基础知识抓分练4 等腰三角形的性质及其判定-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版·新教材）河南专版

∠BPQ,:∠C+∠APC=90°，∴.∠APC+∠BPQ= 90°，.∠CPQ=90°，∴.PC⊥PQ: ∠BED=LCFE,:LA+LB+LC=180°，∠B= 2 (2)若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,可得：5 ×(180°-40)=70°，∠BDE+∠BED=110°， =7-2t,2t=t解得：x=2,t=1:②若△ACP≌△BQP, ∠CEF+∠BED=110°，∴.∠DEF=70°. 则AC=BQ,AP=BP,可得：5=t,2t=7-2t,解得：x= 12.解：(1)△ABC为等边三角形，.∠B=60°， 20.7 ∠APC=∠BAP+∠B=80°.·AP=AQ,∴∠AQB= 7=4 ∠APC=80°： 基础知识抓分练4 (2)①补全图形如图所示； 1.B2.A3.D 4.B【解析】BF平分∠ABC,CF平分∠ACB, ∠ABF=∠FBC,∠ACF=∠FCB,:DE∥BC,∴.∠BFD =∠FBC,∠CFE=∠FCB,∴.∠ABF=∠BFD,∠ACF B P =∠CFE,.BD=FD,CE=FE,AB=4,AC=5,∴ ②证明：过点A作AH⊥BC于点H,由△ABC为等边 △ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+FD+FE+AE=AD+ 三角形，.∠B=∠C=60°，AP=AQ,∴.∠APQ= BD+CE+AE=AB+AC=4+5=9.故选B. ∠AQP,.∠APQ-∠B=∠AQP-∠C,即∠PAB= 5.C6.D ∠QAC,:点Q,M关于直线AC对称，.∠QAC= 7.C【解析】如图所示，∠AOB ∠MAC,AQ=AM,.∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC =15,OE=FE,∴.∠GEF= H. =∠PAM=60°，AP=AM,∴.△APM为等边三角形， ∠EGF=15°×2=30°，'EF=0 H M B .PA=PM. GF,∠EGF=30°，∴.∠GFH=15°+30°=45°，GH=GF, 基础知识抓分练5 ∴.∠GHF=∠GFH=45°，∴.∠HGQ=45°+15°=60°， 1.D2.A GH=HQ,.∠HGQ=∠GQH=60°，.∠QHB=60°+15° 3.A【解析】设∠CAE=x,则∠EAB=3x.·AC的垂直 =75°，∴QH=QM,.∠QHB=∠QMH=75°，∴.∠HQM= 平分线交AC于点D,交BC于点E,.AE=CE..∠C 180-75°-75°=30°，故∠0QM=60°+30°=90°，不能再 =∠CAE=x.根据三角形的内角和定理，得∠C+ 添加了，.则最多能添加这样的钢管5根.故选C. ∠BAC+∠B=180°，即x+4x+40°=180°，.x=28°.则 8.C ∠C=28°.故选A. 9.80°【解析】.OC=CD=DE,.∠O=∠CDO,∠DCE 4.D =∠DEC,:∠DCE=∠O+∠CD0=2∠O,·,∠DEC= 5.B【解析】过点B作BF⊥DE,垂足为点F,C是 2∠0，∴.∠BDE=∠0+∠DEC=3∠0=75°，∴.∠0= 25°，∴.∠DCE=∠DEC=50°，.∠CDE=80. B的中点，AB=10am,BC=A6=5am,CD1 10.4或16【解析】设点M、N运动x秒后，AN=AM,由 AB,BF⊥DE,射线DB是∠CDE的平分线，∴.BC=BF 运动知，当点M在AC上，点N在AB边上运动时，AN =5cm.故选B. =(12-2x)cm,AM=xcm,∴.12-2x=x,解得：x=4, 6.C【解析】连结AD,MA.△ABC是等腰三角形，点 点M、N运动4秒时，△AMW是等腰三角形；当点M, D是BC边的中点，AD L BC,.SAe=2BC·AD= N运动到BC上，△AMN是等腰三角形，.AN=AM, ∴.∠AMN=∠ANM,∴.∠AMC=∠ANB,·△ACB是等 2X6xMD=18,解得AD=6.~EF是线段4C的垂直 边三角形，.∠C=∠B,在△ACM和△ABN中，∠C= 平分线，点A关于直线EF的对称点为点C,MA= ∠B,∠AMC=∠ANB,AC=AB,:△ACM≌△ABN MC,.MC+DM=MA+DM≥AD,.当A、M、D在一条 (AAS),..CM=BN,CM=(x-12)cm,NB=(36-2x) cm,CM=NB,.x-12=36-2x,解得：x=16,.点M、 线上时，AD的长最短，心(CM+MD)+GD=D, N运动时间为4秒或16秒时，△AMW为等腰三角形. 11.(1)证明：.AB=AC,.∴.∠ABC=∠ACB,在△DBE和 BC=66=9故选C BE=CF 7.同位角相等，两直线平行 △ECF中， ∠ABC=∠ACB,∴.△DBE≌△ECF 8.5【解析】DE是△ABC边AC的垂直平分线， BD=CE AD=CD,.BC=9,AD=4,..BD=BC-CD=BC-AD=9 (SAS),.DE=EF,.△DEF是等腰三角形： -4=5. (2)解：△DBE≌△ECF,.∠BDE=∠CEF, 9.4【解析】过点D作DE⊥AB于点E,:BC=10,BD 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末ZBH·八年级数学上第3页基础知识抓分练4等腰三角形的性质及其判定 一、选择题（每小题3分，共24分） 6.下列三角形：①有两个角等于60°的三角 1.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=130°，则 形：②有一个角等于60°的等腰三角形：③ ∠B的度数为( 三个角都相等的三角形：④三边都相等的 A.20°B.25° C.30° D.35° 三角形.其中是等边三角形的有() A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④ 第1题图 第2题图 7.生活情境·增加钢管如图所示，AOB是一钢 2.如图，在三角形ABC中，若AB=AC,BD=BC, 架，且∠AOB=15°，为了使钢架更加坚固， 若∠ABD=30°，则∠A的大小是() 需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH, A.40°B.20° C.50° D.30° …,添加的钢管长度都与OE相等，则最 3.如图，BA=BC,AC=AD=CD,连结BD,下列 多能添加这样的钢管多少根.（ 结论中错误的是( A.2根 B.4根 A.BD⊥AC B.∠ABD=∠CBD C.5根 D.无法确定 C.∠BAD=∠BCD 8.数字思想·分类讨论已知∠AOB=60°，P是 D.四边形ABCD的面积为AC·BD ∠AOB的平分线OC上一点，若在射线OA 上存在点E使△OPE是等腰三角形，则 OEP的度数不可能是( A.120° B.75° 第3题图 第4题图 C.60° D.30° 4.如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的 平分线相交于点F.过点F作DE∥BC,交 二、填空题（每小题3分，共6分）》 AB于点D,交AC于点E.若AB=4,AC=5, 9.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希 则△ADE的周长为() 腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角 A.8B.9 C.10 D.13 仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两 5.如图，正方形的网格中，点A,B是小正方形 根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在O点相 的顶点，如果C点是小正方形的顶点，且使 连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE, △ABC是等腰三角形，则点C的个 点D、E可在槽中滑动.若∠BDE=75°，则 数为( ∠CDE的度数是 A.6 B.7 C.8 D.9 F H B 第5题图 第7题图 图① 图② 追梦之旅真题·课本回头练·ZBH·八年级数学第7页 10.如图，等边△ABC的边长为 12.（10分)在等边△ABC中 12cm,M,N两点分别从点A, (1)如图1，P,Q是BC边上两点，AP=AQ, B同时出发，沿△ABC的边顺 A—NB ∠BAP=20°，求∠AQB的度数； 时针运动，点M的速度为1cm/s,点N的 (2)点P,Q是BC边上的两个动点（不与 速度为2cm/s,当点N第一次到达B点 B,C重合)，点P在点Q的左侧，且AP= 时，M,N两点同时停止运动，则当M,N运 AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连结 动时间t= s时，△AMN为等腰 AM,PM. 三角形 ①依题意将图2补全； 三、解答题（共20分） ②求证：PA=PM: 11.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC,点D、 E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF, BD=CE. B P O (1)求证：△DEF是等腰三角形： 图1 图2 (2)当∠A=40时，求∠DEF的度数， 追梦之旅真题·课本回头练·ZBH·八年级数学第8页