精品解析：江苏省常州市金坛区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025年秋学期八年级数学 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 4的平方根是2 B. 4的平方根是 C. 4的平方根是 D. 4的平方根是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根的概念．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴4的平方根是， 故选：C 2. 估计的值介于（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过比较平方数的大小关系，确定的整数范围． 【详解】解∵， 即， ∴． 故选：A． 3. 由四舍五入得到的近似值精确到了（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查近似数，掌握相关知识是解决问题的关键．近似值有两位小数，表示精确到了百分位，即． 【详解】解：∵ 的最后一位数字3位于百分位， ∴ 它精确到了． 故选：D． 4. 在实数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了无理数的定义，通过判断每个数是否为无理数（即无限不循环小数），是有理数（有限小数），是有理数（分数），是无理数，是无理数． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数； 是有限小数，可化为分数，是有理数； 是分数，是有理数； 中π是无理数，除以有理数2后仍为无理数； 是3的立方根，3不是完全立方数，故为无理数． ∴无理数有和，共2个． 故选：B． 5. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 4，6，8 C. 5，6，12 D. 4，9，16 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系，判断三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短线段长度之和是否大于最长线段长度． 【详解】解：∵ A中两条较短线段2和3之和为5，等于最长线段5，∴不能组成三角形； ∵ B中两条较短线段4和6之和为10，大于最长线段8，∴能组成三角形； ∵ C中两条较短线段5和6之和为11，小于最长线段12，∴不能组成三角形； ∵ D中两条较短线段4和9之和为13，小于最长线段16，∴不能组成三角形． 故选：B． 6. 如图，若，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键． 根据全等三角形的性质得即可解答． 【详解】解：， ， 无法得到，，， 故选：C． 7. 如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠A＋∠3＋∠2＝180°， ∴∠3＝180°−40°−60°＝80°， ∵， ∴∠1＝∠3＝80°． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质． 8. 如图，在中，，是边上的动点（不与点，重合）．为的中点，过点作，垂足为，连接．若，则在点运动过程中，的度数（ ） A. 等于 B. 等于 C. 等于 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，E是中点，得出，利用角度推导，即可求得． 【详解】解：∵，点为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，点为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 10. 如果，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查立方根的定义，掌握乘方的计算是解题的关键． 根据立方根的定义，可直接得出结果． 【详解】解：∵， 由于， 即， 故答案为：． 11. 计算：________． 【答案】2 【解析】 【详解】解： 12. 若，，则___________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数大小比较，解答本题的关键是明确实数的意义，会比较实数的大小． 估算的大小，即可解答． 【详解】解：， ， ，即， 故答案为：． 13. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为6两种情况进行讨论，利用三角形两边之和大于第三边判断是否构成三角形． 【详解】解：当腰长为3时，三边分别为3、3、6，由于，不能构成三角形； 当腰长为6时，三边分别为6、6、3，由于，满足两边之和大于第三边，能构成三角形，周长为． 故答案为：15． 14. 如图，，若要使得，需要补充的一个条件是______________（只需填写一种情形即可）． 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 要使得，已知、，则可以添加边，运用来判定其全等，也可添加一组角运用来判定其全等． 【详解】解：和中，已知； 当或或时，． 故答案为：（或）． 15. 如图，是的角平分线，，垂足为．若，则的面积是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了角平分线，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据是的角平分线，角平分线上的点到角两边距离相等，即D到的距离，最后根据三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴角平分线上的点到角两边距离相等， ∴D到的距离， ∴的面积， 故答案为：6． 16. 如图，是内一点，．若，则___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的计算和推理能力． 根据等腰三角形的性质得出，求得，得出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 故答案为：． 17. 如图，，，，射线，点和分别在线段和射线上运动，且．当___________时，与全等． 【答案】3或4 【解析】 【分析】本题考查证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．因为且，所以若使与全等，只需当时， 此时，或当时，此时，据此解答即可． 【详解】解：， ， ， 若使与全等， 只需①当时， 此时， ②当时，此时， 故答案为：3或4． 18. 如图，是的外角，平分，且与的延长线交于点，是线段上的一个动点（点不与点重合）．若，设，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及三角形三边关系． 在线段上截取，构造全等三角形，再利用三角形三边关系来确定的取值范围． 【详解】解：在线段上截取，连接，如图． ∵平分， ∴． 在和中， ， ， ∴， 在中，可得， 即，即， ，且， ， ． 故答案为：． 三、解答题（第19题6分，第20~22题每题8分，第23题10分，第24~25题每题12分，共64分） 19. 如图，已知．用直尺和圆规按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）在图1中边上作出点，使得点到、的距离相等； （2）在图2中边上作出点，使得． 【答案】（1） 解：如图，点即为所求． （2） 解：如图，点即为所求． 【解析】 【分析】该题考查了尺规作图以及角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质． （1）尺规作的角平分线交边于点即可； （2）尺规作线段的垂直平分线交边于点，则，结合等量代换即可得出，故点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，点、、、在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∴． （2）的面积为9 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定和含的直角三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解决本题的关键． （1）根据题意得，证明可得进而即可得证； （2）过A作于H，根据含的直角三角形的性质可得，再根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过A作于H， ∵，， ∴， 面积 ． 21. 如图，在△ABC中，AB=AC，点O在高AE上，且OA=OB，连接BO并延长交AC于点D， （1）求证：∠BAC=2∠ABD； （2）若△BCD是等腰三角形，求∠BAC的度数． 【答案】 （1）证明：∵AE为高，AB=AC ∴AE平分∠BAC ∴∠BAE=∠CAE=∠BAC ∵OB=OA ∴∠ABD=∠BAE ∴∠BAC=2∠ABD （2）45°或36°． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得AE平分∠BAC，再由OA=OB，得∠ABD=∠BAE，由此解答即可； （2）用分类讨论的思想，分为三种情况，分别是BD=BC，BD=DC，BC=DC，进行解答即可． 【详解】解：(1)略 (2)∵△BCD是等腰三角形 ∴分为三种情况，分别是BD=BC，BD=DC，BC=DC ①若BD=BC 则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC ∵∠BAC=2∠ABD ∴∠C=∠BDC=3∠ABD ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C ∴∠DBC=2∠ABD ∵∠C+∠DBC+∠BDC=180° ∴8∠ABD=180° ∴∠ABD=22.5° ∵∠BAC=2∠ABD∴∠BAC=22.5°×2=45° ②若BD=DC 则∠C=∠DBC ∵∠C=∠ABC ∴点D与点A重合,这种情况不存在 ③若BC=DC 则∠CBD=∠CDB=∠ABD+∠BAC ∵∠BAC=2∠ABD ∠CBD=∠CDB=3∠ABD ∴∠C=∠ABD+∠DBC=4∠ABD ∵∠C+∠DBC+∠BDC=180° ∠ABD=18° ∵∠BAC=2∠ABD ∴∠BAC=18°×2=36° 综上所述∠BAC=45°或∠BAC=36°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 22. 如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行2个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． （1）实数的值是___________； （2）求的值； （3）数轴上另有两点分别表示实数和，且，求的平方根． 【答案】（1） （2） （3）平方根为 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，绝对值和算术平方根的非负性，代数式求值，解题的关键是掌握与实数相关的概念． （1）根据比小2，即可解答； （2）结合（1），把的值代入计算即可； （3）求出，，代入，可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时， ； 【小问3详解】 解：， ，， 解得，， ， 的平方根，即16的平方根为． 23. 《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为：，绣布面积为． （1）求绣布的周长； （2）刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由（取）． 【答案】（1） （2） 不能裁出圆形面积，理由如下： 设半径为，则， ， ∴直径， ∵绣布最短边， ∴无法裁出． 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，实际问题与一元二次方程、估算无理数的大小的应用，关键是正确理解和计算； （1）根据长宽比设未知数，利用面积求解； （2）利用面积求圆的半径可得直径，并将直径与短边做比较即可判断. 【详解】（1）解：设宽为，长为，可列方程： ，， ∴， 即：宽，长， 周长． （2）略 24. 将两个全等的和按图1方式摆放，其中，，点落在上，所在直线交所在直线于点． （1）判断，与的数量关系，证明你的结论； （2）将图1中的绕点按顺时针方向旋转角，其他条件不变．若，请在图2中用直尺和圆规作出变换后的（保留作图痕迹，不写作法），直接写出，与的数量关系，不需要说明理由． 【答案】（1） 解：，理由如下： 如图，连接， ， ，， 在和中， ， ， ， ； （2）解：变换后的如图所示， 【解析】 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，作旋转图形，作出辅助线，构造出全等三角形是解本题的关键． （1）连接，由，可得，根据直角三角形的“”判定定理，易证，即可得出结论； （2）同（1）得，由，可得，，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 如图，连接， ， ， ， 在和中， ， ， ． 25. 定义：若两个三角形中，有两边分别相等且其中一组等边的对角相等，但不是全等三角形，我们称这两个三角形是“关联三角形”，这组相等角的两条对边称为“关联边”． （1）如图1，在中，，是边上任意一点（非的中点），则与BCD___________“关联三角形”（填“是”或“不是”），若是“关联三角形”，则___________是“关联边”（若不是“关联三角形”，此空无需填写）； （2）如图2，与是“关联三角形”，其中与是“关联边”，．与有怎样的数量关系，证明你的结论； （3）已知是的边或边延长线上一点（不与点、重合），连接，与是“关联三角形”，且与是“关联边”．若，直接写出的范围（不要证明）． 【答案】（1）是， （2） 解：，理由如下： ∵与是“关联三角形”，其中与是“关联边”， ∴，， 如图：在线段上取点，使得，连接 由题意可知，在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）且 【解析】 【分析】（1）充分理解“关联三角形”的定义，结合等边对等角，得，又因为，且结合“关联三角形”的定义，故与是“关联三角形”，即可作答． （2）先由“关联三角形”的定义，得，，再证明，得，，然后根据邻补角互补以及等边对等角，得，即可作答． （3）充分理解“关联三角形”的定义，再分类讨论，且逐个情况作图，运用三角形外角性质以及三角形内角和性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴ ∵，且结合“关联三角形”的定义， ∴与是“关联三角形”， ∴在中，的对边是，在中，的对边是， ∵这组相等角的两条对边称为“关联边” ∴则是“关联边”， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意， 当是的边上一点（不与点、重合），连接，如图所示： ∵与是“关联三角形”，且与是“关联边”． ∴， ∴， ∵，且）（不与点重合） ∴，， ∵，， ∴， 则 ∵， ∴ ∴， 当是的边延长线上一点（不与点、重合），连接，如图所示： 此时是钝角三角形，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当时， ∵与是“关联三角形”，且与是“关联边”． ∴， 此时与重合，与题干相矛盾，故舍去， 综上：且． 【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和性质，等边对等角，邻补角互补性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期八年级数学 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 4的平方根是2 B. 4的平方根是 C. 4的平方根是 D. 4的平方根是 2. 估计的值介于（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 3. 由四舍五入得到的近似值精确到了（ ） A. B. C. D. 4. 在实数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 4，6，8 C. 5，6，12 D. 4，9，16 6. 如图，若，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，是边上的动点（不与点，重合）．为的中点，过点作，垂足为，连接．若，则在点运动过程中，的度数（ ） A. 等于 B. 等于 C. 等于 D. 无法确定 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 16的算术平方根是___________． 10. 如果，则________． 11. 计算：________． 12. 若，，则___________（填“”、“”或“”）． 13. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为________． 14. 如图，，若要使得，需要补充的一个条件是______________（只需填写一种情形即可）． 15. 如图，是的角平分线，，垂足为．若，则的面积是___________． 16. 如图，是内一点，．若，则___________． 17. 如图，，，，射线，点和分别在线段和射线上运动，且．当___________时，与全等． 18. 如图，是的外角，平分，且与的延长线交于点，是线段上的一个动点（点不与点重合）．若，设，则的取值范围是___________． 三、解答题（第19题6分，第20~22题每题8分，第23题10分，第24~25题每题12分，共64分） 19. 如图，已知．用直尺和圆规按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）在图1中边上作出点，使得点到、的距离相等； （2）在图2中边上作出点，使得． 20. 如图，点、、、在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，求的面积． 21. 如图，在△ABC中，AB=AC，点O在高AE上，且OA=OB，连接BO并延长交AC于点D， （1）求证：∠BAC=2∠ABD； （2）若△BCD是等腰三角形，求∠BAC的度数． 22. 如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行2个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． （1）实数的值是___________； （2）求的值； （3）数轴上另有两点分别表示实数和，且，求的平方根． 23. 《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为：，绣布面积为． （1）求绣布的周长； （2）刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由（取）． 24. 将两个全等的和按图1方式摆放，其中，，点落在上，所在直线交所在直线于点． （1）判断，与的数量关系，证明你的结论； （2）将图1中的绕点按顺时针方向旋转角，其他条件不变．若，请在图2中用直尺和圆规作出变换后的（保留作图痕迹，不写作法），直接写出，与的数量关系，不需要说明理由． 25. 定义：若两个三角形中，有两边分别相等且其中一组等边的对角相等，但不是全等三角形，我们称这两个三角形是“关联三角形”，这组相等角的两条对边称为“关联边”． （1）如图1，在中，，是边上任意一点（非的中点），则与BCD___________“关联三角形”（填“是”或“不是”），若是“关联三角形”，则___________是“关联边”（若不是“关联三角形”，此空无需填写）； （2）如图2，与是“关联三角形”，其中与是“关联边”，．与有怎样的数量关系，证明你的结论； （3）已知是的边或边延长线上一点（不与点、重合），连接，与是“关联三角形”，且与是“关联边”．若，直接写出的范围（不要证明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $