一元一次方程：分段计费问题、数字问题、方案选择问题专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学上册

一元一次方程：分段计费问题、数字问题、方案选择问题专项训练 一元一次方程：分段计费问题、数字问题、方案选择问题专项训练 考点目录 分段计费问题 数字问题 方案选择问题 考点一 分段计费问题 例1．（25-26七年级上·陕西西安·期中）为了鼓励公民节约用水，某市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下： 计费档 户年用水量/ 单价/（元/） 第一档 不超过 第二档 超过但不超过 第三档 超过 (1)某户一年用水量是，则该户这一年的水费是______元； (2)某户一年用水量是：时，则该户这一年的水费是______元（用含的代数式表示）； (3)某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1)380 (2) (3)该户去年一年的用水量是 【详解】（1）解：由题意，得 （元）． 故答案为：380． （2）由题意，得 ． 故答案为：． （3）当时，， ∴某户去年一年的水费是元是在第二档， ∴， 解得． 答：该户去年一年的用水量是． 例2．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表，请回答下列问题： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.5元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.5元． (1)若小东乘坐滴滴快车，行车里程为15公里，行车时间为20分钟，则需付车费 元． (2)若小明乘坐滴滴快车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则小明应付车费多少元？（用含、的代数式表示，并化简．） (3)小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9公里与12公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差多少分钟？ 【答案】(1) (2)当时，车费为元；当 时，车费为元 (3)这两辆滴滴快车的行车时间相差 14 分钟 【详解】（1）解：（元）， 故答案为； （2）当时，小明应付车费：元 当时，小明应付车费： 元， 答：当时，车费为元；当 时，车费为元． （3）设小王行车时间为分，小张行车时间为分，依题意有 整理得 答：这两辆滴滴快车的行车时间相差分． 例3．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 5 第二档 7 第三档 9 (1)当时，写出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1820元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1) (2)该户这一年的水费是元 (3)该户去年一年的用水量是 【详解】（1）解：依题意，当时，； （2）解：由（1）得当时， 当时，， 答：该户这一年的水费是1040元； （3）解：依题意，；； ∵ ∴水费在第三档， 当时，可知， 令，即， 解得， 答：该户去年一年的用水量是． 变式1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 2.5 0.50 超过10吨但不超过25吨的部分 3 0.50 超过25吨的部分 4.5 0.50 (1)已知小李家2025年7月用水8吨，应该交水费多少元？ (2)如果小李家9月份交水费40.5元，则小李家这个月用水多少吨？ (3)小李家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水40吨（其中10月份用水超过25吨），一共交水费136元，求小李家11月份用水多少吨？ 【答案】(1)24元 (2)13吨 (3)11吨 【详解】（1）解：（元）． 答：小李家2025年7月用水8吨，应该交水费24元； （2）解：当用水10吨时，应交水费（元）， 当用水25吨时，应交水费（元）， 设小李家9月份用水x吨, 由题意得， 解得． 答：小李家9月份用水13吨； （3）解：设小李家11月份用水y吨，则10月份用水吨． ∵两个月一共用水40吨，其中10月份用水超过25吨， ∴． ①当时，列方程得， 解得（不合题意，舍去）； ②当时，列方程得， 解得（符合题意）． 答：小李家11月份用水11吨． 变式2．（24-25七年级上·山东济宁·期中）小江同学注意到妈妈手机中的电费短信（如图），对其中的数据产生了浓厚的兴趣，谷度是什么意思？电费是如何计算的？第一档与第二档又有什么关系？ 〖**电力〗〖电费通知〗 尊敬的客户，户号*，户名*，地址*．（）电量为度（其中谷度），电费元，当前用电处于第一档，电量剩余度． 【解读信息】 通过互联网查询后获得下表（如表）．表：**市居民生活用电标准（部分修改） 电压等级 普通电价（元度） 峰谷电价（元度） 峰时电价 谷时电价 第一档 年用电量不超过度的部分 第二档 年用电量超过度但不超过度的部分 第三档 年用电量超过度的部分 小江家采用峰谷电价计费，谷时用电量为度，那么峰时用电量就是度，由于小江家年用电量处在第一档，故月份电费为：元． 【理解信息】 （1）若采用普通电价计费，小江家九月份的电费为 元；（精确到） （2）假设某月谷时用电量与月用电量的比值为，若采用峰谷电价计费，求处在第一档的1度电的电费；（用含有的代数式表示） 【重构信息】 （3）月份，小江家谷时用电量与月用电量的比值为．采用峰谷电价计费，电费为元．已知小江家截止到月底第一档用电量还剩度．通过计算判断：截至月底小江家的年用电量是否仍处于第一档？ 【答案】（1）；（2）元；（3）超过第一档 【详解】解：（1）元； （2）用电量为度，某月谷时用电量与月用电量的比值为， 则度电的电费为：(元）； （3）假设小江家月的用电量未超过第一档，那么该月最多支付电费： （元） 因为， 所以小江家月份的用电量必定超过第一档. 变式3．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，， 解得， 答：； （2）， 该居民用户10月份的用水量超过， 设该居民用户10月份的用水量为，由题意得， ， 解得， 答：该用户10月份用水． 考点二 数字问题 例1．（25-26七年级上·四川广元·期中）我们知道，． (1)一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是．把1与对调，原两位数比新两位数大9，的值是多少？请你用方程解决这个问题． (2)如果一个两位数十位上的数字是、个位上的数字是，现把与对调，计算原两位数与新两位数的差．并判断这个差能被9整除吗？说明原因． 【答案】(1)2 (2)差为，能被9整除，见解析 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得， 即的值是2； （2）解：差为，能被9整除，理由如下： 两位数与新两位数的差为：， 根据题意可知、均为整数， 所以能被9整除． 例2．（25-26七年级上·福建厦门·期中）幻方的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的“洛书”，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．如图1，就是一个三阶幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如图），其对角线、横行、纵向的和都为15． (1)请你选取一组数据构造一个三阶幻方，填入到如图2的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21； (2)数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的奇数排列成数阵（如图3），回答以下两个问题： ①在图3的数阵中，位于第行的中间的数是_____（填空，要化简结果） ②用十字框随机框出图3的数阵里的5个数，十字框中的五数之和能等于650吗？若能，写出这5个数；如不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②不能，理由见解析 【详解】（1）解：如图： （2）解：①由图可得：第1行中间的数是， 第2行中间的数是 第3行中间的数是， 第4行中间的数是， …， ∴位于第行的中间的数是； ②不能，理由如下： 设十字框中最中间的一个数为， 由题意可得：， 解得：， ∵十字框内的数均为奇数，而得出的的数均为偶数， ∴十字框中的五个数字之和不能等于． 例3．（25-26七年级上·福建厦门·期中）观察下列三行数： (1)第①行第个数字为，第个数字为______；第②行第个数字为______；第③行第个数字为______． (2)用如图的“”形框圈起个数，从上到下分别记为，，，，求的值； (3)第①行连续三个数中最大数与最小数的差为，求这三个数中最大数与最小数的和． （提示：，，，，，，，，，） 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）解：第①行中，第个数是， 第个数是，是第个数的倍， 第个数是，是第个数的倍， 第个数是，是第个数的倍， 第个数是，是第个数的倍， 以此类推， 第①行第个数是， 故第①行第个数字是． 第②行中，第个数是，比第①行第个数大， 第个数是，比第①行第个数大， 第个数是，比第①行第个数大， 第个数是，比第①行第个数大， 第个数是，比第①行第个数大， 以此类推， 第②行第个数是， 故第②行第个数字是． 第③行中，第个数是，是第①行第个数的倍， 第个数是，是第个数的倍，是第①行第个数的倍， 第个数是，是第个数的倍，是第①行第个数的倍， 第个数是，是第个数的倍，是第①行第个数的倍， 第个数是，是第个数的倍，是第①行第个数的倍， 以此类推， 第③行第个数是， 故第③行第个数字是． 故答案为：，，． （2）解：由（1）可得：第②行比第①行对应的数大，第③行是第①行对应的数的倍，第③行中后一个数是前一个数的倍， 故，，， 故． （3）解：在第①行中，后一个数是前一个数的倍， 故设第①行连续三个数为，，， 当是奇数时，最小数是，最大数是， 此时，， 整理，得， 当是奇数时，， 故此时， 解得：； ∵ ． 当是偶数时，最小数是，最大数是， 此时，， 整理，得， 当是偶数时，， 故此时， 解得：（不符合是偶数，该情况舍去）． 故这三个数中最大数与最小数的和是． 例4．（25-26七年级上·重庆·期中）若在一个的方格中填写9个不同的数字，使得每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和（该和叫做“幻和”）均相等，则称这个的方格为“幻方”．    (1)图1是一个“幻方”，则______，______，______，并请计算出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系． (2)珍珍要将，，，，，，，0，2这9个数填入如图2所示的“幻方”中，每个方格中填入一个不同的数，并且使每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和均相等，珍珍经过研究，发现在“幻方”中，中间数m是上述9个数的平均数． ①求中间数m的值； ②在空白方格内填上正确的数字． 【答案】(1)2；3；；图1中所有数的和是“幻和”的3倍 (2)①；②见解析 【详解】（1）解：根据题意得： ， ∴，，， 所有数字的和为： ， “幻和”为， ∵； ∴图1中所有数的和是“幻和”的3倍； 故答案为：2；3；； （2）解：①这9个数的平均数为： ， ∴中间数的值是； ②由①可知，， ∴这个表格的幻和为：； ∴填入表格的数，如下图所示： 0 变式1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． 【初步探究】 （1）数表中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ 【深入探究】 （2）在数表中将平行四边形框上下左右移动，可框住另外九个数，这九个数之和还有（1）中这种规律吗？请说出理由． 【拓展应用】 （3）平行四边形框内的九个数之和能等于1998吗？能等于2005吗？能等于2025吗？若能，请求出这九个数中最小的一个；若不能．请说出理由． 【答案】（1）平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍；（2）还有这种规律，理由见解析；（3）不能等于1998，不能等于2005，能等于2025，最小的数为207 【详解】（1）， 则， 即平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍； （2）任意作一类似（1）中的平行四边形框，规律仍然成立． 设框中间的数为n，这九个数按大小顺序依次为 ，，，，，，，，． ； （3）若和为1998，则， 解得，是偶数，显然不在数表中． 这九个数之和不能为1998． 不能被9整除． 这九个数之和也不能为2005． ，而225不在数表的边上， 这九个数之和能为2025． 则， 若和为2025，则中间数为225，最小的数为207． 变式2．（25-26七年级上·北京·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移） (1)若框住的五个数中，正中间的一个数为17，则这五个数的和为______； (2)十字框内五个数的和的最小值是______； (3)十字框能否框住这样的五个数，它们的和等于2026？若能，求出这五个数中间的那个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)和不能等于2026，理由见解析 【详解】（1）解：∵正中间的一个数为， ∴左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， ∴这五个数的和为， 故答案为：； （2）解：∵十字框只能平移，且要框住个数， ∴正中间最小的数为， 此时左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， ∴这五个数的和的最小值为， 故答案为：； （3）解：和能不等于2026，理由如下： 设正中间的数为，则左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， 依题意得：， 合并同类项得：， 系数化为得：（不是整数）． ∴它们的和不能等于2026． 变式3．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）课本再现：填幻方“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中． (1)如图1，9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同，则和是___________； (2)如图2，将分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现将分别表示其中的一个数，则___________；___________；___________； (3)如图3，将，8，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同， ∴观察图中信息，， 即和是； （2）解：将分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴它们的和为， 故， 解得， （3）解：依题意，设图中另两个空位置为，如图所示： ∵将，8，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等， ∴， 则横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和为， ∴， 整理得， 解得； ∴， 解得， 则 解得， 当时，则，此时； 当时，则，此时； 变式4．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，=______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”．将、、、、、、2、4、6、8、、这个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和相等．则______，______． (4)如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是______． 【答案】(1) (2)6，5 (3)，或 (4) 【详解】（1）由图2中8所在的行的三个数的和、列的三个数的和相等，可得， 解得：， 由图2中2所在的行的三个数的和、列的三个数的和相等，可得， 解得：， 所以， 故答案为：； （2）由图3中在所在的行的三个数的和与列的三个数的和相等， 可得，解得：， 由图2可知每行（或列或对角线）三个数的和为， 由所在的行的三个数的和可得， 解得：， 由所在的列的三个数的和可得， 解得：， 由所在的列的三个数的和可得， 解得：， 故答案为：6，5； （3）如图，在空的圆圈上分别填写h，k， ∵每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和相等， ∴， 解得：， ∴， ∵将、、、、、、2、4、6、8、、这个数填入恰当的位置（数字不重复使用）， ∴还有、、6、四个数， ∵， ∴在中，可知，， 将，代入， 得，与剩下、， 可知，或， 故答案为：，或； （4）如图， 要使S最大，只需把4、5、6填入三角形的三个顶点处， ， 故答案为：． 考点三 方案选择问题 例1．（25-26七年级上·重庆·期中）小吴所在社区采购了两类膳食物资，第一类：杂粮礼盒每份售价为24元；当采购量小于或等于35份时，无优惠．当采购量大于35份时，超过35份的部分每份售价降低3元．第二类：蛋白补给包每份售价为56元；当采购量小于60份时，无优惠．当采购量大于或等于60份时，每份（含小于60份的部分）售价均降低7元． (1)购买30份杂粮礼盒的费用为______元，购买70份蛋白补给包的费用为______元； (2)小吴所在社区积极响应国家号召，对参与BMI测量并购买两类膳食物资的居民在此前优惠方案的基础上，提供额外价格减免活动，具体如下： 类别 类型 杂粮礼盒每份售价减免（元） 蛋白补给包每份售价减免（元） 1 体重过低 2 7 2 体重正常 1 6 3 超重 3 7 4 肥胖 4 9 ＝体重÷身高的平方（单位：） 小吴的身高，体重，请通过计算值判断小吴所属类别是______（请填序号1、2、3、4）； 若小吴计划购买杂粮礼盒和蛋白补给包总共120份，当小吴购买杂粮礼盒x份时，总费用为多少元？ (3)在（2）的条件下，小吴实际购买的情况是：他第一次购买了10份杂粮礼盒和20份蛋白补给包，他第二次用了3753元购买了两类膳食物资共120份．若小吴将两次分开购买的两类膳食物资合起来一次性购买，则这样购买的总价比两次分开购买的总价少多少元？ 【答案】(1)720；3430 (2)3；当时，总费用为元；当时，总费用为元；当时，总费用为元 (3)170元或506元 【详解】（1）解：购买30份杂粮礼盒的费用为（元）， 购买70份蛋白补给包的费用为（元） 故答案为：720；3430； （2）解：， ∴由值可知小吴所属类别是3； 当小吴购买杂粮礼盒x份时，则购买蛋白补给包份， ①当时，， 此时总费用为元； ②当且时，即， 此时总费用为元， ③当且时，即， 此时总费用为元； ∴综上所述，当时，总费用为元；当时，总费用为元；当时，总费用为元； 故答案为：3； （3）解：小吴第一次购买的总价为（元）， 设小吴第二次购买杂粮礼盒x份， 当时，， 解得（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得， 当时，， 解得， 此时购买蛋白补给包（份）； ①当小吴第二次购买杂粮礼盒58份时， 则购买蛋白补给包（份）； 一次性购买的总价为（元）， 一次性购买的总价比两次分开购买的总价少（元）； ②当小吴第二次购买杂粮礼盒72份时， 则购买蛋白补给包（份）； 一次性购买的总价为（元）， 一次性购买的总价比两次分开购买的总价少（元）； 答：这样购买的总价比两次分开购买的总价少170元或506元． 例2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）泉州文旅集团计划对市区一处老旧场地进行升级改造，打造集文化展示与市民休闲于一体的公共空间．该场地整体呈长方形，长为米，宽为米，为保留场地原有历史风貌，中间规划保留一块边长为米的正方形区域用于复原传统石板铺装（非硬化区域），其余区域将采用防滑耐磨材料进行硬化处理，作为市民活动与文化展演的场地． (1)用含a，b的代数式表示需要硬化的面积并化简； (2)文旅部门针对硬化工程提出两种施工方案，费用计算方式如下： 方案一：采用普通水泥硬化（适合高频活动区域），每平方米费用85元，额外支付场地勘测费200元； 方案二：采用彩色透水混凝土硬化（提升文旅景观质感），每平方米费用110元，无需额外费用． 若a=4，b=1，文旅部门应该选择哪种方案？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择方案一，理由见解析 【详解】（1）∵长方形面积长宽，正方形面积边长边长， ∴硬化面积， 化简得：． （2）∵，，硬化面积为， ∴硬化面积（平方米）， ∵方案一每平方米85元，加勘测费200元， ∴方案一费用（元）， ∵方案二每平方米110元，无额外费用， ∴方案二费用（元）， ∵， ∴应选择方案一． 例3．（25-26七年级上·重庆·期中）企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包： 方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折． 现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款　　　元（用含x的式子表示）． (2)当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？ (3)试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 【答案】(1) (2)方案一更优惠 (3)60 【详解】（1）解：∵每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，且需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋 ∴该客户按方案一购买，则（元）， 即需付款元； ∴该客户按方案二购买，（元）， 即需付款元； （2）解：由（1）得按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元； ∴当时，则（元）， ∴当时，则（元）， ∵， ∴方案一更优惠； （3）解：由（1）得按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元； 依题意，， 整理得， ∴， ∴当时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 例4．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 【答案】(1) (2)选旅行社便宜，原因见解析 【详解】（1）解：设当学生有人时两家旅行社收费一样多，依题意有： 整理方程，得 解得 答：学生人数是人时，收费一样多， （2）旅行社收费：元， 旅行社收费：元， 因为， 所以选旅行社便宜； 原因是学生数超过收费相等的人后，旅行社学生半价的优惠在人数增加时，总费用增长更慢，优惠力度体现更明显． 答：当学生人数是人时，选旅行社划算． 变式1．（24-25七年级上·内蒙古包头·开学考试）某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次性缴费240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）． (1)王叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月两次．他选择哪种方式更划算？请你帮王叔叔算一算，选一选． (2)王叔叔一年内游泳达到多少次时，两种付费方式钱数相等？ 【答案】(1)王叔叔选择第二种方式更划算，理由见详解 (2)15 【详解】（1）解：王叔叔选择第二种方式更划算，理由如下： 方式一收费：（元）； 方式二收费：（元）； ∵， ∴王叔叔选择第二种方式更划算； （2）解：设一年内游泳达到次时，两种付费方式钱数相等， 根据题意，得， 解得， 所以，王叔叔一年内游泳达到15次时，两种付费方式钱数相等． 变式2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是8000元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为x米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是8000元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)若时，分别求出两种方案的总金额是多少？ (2)求x取何值时，两种优惠方案的总金额一样多？ (3)张先生因现金不够，于2023年1月在某银行借了9万元住房贷款，贷款期限为6年，从开始贷款的下一个月起逐月偿还，贷款月利率是，每月还款数额平均每月应还的贷款本金数额月利息，月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率．假设贷款月利率不变，若张先生在借款后第n（，n是正整数）个月的还款数额为P，请写出P与n之间的关系式． 【答案】(1)方案一：304000元，方案二：302400元 (2)2 (3) 【详解】（1）解：方案一：厨房收费面积：， 总面积：， 收费：（元）； 方案二：总面积： 收费：（元）； （2）解：卫生间宽为x时， 方案一： 面积为：， 收费：； 方案二： 面积为：， 收费： 令， 解得， 即时两种优惠方案的总金额一样多； （3）解：（元）， 时， ， ． 变式3．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）某电影院某日某场电影的票价是：成人票60元，学生票30元，满40人可以购团体票，即票价打九折（不足40人可按40人计算，票价打九折）．某班在4位老师的带领下去电影院看电影，学生人数为x人，学生和老师均须购票．（所有整式运算的结果请化简） (1)如果学生人数不少于36人，请用含x的代数式表示该班买票至少应付多少元？ (2)如果学生人数为34人，该班买票至少应付多少元？ (3)用含x的代数式表示该班买票至少应付多少元？ 【答案】(1) (2)1188元 (3)见解析 【详解】（1）解：设学生x人， 该班买票至少应付（元）， 故答案为：； （2）①买34张学生票，4张成人票：（元）， ②买36张学生票，4张成人票：（元）， ，该班买票至少应付1188元； （3）由(2)可得：设学生x人， ， 则时，至少应付（元） 时，购团体票最少，至少应付（元） 时，至少应付（元）． 变式4．（24-25七年级下·广东河源·期末）“华南最大的人工湖”——万绿湖风景名胜区，碧波万顷，生态优美，是国家5A级旅游景区，暑假期间，景区门票定价35元/张，团队票可享受两种优惠方案： 方案一：全体人员享受门票8折优惠． 方案二：团队中4人可免票，其余成员享受门票9折优惠． (1)某团队共有40人，为节省购票费用，应选择哪种购票方案？ (2)如果该团队人数为x人（），当x为多少时，购票费用刚好相同？ 【答案】(1)该团队应该选择方案一 (2)x为36时购票费用刚好相同 【详解】（1）解：由题意可得： 方案一的花费为：（元）， 方案二的花费为：（元）， ∵， 答：该团队应该选择方案一； （2）解：根据题意得：， 解得， 答：x为36时购票费用刚好相同． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一元一次方程：分段计费问题、数字问题、方案选择问题专项训练 一元一次方程：分段计费问题、数字问题、方案选择问题专项训练 考点目录 分段计费问题 数字问题 方案选择问题 考点一 分段计费问题 例1．（25-26七年级上·陕西西安·期中）为了鼓励公民节约用水，某市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下： 计费档 户年用水量/ 单价/（元/） 第一档 不超过 第二档 超过但不超过 第三档 超过 (1)某户一年用水量是，则该户这一年的水费是______元； (2)某户一年用水量是：时，则该户这一年的水费是______元（用含的代数式表示）； (3)某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 例2．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表，请回答下列问题： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.5元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.5元． (1)若小东乘坐滴滴快车，行车里程为15公里，行车时间为20分钟，则需付车费 元． (2)若小明乘坐滴滴快车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则小明应付车费多少元？（用含、的代数式表示，并化简．） (3)小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9公里与12公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差多少分钟？ 例3．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 5 第二档 7 第三档 9 (1)当时，写出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1820元，求该户去年一年的用水量． 变式1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 2.5 0.50 超过10吨但不超过25吨的部分 3 0.50 超过25吨的部分 4.5 0.50 (1)已知小李家2025年7月用水8吨，应该交水费多少元？ (2)如果小李家9月份交水费40.5元，则小李家这个月用水多少吨？ (3)小李家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水40吨（其中10月份用水超过25吨），一共交水费136元，求小李家11月份用水多少吨？ 变式2．（24-25七年级上·山东济宁·期中）小江同学注意到妈妈手机中的电费短信（如图），对其中的数据产生了浓厚的兴趣，谷度是什么意思？电费是如何计算的？第一档与第二档又有什么关系？ 〖**电力〗〖电费通知〗 尊敬的客户，户号*，户名*，地址*．（）电量为度（其中谷度），电费元，当前用电处于第一档，电量剩余度． 【解读信息】 通过互联网查询后获得下表（如表）．表：**市居民生活用电标准（部分修改） 电压等级 普通电价（元度） 峰谷电价（元度） 峰时电价 谷时电价 第一档 年用电量不超过度的部分 第二档 年用电量超过度但不超过度的部分 第三档 年用电量超过度的部分 小江家采用峰谷电价计费，谷时用电量为度，那么峰时用电量就是度，由于小江家年用电量处在第一档，故月份电费为：元． 【理解信息】 （1）若采用普通电价计费，小江家九月份的电费为 元；（精确到） （2）假设某月谷时用电量与月用电量的比值为，若采用峰谷电价计费，求处在第一档的1度电的电费；（用含有的代数式表示） 【重构信息】 （3）月份，小江家谷时用电量与月用电量的比值为．采用峰谷电价计费，电费为元．已知小江家截止到月底第一档用电量还剩度．通过计算判断：截至月底小江家的年用电量是否仍处于第一档？ 变式3．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 考点二 数字问题 例1．（25-26七年级上·四川广元·期中）我们知道，． (1)一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是．把1与对调，原两位数比新两位数大9，的值是多少？请你用方程解决这个问题． (2)如果一个两位数十位上的数字是、个位上的数字是，现把与对调，计算原两位数与新两位数的差．并判断这个差能被9整除吗？说明原因． 例2．（25-26七年级上·福建厦门·期中）幻方的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的“洛书”，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．如图1，就是一个三阶幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如图），其对角线、横行、纵向的和都为15． (1)请你选取一组数据构造一个三阶幻方，填入到如图2的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21； (2)数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的奇数排列成数阵（如图3），回答以下两个问题： ①在图3的数阵中，位于第行的中间的数是_____（填空，要化简结果） ②用十字框随机框出图3的数阵里的5个数，十字框中的五数之和能等于650吗？若能，写出这5个数；如不能，请说明理由． 例3．（25-26七年级上·福建厦门·期中）观察下列三行数： (1)第①行第个数字为，第个数字为______；第②行第个数字为______；第③行第个数字为______． (2)用如图的“”形框圈起个数，从上到下分别记为，，，，求的值； (3)第①行连续三个数中最大数与最小数的差为，求这三个数中最大数与最小数的和． （提示：，，，，，，，，，） 例4．（25-26七年级上·重庆·期中）若在一个的方格中填写9个不同的数字，使得每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和（该和叫做“幻和”）均相等，则称这个的方格为“幻方”．    (1)图1是一个“幻方”，则______，______，______，并请计算出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系． (2)珍珍要将，，，，，，，0，2这9个数填入如图2所示的“幻方”中，每个方格中填入一个不同的数，并且使每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和均相等，珍珍经过研究，发现在“幻方”中，中间数m是上述9个数的平均数． ①求中间数m的值； ②在空白方格内填上正确的数字． 变式1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． 【初步探究】 （1）数表中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ 【深入探究】 （2）在数表中将平行四边形框上下左右移动，可框住另外九个数，这九个数之和还有（1）中这种规律吗？请说出理由． 【拓展应用】 （3）平行四边形框内的九个数之和能等于1998吗？能等于2005吗？能等于2025吗？若能，请求出这九个数中最小的一个；若不能．请说出理由． 变式2．（25-26七年级上·北京·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移） (1)若框住的五个数中，正中间的一个数为17，则这五个数的和为______； (2)十字框内五个数的和的最小值是______； (3)十字框能否框住这样的五个数，它们的和等于2026？若能，求出这五个数中间的那个数；若不能，请说明理由． 变式3．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）课本再现：填幻方“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中． (1)如图1，9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同，则和是___________； (2)如图2，将分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现将分别表示其中的一个数，则___________；___________；___________； (3)如图3，将，8，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，求的值． 变式4．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，=______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”．将、、、、、、2、4、6、8、、这个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和相等．则______，______． (4)如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是______． 考点三 方案选择问题 例1．（25-26七年级上·重庆·期中）小吴所在社区采购了两类膳食物资，第一类：杂粮礼盒每份售价为24元；当采购量小于或等于35份时，无优惠．当采购量大于35份时，超过35份的部分每份售价降低3元．第二类：蛋白补给包每份售价为56元；当采购量小于60份时，无优惠．当采购量大于或等于60份时，每份（含小于60份的部分）售价均降低7元． (1)购买30份杂粮礼盒的费用为______元，购买70份蛋白补给包的费用为______元； (2)小吴所在社区积极响应国家号召，对参与BMI测量并购买两类膳食物资的居民在此前优惠方案的基础上，提供额外价格减免活动，具体如下： 类别 类型 杂粮礼盒每份售价减免（元） 蛋白补给包每份售价减免（元） 1 体重过低 2 7 2 体重正常 1 6 3 超重 3 7 4 肥胖 4 9 ＝体重÷身高的平方（单位：） 小吴的身高，体重，请通过计算值判断小吴所属类别是______（请填序号1、2、3、4）； 若小吴计划购买杂粮礼盒和蛋白补给包总共120份，当小吴购买杂粮礼盒x份时，总费用为多少元？ (3)在（2）的条件下，小吴实际购买的情况是：他第一次购买了10份杂粮礼盒和20份蛋白补给包，他第二次用了3753元购买了两类膳食物资共120份．若小吴将两次分开购买的两类膳食物资合起来一次性购买，则这样购买的总价比两次分开购买的总价少多少元？ 例2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）泉州文旅集团计划对市区一处老旧场地进行升级改造，打造集文化展示与市民休闲于一体的公共空间．该场地整体呈长方形，长为米，宽为米，为保留场地原有历史风貌，中间规划保留一块边长为米的正方形区域用于复原传统石板铺装（非硬化区域），其余区域将采用防滑耐磨材料进行硬化处理，作为市民活动与文化展演的场地． (1)用含a，b的代数式表示需要硬化的面积并化简； (2)文旅部门针对硬化工程提出两种施工方案，费用计算方式如下： 方案一：采用普通水泥硬化（适合高频活动区域），每平方米费用85元，额外支付场地勘测费200元； 方案二：采用彩色透水混凝土硬化（提升文旅景观质感），每平方米费用110元，无需额外费用． 若a=4，b=1，文旅部门应该选择哪种方案？请说明理由． 例3．（25-26七年级上·重庆·期中）企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包： 方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折． 现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款　　　元（用含x的式子表示）． (2)当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？ (3)试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 例4．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 变式1．（24-25七年级上·内蒙古包头·开学考试）某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次性缴费240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）． (1)王叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月两次．他选择哪种方式更划算？请你帮王叔叔算一算，选一选． (2)王叔叔一年内游泳达到多少次时，两种付费方式钱数相等？ 变式2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是8000元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为x米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是8000元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)若时，分别求出两种方案的总金额是多少？ (2)求x取何值时，两种优惠方案的总金额一样多？ (3)张先生因现金不够，于2023年1月在某银行借了9万元住房贷款，贷款期限为6年，从开始贷款的下一个月起逐月偿还，贷款月利率是，每月还款数额平均每月应还的贷款本金数额月利息，月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率．假设贷款月利率不变，若张先生在借款后第n（，n是正整数）个月的还款数额为P，请写出P与n之间的关系式． 变式3．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）某电影院某日某场电影的票价是：成人票60元，学生票30元，满40人可以购团体票，即票价打九折（不足40人可按40人计算，票价打九折）．某班在4位老师的带领下去电影院看电影，学生人数为x人，学生和老师均须购票．（所有整式运算的结果请化简） (1)如果学生人数不少于36人，请用含x的代数式表示该班买票至少应付多少元？ (2)如果学生人数为34人，该班买票至少应付多少元？ (3)用含x的代数式表示该班买票至少应付多少元？ 变式4．（24-25七年级下·广东河源·期末）“华南最大的人工湖”——万绿湖风景名胜区，碧波万顷，生态优美，是国家5A级旅游景区，暑假期间，景区门票定价35元/张，团队票可享受两种优惠方案： 方案一：全体人员享受门票8折优惠． 方案二：团队中4人可免票，其余成员享受门票9折优惠． (1)某团队共有40人，为节省购票费用，应选择哪种购票方案？ (2)如果该团队人数为x人（），当x为多少时，购票费用刚好相同？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $