专题7.5-7.6 解直角三角形、用锐角三角函数解决问题（知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册同步培优精编讲练

专题7.5-7.6 解直角三角形、用锐角三角函数解决问题 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：解直角三角形 1 知识点梳理02：解直角三角形的常见类型及解法 2 知识点梳理03：利用解直角三角形解决实际问题 3 优选题型 考点讲练 4 题型1：解直角三角形的相关计算 4 题型2：解非直角三角形 6 题型3：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 6 题型4：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 7 题型5：方位角问题(解直角三角形的应用) 9 题型6：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 10 题型7：其他问题(解直角三角形的应用) 12 中考真题 实战演练 13 难度分层 拔尖冲刺 15 基础夯实 15 培优拔高 17 知识点梳理01：解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，h为斜边上的高. 注意： 　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. 　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). 　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 知识点梳理02：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 注意： 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 知识点梳理03：利用解直角三角形解决实际问题 ◆1、利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； 2. 根据题目条件解直角三角形； 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案. ◆2、解直角三角形的实际应用中涉及的有关概念： （1）仰角、俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角， 视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． （2）方位角 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90°的角，叫做方位角. 如图： 如图所示,目标方向线 OA,OB,的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏西45°,其中南偏西45°习惯上又叫做西南方向,北偏西45°习惯上又叫做西北方向. （3）坡角、坡度 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角. 一般用字母 α，β，γ 表示 . ①坡度不是角的度数，它是坡角的正切值， 即 i =tan α； ②坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡. 当 h =1， l= 时，坡度. i = h : l=1：，坡角为30°. 坡度 坡面的铅直高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比). 通常用 i 表示， 即 i = h : l . 题型1：解直角三角形的相关计算 【典例精讲】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·江西抚州·二模）如图，在菱形中，，A，C，D三点均在上，，垂足为E，且过圆心O． (1)求证：是的切线； (2)求的半径． 【变式训练2】（2025·青海西宁·一模）如图，是的直径，点，是半圆的三等分点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)试判断以点，，，为顶点的四边形的形状，并说明理由； (3)若，求的长． 题型2：解非直角三角形 【典例精讲】（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·广东深圳·二模）如图，已知中三边长分别为，，，动点在边上运动，过点作，，垂足分别为、，则的最小值为 ． 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）中，，平分交于，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 题型3：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例精讲】（2025·福建泉州·一模）一根钢管放在“V”形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式训练1】（24-25九年级下·重庆·期末）某班正在点处上体育课，上完体育课后，小巴和小川准备去四食堂处吃午饭，经测量，点位于点的正东方100米处，点位于点的北偏东方向80米处，且位于点正南方30米处，点位于点的正西方，且位于点的东北方向（点、、、、在同一平面内，参考数据： ）． (1)求点到点的距离（结果保留整数）； (2)下课后，小巴沿以的速度前往四食堂，小川沿以 的速度前往四食堂，请通过计算判断小川与小巴谁先到达四食堂（结果保留整数）？ 【变式训练2】（2024·上海静安·二模）如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ． 题型4：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，山顶建有一座信号发射塔，塔高米，测量人员在附近一座大坝的D处测得塔底部B的仰角为，塔顶A的仰角为，已测得大坝的坡角，坡长米，求山的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 【变式训练1】（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【变式训练2】（24-25九年级下·河南周口·期末）2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电．如图，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为，测得点C的俯角；控制无人机水平移动至点D，测得，楼顶C点的俯角．点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到） 题型5：方位角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2025·安徽滁州·二模）如图，在一次户外探险活动中，探险队在基地A处的正东方向设置了两个相距的补给点B，C．一支探险小队从基地A处出发，沿北偏东方向行进至D处，此时在补给点B，C处分别测得，．求探险小队行进的距离．（结果取整数，参考数据：，，，，，） 【变式训练1】（25-26九年级下·河北石家庄·阶段练习）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求B处到灯塔P的距离； (2)已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 【变式训练2】（25-26九年级下·重庆·阶段练习）国庆假期，小明和小蓝怀着对革命历史的崇敬，从某红色景区入口．开启红色之旅．因参观的景点不同，两人决定各自沿不同路线参观，再到达位于入口A正东方向的景点处汇合．如图为路线平面示意图，小明从入口出发，沿北偏东方向走到达景点，参观24分钟，接着沿东南方向到达景点、小蓝从入口出发，沿北偏东方向到达景点，参观15分钟后，沿南偏西方向到达景点．（参考数据：，， (1)求入口与景点之间的距离；（结果精确到） (2)若小明步行的速度为，小蓝步行的速度为，且两人同时出发，请计算并说明小明和小蓝谁先到达景点？（结果精确到） 题型6：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（25-26九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长米，斜坡坡面上的影子米，太阳光与水平地面成角， 斜坡的坡度为， 求旗杆的高度．（精确到1米）． 【变式训练1】（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【变式训练2】（2024九年级下·山东青岛·专题练习）如图，某数学兴趣小组在一次外出登山活动中，发现一棵古树竖直生长在山崖上，为了安全测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 题型7：其他问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2025·广东江门·二模）已知高度2米的轮式起重机吊起一个重物B，其起重臂与水平面的夹角，且米，在吊起重物过程中缆绳的长度保持不变．当起重臂与水平面夹角 时，求重物被吊起的高度的长（结果保留根号）． 【变式训练1】（2025·江西吉安·二模）江西庐山素有“匡庐奇秀甲天下山”之美称．早在一千二百多年前，唐代诗人李白曾这样赞美庐山：“予行天下，所游山水甚富，俊伟诡特，鲜有能过之者，真天下之壮观也”．庐山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道．设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） (1)求索道的长；（结果精确到） (2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【变式训练2】（2025·江西吉安·二模）某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） (1)求点G到支撑脚的垂直距离． (2)如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，扶梯的坡度为，滑梯的坡度为．滑梯的高，设米，米，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过的路程为 米．（结果保留根号） 2．（2024·江苏泰州·中考真题）如图，某数学兴趣小组决定测量建筑物的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为，然后沿方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为．请你计算建筑物的高度约为 米．(结果精确到1米，参考数据) 3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在两座楼房之间有一旗杆，高，从其中一座楼房顶端点A经过旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C，且俯角为，又从点A处测得点D的俯角为．若旗杆底部点G为的中点，则楼房的高为 m，楼房的高为 m． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，游乐场有一个长的跷跷板，O为的中点，它的支撑柱垂直于地面，垂足为点H，当一端A着地时，，则支撑柱的长可表示为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·青海西宁·二模）某水坝的坡度，坡长米，则坝的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 4．（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为 米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数） 5．（2025·内蒙古·模拟预测）在呼和浩特东郊开阔的平川上，一座灰白色的宝塔拔地凌空，直刺云天，大有“一柱擎天”之势，这便是驰名塞外的万部华严经塔，因其白色，所以俗称“白塔”．某数学小组测量白塔的高度，如图，他们选取的测量点A与塔的底部B在同一水平线上．已知塔顶为高14米的塔刹，在A处测得塔顶D的仰角为，塔刹底部C的仰角为，则塔的高约为 ．（结果精确到．参考数据：，，，，，）    6．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是50米，测得，则大桥的长度是 米．（结果精确到1米）（参考数据：） 7．（2024·浙江·模拟预测）内接于，，，则的半径是 ． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，是的对边，是的对边，是的对边． (1)若，，，求和的度数； (2)若，，，求和的度数． 9．（2024·广东·模拟预测）图①是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图①的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图②是其示意图，经测量，钢条，．求车位锁的底盒长(参考数据：，，)． 10．（2024·湖南娄底·模拟预测）数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和测角仪等工具，测量了学校教学楼的高度．如图，在教学楼的正前方有一斜坡，测得米，坡角，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为，其中点A，C，E在同一条直线上，图中各点均在同一平面内，求教学楼的高度．（结果保留根号） 培优拔高 11．（2025·江西吉安·二模）如图，在中，，，点P为边上一动点，连接，若与至少有一个为等腰三角形，且满足长为整数，则这样的点P个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．（2024·广东·模拟预测）如图，某广场主楼楼顶立有广告牌，小辉准备利用所学的三角函数知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度的斜坡从看台前的B处步行50米到达C处，测得广告牌底部D的仰角为，广告牌顶部E的仰角为（小辉的身高忽略不计），已知广告牌米，则该主楼的高度约为（　　）（结果精确到整数，参考数据：） A． B． C． D． 13．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，某公园内有一斜坡，坡度，米，斜坡上有一棵竖直向上的古树，某游人在斜坡起点A处看古树树顶P的仰角为，在斜坡终点B处看古树树顶P的仰角为，则古树的高为（   ）米． A． B．30 C． D． 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，小明为了测量旗杆高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从与点C相距的E处测得旗杆顶B的仰角为，若，则旗杆的高度是 （精确到）．（参考数据：） 15．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，天琪家与阿权家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算出所住楼对面商业大厦的高度，进行了如下操作：他俩在天琪家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到阿权家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角的度数，竟然发现与恰好相等．已知A，B，C三点共线，，商业大厦的高度 ． 16．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，， 17．（2025·广东江门·二模）在中，，点是上一点，且，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，与相交于点，若，则图中阴影部分的面积是 （结果保留） 18．（2025·浙江丽水·二模）如图，在中，，以B为圆心，适当长度为半径画弧分别交，于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，过点D作． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 19．（2025·安徽六安·二模）为重温“红色记忆”，学校组织研学活动，途经某抗日纪念碑所在地．在了解相关历史背景后，利用无人机采集了纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．无人机从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点A正上方的点E处时，测得米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，D，B四点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离的长（结果精确到1米，参考数据：，，，，，）． 20．（2025·安徽淮南·二模）某铁路路基的横断面是四边形，其中，路基顶宽，路基底宽，斜坡的坡度，斜坡的坡度，因路基一侧靠近河流，现需要对斜坡进行加固，使得改造后的坡角（）减小，求改造后的路基底宽长．（参考数据：，，） 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.5-7.6 解直角三角形、用锐角三角函数解决问题 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：解直角三角形 1 知识点梳理02：解直角三角形的常见类型及解法 2 知识点梳理03：利用解直角三角形解决实际问题 3 优选题型 考点讲练 4 题型1：解直角三角形的相关计算 4 题型2：解非直角三角形 9 题型3：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 13 题型4：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 17 题型5：方位角问题(解直角三角形的应用) 21 题型6：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 25 题型7：其他问题(解直角三角形的应用) 29 中考真题 实战演练 32 难度分层 拔尖冲刺 36 基础夯实 36 培优拔高 44 知识点梳理01：解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，h为斜边上的高. 注意： 　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. 　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). 　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 知识点梳理02：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 注意： 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 知识点梳理03：利用解直角三角形解决实际问题 ◆1、利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； 2. 根据题目条件解直角三角形； 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案. ◆2、解直角三角形的实际应用中涉及的有关概念： （1）仰角、俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角， 视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． （2）方位角 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90°的角，叫做方位角. 如图： 如图所示,目标方向线 OA,OB,的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏西45°,其中南偏西45°习惯上又叫做西南方向,北偏西45°习惯上又叫做西北方向. （3）坡角、坡度 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角. 一般用字母 α，β，γ 表示 . ①坡度不是角的度数，它是坡角的正切值， 即 i =tan α； ②坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡. 当 h =1， l= 时，坡度. i = h : l=1：，坡角为30°. 坡度 坡面的铅直高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比). 通常用 i 表示， 即 i = h : l . 题型1：解直角三角形的相关计算 【典例精讲】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用，得到是解决问题的关键． 由题意可知，，，解直角三角形即可得到结论． 【规范解答】解：由题意可知，，， 则， ， ，， 则， ， ， 则， ， ． 故树的高度为， 故选：C． 【变式训练1】（2025·江西抚州·二模）如图，在菱形中，，A，C，D三点均在上，，垂足为E，且过圆心O． (1)求证：是的切线； (2)求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）连接，先根据菱形的性质证明，则，再根据平行线的性质得到，即，即可证明是的切线； （2）先根据菱形得到，然后由垂径定理得到，则，故，，然后求出，最后解即可求解半径． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴是的切线； （2）解：∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中， ∴的半径为． 【变式训练2】（2025·青海西宁·一模）如图，是的直径，点，是半圆的三等分点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)试判断以点，，，为顶点的四边形的形状，并说明理由； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为菱形，理由见解析 (3) 【思路点拨】（1）连接，根据与切点，则，由题意得，，即可证明，则，从而得出； （2）四边形为菱形．由（1）得，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形； （3）连接根据四边形为菱形，得是等边三角形，则，再由于点，为直径，在中，根据，求得的长． 【规范解答】（1）证明：连接， 与切点， ， ， 点是半圆的三等分点， ∴，     ， ， ， ， ∴ 内错角相等，两直线平行 ， ； （2）解：四边形为菱形．理由是： ， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形； （3）解：连接． 四边形为菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， 于点，为直径， ， 在中，， ， ． 题型2：解非直角三角形 【典例精讲】（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【规范解答】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 【变式训练1】（2025·广东深圳·二模）如图，已知中三边长分别为，，，动点在边上运动，过点作，，垂足分别为、，则的最小值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】作于点，设，利用勾股定理得到，代入数据解出的值，解得到，，得出，由，得到四点共圆，记圆心为，且为的直径，利用外接圆的性质得到，分析可得当时，有最小值，利用等面积法求出的最小值，即可求解． 【规范解答】解：如图，作于点，则， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ，， ， 四点共圆，记圆心为，且为的直径， 如图，作于点，连接、， ，， ，， 又， ， ， ， ， ， 当时，有最小值，此时有最小值， ， ． 的最小值为． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）中，，平分交于，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】过点作于点，作于点，过点作于点，设，，先用三角函数的知识表示出和，进而表示出的面积和的长，在中利用勾股定理并整理得到；再利用角平分线的定义和三角函数的知识表示出和，进而表示出和的面积，利用整理得到，令，，联立方程解出的值即可得出答案． 【规范解答】解：如图，过点作于点，作于点，过点作于点， 设，， ，，， ， 在中，，， ，， ，， 在中，， ， 整理得：，即； 平分， ， ，， ，， ， ， 整理得：； 令，，则， 解得：或（舍去）， ． 故选：D． 题型3：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例精讲】（2025·福建泉州·一模）一根钢管放在“V”形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了求不规则图形的面积、解直角三角形、切线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，由题意得都是的切线，得到，利用四边形的内角和定理得出，再证出，得到，利用正切的定义求出的长，最后利用阴影部分的面积即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， 由题意得，都是的切线， ，， ， ， ， ，，， ， ，， 在中，， ， ， 阴影部分的面积 ． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级下·重庆·期末）某班正在点处上体育课，上完体育课后，小巴和小川准备去四食堂处吃午饭，经测量，点位于点的正东方100米处，点位于点的北偏东方向80米处，且位于点正南方30米处，点位于点的正西方，且位于点的东北方向（点、、、、在同一平面内，参考数据： ）． (1)求点到点的距离（结果保留整数）； (2)下课后，小巴沿以的速度前往四食堂，小川沿以 的速度前往四食堂，请通过计算判断小川与小巴谁先到达四食堂（结果保留整数）？ 【答案】(1)41米 (2)小川先到达四食堂 【思路点拨】本题考查解直角三角形的实际应用，读懂题意，数形结合，掌握方位角表示位置及特殊角的三角函数是解决问题的关键． （1）过点作，交延长线于点，延长交于点，如图所示，根据矩形的判定得到四边形为矩形，结合题意，由特殊角的三角函数值列式求解即可得到答案； （2）先解直角三角形求出，再由小川和小巴运行路线及速度列式求时间，比较长短即可得到答案． 【规范解答】（1）解：过点作，交延长线于点，延长交于点，如图所示： 由题意得， 四边形为矩形， 点位于点的北偏东方向80米处， 在中，，米， ∴米，米， 点位于点正南方30米处， 米， 点位于点的正东方100米处， 米， 点位于点的东北方向， 在中，，米， ∴米， ∴（米）， 答：的距离为41米； （2）解：在中，米， 小川沿以米/秒的速度前往四食堂， （秒）； 小巴沿以米/秒的速度前往四食堂， （秒）； ∵， ∴小川先到达四食堂． 【变式训练2】（2024·上海静安·二模）如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了旋转的性质和解三角形，注意分类讨论，正确画出图形是解题关键． 根据旋转的性质可得，，再由解三角形求出，，进而在中求出线段的长度． 【规范解答】解：由旋转性质可知：，，当点D在线段上时，如图1， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点D在线段延长线上时，如图2， 同理可得：， ∴， 故答案为：或． 题型4：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，山顶建有一座信号发射塔，塔高米，测量人员在附近一座大坝的D处测得塔底部B的仰角为，塔顶A的仰角为，已测得大坝的坡角，坡长米，求山的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】米 【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，直角三角形性质，解题的关键在于作辅助线构造直角三角形． 过点作于点，作于点，证明四边形为矩形，得到，利用直角三角形性质求得，再利用解直角三角形的运算得到，进而即可求出山的高度． 【规范解答】解：过点作于点，作于点， ， 四边形为矩形， ， ，坡长米， 米， 由题知，， ，， 塔高米， ， ， 解得米， 米， 米， 【变式训练1】（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 【变式训练2】（24-25九年级下·河南周口·期末）2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电．如图，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为，测得点C的俯角；控制无人机水平移动至点D，测得，楼顶C点的俯角．点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】约为 【思路点拨】本题考查的是解直角三角形的实际应用．延长交于点F，分别在和中，利用正切定义求出，，可构建关于的方程，求解即可． 【规范解答】解：延长交于点F， 根据题意，得，， 在中，， 在中，， ，解得， ， 答：大楼的高度约为． 题型5：方位角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2025·安徽滁州·二模）如图，在一次户外探险活动中，探险队在基地A处的正东方向设置了两个相距的补给点B，C．一支探险小队从基地A处出发，沿北偏东方向行进至D处，此时在补给点B，C处分别测得，．求探险小队行进的距离．（结果取整数，参考数据：，，，，，） 【答案】 【思路点拨】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作，垂足为，通过解和得和，根据求得，再解求得即可． 【规范解答】解：如图，过点作，垂足为， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 因此，探险小队行进的距离为． 【变式训练1】（25-26九年级下·河北石家庄·阶段练习）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求B处到灯塔P的距离； (2)已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 【答案】(1)B处到灯塔P的距离为海里 (2)海监船继续向正东方向航行是不安全的，见解析 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． （1）过点P作于点D，求出的度数，设海里，则海里，利用锐角三角函数进行列方程求解即可； （2）在中，解直角三角形求出的值即可判定． 【规范解答】（1）解：过点P作于点D， 由题意得，海里，，， 设海里，则海里， 在中， ， 在中，， ∴， 解得， 在中，． 答：B处到灯塔P的距离为海里． （2）解：不安全，理由如下： 由（1）可知 ， ∵， ∴海监船继续向正东方向航行是不安全的． 【变式训练2】（25-26九年级下·重庆·阶段练习）国庆假期，小明和小蓝怀着对革命历史的崇敬，从某红色景区入口．开启红色之旅．因参观的景点不同，两人决定各自沿不同路线参观，再到达位于入口A正东方向的景点处汇合．如图为路线平面示意图，小明从入口出发，沿北偏东方向走到达景点，参观24分钟，接着沿东南方向到达景点、小蓝从入口出发，沿北偏东方向到达景点，参观15分钟后，沿南偏西方向到达景点．（参考数据：，， (1)求入口与景点之间的距离；（结果精确到） (2)若小明步行的速度为，小蓝步行的速度为，且两人同时出发，请计算并说明小明和小蓝谁先到达景点？（结果精确到） 【答案】(1) (2)小蓝先到 【思路点拨】该题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，，，如图，过点作，求出，，再根据勾股定理即可求解． （2）如图，过点作交的延长线于点，则，根据，求出，从而求出，根据（1）可得，再分别算出小明和小蓝的步行时间，比较即可求解． 【规范解答】（1）解：根据题意可得，，， 如图，过点作， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作交的延长线于点， 则， ∴， ∴， 解得：， ∴， 根据（1）可得， ∴小明步行时间， 小蓝步行时间， ， ∴小蓝先到． 题型6：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（25-26九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长米，斜坡坡面上的影子米，太阳光与水平地面成角， 斜坡的坡度为， 求旗杆的高度．（精确到1米）． 【答案】16米 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是作出辅助线得到的影长．延长，两线交于E，过点D作于点Q，利用坡比，解直角三角形的知识点解答即可． 【规范解答】解：延长，两线交于E，过点D作于点Q， ∵太阳光与水平地面成角， ∴， ∵米， 斜坡的坡度为， ∴, 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴（米） ∵米， ∴（米）， ∴， ∴ （米）， ∴旗杆的高度约为16米． 【变式训练1】（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【规范解答】（1）解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； （2）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 【变式训练2】（2024九年级下·山东青岛·专题练习）如图，某数学兴趣小组在一次外出登山活动中，发现一棵古树竖直生长在山崖上，为了安全测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【思路点拨】过点作于点，延长交于点，在中，设，则，则，求出，设，则， 进而求解． 本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，构建直角三角形是解题的关键． 【规范解答】解：过点作于点，延长交于点， 则中，设， 则，则， 解得：， 设，则， 则， 解得：， 则． 题型7：其他问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2025·广东江门·二模）已知高度2米的轮式起重机吊起一个重物B，其起重臂与水平面的夹角，且米，在吊起重物过程中缆绳的长度保持不变．当起重臂与水平面夹角 时，求重物被吊起的高度的长（结果保留根号）． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，先求解，，再进一步求解即可. 【规范解答】解：由题意可得：，，米， ∴， ∵由题意可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【变式训练1】（2025·江西吉安·二模）江西庐山素有“匡庐奇秀甲天下山”之美称．早在一千二百多年前，唐代诗人李白曾这样赞美庐山：“予行天下，所游山水甚富，俊伟诡特，鲜有能过之者，真天下之壮观也”．庐山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道．设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） (1)求索道的长；（结果精确到） (2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查直角三角形的实际应用问题． （1）中，利用即可求解； （2）在中，，先求出的高度，再加的高度即可求解． 【规范解答】（1）解：在中， 由题意得， ； 即索道的长约为． （2）解：如图，延长交直线于点，易得， 在中， 由题意得， 即山顶点到水平地面的距离的长约为． 【变式训练2】（2025·江西吉安·二模）某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） (1)求点G到支撑脚的垂直距离． (2)如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 【答案】(1) (2)背垫旋转的度数为 【思路点拨】此题考查三角函数的实际应用， （1）过点G作于点H，利用正弦公式求出即可； （2）过点G作，交的延长线于点M，由题意得，得到，在中，根据余弦求出，由此得到，进而得到背垫旋转的度数 【规范解答】（1）解：过点G作于点H， 在中，， ∴， ∴ ∴点G到支撑脚的垂直距离约为． （2）过点G作，交的延长线于点M， 由题意得 ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴背垫旋转的度数为 1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，扶梯的坡度为，滑梯的坡度为．滑梯的高，设米，米，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过的路程为 米．（结果保留根号） 【答案】/ 【思路点拨】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握坡比的定义是解决此题的关键．根据坡度和已知条件即可求出和，再根据勾股定理即可求出和，从而得出结论． 【规范解答】解：∵扶梯的坡度（与长度之比）为，米， ∴米， ∴米， ∵米，的坡度（与长度之比）为，米， ∴米， ∴米， ∴经过的路程米． 故答案为：． 2．（2024·江苏泰州·中考真题）如图，某数学兴趣小组决定测量建筑物的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为，然后沿方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为．请你计算建筑物的高度约为 米．(结果精确到1米，参考数据) 【答案】16 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意可得：，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得：，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， （米， ， 解得：， （米， 建筑物的高度约为16米， 故答案为：16． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在两座楼房之间有一旗杆，高，从其中一座楼房顶端点A经过旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C，且俯角为，又从点A处测得点D的俯角为．若旗杆底部点G为的中点，则楼房的高为 m，楼房的高为 m． 【答案】 30 20 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用−仰角和俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点H，根据题意可得：，，，，从而可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段中点的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答． 【规范解答】解：如图：延长交于点H， 由题意得，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵点G为的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴楼房的高为，楼房的高为， 故答案为：30；20． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，游乐场有一个长的跷跷板，O为的中点，它的支撑柱垂直于地面，垂足为点H，当一端A着地时，，则支撑柱的长可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，根据线段中点的定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【规范解答】解：为的中点，， ， 在中，， ， 故选：A． 5．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．过点作于点，先利用三角函数的定义和勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，最后在中求出的度数． 【规范解答】如图所示，过点作于点， ，， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：C． 基础夯实 1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形，掌握其相关知识点是解题的关键．根据正切的定义先表示出，，再根据勾股定理求出，然后根据正弦的定义解答即可． 【规范解答】解：如图，在中，，， 设，，根据勾股定理得： ， 故选：B． 2．（2025·青海西宁·二模）某水坝的坡度，坡长米，则坝的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【思路点拨】此题考查了坡度和勾股定理的应用．根据坡度设铅直高度为x，则水平宽度为，利用勾股定理列方程并解方程即可． 【规范解答】解：由，设铅直高度为x，则水平宽度为， 据勾股定理得，， 解得（负值已舍去） 故选A． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【答案】A 【思路点拨】本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【规范解答】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． 4．（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为 米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数） 【答案】 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点,设米，根据锐角三角函数的定义列出方程，解得，接着求出，再求出，即可解决问题． 【规范解答】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点, 由题意得：米，，， 设米， ∴米 在中，， ∴(米)， 在中，， ∴米， ∴, 解得:， ∴(米)，(米)， 在中，， ∴(米)， ∴(米)． 故答案为：． 5．（2025·内蒙古·模拟预测）在呼和浩特东郊开阔的平川上，一座灰白色的宝塔拔地凌空，直刺云天，大有“一柱擎天”之势，这便是驰名塞外的万部华严经塔，因其白色，所以俗称“白塔”．某数学小组测量白塔的高度，如图，他们选取的测量点A与塔的底部B在同一水平线上．已知塔顶为高14米的塔刹，在A处测得塔顶D的仰角为，塔刹底部C的仰角为，则塔的高约为 ．（结果精确到．参考数据：，，，，，）    【答案】54.3 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用—仰角、俯角问题，熟练掌握知识点，准确理解题意是解题的关键． 先根据正切的定义表示出，，再根据求出，进而求解即可． 【规范解答】解：在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， 故答案为：54.3． 6．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是50米，测得，则大桥的长度是 米．（结果精确到1米）（参考数据：） 【答案】407 【思路点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正切的定义即可求出． 【规范解答】解：在中，米，， ∴ ，则（米） ∴故答案为：407. 7．（2024·浙江·模拟预测）内接于，，，则的半径是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，解直角三角形的应用，延长交于点，连接，则，解，即可求解． 【规范解答】如图，延长交于点，连接， ， 为的直径， ， 的半径为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，是的对边，是的对边，是的对边． (1)若，，，求和的度数； (2)若，，，求和的度数． 【答案】(1)， (2)， 【思路点拨】本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质． （1）直接运用勾股定理即可求解，解直角三角形即可求解的度数； （2）先由直角三角形锐角互余求出度数，再直接解直角三角形即可求出． 【规范解答】（1）解：如图， ∵，，， ∴，， ∴； （2）解：如图， ∵，， ∴，， ∴． 9．（2024·广东·模拟预测）图①是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图①的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图②是其示意图，经测量，钢条，．求车位锁的底盒长(参考数据：，，)． 【答案】68cm 【思路点拨】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义． 过点作于点，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【规范解答】过点作于点，如下图： ∵， ∴， 在中，，， ∴(cm)， ∴， 答：车位锁的底盒长为68cm． 10．（2024·湖南娄底·模拟预测）数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和测角仪等工具，测量了学校教学楼的高度．如图，在教学楼的正前方有一斜坡，测得米，坡角，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为，其中点A，C，E在同一条直线上，图中各点均在同一平面内，求教学楼的高度．（结果保留根号） 【答案】米 【思路点拨】此题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解本题的关键． 在中，利用锐角三角函数定义求出的长，过D作交于点F，可得出三角形为等腰直角三角形，设米，表示出，，，由题意得到三角形为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出的长． 【规范解答】解：在中，米，， ∴米 过D作交于点F， 在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为， ∴， ∵， ∴， 即为等腰直角三角形， 设米， ∵ ∴四边形为矩形， ∴米，即（米）， 在中，， ∴（米）， 米，米， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得 即 ， 解得： ， ∴（米） 培优拔高 11．（2025·江西吉安·二模）如图，在中，，，点P为边上一动点，连接，若与至少有一个为等腰三角形，且满足长为整数，则这样的点P个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路点拨】该题考查了勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的定义等知识点，先根据题意求出可以取的整数值．分为①当时，②当时，③当时，分别讨论即可． 【规范解答】解：根据题意求出可以取的整数值． 在 中，， ， ， 点为边上一个动点， ∴当时，最大，当时，最小． 过点作于点， 则， 解得：， ， 的长为整数， ∴或 6 或 7 ． ①当时，为等腰三角形． ②当时， 设点为中点，连接，如图（1）， 则，此时点与点重合， ∴与均为等腰三角形． ③当时，如图（2），过点作于点， 则． 设，则，， ， ， 解得：（负值已舍）， ∴，此时与均不是等腰三角形． 综上，符合条件的点的个数为2． 故选：C． 12．（2024·广东·模拟预测）如图，某广场主楼楼顶立有广告牌，小辉准备利用所学的三角函数知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度的斜坡从看台前的B处步行50米到达C处，测得广告牌底部D的仰角为，广告牌顶部E的仰角为（小辉的身高忽略不计），已知广告牌米，则该主楼的高度约为（　　）（结果精确到整数，参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，过C作于F，于G，则四边形是矩形．解，得（米），设米，解，得出米．再解，根据，求出，即可求解． 【规范解答】解：过C作于F，于G，如图所示： 则四边形是矩形， ∴， ∵斜坡的坡度，米， ∴（米），（米）， 设米． 在中，， ∴米． 在中，， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴米， ∴（米）， 故选：D． 13．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，某公园内有一斜坡，坡度，米，斜坡上有一棵竖直向上的古树，某游人在斜坡起点A处看古树树顶P的仰角为，在斜坡终点B处看古树树顶P的仰角为，则古树的高为（   ）米． A． B．30 C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题、仰角俯角问题，如图过点B作交于点D，过于点E，由题意求得，由平行可求得，再根据三角形外角的性质进而求得，由平行线的性质得，进而得，根据等角对等边得，设，在中，利用锐角三角函数求得， ，进而可得，再求解即可． 【规范解答】解：过点B作交于点D，过于点E，如图所示， 斜坡的坡度， ， ， ， ， ， ，竖直向上， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设， 在中，，， 即，， ， ， ， ， 解得，， ， 故选：A． 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，小明为了测量旗杆高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从与点C相距的E处测得旗杆顶B的仰角为，若，则旗杆的高度是 （精确到）．（参考数据：） 【答案】 【思路点拨】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键． 延长交于G，则，设，根据观测的角度和直角三角形的边角关系用x来表示和，进而表示出，根据点C和点E的距离列出方程并求解可得的长度，再根据和的长度确定的长度，即可求出的长度． 【规范解答】解：如下图所示，延长交于G，则．设， ∵在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从点E处测得旗杆顶B的仰角为， ∴，． ∴， ∵点E与点C相距， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，天琪家与阿权家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算出所住楼对面商业大厦的高度，进行了如下操作：他俩在天琪家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到阿权家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角的度数，竟然发现与恰好相等．已知A，B，C三点共线，，商业大厦的高度 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是构造直角三角形和矩形，得出． 过点C作于点E，过点B作于点F，可得四边形和四边形均为矩形，可以证明，得，进而可得商业大厦的高． 【规范解答】解：如图，过点C作于点E，过点B作于点F， ∴， ∵， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：商业大厦的高为． 故答案为：． 16．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，， 【答案】75 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得，，，海里，进而求出，根据三角形内角和定理进一步求出，最后根据正弦的定义即可求出答案． 【规范解答】解：如图所示标注字母， 根据题意得，，，海里， ，， ， 在中，， （海里）， 即：此时与灯塔的距离约为75海里． 故答案为：75． 17．（2025·广东江门·二模）在中，，点是上一点，且，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，与相交于点，若，则图中阴影部分的面积是 （结果保留） 【答案】 【思路点拨】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高．设交于点，连接、、，由切线的性质得，则，因为，所以，则，由，得，则是等边三角形，可证明是等边三角形，求得，则，所以，则，由求得，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：设交于点，连接、、，则， 以点为圆心，为半径的圆与相切于点， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ，而， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18．（2025·浙江丽水·二模）如图，在中，，以B为圆心，适当长度为半径画弧分别交，于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，过点D作． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)8 【思路点拨】本题考查了作图-复杂作图，角平分线的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握角平分线的作法和解直角三角形． （1）根据直角三角形两锐角互余可得，由作图得是的平分线，即可得结论； （2）由角平分线性质定理得，由求出，从而得． 【规范解答】（1）解：在中，， ， ∵， 由作图得是的平分线， ∴； （2）解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 19．（2025·安徽六安·二模）为重温“红色记忆”，学校组织研学活动，途经某抗日纪念碑所在地．在了解相关历史背景后，利用无人机采集了纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．无人机从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点A正上方的点E处时，测得米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，D，B四点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离的长（结果精确到1米，参考数据：，，，，，）． 【答案】点到地面的距离的长约为27米 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据题意可得四边形为矩形，则米，解直角三角形可得，，设米，则米，据此可得方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：由题意得，四边形为矩形， 米， 在中，， ， ． 在中，， ， ， 设米 米， 米， ， 解得， （米） 答：点到地面的距离的长约为27米． 20．（2025·安徽淮南·二模）某铁路路基的横断面是四边形，其中，路基顶宽，路基底宽，斜坡的坡度，斜坡的坡度，因路基一侧靠近河流，现需要对斜坡进行加固，使得改造后的坡角（）减小，求改造后的路基底宽长．（参考数据：，，） 【答案】 【思路点拨】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题．分别过点A，D作，，垂足分别为点F，G．设，则，根据的坡度， 可得，，，从而得到．在中，利用锐角三角函数解答即可． 【规范解答】解：分别过点A，D作，，垂足分别为点F，G． 由题意知，． 的坡度， ， 可设，则． 的坡度， ，，， ，解得， ． 在中，， ． 答：改造后的路基底宽长约为． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $