专题07 函数零点与函数模型的应用5大考点（期末真题汇编，青海、宁夏专用）高一数学上学期人教A版

专题07 函数零点与函数模型的应用 5大高频考点概览 考点01 函数零点及零点个数 考点02 零点存在定理 考点03 二分法求方程的近似解 考点04 含参数的零点问题 考点05 函数模型的应用 地 城 考点01 函数零点及零点个数 一、单选题 1．(22-23高一上·青海西宁·期末)已知函数，若实数，则函数的零点个数为（    ） A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3 【答案】D 【分析】转化为与的函数图象交点个数问题，画出函数图象，数形结合得到答案. 【详解】函数的零点个数即函数与的函数图象交点个数问题， 画出的图象与，的图象，如下： 故函数的零点个数为2或3. 故选：D 二、多选题 2．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)下列函数中存在零点的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用函数的值域求解进行判断选项. 【详解】对于选项A，的值域为，则不存在零点，故A错误； 对于选项B，的值域为，则存在零点，故B正确； 对于选项C，的值域为，则存在零点，故C正确； 对于选项D，的值域为，则不存在零点，故D不正确. 故选：BC 三、填空题 3．(22-23高一上·青海西宁大通回族土族自治县·期末)函数在上有 个零点. 【答案】2 【分析】由已知为偶函数.当时，由恒成立，可得，进而得出.再根据偶函数的性质即可得出答案. 【详解】因为，则函数是偶函数. 当，恒成立，， 因为，所以， 当，即时，，所以， 又函数是偶函数，所以. 所以函数在上有2个零点. 故答案为：2. 4．(23-24高一上·青海海北州·期末)已知函数，则“”是“有零点”的 （填入“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中的一个）条件. 【答案】充要 【分析】根据题意，利用指数函数的性质和函数零点的定义，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】令，即，可得， 当时，根据指数函数的性质，可得方程有唯一的解，即充分性成立； 反之，若方程有解，则，即必要性成立， 所以“”是“有零点”的充要条件. 故答案为：充要. 5．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)函数的零点是 . 【答案】 【分析】令，即可得解. 【详解】由，得，所以， 所以函数的零点是. 故答案为：. 6．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)已知函数，则函数的所有零点之和为 ． 【答案】0 【分析】令，得到，在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】因为函数， 所以的对称中心是， 令，得， 在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示： 由图象知：两个函数图象有8个交点，即函数有8个零点 由对称性可知：零点之和为0， 故答案为：0 地 城 考点02 零点存在定理 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)函数的零点所在的一个区间是（ ） A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 【答案】B 【分析】求出各区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得解. 【详解】解：函数在是连续不断的， 由， ， 所以函数的零点所在的一个区间是. 故选：B. 2．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)函数在上有零点是的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】当在上有零点时，不一定有，如在有有零点，但， 时，在上也未必有零点，如，在上，，即，但在上无零点， 因此题中应是既不充分也不必要条件， 故选：D 3．(24-25高一上·青海部分学校·期末)下列区间中，一定包含函数的零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在定理求解即可． 【详解】因为的定义域为R，且连续， ， 所以函数的零点所在区间为 故选：C. 4．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析给定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】函数在R上单调递增，而， 所以函数的零点所在的区间为. 故选：A 5．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性和零点存在性定理即可得到答案. 【详解】根据指数函数、对数函数单调性知， 在上的单调递增， 又因为， 且函数图象连续不间断， 则根据零点存在性质定理知的零点所在的区间是. 故选：C 6．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末)函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】由于函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数，函数的零点至多一个. 因为，，则， 所以，函数的零点所在区间为. 故选：B. 7．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)函数的零点所在的一个区间是（    ） A．（-2，-1） B．（-1，0） C．（0，1） D．（1，2） 【答案】C 【分析】利用函数的零点判定定理，先判断函数的单调性，然后判断端点值的符合关系． 【详解】解：∵f（x）＝2x+x﹣2在R上单调递增 又∵f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝1＞0 由函数的零点判定定理可知，函数的零点所在的一个区间是（0，1） 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反． 8．(23-24高一上·宁夏银川一中·期末)函数的零点所在的区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为，且函数连续不间断， 所以，，， ， 所以，，，， 由零点存在性定理得函数的零点所在的区间为， 故选：D. 9．(23-24高一上·宁夏固原·期末)函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由零点的存在性定理求解即可 【详解】∵，， ，， 根据零点的存在性定理知， 函数的零点所在区间为． 故选：B 地 城 考点03 二分法求方程的近似解 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的单调性，再判断区间端点处的函数值的符号，结合零点存在性定理判断即可. 【详解】设函数， 因为函数和都是增函数， 所以函数在上单调递增； 又，， 因此，所取的第一个区间可以是， 故选：B. 二、多选题 2．(24-25高一上·宁夏吴忠同心县四校·期末)已知函数在定义域上单调递增，，，，则函数的一个误差不超过0.05的零点可以为（    ） A．0.6 B．0.68 C．0.7 D．0.72 【答案】BCD 【分析】由函数的零点判断定理得出结果即可. 【详解】因为，，，所以函数的零点所在的区间为，而，所以函数的一个误差不超过0.05的零点可以为0.68或0.7或0.72. 故选：BCD. 地 城 考点04 含参数的零点问题 一、单选题 1．(22-23高一上·青海西宁海湖中学·期末)已知函数，．若有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得，作出函数与函数的图象，通过函数有2个零点求解的范围即可． 【详解】令，可得，作出函数与函数的图象如下图所示， 由图可知，当时，即时，函数与函数的图象有2个交点， 此时，函数有2个零点，因此，实数的取值范围是． 故选：D． 2．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)函数有两个零点，且分别在与内，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，，可解得实数a的取值范围． 【详解】由题意可得：， 解得. 故选：C. 3．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知函数，函数，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化问题为函数和有两个交点，结合函数图象求解即可. 【详解】令，即， 因为有两个零点，则函数和有两个交点， 画出函数的图象，如图， 由图可知，要使函数和有两个交点， 则，即，则的取值范围是. 故选：A. 4．(23-24高一上·宁夏银川一中·期末)已知函数，若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先作出函数的图像，结合图像可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图像如图所示： 令，则可化为， 若有6个根，结合图像可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 故选：D． 5．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)函数在区间上的所有零点之和为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据题意整理可得，将函数的零点问题转化为与的交点问题，利用图象结合对称性分析运算. 【详解】由题意可得：， 令，且，可得， ∵与均关于点对称， 由图可设与的交点横坐标依次为， 根据对称性可得， 故函数在上所有零点之和为. 故选：B.    【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法 （1）直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数； （2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点； （3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 二、多选题 6．(23-24高一上·青海海北州·期末)已知函数，有4个零点，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，转化为与的图象的交点个数，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】设函数， 令0，可得，作出的大致图象，如图所示， 当时，，因为， 所以由图可知，当时，直线与的图象有4个公共点， 要使得有4个零点，则， 即实数的取值范围为，结合选项BC符合题意. 故选：BC. 7．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A． B． C． D．的最小值是32 【答案】BC 【分析】根据解析式画出的大致图象，数形结合研究与交点横坐标，得，并由对数函数、二次函数性质得、，进而判断各项正误. 【详解】由题设的大致图象如下，，，，为与交点横坐标， 由图知，，，A错； 且，，B、C对； 由，而， 所以，无最小值，D错. 故选：BC 8．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ABD 【分析】先作出函数和的图象，结合题设即可判断ABC，接着求出方程和的根即可计算判断D. 【详解】由题得，所以作出和的图象如下： 因为方程有4个不同的零点，，，，且， 所以，令，则由图可知， 故，，故C错误，AB正确， 令，则或； 令，则或，所以 所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 9．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)记表示不超过x的最大整数，例如，，已知函数则 ；若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 0 【分析】直接代入可求得；有3个零点方程有3个不同的实数根，即的图象与函数的图象有3个交点，数形结合可求. 【详解】； 有3个零点方程有3个不同的实数根，即的图象与函数的图象有3个交点， 由题可知当，显然不成立，所以，做出与的图象如图． 两函数图象在y轴的左侧只有1个交点，故y轴右边有2个交点， 则，解得． 故答案为：0； 地 城 考点05 函数模型的应用 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)根据下表实验数据，下列所给函数模型比较适合的是（    ） 1 2 3 4 14 20 29 43 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一次函数指对函数及反比例函数的单调性判断即可 【详解】由图表可知：随x增大y增大，且增长越来越快，故排除A,B,D. 故选：C 2．(22-23高一上·宁夏银川第二中学·期末)国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量（mg/L）与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（    ） A．51.2% B．48.8% C．52% D．48% 【答案】B 【分析】先通过“前2小时消除了20%的污染物”求出 ，再令可求出，进而得到答案. 【详解】依题意有， 可得， 当时， 因此，前6个小时消除了污染物的48.8%. 故选∶B． 3．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过多出的部分为万元，则多出的部分按进行奖励.记奖金为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）.如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是（    ）万元. A．15 B．25 C．30 D．20 【答案】D 【分析】根据奖励方案，得到奖金关于销售利润的分段函数解析式，进而分析得小江的销售利润即可得解. 【详解】由题意知，当时，； 当时，； 所以 当时，，故小江销售利润， 所以，解得， 所以小江的销售利润是20万元. 故选：D. 4．(24-25高一上·青海部分学校·期末)大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】设原来的游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，根据题意列方程组，能求出结果． 【详解】设原来的游速为，则提速后的游速为， 原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为， 则， 所以， ，故， 所以若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的倍． 故选：B. 二、填空题 5．(23-24高一上·青海西宁·期末)A､B､C三个物体同时从同一点出发向同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，则下列结论中，所有正确结论的序号是 . ①当时，A总走在最前面； ②当时，C总走在最前面； ③当时，一定走在前面. 【答案】①② 【分析】画出三函数的图象，结合三种类型函数的增长速度，数形结合得到结论. 【详解】在同一坐标系内画出的函数图象， 当时，指数函数的增长速度>幂函数的增长速度>对数函数的增长速度， 当时，，故当时，A总走在最前面，①正确； 当时，由图象可知：C总走在最前面，②正确； 当时，， 当时，， 由于幂函数的增长速度>对数函数的增长速度， 故时，B走在C前面， 当时，走在后面，③错误. 故答案为：①② 三、解答题 6．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系．要求及图示如下： ①函数是区间上的增函数； ③每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； ④每天运动时间为20分钟时，当天得分为2分； ⑤每天运动时间为60分钟时，当天得分不超过5分． 现有以下三个函数模型供选择： （Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）． (1)请你根据条件及图像从中选择一个合适的函数模型，并求出函数的解析式； (2)求每天得分不少于3分，至少需要锻炼多少分钟．（注：，结果保留整数）． 【答案】(1)选项模型（Ⅲ）， (2)37分钟 【分析】（1）根据一次函数与指对数函数的图象判断即可； （2）代入函数模型求解即可. 【详解】（1）由图可知，该函数的增长速度较慢， 对于模型（1），，为线性增长，不合题意； 对于模型（2），是指数型的函数，其增长是先慢后爆炸型增长，不合适； 对于模型（3），对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型（3）， 此时，所求函数过点， 则，解得，故所求函数为， 经检验，当时，，符合题意 综上所述，函数的解析式为 （2）由（1）得，因为每天得分不少于3分， 所以，即， 所以，即， 所以每天得分不少于3分，至少需要锻炼37分钟 7．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)“宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮踪”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本（百万元）与利润（百万元）的关系如下表： （百万元） … 2 … 4 … 12 … （百万元） … 0.4 … 0.8 … 12.8 … 当投资成本不高于（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)当投资成本不高于12（百万元）时，选用表中合适数据求出两种函数模型的解析式，并选出你认为最符合实际的函数模型； (2)当投资成本高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）满足关系，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本（百万元）应该控制在什么范围．（结果保留到小数点后一位）（参考数据：） 【答案】(1)，，最符合实际的函数模型为 (2) 【分析】（1）分别将代入两个函数模型，由此可求函数解析式中的参数，则解析式可知，再根据时的数据判断最符合实际的模型； （2）分别考虑和时的解集，由此可求投资成本的范围. 【详解】（1）若选函数， 将点，代入可得，解得，， 所以， 当时，可得，与实际数据差别较大； 若选函数， 将点，代入可得，解得，， 所以， 当时，可得，符合题意， 因此，最符合实际的函数模型为． （2）①当时，即， 可得，解得，所以； ②当时，即，即， 因为，所以； 综上可得，， 所以要获得不少于一千万的利润，投资成本（百万）的范围是． 8．(23-24高一上·宁夏银川一中·期末)为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化闽江上游水域的水质省环保局于年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，年月底测得蒲草覆盖面积为，年月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积单位：与月份单位：月的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到？参考数据： 【答案】(1)． (2)年 【分析】（1）将点，点分别代入两个函数模型的解析式，即可求解． （2）将分别代入两个函数模型，将所得的结果与20进行比较，求出合适的函数模型，令，结合对数的公式，即可求解． 【详解】（1）若选择模型， 则，解得， 故函数模型为． 若选择模型， 则，解得，， 故函数模型为． （2）把代入，可得， 把代入，可得，可知与相差比较大， 故选择模型更合适． 令，可得， 两边取对数可得， 即， 所以， 至少到年月底蒲草覆盖面积能达到． 9．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量与时间之间的关系式为．已知5h后消除了10%的污染物，试求： (1)后还剩百分之几的污染物： (2)污染物减少50%所需的时间．（参考数据：，，） 【答案】(1)10个小时后还剩的污染物. (2)污染物减少50%所需要的时间为35个小时. 【分析】(1)由5小时后剩留的污染物列等式求出中k的值，得到具体关系式后代求得10个小时后还剩污染物的百分数； (2)由污染物减少50%,即列等式有求解污染物减少50%所需要的时间. 【详解】（1）(1)由. 可知时, 当时. , 所以, 当时, ,所以10个小时后还剩的污染物. （2）(2)当时,有,解得 , 所以污染物减少50%所需要的时间为35个小时. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数零点与函数模型的应用 5大高频考点概览 考点01 函数零点及零点个数 考点02 零点存在定理 考点03 二分法求方程的近似解 考点04 含参数的零点问题 考点05 函数模型的应用 地 城 考点01 函数零点及零点个数 一、单选题 1．(22-23高一上·青海西宁·期末)已知函数，若实数，则函数的零点个数为（    ） A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3 二、多选题 2．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)下列函数中存在零点的函数有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．(22-23高一上·青海西宁大通回族土族自治县·期末)函数在上有 个零点. 4．(23-24高一上·青海海北州·期末)已知函数，则“”是“有零点”的 （填入“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中的一个）条件. 5．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)函数的零点是 . 6．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)已知函数，则函数的所有零点之和为 ． 地 城 考点02 零点存在定理 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)函数的零点所在的一个区间是（ ） A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 2．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)函数在上有零点是的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．(24-25高一上·青海部分学校·期末)下列区间中，一定包含函数的零点的是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末)函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)函数的零点所在的一个区间是（    ） A．（-2，-1） B．（-1，0） C．（0，1） D．（1，2） 8．(23-24高一上·宁夏银川一中·期末)函数的零点所在的区间是（　　） A． B． C． D． 9．(23-24高一上·宁夏固原·期末)函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点03 二分法求方程的近似解 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高一上·宁夏吴忠同心县四校·期末)已知函数在定义域上单调递增，，，，则函数的一个误差不超过0.05的零点可以为（    ） A．0.6 B．0.68 C．0.7 D．0.72 地 城 考点04 含参数的零点问题 一、单选题 1．(22-23高一上·青海西宁海湖中学·期末)已知函数，．若有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)函数有两个零点，且分别在与内，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 3．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知函数，函数，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·宁夏银川一中·期末)已知函数，若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)函数在区间上的所有零点之和为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 二、多选题 6．(23-24高一上·青海海北州·期末)已知函数，有4个零点，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A． B． C． D．的最小值是32 8．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A． B． C． D．的取值范围为 三、填空题 9．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)记表示不超过x的最大整数，例如，，已知函数则 ；若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围是 ． 地 城 考点05 函数模型的应用 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)根据下表实验数据，下列所给函数模型比较适合的是（    ） 1 2 3 4 14 20 29 43 A． B． C． D． 2．(22-23高一上·宁夏银川第二中学·期末)国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量（mg/L）与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（    ） A．51.2% B．48.8% C．52% D．48% 3．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过多出的部分为万元，则多出的部分按进行奖励.记奖金为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）.如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是（    ）万元. A．15 B．25 C．30 D．20 4．(24-25高一上·青海部分学校·期末)大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 二、填空题 5．(23-24高一上·青海西宁·期末)A､B､C三个物体同时从同一点出发向同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，则下列结论中，所有正确结论的序号是 . ①当时，A总走在最前面； ②当时，C总走在最前面； ③当时，一定走在前面. 三、解答题 6．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系．要求及图示如下： ①函数是区间上的增函数； ③每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； ④每天运动时间为20分钟时，当天得分为2分； ⑤每天运动时间为60分钟时，当天得分不超过5分． 现有以下三个函数模型供选择： （Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）． (1)请你根据条件及图像从中选择一个合适的函数模型，并求出函数的解析式； (2)求每天得分不少于3分，至少需要锻炼多少分钟．（注：，结果保留整数）． 7．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)“宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮踪”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本（百万元）与利润（百万元）的关系如下表： （百万元） … 2 … 4 … 12 … （百万元） … 0.4 … 0.8 … 12.8 … 当投资成本不高于（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)当投资成本不高于12（百万元）时，选用表中合适数据求出两种函数模型的解析式，并选出你认为最符合实际的函数模型； (2)当投资成本高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）满足关系，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本（百万元）应该控制在什么范围．（结果保留到小数点后一位）（参考数据：） 8．(23-24高一上·宁夏银川一中·期末)为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化闽江上游水域的水质省环保局于年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，年月底测得蒲草覆盖面积为，年月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积单位：与月份单位：月的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到？参考数据： 9．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量与时间之间的关系式为．已知5h后消除了10%的污染物，试求： (1)后还剩百分之几的污染物： (2)污染物减少50%所需的时间．（参考数据：，，） 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $