4.3.1 等比数列的概念 第2-3课时（求基本量、判断等比、前n项积最值、巧设未知量）同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1等比数列的概念第2-3课时（求基本量、判断等比、前n项积最值、巧设未知量）同步练习、解答、细目表 南宁市第三中学 命题教师：陶新军 一、单选题 1．已知等比数列中，，则（    ） A．8 B．14 C．128 D．256 2．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著.该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”.若改为 “求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（    ）盏. A．192 B．128 C．3 D．1 3．已知数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（    ） A．数列 为等比数列 B．数列 为等比数列 C． D． 4．已知数列的前n项和为，，且，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C．是等比数列 D．是等比数列 二、多选题 5．已知数列是公比为q的等比数列，数列是公差为d的等差数列，且，，则下列选项正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．在各项均为正数的等比数列中，已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 7．已知数列为等比数列，则（    ） A．数列，，成等比数列 B．数列，，成等比数列 C．数列，，成等比数列 D．数列，，成等比数列 三、填空题 8．已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 . 9．在等比数列中，公比，，，则 ． 10．如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形(如图1)的边长为，把图2，图3，图4中图形依次记1级、2级、3级雪花曲线，则级雪花曲线的边长为 ，级雪花曲线的周长为 ． 四、解答题 11．已知数列的前项和为，. (1)证明：数列为等比数列； (2)在和中插入个数构成一个新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有数依次构成首项和公差都为2的等差数列.求数列的前30项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 4.3.1等比数列的概念第2-3课时（求基本量、判断等比、前n项积最值、巧设未知量）同步练习、解答、细目表 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A D C BC ABD BD 1．C【详解】由等比数列的性质可知：， 故,故选：C 2．A【详解】设这个塔顶层有盏灯，则问题等价于一个首项为，公比为2的等比数列的前7项和为381， 所以，解得，所以这个塔的最底层有盏灯.故选：A. 3．D【详解】由 ，得 ，即 ， 又 ， 数列 是首项为 3，公比为 3 的等比数列，即 ， ，因不是常数，故数列 不是等比数列，即 D 正确，B 错误； 当 时， ，又 时， ， ，数列 不是等比数列，故 A， C 均错误.故选：D. 4．C【详解】由题意数列的前项和为，，且， 则，即， 所以即选项A正确； 因为①， ∴当 时，②， ①-②可得，，即， 当时，，不满足 ， 故数列不是等比数列，故C错误， 由时，可得，则， 故，故B正确； 由得： 所以 令，则 所以 所以，即， 故是首项为， 公比为4的等比数列，D正确，故选：C. 5．BC【详解】由，得． A选项，当时，，所以A错误； B选项，当时，，所以，所以B正确； C选项，由B选项知，时，，所以，， ，即，所以C正确； D选项，当时，，所以，，所以D错误．故选：BC． 6．ABD【详解】设等比数列的公比为，因为，所以， 所以或，即或， 所以解得或，所以选项C错误，选项D正确. 因为等比数列的各项均为正数， 所以，选项A正确； ，选项B正确；故选：ABD. 7．BD【详解】设等比数列的公比为， A.由等比数列的性质知，，当时，，故A错误； B.可知数列，，每项都不为0，且，故B正确． C.当数列为1，，1，，1……时，，故C错误； D.数列，，的每一项都不为0，且，故D正确. 故选：BD 8．6或7【详解】由题意可知，，数列单调递减，若最大时， 即，解得：， 所以或7.故答案为：或 9．【详解】，，则， 又，，，，.故答案为：. 10． / 【详解】设级雪花曲线的边长为，则数列是首项为，公比为的等比数列， 故级雪花曲线的边长为； 设级雪花曲线的边数为，则数列是首项为，公比为的等比数列， 故级雪花曲线的边数为，则级雪花曲线的周长为，故答案为：；． 11．【详解】（1）由①，得②，两式作差得：， 整理得，又，，解得，也满足，故为等比数列； （2）由（1）知，首项为2，公比为2，故，，可把新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…看作为第一组数，个数为2；看作第二组数，个数为3个，故第组数的个数为，前组数的个数和为， 即，当时，， 故数列前30项为：，2，，4，6，，8，10，12， ， . 考查范围： 题号 难度 知识点 一、单选题 1 全部 等比数列下标和性质及应用 2 全部 等比数列通项公式的基本量计算 3 全部 由定义判定等比数列 4 全部 由递推关系证明等比数列 二、多选题 5 全部 等比数列通项公式的基本量计算 6 全部 等比数列下标和性质及应用 7 全部 等比数列子数列性质及应用 三、填空题 8 全部 求等比数列中的最大（小）项 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $