6.4.2分层随机抽样的均值与方差（第二课时）教学设计-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦分层随机抽样的方差计算，通过复习分层随机抽样均值，引出方差对数据离散程度的衡量需求，搭建从均值到方差的知识支架，衔接前后知识点。 资料以例题探究为核心，如甲乙两班成绩计算案例，引导学生小组合作推导方差公式，培养逻辑推理能力，结合实际问题分析提升数据分析素养，采用启发、讨论法让学生自主建构知识，助力教师高效教学，提升学生应用能力。

课题 6.4.2 分层随机抽样的均值与方差（第二课时） 学科 数学 教材 北师大版（2019）必修第一册 章节 第六章第四部分第二节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1. 学生应理解分层随机抽样的基本概念，特别是方差在分层随机抽样中的应用； 2. 通过实例分析，学生能够体验分层随机抽样方差计算的全过程，包括数据收集、分层、计算各层方差、结合权重计算总体方差等步骤； 教学重、难点： 重点：分层随机抽样下方差的计算方法； 难点：将分层随机抽样的方差计算方法应用于实际问题中，进行准确的数据分析； 教材分析 本节课是高中数学北师大版（2019）必修一的6.4.2的第二课时，这部分内容是在学生已经掌握了随机抽样的基本概念和方法，以及样本均值和方差的计算方法的基础上进行的拓展。通过本节课的学习，学生将进一步了解分层随机抽样的特点和应用，掌握分层随机抽样下方差的计算方法，提高数据分析的能力。 教材通过实例和公式推导，详细阐述了分层随机抽样方差的计算步骤。同时，也注重培养学生的逻辑推理能力和数学建模能力，使学生能够运用所学知识解决实际问题。 核心素养 1.数学运算：学生应能够熟练运用数学公式进行分层随机抽样方差的计算，提高数学运算能力。 2.数据分析：通过分层随机抽样的实例，学生能够收集、整理和分析数据，提高数据分析的能力。 3.逻辑推理：学生能够理解分层随机抽样方差的计算原理，运用逻辑推理分析问题的能力。 4.数学建模：学生能够运用分层随机抽样的知识，构建数学模型解决实际问题，培养数学建模素养。 教学方法和手段 教学方法：启发法、练习法、讨论法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 情境导入 教师讲述： 同学们，我们刚刚学习了分层随机抽样的均值计算，通过这种方法，我们能够更准确地估计总体的平均水平。然而，在数据分析中，仅仅了解均值是不够的，我们还需要知道数据的离散程度，也就是数据的波动情况。这就需要我们引入一个新的概念——方差。 方差是衡量数据离散程度的一个重要指标，它能够告诉我们数据点围绕均值分布的紧密程度。在分层随机抽样中，由于我们是从不同的层中抽取样本，因此各层的方差可能会有所不同。为了得到总体的方差，我们需要考虑各层的方差以及它们所占的权重。 接下来，我们将一起通过例题来分析分层随机抽样的方差计算方法，通过这种方法，我们可以更全面地了解数据的分布情况，为我们的数据分析提供更加准确的信息。 通过联系分层随机抽样的均值，建立知识间的联系，提高学生类比推理的能力。 探究新知 知识点：分层随机抽样的方差 例题典析 例6、 甲乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人. 甲班的平均成绩为80.5分，方差为 500；乙班的平均成绩为 85分，方差为360. 那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少? 师生活动： 学生小组合作，教师引导学生一步步在问题中对学生疑惑的地方进行引导，得到解题过程。 预设答案： 解：设甲班 50名学生的成绩分别是，…， ，那么甲班的平均成绩、权重和方差分别为 设乙班 40名学生的成绩分别是，…， ，那么乙班的平均成绩、权重和方差分别为 如果不知道，…， ，…， ，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及权重，那么根据前面的分析，全部90名学生的平均成绩应为 而全部90名学生的方差可以用式子 进行计算. 因此， 思考交流：根据方差的意义，全部90名学生的方差应为，它与运用式子得出的结果是否一致呢？ 师生活动： 学生进行思考，教师一步步引导讲解。 预设答案： 实际上， 因为=+ 所以 同理 于是 = = 教师讲解： 设样本中不同层的平均数分别为，方差分别为，相应的权重分别为，则这个样本的方差为 其中为这个样本的平均数. 例题、甲、乙两支田径队体检结果如下：甲队的平均体重为60 kg，方差为200；乙队的平均体重为70 kg，方差为300.已知甲、乙两队的队员人数之比为1:4，求甲、乙两队所有队员的平均体重和方差. 【师生活动】 学生自主思考，完成题目，教师出示解题过程并总结。 【解析】由题意可知=60，甲队队员在所有队员中所占权重为，=70，乙队队员在所有队员中所占权重为， 则甲、乙两队所有队员的平均体重为×60+×70=68(kg)， 甲、乙两队所有队员体重的方差s2=×[200+(60-68)2]+×[300+(70-68)2]=296. 通过对例题的探究，从中抽象概括出分层随机抽样的方差的计算方法，为后续的学习做铺垫 通过例题讲解，让学生理解怎样解决问题，提高学生解决问题的能力。 当堂练习 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的核心素养。 课堂总结 回顾本节课知识点，总结概括 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计 6.4.2 分层随机抽样的均值与方差（第二课时） 一、引入 二、知识精讲 知识点：分层随机抽样的方差 三、例题点拨-通过例题进行讲解，便于理解 四、方法总结-开拓学生解题思路 五、当堂练习 六、课堂小结 教学设计反思 教学方法： 本节课采用了讲授法与实例分析相结合的教学方法。通过讲授法，教师清晰、准确地讲解分层随机抽样方差的概念和计算方法。通过实例分析，教师引导学生理解并掌握分层随机抽样方差的计算步骤和原理。 在教学过程中，教师注重与学生的互动，通过提问、讨论等方式激发学生的学习兴趣和积极性。 教学效果： 通过本节课的学习，学生能够理解分层随机抽样方差的概念和计算方法，并能准确进行计算。 学生的数据分析能力和逻辑推理能力得到了提高，能够运用所学知识解决实际问题。 改进建议： 在今后的教学中，可以进一步丰富教学内容，增加更多与实际应用紧密相关的案例，让学生更好地理解分层随机抽样方差的应用。 可以加强学生的实践操作，通过实验操作、小组讨论等方式，让学生更加深入地理解和掌握分层随机抽样方差的知识。 同时，也可以注重培养学生的创新意识和探索精神，引导学生关注学科前沿动态，拓宽学生的知识视野。 学科网（北京）股份有限公司 $