第22章 二次函数-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（人教版）河南专版

第二十二章二次函数 ⊙考点1 二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<O) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 顶点坐标( b 4ac-b2 2a’4a ,对称轴为直线x=- 2a 当x< 时，随x的增大而减小： 2a 当x< 时，y随x的增大而增大： 增减性 2a b 当x> 时，y随x的增大而增大 2a 当x> 时，y随x的增大而减小 2a 最值 当x= 时，y有最小值，y=4c-0 4ac-b2 2a 当x= Aa 时，y有最大值，y 2a 4a 【拓展】二次函数图象的平移规律：二次函数y=a(x-h)+k的图象可由二次函数y=ax2的 图象向右（或左）平移|h|个单位长度，再向上（或下）平移Ik|个单位长度得到，简记为 “上加下减常数项，左加右减自变量”。 ⊙)考点2) 二次函数表达式的常见形式 形式 内容 适用条件 一般式 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) 已知抛物线上任意三，点坐标 顶点式 y=a(x-h)+k(a,h,k为常数，a≠0)，拋物线的顶 已知抛物线的顶，点坐标、对称轴或最值 点坐标为(h,k) 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2为常数，a≠0)，其中 x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标 已知抛物线与x轴的两交点坐标 【注意】二次函数表达式的三种形式互相联系，可以互相转化.如果求二次函数的表达式时 设的是交点式或顶点式，最后的结果一般化为一般式。 心)考点3 二次函数与一元二次方程的关系 判别式 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 2 a>0 二次函数y=ax2+ bx+c的图象 ↑=-2a a<0 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBR·九年级数学第3页 二次函数y=ax2+bx+c的 有两个公共点(x1,0), 有一个公共点( ,0) 没有公共点 图象与x轴三种位置关系 （x2,0) 2a 有两个不相等的实数 有两个相等的实数根 一元二次方程ax2+bx+c= 没有实数根 0的根的情况 6 根，且x= -b±√02-4ac x1=X2= 2a 2a 【拓展】二次函数与一元二次不等式之间的关系：二次函数y=ax+bx+c的图象在x轴上方 的点对应的x的所有值是不等式ax+bx+c>0的解集；在x轴下方的，点对应的x的所有值 是不等式ax2+bx+c<0的解集 ⊙)考点4) 实际问题与二次函数 1.用二次函数解决图形面积的最值问题 求图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，通常是根据图形中线段的关系， 找到相应线段的长与面积之间的函数关系，将其转化为二次函数问题，就可以用二次函数 的图象与性质来解决 【注意】解决此类问题时要注意自变量的取值范围，保证自变量和函数有实际意义： 2.用二次函数解决抛物线型建筑物问题 首先建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放在坐标系中；设函数解析式，结合 图形和已知条件，用待定系数法求函数解析式：利用二次函数的图象与性质求解实际问题， 3.用二次函数解决最大利润问题 根据销售利润问题中的数量关系得到售价与利润之间的函数关系，利用二次函数的图象 与性质求解实际问题. 针对练习 1.将抛物线y=-(x-1)2+4先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的解析式 为( A.y=-(x+1)2+1B.y=-(x+3)2+1 C.y=-(x-3)2+1 D.y=-(x+1)2+7 2.二次函数y=ax2+4x+a与一次函数y=ax+a在同一平面直角坐标系中的图象可能 是() 3.生活情境·拱形门某校计划举办科技节颁 技☆之 奖典礼，想在颁奖现场设计一个抛物线形 科 拱门入口.如图，要在拱门上顺次粘贴“科” “技”“之”“星”（分别记作点A,B,C,D)四 个大字，要求BC∥AD,最高点的五角星（点E)到BC的距离为0.5米，BC=2米，AD=4 米，则点C到AD的距离为 米。 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBR·九年级数学第4页答案详解详析·易错剖析 ∽的 ∫《课本知识集锦》答案9 . 2m-1=2,解得m=6,A(6,2),:A(6,2)在反比例 第二十一章一元二次方程 函数y2= 文(k≠0)的图象上，k=12,反比例函数的 1.A2.B 3.解：(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x,依题意， 解析式为-吕 得20(1+x)2=45,解得x,=0.5=50%,x2=-2.5(不合题 意，舍去).故该公司销售A产品每次的增长率为50%： (2)x<-4或0<x<6; (2)设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30 (3)直线AB的解析式为y,= 2x-1心当x=0时，y= 、2 05×20)套，衣题意，得(2-y)(30+05×20)=70.整理， -1,.C(0,-1),A(6,2),.AC=35.当AC=PC时，设 P(0,y),则ly+11=35,解得y=35-1或y=-3√5-1， 得4y-5y+1=0,解得y=42=1.:要尽量减少库存， ∴.P,(0,35-1),P2(0,-35-1);当AC=AP时，过点A .y=1.故每套A产品需降价1万元. 作AD⊥y轴于点D,则CD=3,∴.PD=CD=3,.P(0,5), 第二十二章二次函数 即P(0,5),综上所述，点P的坐标为P(0,35-1),P2 1.A2.D3.1.5 (0,-35-1),P(0,5). 第二十三章旋转 第二十七章相似 1.C 1.D 2.D【解析】设∠A'CA=x,'∠A'CB=45°，.∠ACB=45° 2.C【解析】：△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心， +x,.BB'∥AC,∴.∠CBB'=∠ACB=45°+x,由旋转的性质 得：∠B'CB=∠A'CA=x,BC=B'C,∴.∠CBB'=∠CB'B 而A(2,0),D(5,0),.△ABC与△DEF的位似比为2」 5 45°+x,在△BCB'中，∠CBB'+∠CB'B+∠B'CB=180°， 45°+x+45°+x+x=180°，解得x=30°，即∠A'CA=30°.故 B(4,3),E点的坐标是为(10,7.5).故选C. 选D. 3i2或2取号 【解析】设AE的长为x,则BE的长为(14- 3.(-1,4)【解析小：点(a,-3)关于原点对称的点的坐标 是(1，b-1),∴a=-1,b-1=3,解得a=-1,b=4,∴.点(a, x).由题意知∠A=∠B=90°，①当△AME∽△BEN时， b)是(-1,4). BEBN14-x6,解得=12，名=2：②当△AME AM AE 4 x 4.5【解析】：△ABC是等边三角形，.AB=AC=4,∠B =∠BAC=60°，由旋转的性质可知，AD=AE,∠DAE= 60°，∴.∠BAD=∠BAC-∠CAD=60°-∠CAD=∠DAE △BNE时， 兴品名品解释：管上所 ∠CAD=∠CAE.·.△ABD≌△ACE(SAS),·.∠ACE=∠B =60°，即点E在以，点C为顶，点，且与AC夹角为60°的直 迷，4的长为12或2或28] 线上运动，过，点F作FG⊥CE于点G,当点E在，点G处 4.解：过点E作EM⊥CD,垂足为M,延长EM交AB于点 时，EF取得最小值，即为FG的长，：点F是AC边的中 N,.CD∥AB,.∴.EN⊥AB,由题意得：CD=20厘米，EM= 点，.CF=2,在Rt△CGF中，∠ACE=60°，.∠CFG= 40厘米，EN=100米，·CD∥AB,∴.∠EDC=∠EBA, 30°，∴.CG=1,∴.FG=√3，即EF的最小值是3. EM CD 0.4 【技巧点拨】根据等边三角形和旋转的性质，证△ABD≌ ∠ECD=∠EAB,.△ECD△EAB,ENAB1OO △ACE(SAS),得到∠ACE=∠B=60°，即点E在以点C为 0.2 顶点，且与AC夹角为60°的直线上运动，过点F作FGI ,解得AB=50,答：建筑的高度AB为50米. AB CE于点G,当点E在点G处时，EF取得最小值，即为FG 的长，然后结合勾股定理求解即可. 《课本回头练》答案S 第二十四章圆 nn∽t∽∽心n 1.A2.43.1.3 基础知识抓分练1 4 3 T- 3 2 【解析】.∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴.∠BOC 1.D 2.A【解析】方程2x2-3x-1=0中，一次项系数为-3，常数 =60°..·在扇形A0B中，0A=OB=2,.∴.OB=0C=2, 项为-1，∴.-3+（-1)=-4.故选A. △BOC是等边三角形..CD⊥OA,∴.∠ODC=90°.. 3.D ∠A0C=30°，OD=W3,CD=1,∴Sm=S商形Boc-SAORC+ 【知识回顾】一般地，任何一个关于x的一元二次方程经 60·T×221 SACOD 36032x3+×x1=2n3 3 过整理，都能化成如下形式ax2+br+c=0(a≠0).这种形 2 式叫一元二次方程的一般形式.一次项系数b和常数项c 第二十五章概率初步 可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因 1.C【解析】共有12种等可能结果，其中恰好抽到《多宝 为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以此方程就不 塔碑》和《玄秘塔碑》有2种结果，P=2 26抽取 是一元二次方程了 4.C【解析】x=a是方程2x2-x-6=0的一个解，.2a2 的两本字帖恰好是《玄秘塔碑》和《多宝塔碑》的概为 a-6=0,.2a2-a=6,∴.4a2-2a=2(2a2-a)=2×6=12.故 6故选C 选C. 5.D【变式】A 2.140 6.C【解析】设常数项为c,根据题意得4=(-6)2-4c≥0， 第二十六章反比例函数 解得c≤9，所以c的最大值为9.故选C. 1.D2.C 7.x2+x-6=0(答案不唯一)8.2 2025 3解：(1)：点A(m,2)在一次函数=2-1的图象上， 9. 1012 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBR·九年级数学第1页