第05讲 图上距离与实际距离+黄金分割+相似图形（知识详解+4典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年苏科版数学九年级下册重难点讲义与测试

第05讲 图上距离与实际距离+黄金分割+相似图形（知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：线段的比 知识点02：成比例线段 知识点03：比例的性质 知识点04：比例中项 知识点05：黄金分割 知识点06：黄金矩形（了解） 知识点07：相似形 知识点08：相似多边形 知识点09：相似三角形 典例分析 （举三反三） 考点1：成比例线段的计算 考点2：根据比例的基本性质计算 考点3：有关黄金分割的计算 考点4：相似多边形性质的应用 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（6） 三、解答题（4） 【知识点01】线段的比 1. 定义 两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 2. 特别提醒 (1)量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么这两条线段的比可以写成AB∶CD＝m∶n，也可以写成＝. 若＝k，则＝k或AB＝k·CD. (2)在量线段时，两条线段的长度应用同一长度单位表示，如果长度单位不同，应先化成同一长度单位，再求它们的比. (3)两条线段的比值，没有单位，它与所采用的长度单位无关. 【知识点02】成比例线段 1. 定义 在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段. 2. 注意 有四条线段a、b、c、d，若a∶b＝c∶d或＝，则a、b、c、d是成比例线段，a、b、c、d是比例的项，b、c是比例的内项，a、d是比例的外项. 【知识点03】比例的性质 1. 比例的基本性质 如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc. (1)基本性质中的条件“a∶b＝c∶d”与结论“ad＝bc”是互逆的， 即如果ad＝bc(b ≠ 0，d ≠ 0) 成立， 那么a∶ b＝c∶d也成立. (2)“＝”是比例式(或称为等比式)，“ad＝bc”是等积式. 2. 比例的相关性质(拓展) (1)连比性质：a∶c∶m＝b∶d∶n ＝＝(a、b、c、d、m、n均不为0). (2)合比性质：＝ ＝(b≠0，d≠0). (3)等比性质：＝＝…＝ ＝(b＋d＋…＋n ≠ 0). 【知识点04】比例中项 1. 在比例式a∶b＝b∶c中，b叫做a和c的比例中项. 2. 根据比例中项的定义可得比例式a∶b＝b∶c或等积式b2＝ac，具体用哪种形式，要依据情况而定. 【知识点05】黄金分割 1. 定义 像图6.2-1那样，点B把线段AC分成两部分，如果＝， 那么称线段AC被点B黄金分割(golden Section)，点B为线段AC的黄金分割点．AB与AC(或BC与AB)的比称为黄金比，它们的比值为， 在计算时，通常取它的近似值0.618． 2. 黄金比通俗说法 如图6.2-2，则黄金比＝＝＝≈ 0.618. 【知识点06】黄金矩形（了解） 定义 若矩形的两条邻边的长度的比值等于黄金比(约为0.618)，就称这个矩形为黄金矩形． 如图6.2-4，如果＝，则矩形ABCD为黄金矩形；反之，如果矩形ABCD为黄金矩形，则＝ ． 【知识点07】相似形 1. 定义　形状相同的图形叫做相似形. 2. 两个关系 (1)相似图形之间的关系：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到. (2)相似与全等的关系：当两个图形的形状相同、大小也相同时，它们是全等图形，全等图形是相似图形的特殊情况，即全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等. 【知识点08】相似多边形 1. 相似多边形的定义　各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 2. 相似比的定义 相似多边形的对应边的比叫做相似比. 3. 相似多边形的性质 相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 相似多边形 图示 示例 若∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1，＝＝＝，则四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似. 相似多边形 记法 “四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似”记作“四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1”. 读法 四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1. 【知识点09】相似三角形 1. 相似三角形的定义 各角分别相等、各边成比例的两个三角形称为相似三角形. 2. 特别解读 (1)相似用符号“∽”表示，记两个三角形相似时，应把对应顶点的字母写在对应的位置上. 如图6.3-2，△ABC相似于△A′B′C′，记作△ABC∽△A′B′C′，对应边的比，如叫做相似比. (2)相似比是有顺序的. 如图6.3-2，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比是＝＝＝k，如果写成△A′B′C′∽△ABC，那么它们的相似比为＝＝＝k′，因此k＝. (3)全等用符号“≌”表示，对应边相等，此时相似比 “k＝1”. 【题型一】成比例线段的计算 【典例1-1】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段，掌握相关知识是解题的关键．分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论． 【详解】解：A、∵， ，，，是成比例线段，故选项符合题意； B、∵， ，，，不是成比例线段，故选项不符合题意； C、∵， ，，，不是成比例线段，故选项不符合题意； D、∵， ，，，不是成比例线段，故选项不符合题意； 故选：A． 【典例1-2】（22-23九年级上·江苏·期末）已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若，，则b的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例中项的定义，利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即或或，那么线段b叫做线段a、c的比例中项. 根据比例中项的定义即可求解. 【详解】解：∵线段b是线段a和线段c的比例中项，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【典例1-3】（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且． (1)求线段a、b的长； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 【答案】(1)线段的长为18，线段的长为12 (2)线段的长为 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， 设，， ， ， ， ，， 线段的长为18，线段的长为12． （2）解：∵线段是线段、的比例中项，，， ， ∵由题意知，， ， 线段的长为． 【变式1-1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列四条线段中，成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．3，4，5，8 C．1，2，， D．1.1，2.2，3.3，4.4 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积，逐项分析即可得出答案，熟练掌握成比例线段的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，∴1，2，3，4不是成比例线段，故不符合题意； B、∵，∴3，4，5，8不是成比例线段，故不符合题意； C、∵，∴1，2，，是成比例线段，故符合题意； D、∵，∴1.1，2.2，3.3，4.4不是成比例线段，故不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了比例线段，正确理解比例中项的概念，注意线段不能是负数是解题关键． 根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项． 【详解】解∶根据比例中项的概念结合比例的基本性质， 得∶比例中项的平方等于两条线段的乘积．则， 解得 (线段是正数，负值舍去)， 所以． 故答案为：3． 【变式1-3】（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知点，分别在边，上，，交于点，，，，，． (1)求的长； (2)若的面积为70，求的面积． 【答案】(1)， (2)28 【分析】（1）先求得，再根据求得；由求得； （2）先由“高相等的两个三角形的面积的比等于底的比”求得，则，再由，求得的面积． 【详解】（1），，，， ， ∵， ； ∵， ， ，； （2）设点到的距离为，点到的距离为， ∵， ， ∵， ， 的面积是28． 【点睛】此题重点考查成比例线段、高相等的两个三角形的面积的比等于底的比等知识，根据线段成比例求出线段的长是解题的关键． 【题型二】根据比例的基本性质计算 【典例2-1】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，代入化简即可得． 【详解】解：设，则， 所以， 故选：C． 【典例2-2】（25-26九年级上·江苏常州·期中）已知线段、，且．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质，设比例系数，将和用表示，然后代入所求式子进行计算，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：设，则，， ∴， 故答案为：． 【典例2-3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知，且，试求的值． 【答案】8 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设， ，，代入可求出k的值，由此即可得． 【详解】解∶∵， ∴设， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ，， ∴． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的应用，根据，设代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴设， 则， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据比例的基本性质得到，，，代入原式计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：4． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知为的三边长，且满足． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例的性质，勾股定理的逆定理，熟知比例的性质是解题的关键． （1）设，则，据此计算求解即可； （2）同（1）得，再根据建立关于k的方程，解方程求出k的值，进而求出的值，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且两直角边的长为10，24， ∴． 【题型三】有关黄金分割的计算 【典例3-1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知点 C 是线段的黄金分割点，且，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割，根据求解即可． 【详解】解：∵点 C 是线段的黄金分割点，且， ∴， ∴， 故选项A、B、D正确，不符合题意，选项C错误，符合题意， 故选：C． 【典例3-2】（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）若点是线段的黄金分割点，且，，则 （保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点，先根据黄金分割点的定义确定较长线段与全长的比例关系，再代入已知线段长度计算较长线段的长度即可，熟练掌握黄金分割点的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且，， ∴， 故答案为：． 【典例3-3】（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，点是线段的黄金分割点，，计算线段的黄金比的值． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割点的比例公式即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，， ， 线段的黄金比的值为． 【变式3-1】（24-25九年级上·江苏宿迁·月考）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，点P是边上一点，且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查黄金矩形的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用黄金矩形的宽长比设未知数，并结合等腰直角三角形的边的关系求解． 通过设，根据黄金矩形性质表示出的长，再利用等腰直角三角形性质得到相关线段长度，进而求出． 【详解】解：如图： 设， ∵四边形是黄金矩形，且宽与长的比是， ， ， ∵， ， 是等腰直角三角形，则， ∵，而， ，又， ， 故选：A． 【变式3-2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）我们可以把较短边与较长边的比值是黄金分割比的矩形，叫做黄金矩形，现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那相邻一条较短边的边长 厘米． 【答案】 【分析】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割．据此列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设相邻一条较短边的边长等于厘米， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3-3】（2022九年级下·江苏·专题练习）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，可以增加视觉美感．若图中b为2米，求a的值（保留小数点后两位）． 【答案】米 【分析】根据雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，图中为2米，即可求出的值． 【详解】解：∵雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，， ， ， 的值为米． 【点睛】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义． 【题型四】相似多边形性质的应用 【典例4-1】（2022九年级下·江苏·专题练习）若一个正方形的面积扩大为原来的4倍，则它的周长扩大为原来的（　　）倍． A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】根据相似图形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵一个正方形的面积扩大为原来4倍， ∴它的边长扩大为原来的倍， ∴它的周长变为原来的2倍． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了算式平方根的应用，相似图形的性质，解题的关键是熟练掌握相似图形的面积比等于相似比的平方． 【典例4-2】（2024九年级下·江苏·专题练习）若两个相似三角形的相似比为，则面积比为 ；若两个相似多边形的面积比为，则相似比为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，相似多边形的性质，直接利用相似多边形的面积比等于相似比的平方可得答案. 【详解】解：若两个相似三角形的相似比为，则面积比为； 若两个相似多边形的面积比为，则相似比为． 故答案为：；． 【典例4-3】（21-22九年级上·江苏连云港·期末）如图，一个矩形广场的长米，宽米，广场内两条纵向的小路宽为a米，横向的两条小路宽为b米，矩形矩形EFGH． (1)求的值； (2)若，求矩形EFGH的面积． 【答案】(1)a：b＝2：1 (2)6272米2 【分析】（1）根据题意可得HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，根据矩形ABCD∽矩形EFGH．可得，进而可以解决问题； （2）由（1）得2b＝a，根据矩形EFGH的面积＝EF•HE，即可解决问题． 【详解】（1）根据题意可知：HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米， ∵矩形ABCD∽矩形EFGH． ∴， ∴， 整理，得2b＝a， ∴a：b＝2：1； （2）∵a＝4，2b＝a， ∴b＝2， ∴矩形EFGH的面积 ＝EF•HE ＝（120﹣2a）•（60﹣2b） ＝（120﹣8）（60﹣4） ＝112×56 ＝6272（米2）． 答：矩形EFGH的面积为6272米2． 【点睛】本题考查了相似多边形的应用，列代数式，解决本题的关键是掌握相似多边形的性质． 【变式4-1】（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）若两个相似多边形的面积比为，则它们对应边的比是（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，解决问题即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴它们的对应边的比， 故选：B． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是理解相似多边形的面积比等于相似比的平方． 【变式4-2】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，，则该矩形与相邻的另一条边长是 .（剪法不止一种） 【答案】或 【分析】分情况讨论，根据相似三角形的性质求得的值，即可求解． 【详解】解：如图所示矩形， 设，， ∵， ∴， 即：， ∴，， ∴， 则； 如图所示矩形， 设，， ∵， ∴， 即：， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【变式4-3】（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：是菱形： (2)若，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定解答即可； （2）根据菱形的性质和平行四边形的性质可以得到设，根据相似多边形的性质可得，列方程求出和的关系，从而可解答本题 【详解】（1）∵的平分线交于点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∴． ∴． 同理，． ∴． ∵ ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． （2）由（1）知，四边形是菱形， 又四边形是平行四边形， ， 设，，则有： ，即， 整理得， 解得， ， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了靺的判定与性质、平行四边形的性质以及相似多边形的性质，求出与的数量关系是解答本题的关键 一、单选题 1．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）两三角形的相似比是，则其面积之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据面积之比等于相似比的平方作答即可． 【详解】解：∵两三角形的相似比是， ∴其面积之比是． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若，则下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例的基本性质，需熟练掌握比例式的变形和运算．根据比例，得，，逐一验证各选项是否符合比例关系， 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴，故该选项不符合题意； C、∵，∴，故该选项符合题意； D、∵，∴，故该选项不符合题意； 故选：C 3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知线段，线段，则线段a、b的比例中项是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数． 根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，求解即可． 【详解】解：设它们的比例中项是，则 ， 解得（线段是正数，负值舍去）． ∴线段a、b的比例中项是 故选：C． 4．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）已知线段a，b，c，d是一组成比例线段，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了成比例线段．根据成比例线段的性质，即可求解． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是一组成比例线段， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A 5．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ∵，分别为，两边的中点， ， ∵两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故选：A． 6．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（　　） 大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割的定义及黄金比即可解决问题． 【详解】解：∵点是的黄金分割点，且， ， 又∵， ． 故选：C． 二、填空题 7．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若，，则线段 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查线段的比例中项定义，根据比例中项的定义，列出方程，代值计算即可． 【详解】解；∵c是a、b的比例中项， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：6． 8．（25-26九年级上·江苏常州·月考）已知，则 ；方程的根是 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，比例的性质，正确计算是解题的关键． （1）可求出，再把代入所求式子中计算求解即可； （2）先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 解得或 故答案为：；或． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知，且，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．根据比例的性质，设，代入已知等式求出的值，即可求出所求． 【详解】解：设，则， 故答案为：3． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）若线段a、b、c、d是成比例，若，，，则 cm． 【答案】12 【分析】根据比例线段的定义得到，然后把，，，代入进行计算即可． 【详解】∵线段a、b、c、d是成比例， ∴ ∵，，， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例线段的定义：若四条线段a、b、c、d有，那么就说这四条线段成比例． 11．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，从外形看它最具美感．小明想制作一张“黄金矩形”的贺卡，已知贺卡长为，那么贺卡的宽为 cm．（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查的是黄金分割的概念和性质，根据黄金比值求解即可． 【详解】解∶ 宽与长的比是，则宽与长的比值为：， ∵贺卡长为 ∴贺卡宽为， 故答案为：. 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，P是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积．则 ．（填“”、“”、“”号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点． 根据黄金分割的定义得到，再利用正方形和矩形的面积公式有，，即可得到． 【详解】解：∵P是线段的黄金分割点，且， ∴， 又∵表示以为一边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积 ∴，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 13．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长． (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意可设，，，再代入，即可求解； （2）根据m是a、b的比例中项，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴可设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵m是a、b的比例中项， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 即线段的长为． 【点睛】本题主要考查了比例与比例中项问题，掌握比例性质以及比例中项定义，如果a、b、c三个量成连比例即，b叫做a和c的比例中项是解题的关键． 14．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题： (1)四条线段，，，中，如果 ，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． (2)已知，那么成立吗？请说明理由． (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2)如果，那么成立，详见解析 (3)或 【分析】（1）根据成比例线段的定义即四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段，解答即可． （2）根据等式的性质，或设比值k的方法求解即可． （3）分和两种情况求解． 【详解】（1）根据题意，得四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． 故答案为：． （2）解法1： 如果，那么成立．理由： ∵， ， ∴， ． 解法2： 如果，那么成立．理由： ∵， ， 即， ． （3）①当时， ，，， 为其中任何一个比值，即； ②时， ． 所以或． 【点睛】本题考查了比例的性质，等比的性质，熟练掌握性质并灵活运用解题是解题的关键． 15．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）如果，求； （2）如果，求的值． 【答案】（1）；（2）的值为1或． 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． （1）利用比例的性质求解； （2）利用比例的性质求解，注意分与两种情况，分别讨论． 【详解】解：（1）∵， ， ， ； （2）∵， ，，， ， 即， 当时，； 当时，， ， 综上可知，的值为1或． 16．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）（1）在图①中按下列步骤作图： 第一步：过点C画，使； 第二步：连接，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E； 第三步：以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点B． （2）在所画图中，点B是线段的黄金分割点吗？为什么？ （3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）点B是线段的黄金分割点，理由解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了黄金分割以及尺规作图，理解黄金分割点是解题的关键． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）设则 利用勾股定理得到再得到利用黄金分割点的定义可判断点是线段的黄金分割点； （3）以为圆心长为半径画弧,以为圆心，长为半径画弧,交点为,则即为所求． 【详解】解：（1）如图，点为所作： （2）设则 ， 即 ∴点是线段的黄金分割点． （3）按（1）中作点E的方法作点F，以为圆心长为半径画弧,以为圆心，长为半径画弧,交点为,则即为所求，如图： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 图上距离与实际距离+黄金分割+相似图形（知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：线段的比 知识点02：成比例线段 知识点03：比例的性质 知识点04：比例中项 知识点05：黄金分割 知识点06：黄金矩形（了解） 知识点07：相似形 知识点08：相似多边形 知识点09：相似三角形 典例分析 （举三反三） 考点1：成比例线段的计算 考点2：根据比例的基本性质计算 考点3：有关黄金分割的计算 考点4：相似多边形性质的应用 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（6） 三、解答题（4） 【知识点01】线段的比 1. 定义 两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 2. 特别提醒 (1)量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么这两条线段的比可以写成AB∶CD＝m∶n，也可以写成＝. 若＝k，则＝k或AB＝k·CD. (2)在量线段时，两条线段的长度应用同一长度单位表示，如果长度单位不同，应先化成同一长度单位，再求它们的比. (3)两条线段的比值，没有单位，它与所采用的长度单位无关. 【知识点02】成比例线段 1. 定义 在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段. 2. 注意 有四条线段a、b、c、d，若a∶b＝c∶d或＝，则a、b、c、d是成比例线段，a、b、c、d是比例的项，b、c是比例的内项，a、d是比例的外项. 【知识点03】比例的性质 1. 比例的基本性质 如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc. (1)基本性质中的条件“a∶b＝c∶d”与结论“ad＝bc”是互逆的， 即如果ad＝bc(b ≠ 0，d ≠ 0) 成立， 那么a∶ b＝c∶d也成立. (2)“＝”是比例式(或称为等比式)，“ad＝bc”是等积式. 2. 比例的相关性质(拓展) (1)连比性质：a∶c∶m＝b∶d∶n ＝＝(a、b、c、d、m、n均不为0). (2)合比性质：＝ ＝(b≠0，d≠0). (3)等比性质：＝＝…＝ ＝(b＋d＋…＋n ≠ 0). 【知识点04】比例中项 1. 在比例式a∶b＝b∶c中，b叫做a和c的比例中项. 2. 根据比例中项的定义可得比例式a∶b＝b∶c或等积式b2＝ac，具体用哪种形式，要依据情况而定. 【知识点05】黄金分割 1. 定义 像图6.2-1那样，点B把线段AC分成两部分，如果＝， 那么称线段AC被点B黄金分割(golden Section)，点B为线段AC的黄金分割点．AB与AC(或BC与AB)的比称为黄金比，它们的比值为， 在计算时，通常取它的近似值0.618． 2. 黄金比通俗说法 如图6.2-2，则黄金比＝＝＝≈ 0.618. 【知识点06】黄金矩形（了解） 定义 若矩形的两条邻边的长度的比值等于黄金比(约为0.618)，就称这个矩形为黄金矩形． 如图6.2-4，如果＝，则矩形ABCD为黄金矩形；反之，如果矩形ABCD为黄金矩形，则＝ ． 【知识点07】相似形 1. 定义　形状相同的图形叫做相似形. 2. 两个关系 (1)相似图形之间的关系：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到. (2)相似与全等的关系：当两个图形的形状相同、大小也相同时，它们是全等图形，全等图形是相似图形的特殊情况，即全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等. 【知识点08】相似多边形 1. 相似多边形的定义　各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 2. 相似比的定义 相似多边形的对应边的比叫做相似比. 3. 相似多边形的性质 相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 相似多边形 图示 示例 若∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1，＝＝＝，则四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似. 相似多边形 记法 “四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似”记作“四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1”. 读法 四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1. 【知识点09】相似三角形 1. 相似三角形的定义 各角分别相等、各边成比例的两个三角形称为相似三角形. 2. 特别解读 (1)相似用符号“∽”表示，记两个三角形相似时，应把对应顶点的字母写在对应的位置上. 如图6.3-2，△ABC相似于△A′B′C′，记作△ABC∽△A′B′C′，对应边的比，如叫做相似比. (2)相似比是有顺序的. 如图6.3-2，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比是＝＝＝k，如果写成△A′B′C′∽△ABC，那么它们的相似比为＝＝＝k′，因此k＝. (3)全等用符号“≌”表示，对应边相等，此时相似比 “k＝1”. 【题型一】成比例线段的计算 【典例1-1】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【典例1-2】（22-23九年级上·江苏·期末）已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若，，则b的值是 ． 【典例1-3】（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且． (1)求线段a、b的长； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 【变式1-1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列四条线段中，成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．3，4，5，8 C．1，2，， D．1.1，2.2，3.3，4.4 【变式1-2】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么 ． 【变式1-3】（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知点，分别在边，上，，交于点，，，，，． (1)求的长； (2)若的面积为70，求的面积． 【题型二】根据比例的基本性质计算 【典例2-1】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（25-26九年级上·江苏常州·期中）已知线段、，且．则 ． 【典例2-3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知，且，试求的值． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知，那么 ． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）若，则 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知为的三边长，且满足． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【题型三】有关黄金分割的计算 【典例3-1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知点 C 是线段的黄金分割点，且，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）若点是线段的黄金分割点，且，，则 （保留根号） 【典例3-3】（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，点是线段的黄金分割点，，计算线段的黄金比的值． 【变式3-1】（24-25九年级上·江苏宿迁·月考）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，点P是边上一点，且，则（   ） A． B． C． D．1 【变式3-2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）我们可以把较短边与较长边的比值是黄金分割比的矩形，叫做黄金矩形，现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那相邻一条较短边的边长 厘米． 【变式3-3】（2022九年级下·江苏·专题练习）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，可以增加视觉美感．若图中b为2米，求a的值（保留小数点后两位）． 【题型四】相似多边形性质的应用 【典例4-1】（2022九年级下·江苏·专题练习）若一个正方形的面积扩大为原来的4倍，则它的周长扩大为原来的（　　）倍． A．2 B．4 C．8 D．16 【典例4-2】（2024九年级下·江苏·专题练习）若两个相似三角形的相似比为，则面积比为 ；若两个相似多边形的面积比为，则相似比为 ． 【典例4-3】（21-22九年级上·江苏连云港·期末）如图，一个矩形广场的长米，宽米，广场内两条纵向的小路宽为a米，横向的两条小路宽为b米，矩形矩形EFGH． (1)求的值； (2)若，求矩形EFGH的面积． 【变式4-1】（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）若两个相似多边形的面积比为，则它们对应边的比是（　　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，，则该矩形与相邻的另一条边长是 .（剪法不止一种） 【变式4-3】（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：是菱形： (2)若，则的值为______． 一、单选题 1．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）两三角形的相似比是，则其面积之比是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若，则下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知线段，线段，则线段a、b的比例中项是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）已知线段a，b，c，d是一组成比例线段，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（　　） 大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如 A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若，，则线段 ． 8．（25-26九年级上·江苏常州·月考）已知，则 ；方程的根是 ． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知，且，则 ． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）若线段a、b、c、d是成比例，若，，，则 cm． 11．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，从外形看它最具美感．小明想制作一张“黄金矩形”的贺卡，已知贺卡长为，那么贺卡的宽为 cm．（结果保留根号）． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，P是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积．则 ．（填“”、“”、“”号） 三、解答题 13．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长． (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 14．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题： (1)四条线段，，，中，如果 ，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． (2)已知，那么成立吗？请说明理由． (3)如果，求的值． 15．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）如果，求； （2）如果，求的值． 16．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）（1）在图①中按下列步骤作图： 第一步：过点C画，使； 第二步：连接，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E； 第三步：以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点B． （2）在所画图中，点B是线段的黄金分割点吗？为什么？ （3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 1 学科网（北京）股份有限公司 $