专项2 易错重难专练-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（北师大版）河南专版

类型二一元二次方程 类型三概率与相似 河南专版·ZBB 九年级数学 易错点考虑问题不全面而致错(3题) 易错点考虑不全面、对应关系不明确导致觸解(2,5题】 追梦专项二 易错重难专练 常考点」忽视二次项系数不为0致错（」题） 常考点1求随机事件的概率(1题) 常考点2 根的情况及根与系数的美系(24,5题) 常考点2用频率估计概率(6题) 类型一 特殊平行四边形 重难点 一元二次方程与函数的综合应用(6题) 重难点相似三角彩的性质与刺定（③4颗） 易错点对特殊平行四边形的性质拿提不牢(1题) 1.(3分)下列方程是一元二次方程的是(） 1.文化情境·数学文化(3分)中国古代数学有着辉煌的成就，《周 重难点」殊平行四边形的性质及判定(2、3、4题)】 A.-3x+1=4x-3 B.ax+bx+c=0 碑算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学 重难点2特殊平行四边形与折叠问题(5题) C.2x2+y-3=0 D.3x2-5=7 的重要文献.某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本 1.(3分)下列说法中正确的是( 2.(3分)关于x的一元二次方程x2+x-m2=0的根的情况是( 课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海 A.矩形的对角线互相垂直平分 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 镜》的概率是( B.菱形的对角线相等 C.只有一个实数根 D.没有实数根 c C.有三个角是直角的四边形是矩形 3.(3分)（安徽三模）若关于x的方程2-4x-4=0有实数根，则实 2.(3分)在平面直角坐标系x0y中，已知A(4,2),B(2,-2),以原 D.有三边相等的四边形是菱形 数k的取值范围是( 点O为位似中心，按位似比I:2把△OAB缩小，则点A的对应点 2.(3分)如图，在四边形ABCD中，点E,F,G.H分别是AB,CD A.k=0 B.>-1 A'的坐标为() AC,BD的中点，添加下列条件，可以判定四边形EHFC为菱形的 C.k≥-1 D.k≥-1且k≠0 A.(3,1) B.(-2,-1) 是() 4.(3分)关于x的方程x2+4kx+2k=14的一个解是2，则k值 C.(3,1)或(-3，-1) D.(2,1)或(-2，-1) A.AC=BD B.AB∥CD 为 3.(3分)（湖南一模）如图，在菱形ABCD中，E为边CD上一点， C.AD=BC D.AC⊥BD 5(3分)设aB是一元二次方程3x2+x-2=0的两个根，侧+ AE,BD交于点O,若SAnOESm=49,则DE:AD等于( a B A.4:9 B.2:3 C.1:3 D.3:2 6.(10分)（新稷模拟）某商品进价30元，销售期间发现，当销售单 第2题图 第3题图 价定价50元时，每天可售出100个，临近五一，商家决定开启大 D 3.(3分)如图，在正方形ABCD中，点M在BD上运动，过 促销，经市场调研发现，销售单价每下降2元，每天销量增加20 第3题图 第4题图 第5题图 点M分别作ME⊥AB,MF⊥AD,垂足分别为点E,F,若 个，设每个商品降价x元 4.(3分)如图.菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,EF⊥BD BC=4,则EF的最小值为() (1)求每天销量y(个)关于x(元)的函数表达式： 垂足为点H,EF分别交AD,DC及BC的延长线于点E,M、F,且 A.2 B.2 C.6 D.22 (2)求该商品的销售单价是多少元时，商家每天获利1760元： D0r=12则胎的值 4.(3分)如图，四边形ABCD是菱形，点E和F分别是边AD和BC (3)请说明：商家每天的获利是否能达到3000元？ 上的动点，线段EF的最大值是85，最小值是8，则这个菱形的 A. 4 线 边长是 c号 5.(3分)（石家庄一模）如图，在△ABC中，AB=4,BC=6,AC=5,点 D,E分别在边BC,AC上，且BD=4.若以C,D,E为顶点的三角 形与△ABC相似，则AE的长度为 第4题图 第5题图 6.(3分)一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些 5.(3分)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3,BC=1,P为DC边上 球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后， 一点，将△PAD沿PA折叠，得到△PAE.点E,F关于AC对称，若 放回摇匀，经过大量摸球试验发现摸到红球的频率稳定在0.4 EF=1.则∠PAD的度数为 附近，则口袋中黄球大约有 个 河南专版·九年级数学第1页 河南专版·九年缀数学第2页 河南专版·九年级数学第3页 专项2 类型四投影、视图与反比例函数 类型五直角三角形的边角关系 类型六二次函数 常考点1三视图(1题) 常考点求锐角三角函数值(1、3题) 易错点考虑不全而出错(2、3题) 常考点2 中心投形(2题】 重难点锐角三角虽数的应用(24题》 重难点二次函数的图象、性质与应用(14、5,6题)》 重难点1 反比例函数的图象与性质(3、4,5题)】 球叫 重难点2 反比例函数的应用(6题) 1.(3分)在Rt△ABC中，∠C=90°，imM=写，则m4的值为( 1.(3分)（泉州二模）抛物线的函数表达式为y=3(x-2)2+1,若将 1.(3分)下列几何体中，左视图为三角形的是( x轴向上平移1个单位长度，将y轴向左平移2个单位长度，则 623 该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为( 3 A.y=3x2 B.y=3x2+2 2.(3分)如图，在坡度i=1：3的山坡AB上植树，要求相邻两树 C.y=3(x-4)1 D.y=3(x-4)2+2 图 2.(3分)下列现象中，属于中心投影的是( 间的水平距离AC为2,3m,则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB 2.(3分)如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是4，那么 为( c的值等于( A.白天旗杆的影子 B.阳光下广告牌的影子 A.3 m B.2 m C.4 m D.43m A.7 B.15 C.灯光下演员的影子 D.中午小明跑步的影子 C.7或15 D.-7或-15 6 3.(3分)已知二次函数y=ax2+4r+a-1的最小值为2，则a的值 3.(3分)点A(-3,),B(-1,为)，C(2,)都在反比例函数y= i=1: 为() 的图象上，则为2y3的大小关系是() A.3 B.-1 C.4 D.4或-1 第2题图 第3题图 A.yi<y2<y3 B.y3<y3<1 4.(3分)（北京三模）若A(-1,y,),B(1,y2),C(4,y3）三点都在二次 3.(3分)如图，A,B.C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点）， C.3<y1<2 D.y<yi<y3 函数y=-(x-2)2+的图象上，则1,2,5的大小关系为(） 则sin∠ACB的值为() 5 A.y<y<y B.<y3<y2 团 4.(3分)对于反比例函数y= ,下列说法正确的是( B36 5 c C.3<< D.y<< A.图象经过点(2.-3) B.图象位于第一、三象限 4.(8分)小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶 5.(3分)（撕阳一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与 C.y随x的增大而增大 D.当0<x<1时，y<-5 与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点 :轴分别交于4(-0)，8(0)两点与y轴正半轴交于点C。 A,B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高.如图， 5.(3分)反比例函数y=(k≠0)的图象如图所示，AB小轴，若 AB的长为5m,高BC为3m,他在点A处测得点D的仰角为 下列判断：①abc<0:②4ac-b>0:③c-a<0:④2a+b=0:⑤若 45°，在点B处测得点D的仰角为38.7°，A,B,C,D,E在同一平 △ABC的面积为5，则k的值为( (-).(3)是抛物线上的两个点，则>g其中正确 面内.你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出 5 的是() A.-5 B. C.-10 D.-15 信号塔DE的高：若不能，请说明理由.（参考数据：sin38.7° 2 A.①23 B.①2④ 0.625,c0838.7°=0.780，tan38.7°=0.80，结果保留整数) C.③④5 D.①④⑤ y/m 线 第5题图 第6题图 AI/m 5 第5题图 第6题图 6.(3分)如图.平行四边形OABC的边OA在x轴上，顶点C 6.(3分)如图，是一名学生在推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与 4 在反比例函数y=-一(x<0)的图象上，BC与y轴相交于点 水平距离x(单位：m)之间的关系是y=12x-10)(x+4),则铅 D,且D为BC的中点，则平行四边形OABC的面积为 球推出的距离OA= m. 专项2州 河南专板·九年级数学第4页 河南专版·九年级数学第5页 河南专版·九年级数学第6页(2)设BC=am,则AB=(39-3a)m,由题意得：a AC CN (39-3a)=130,整理得：3a2-39a+130=0,△= 4-2,由①知，△AcNn△MCA...CM-AC (-39)2-4×3×130=-39<0,方程无实数解，所以 AN 1 想法不能实现， 2CN=2AC=2.CM-2AC-8,AB// 12.解：过点A作AE⊥CD,垂足为E,设AE=x米.在 CE CN 1 Rt△ACE中，：∠C=45°，.CE=AE=x米.在Rt CD,.△CEN△BEA.BEAB4.CE=5 AE △ADE中，.：∠D=25°，tanD DE.DE=AE tanD BC=8 0.47DE+CE=CD,047+x=70.4 追梦专项二易错重难专练 类型一特殊平行四边形 22.38..AB=60-22.38≈37.6（米）.答：妙乐寺 1.C2.C 塔AB的高度约为37.6米， 3.D【解析】连接AM,由题意，得∠A=90°，ME 13.（1)解：如图，AE即为所作； ⊥AB,MF⊥AD,∴.四边形AFME是矩形，∴.AM= EF,当AM⊥BD时，AM最小，此时EF最小， ∠AMD=90°，∠ADM=45°，∴.△ADM是等腰直角 三角形，.AM=2√2，∴.EF的最小值是22.故 选D. (2)证明：由作图得∠AEC=90°，：四边形ABCD 4.10【解析】过点C作CH⊥AB,交AB的延长线于 H,四边形ABCD是菱形，.AD=AB=BC.,点 是平行四边形，∴.AD∥BC,AB=CD,∠B=∠D, E,F分别是菱形ABCD的边AD,BC上的两个动 ∠EAD+∠AEC=180°，∴.∠EAD=90°，在△CDF 点，当，点E与点A重合，点F与点C重合时，EF (CD=AB 和△ABE中，{∠D=∠B,.△CDF≌△ABE 有最大值，即AC=EF=85;当EF⊥BC时，EF有 最小值，即直线AD与直线BC之间的距离为8， DF=BE AB、CD之间的距离也为8，即CH=8.∴.AH= (SAS),∴.∠CFD=∠AEB=90°，∴.∠CFA=90°， ∴.∠EAD=∠CFA=∠AEC=90°，∴.四边形AECF √AC2-Cf=16..BC2=C+B,∴.BC2=64+ 是矩形 (16-BC)2,.BC=10. 14.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，点E在 5.15°或45°【解析】连接AF,.点E,F关于AC对 BC的延长线上，∴.DA∥CB,即DA∥CE.DE∥ 称，.AC垂直平分EF,∴.AF=AE=AD=1,若EF= AC,.四边形ADEC是平行四边形.：AC⊥BC, 1,则△AEF是等边三角形，.∠FAE=60°， ∠ACB=∠ACE=90°，.四边形ADEC是矩形. (2)解：∴点M为斜边AB的中点，且CM=5,AC= ∠CP=∠CME=∠FME=30,AB=5,BG=1, 8,∴.AB=2CM=10,在Rt△ABC中，BC= n∠ACB=9=5,∠ACB=60,∠DAC= BC √AB2-AC2=√102-82=6.由(1)可知，四边形 60°，当，点E在AC上方时，如图1，∠DAE=60°- ADEC是矩形，∴.AC=DE=8,AD=CE=BC=6,BE =6+6=12Sm-（6+12)×8-=72 309=30∠nAP=7∠DAMB=15,当点E在AC 2 下方时，如图2，∠DAE=∠CAD+∠CAE=90°，. 15.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.∠BAD= ∠BCD=90∠EMF=3∠BD=45,∠BCA= ∠PAD= -∠DAE=45° ∠ACD=45°，∴.∠CAN+∠CAM=45°，∴.∠ACM= ∠ACN=135°，：∠CAM+∠M=∠BCA=45°， ∠CAN=∠M,.△ACN∽△MCA: (2)解：①(1)中的结论仍然成立，理由如下：四 图1 图2 边形ABCD是菱形，.AB∥CD,.∠BAD= 类型二一元二次方程 ∠BCD,.∠BCA=∠ACD,.180°-∠BCA=180°- 1.D2.A 3.C【解析】由题意可知：当k≠0时，△=(-4)2-4h ∠ACD,即∠ACM=∠ACW,∠MAN= ∠BAD, ×(-4)≥0，∴.k≥-1，当k=0时，原方程是一元 次方程，有实数根，k≥-1.故选C. ·∠CAW+∠CMM= ∠BAD,:∠CAM+∠M= 4.15.2 2 LACB=∠BCD=∠BD∠CN=LM. 6.解：(1)y=×20+100=10x+100: △ACN∽△MCA; (2)由题意可，得(50-30-x)(10x+100)=1760,解 ②MA=MWN,.∠MAN=∠MNA,由①知，∠ACB 得x1=-2(舍去)，x2=12,50-12=38..该商品的 E∠BAC=∠MAN,△MAN∽△BAC,NAC] 销售单价是38元时，商家每天获利1760元； (3)由题意可得：(50-30-x)(10x+100)=3000,△ 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBB·九年级数学第9页 =(-10)2-4×1×100=-300<0,方程无实数解，.商 31,经检验x=31是原方程的解，∴.DE=31m,答： 家每天的获利不可能达到3000元. 信号塔DE的高为31m. 类型三概率与相似 类型六二次函数 1.D2.D3.B 1.C 4.D【解析】：四边形ABCD是菱形，∴.AD∥BC,AC 2.C【解析】y=x2-6x+c-2=（x-3)2+c-11,.拋 ⊥BD,AD=BC,EF⊥BD,∴.AC∥EF,∴.四边形 物线顶，点坐标为(3，c-11),由题意得1c-111=4, AEFC是平行四边形，.AE=CF,ED:CF=1: 解得c=7或c=15.故选C ED ED 1 ED 1 3.C【解析】小：二次函数y=ax2+4x+a-1有最小值 2,∴.ED:AE=1:2, ”ADBC3BFF5 DH DE 1 DH 2,.a>0,y最小值= 4a(a-1)-42 =2,整理，得a2-3a- AD/BC,.△DEH△BFH,BHBF5DB Aa 4=0,解得a=-1或4..·a>0,.a=4.故选C. 6故选D 4.B 5.D【解析】小·开口向下，∴a<0.:抛物线与y轴的 交点在正半轴，c>0,由图象，得对称轴为直线x 【解析】：AB=4,BC=6,AC=5,BD=4, 、6 =1,.b=-2a,.2a+b=0,b>0,.∴.abc<0,c-0 CD_CE,即 2a CD=BC-BD=2.当△CDE一△CB1时，CBCM >0,∴.③错误，①④正确；二次函数y=ax2+bx+c 3:当△CDE (a<0)的图象与x轴有两个不同的交点，b2-4ac 6-C、C三5A=AGC72 >0,.4ac-b2<0,故②错误；由图象可得，y1>0,y2< 56,CE=12 CD-CE,即2_CE 0,.y1>y2,故⑤正确，.①④⑤正确.故选D. △CAB时，CACB' ,AE= 6.10 追梦专项三期末综合新颖题 4C-CE3综上，AE的长为5或 1.A2.C 5 3.A【解析】：四边形ABCD是正方形，.∠ABC= 6.15 90°，BE=2.5,BH=0.5,.HE=BE-BH=2,四 类型四投影、视图与反比例函数 边形BEFG是矩形，.BG=EF,∠BEF=90°，. 1.C2.C3.C ∠ABH=∠FEH=90°，.·∠AHB=∠EHF,∴.△ABH D【解析)A,当x=2时，=)，图象不经过点 △阳p05B-4G- (2,-3):B.k=-5<0,故该函数图象位于第二 EF=4.故选A. 四象限；C.在每个象限内，y随x的增大而增大.故 4.144【解析】：四边形ABCD是菱形，∠BAD= 选D. 72°，∴.∠DAC=∠BAC=36°，AD=AB,·AE=AB= 5.C AD,∴.∠DEA=72°=∠AEB,∴.∠=72°+72 6.8【解析】连接OB,.·四边形OABC是平行四边 =144°. 形，∴.BC∥OA,OA=BC.∴.∠CB0=∠AOB.OB= 5.27 B0,.△OAB≌△BCO(SAS).CD⊥y轴， 6.6017.3【解析】由图1知，观测视线与水平线 1 S△con=71k|=2×|-4|=2.D为BC的中点， 的夹角为60°，在Rt△ACM中，AC=BN=10m, 2 21 ∠CAM=60°，∠ACM=90°，∴.CM=AC·tan60°=10 S△Boc=2S△cp=4,,S-04Bc=2SA0e=8. ×3≈17.3(m). 类型五直角三角形的边角关系 7.8 1.B2.C 8.解：64厘米=0.64米，6.4厘米=0.064米，CD∥ 3.A【解析】设小正方形的边长为1，过点B作BD AB0B0.064 1AC于D,连接AB,:SA=2x7- 21x3. 2+1 AB,△0AB△0DC,DC=0C:40 X7-7×2×4=5.由勾股定理可知：4C=√1+49 0C.0C=400.答：C0的大致距离为400米 0.64 9.解：(1)：抛物线的顶点坐标是(50,25)，.设石块 5万，：24AC·BD=5,BD=2,由勾胶定理可知 运动的函数关系式为y=a(x-50)2+25,0C=5, 点C的坐标为(0,5)，抛物线过点C(0,5),… BC=√1+9=√10，∴.sin∠ACB= a(050)+25=5,解得a=25抛物线的表达 4.解：小王能求出信号塔DE的高，理由如下：过B作 1 4 BF⊥DE于F,则EF=BC=3m,BF=CE,在Rt 式为y=125x-50)+25,即y=125+5x+5: △ABC中.：AB=5m,BC=3m,∴.AC=√AB2-BC2 (2)0D=75,.将x=75代人函数y=125 1 =4m,在Rt△ADE中.·∠DAE=45°，.AE=DE, 设AE=DE=xm,.BF=(4+x)m,DF=(x-3)m,在 (x-50)2+25,得y=20,即石块飞到点D的竖直方 △BDF中，an38.7P=DP=3-0.80,解得x 向上时距OD的高度为20，：AD=12,AB=9,∴.BD BF 4+x =12+9=21>20,∴.石块不能飞越城墙AB. 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBB·九年级数学第10页