，按“1配n”比例建立数量关系，如：一个盒身配两个盒底得到等量关系：盒底数量=2倍盒身数量 【题型9】营销盈亏问题 【★例题9】（浙教版七上153页A组第2题改编）（23-24七年级下·四川资阳·期中）某顾客看中了小明妈妈开的服装店里进价为268元的一件上衣，这件衣服按进价的标价的．小明妈妈吩咐服务员在利润率不低于的情况下，可自己决定打折出售，服务员最低能打几折？ 【★★变式1】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠．小敏在该超市两次购物分别付了99元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏需付款 元． 【★★变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如表一： 表一 A型利润 B型利润 甲店 200 170 乙店 160 150 表二 A型（40件） B型（60件） 甲店（70件） 乙店（30件） x （1）设分配给乙店A型产品x件，把表二填写完整； （2）若两商店销售这两种产品的总利润为17560元，则分配给甲店A型产品多少件． 【小结归纳】 常见等量关系：获利=售价-进价； ； 利润率=利润/进价×100% ； 售价=标价×折扣； 亏损=进价-售价. 【题型10】问题解决——生活中的阶梯计价问题 【★★例题10】（浙教版七上154页阅材料改编）（24-25七年级上·浙江台州·期末）为在节能减排的同时考虑惠民利民，某省居民阶梯电价分夏季与非夏季标准执行：每年的月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准，如图是电价的收费标准： 阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档用电量 千瓦时 千瓦时 第一档电价 元/千瓦时 第二档用电量 千瓦时 千瓦时 第二档电价 元/千瓦时 第三档用电量 601千瓦时及以上 401千瓦时及以上 第三档电价 元/千瓦时 注：电费按月结算． （1）当时，若小王家10月份用电量为475千瓦时，则应交电费多少元？ （2）若小王家11月份用电量为392千瓦时，则应交电费______________元（用含的式子表示） （3）在（2）的条件下，若小王家12月份用电量为435千瓦时，11月和12月共交电费元．求的值． 【★★变式1】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表，请回答下列问题： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.5元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.5元． （1）若小东乘坐滴滴快车，行车里程为15公里，行车时间为20分钟，则需付车费 元． （2）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则小明应付车费多少元？（用含、的代数式表示，并化简．） （3）小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9公里与12公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差多少分钟？ 【★★变式2】（2024·浙江台州·一模）某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【小结归纳】 基本等量关系：总费用=各阶梯费用之和；比如：分档的电费：总费=第一档单价×限额+第二档单价×（用量-限额）；超量部分单独计价. 二．同步练习​ 【★基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图是一枚长方形庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其周长是260，长和宽的比为．问这枚纪念币的长和宽?设这枚纪念币的长为，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·浙江温州·期末）甲单位到药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位在同一药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位购买总价只相当于甲单位购买总价的，一箱消毒水多少元？设一箱消毒水为元，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10元，求标价多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为元，列出如下方程：．小明同学列此方程的依据是（   ） A．商品的利润不变 B．商品的售价不变 C．商品的成本不变 D．商品的销售量不变 4．（25-26七年级上·广西柳州·开学考试）一个体育中心足球场长度是，比宽度的2倍少．足球场宽度是多少米？如果设宽度为，那么下面列出的方程正确的是（   ） ①②③④ A．①③ B．①② C．②④ D．①④ 5．（19-20七年级上·湖北孝感·期末）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2小时，若船速为20千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（19-20七年级上·内蒙古赤峰·期末）某车间有工人名，生产一种有一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓个或螺母个，如果你是这个车间的主任，你应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产的螺栓和螺母刚好配套？若设人生产螺栓，则所列方程正确的是（    ） A．） B． C． D． 二、填空题 7．（25-26七年级上·天津河西·期中）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2．已知小康平均每小时采摘a，小悦平均每小时采摘b，则他们采摘的时长是 小时． 8．（25-26七年级上·山西临汾·期中）如图，在日历中用十字形框出5个数，分别是中间一个数，以及它上下左右四个数．如果这五个数的和是70，则中间的数是 ． 9．（25-26七年级上·北京·期中）“我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩重闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有个人，则可列方程 ． 10．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一件工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要 天才能完成该工程． 11．（21-22七年级上·全国·期末）某试卷由26道题组成，答对一题得8分，答错一题倒扣5分．有一位同学虽然做了全部的26道题，但所得总分为零，假设他答对了题，则可列方程 ． 12．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）点表示的数是 ； （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．当点P运动 秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 三、解答题 13．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． （1）求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ （2）在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”和“妮妮”均按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是5500元，求m的值？ 14．（19-20七年级上·天津南开·期末）某中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂能加工这批校服．已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件，且单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天． （1）求这批校服共有多少件（列一元一次方程解决此问题）； （2）若先由甲、乙两个工厂按原来的速度合作一段时间后，乙厂引进了新设备，使乙厂每天的加工效率提高了，剩下的部分由乙厂单独完成．如果乙厂全部工作时间是甲厂全部工作时间的2倍还多4天，那么乙厂全部工作时间是多少天？ 15．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）在数轴上，点、表示的数分别是 和 ，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动；设运动时间为秒． （1）运动秒后，点表示的数是 ，点表示的数是 ． （2）当点与点相遇时，求的值及相遇点表示的数． 16．（24-25七年级上·全国·期末）某体育用品店出售某品牌的篮球和羽毛球．已知羽毛球的标价为每个5元，篮球的标价为每个40元．节假日期间，为了让利顾客，该店推出两种优惠方案： 甲方案：篮球和羽毛球都按标价打九折出售． 乙方案：买一个篮球送一个羽毛球． 某顾客现要购买40个篮球和a个羽毛球． （1）当时，分别计算按甲、乙两种方案购买，该顾客需付款多少元？ （2）购买羽毛球多少个时，两种方案的收费相同？ 【★★能力提升（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）数轴上点和点表示的数分别是和2，点到，两点的距离之和为10，则点表示的数是（   ） A． B．或3 C． D．或4 2．（24-25七年级上·陕西·开学考试）下列数学问题中，不能用方程“”解决的是（  ） A．哥哥今年15岁，比弟弟年龄的3倍多6岁，弟弟几岁？ B．买3本笔记本和1个6元的文具袋共15元，1本笔记本多少元？ C． D． 3．（20-21七年级上·广东韶关·期末）某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套，则要安排x名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·天津和平·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·吉林松原·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则代数式的值为（） 0 3 A． B． C． D．0 二、填空题 7．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）一个长方形的长减少，宽增加后，面积保持不变，已知这个长方形的长为，则它的宽为 ． 8．（22-23七年级上·吉林白城·期末）某车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，现有个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按配套．为求，可列方程： ． 9．（25-26七年级上·重庆·开学考试）小明和爷爷聊天，小明说：“您和爸爸的年龄差恰好是我年龄的3倍．”爷爷笑笑说：“你们父子俩的年龄加起来还跟我差18岁呢！”那么小明今年 岁． 10．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，吉姆同学在某月的月历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么这四个数是 ． 某月有个星期日，它们的日期之和是，则这个月中最后一个星期日是 号． 11．（2025·甘肃武威·二模）如图是用灰白两种颜色的纸片按一定的规律摆成的图案，依此规律继续摆下去，若第n个图案中白色纸片的个数是2023，则n的值为 ． 12．（25-26七年级上·北京西城·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．有一种特殊的三角形幻方，是由个较小的三角形和个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为，图是这种特殊的三角形幻方． （1）若，则处的数值为 ； （2）的值为 ． 三、解答题 13．（2025七年级上·福建·专题练习）深度相同且都注满水的甲、乙两蓄水池，各有一个排水管，放完甲池中的水需要3小时，放完乙水池的水需要5小时，同时打开两个水池的排水管，经过一段时间后，关闭排水管，甲水池水面高度为乙水池的，从开始排水到关闭水管，共用了多少小时？ 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）某商厦以每件80元的价格购进某种商品100件，提高50%后标价．在国庆假期期间，该商厦用打折销售的方式，回馈顾客，活动结束后经统计，有90件商品以每件赚4元的价格售出． （1）国庆假期期间，商厦销售该商品时，打_______折． （2）若商厦在销售完这批商品后想获利8%，则剩余的商品应打多少折？ 15．（14-15七年级上·江苏苏州·期末）又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． （1）你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ （2）你能确定两班各有多少名学生吗？ （3）如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 16．（25-26七年级上·吉林·期中）【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． （1）如果代数式的值为，那么代数式的值为_______． （2）如图，若，求长方形与的面积差． （3）两地相距千米，某日，甲从地出发前往地，同时，乙从地出发前往地．已知甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过小时，甲、乙二人相遇．直接写出甲、乙两人相距千米的时间． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $