专项1 大题抢分练-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（北师大版）河南专版

苦点2反比例函数 考点3相似 河南专版·ZBB 九年级数学 4.(9分)如图，在平面直角坐标系中，口ABCD在第一象限内.对角 6.(9分)如图.在△ABC中，点D是AB边上的一点，AD=2BD. 线交于点E,BC∥x轴，且BC=4,点B的坐标为(4,1)，点E的坐 (1)尺规作图：作直线DE∥BC交AC于点E:(不写作法，保留作 追梦专项一大题抢分练 标为(5，.已知反比例函数y=(>0)的图象经过点C 图痕迹) 者点①计算与解方程、投影与概率 (2)在(1)的条件下，若AC=6,求AB的长. 1.(10分)解方程和计算 (1)求k的值： (1)x2+6r-1=0: 2)cos60°-2im245+7an30 (2)请先描出反比例函数y= 点(x>0)图象上不同于点C的三个 整点（横纵坐标都是整数的点），再画出其图象 密 (3)将口ABCD向下平移，使点D落在反比例函数y=(x>0)的 1 p 图象上，则平移的距离为 2.生活情境·影长(9分)如图，身高1.6米的小明从距路灯的底部 7.(9分)如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等腰三角形，PC= (点0)10米的点A沿A0方向行走6米到点C处，小明在A处 PD,∠CPD=70°，且△ACP∽△APB. 头顶B在路灯投影下形成的影子在M处 (I)求证：△ACP∽△PDB: (1)影子灯杆垂直于路面，试标出路灯P的位置和小明在C处： (2)求∠APB的度数： 头顶D在路灯投影下形成的影子N的位置： (3)若AC=4,CD=5,BD=9,求△PCD的周长。 毁 (2)若路灯（点P)距地面8米，小明从A到C时，影子的长度是 123456克8 变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ D 8.(10分)如图1，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，点E: 3.文化情境·传统文化(9分)（陕西中考）王欣和张敏都是汉服妆 5.(9分)如图，一次函数=k+b(≠0)与反比例函数与=”(x> G分别在AB,AD上，AC,AF分别为两正方形的对角线 造爱好者，两人买了四种不同的花细（如图所示），一时不知道该 选哪个来装扮，因此用抽卡片的方式来决定，将这四种花细分别 0)的图象交于A(4,1),B(7,a)两点 猪想：图1中份的值为一： 画在四张背面完全相同的不透明卡片上（卡片大小，形状、质地 (1)求这两个函数的表达式： (2)探究：将正方形AEFG绕，点A旋转到图2位置，连接BE.F℃. 均相同)，将背面朝上洗匀，王欣先从这四张卡片中随机选择一 (2)根据图象，直接写出满足y,-y>0时x的取值范围： 判断二的值是否保持不变？并说明理由。 张不放回 (3)点P在线段AB上，过点P作PM1⊥x轴于点M,交函数为2的 EB (1)王欣选中的花钿恰好是B的概率是 图象于点Q.若△POQ的面积为3，求点P的坐标 (2)张敏将剩下的三张卡片洗匀后，再从这三张卡片中随机选择 14 一张，请用列表或画树状图的方法求两人选择的花钿恰好是A 和D的概率.（不分先后顺序） B D 河南专版·九年级数学第1页 河南专版·九年缀数学第2页 河南专版·九年级数学第3页 专项1 考点4二次函数的图象和性质及综合应用 考点5直角三角形与一元二次方程的实际应用 考点6特殊平行四边形的计算与证明 9.(9分)如表是二次函数y=-x2+4x+c的部分取值情况： 11.(9分)某农户为提高经济收入，购买了39m的铁栅栏.准备用 13.(9分)如图，平行四边形ABCD中，点F在AD上 根据表中信息，回答下列问题： 这些铁栅栏靠墙（墙长15m)围建一个中间带有铁韧栏的矩形 (1)请用无刻度的直尺和圆规作AE⊥BC于点E.(保留作图痕 02 养鸡场（如图所示）. 迹，不写作法)： 球叫 (1)若要建的矩形养鸡场面积为120m2.求鸡场的长AB和 (2)若DF=BE,连接CF,求证：四边形AECF矩形 y…e51… 宽BC: (1)二次函数y=-x2+4x+c图象的顶点坐标是 (2)该农户想要建-一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现 (2)求c的值，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象： 吗？请说明理由 (3)观察图象，写出y>0时x的取值范围： 宝 14.(10分)（四川二模）如图.在平行四边形ABCD中，AC⊥BC,过 点D作DE∥AC交BC的延长线于点E,点M为AB的中点，连 接CM. (1)求证：四边形ADEC是矩形： (2)若CM=5,且AC=8,求四边形ADEB的面积 10.热点情境·南水北调(10分)（石家庄模拟）如图是南水北调某 段河道的截面图.河道轮廓为某抛物线的一部分，嘉琪在枯水 12.(9分)妙乐寺塔，又名妙乐寺真身舍利塔，位于河南省焦作市 期测得河道宽度OA=20米.河水水面截痕BC=10米，水面到 武陟县城西7.5公里处，重建于后周显德二年，是我国现存最 河岸水平线OA的距离为7.5米.以点0为坐标原点建立如图 古老、规模最大、保存最为完整的五代大型砖塔.某数学兴趣小 所示的平面直角坐标系，解决如下问题： 组准备测量妙乐寺塔的高度，由于塔底不可到达，小组准备用 (1)求河道轮廓的函数表述式，并求此时最大水深为多少米？ 无人机测量，组员小明操作无人机飞至离地面高度为60米的C (2)在丰水期.测得水面到OA的距离为3.6米 处时，测得妙乐寺塔AB的顶端A的俯角为45°，他操控无人机 ①求此时水面被痕DE的长： 水平飞行70米至塔另一侧D处时，测得塔AB的顶端A的俯角 15.(I0分)（深圳二模）在四边形ABCD中，∠EMF=2∠BD(E,F ②嘉琪乘坐小船游弋到河道正中央时.向右侧河岸抛出一个小 为25°.已知A.B.C,D在同一平面内，求妙乐寺塔AB的高度 (精确到0.1米，参考数据：sim25°=0.42，cos25°=0.90，tan25 分别为边BC,CD上的动点)，AF的延长线交BC延长线于点 球，小球恰好落在点E处，小球飞行过程中到水面最大距离是8 M,AE的延长线交DC延长线于点N 米，若嘉琪抛球的力道和角度不改变，要想让小球飞到河岸（即 =0.47.2=1.41) (1)如图①，若四边形ABCD是正方形，求证：△ACN∽△MCA: 点A右侧)上，直接写出嘉琪的小船至少要向右划行多少米？ 25 (2)如图②，若四边形ABCD是菱形 ①(1)中的结论是否依然成立？请说明理由： ②若AB=8,AC=4,连接MN,当MN=MA时，求CE的长 线 图① 图② 专项1 河南专板·九年级数学第4页 河南专版·九年级数学第5页 河南专版·九年级数学第6页C=√0B2+0C=5.E(m,3m-3).CE2 -4800. ①设线上和线下月利润总和为w元，根据题意，得 CE EF.CE-m 0=01+02=(-100x2+3400x-24000)+(400x PE.EF//0B.BC=0R54c=- 4 4800)=-100x2+3800x-28800=-100(x-19)2+ m“PE=-3n」 ,3 7300,-100<0,12≤x<24,.当x=19时，w最 大，最大值为7300元，答：当x为19时，线上和线 3 7 下月利润总和达到最大，最大利润为7300元； 4m=-4m-3m,六m,=0(含去)，m,=3, ②12≤x≤20 【解析】线下月利润与线上月利 润的差为W元，W=（-100x2+3400x-24000) i21=40E=3 ·CE3 ,即四边形PECE'的周长 (400.x-4800)=-100(x-15)2+3300,令W=800,则 800=-100(x-15)2+3300,解得x1=10,x2=20, 为 当10≤x≤20时，W的值不小于800，又.：12≤x< 24,·.线下月利润与线上月利润的差不低于800元 基础知识抓分练11 时，x的取值范围是12≤x≤20. 1.A 追梦专项一大题抢分练 2.D【解析】设y=c+b,由图象可知，206+b=20」 1.解：(1)x2+6x-1=0,移项得：x2+6x=1,配方得：x2+ 30k+b=0, 6x+9=1+9,即(x+3)2=10,开方得：x+3=±√10， 解得=6、y=-2x+60:设销售利润为p,根据 解得x,=-3+√10，x2=-3-√10： 题意得，p=(x-10)(-2x+60)=-2x2+80x-600. 22 1.3 80 2+2 a=-2<0,p有最大值，当x=-2X220时， x1、1 P最大值=200.即当销售单价为20元/千克时，每天 可获得最大利润200元.故选D. 2.解：(1)点P,点N如图所示； 3,A【解析】由题意，点A到x轴的距离是0. 6m,.令y=0.6,则y=-0.1x2+1=0.6.∴.x=2或 x=-2(舍去).·.A到y轴的距离为2dm.又点A,B B 在抛物线上，OA,OB关于y轴对称，∴.AB=2×2=4 (2)设在A处时影长AM为x米，在C处时影长CN (dm).故选A. 为y米，BA⊥OM,DC⊥OM,P0⊥OM,∴.BA∥PO, 4.C【解析】令h=0,则20t-52=0,解得t1=0,t2= DC∥PO..△MBA∽△MPO,△NDC∽△NPO..∴. 4,.小球从飞出到落地用时为4s,故①正确；h= AM BA NC DC 201-512=-5(t2-4t)=-5(t-2)2+20..-5<0,.h OM PO'NO PO 0A=10米，AC=6米，.0C= 的最大高度为20m,故②正确；令h=15,则20t-5t 4米，. x1.6 =15,解得t1=1,2=3,∴.小球的飞行高度是15m 时，小球的飞行时间是1s或3s,故③错误.故选C x+108 解得25名4女解得) 5.7【解析】小OD=13,∴.点D的坐标为D(0,13) =1,.x-y=1.5,.影子的长度变短了，变短了1. 7 入 5米 当)=13时，号+6=13，解得x=±了A(- 3.解：(1)4 13),c(2,13)40=7-(-7 7 2（2)=7, (2)画树状图如下： 开始 6.②7.40米 8.解：(1)由题意，得该抛物线经过点A(0,5)和点B 王欣A 60-0部得化子 该抛物线的 张敦BC)AC)ABDABC (c=5 共有12种等可能的结果，其中两人选择的花钿恰 函数表达式为y=-x2+4x+5. 好是A和D的结果有2种，.两人选择的花钿恰 (2)由题意，在y=-x2+4x+5中，令y=2,.-x2+4x +5=2.∴.x1=2-7(不符合题意，舍去)，x2=2+ 好是A和D的概率是2= 126 √7.∴.小明走了(2+√7)m时，头顶刚好碰到这枝 垂柳. 4解：(1)由题意，得C(8,1),已知反比例函数y= 9.解：(1)设y=x+b,由表格信息可得1200=12k+b 1000=14k+b' x>0)的图象经过点C.把C(8,)代入y=得1 解得-100. 6=2400∴y与x的函数关系式为y=-100x 合=8： +2400; (2)当x=1时，y=8,当x=2时，y=4,当x=4时，y (2)设线下利润为心，元，线上利润为w2元，根据 题意，得w1=y(x-10)=（-100x+2400)(x-10)=- =2,则点(1,8)，(2,4)，(4,2)都在y=8的图象 100x2+3400x-24000,w2=400(x-2-10)=400x 上，所画图象如图所示： 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBB·九年级数学第7页 边形AEFG是正方形，∴.∠EAF=∠BAC=45 FA ’EA 2,∠EMF+∠CE=∠BAC+∠CAE,即 AC FC AC FA ∠CAF=LBAE,.△CAF∽△BAE,EBABEA -1QL1L2L3L4516718191 =√2 3)3 9.解：(1)(2,5) (2).(2,5)在二次函数y=-x2+4x+c的图象上， .-4+8+c=5,解得c=1. 5解：()点A(4,1)在=(x>0)的图象上，m 二次函数的图象如图所示： =4.反比例函数的表达式为，=4(x>0).令y2 4 -4中=得a=8将A4,1).行8代人 4k+b=1 +=8解得{g =kx+b,得{1， .一次函数的 (3)2-√5<x<2+5【解析】当y=0时，-x2+4x+1 表达式为y1=-2x+9. =0,解得x1=2-√5，x2=2+5,∴.抛物线与x轴的 1 交点坐标为(2-√5,0)，(2+√5,0)，所以y>0时x (2)当y1y2>0时，2<x<4 的取值范围为2-√5<x<2+√5. （3)设点P的坐标为(a,-2a+9),其中2<a<4. 10.解：(1)过B作BG⊥x轴于点G,由二次函数对称 性可得0G=01BC=5,BG=7.5,B(5,-7. 4 2 PM⊥x轴，Q(a,4).PQ=-2a+9-.Spo0 5),0A=20,A(20,0),设二次函数表达式为 y=ax(x-20),将B(5,-7.5)代入得-7.5=a·5× 2+2=3解释a=2及点P的坐标 5 (-15),解得a0二次陌数表达式为y=: -10)2-10,.顶点纵坐标为-10，此时水深为10 5 7.5=2.5(米)； 为(2,5)或(24)。 (2)①令y=-3.6,即2-2x=-3.6,解得x1=2, 10 6.解：(1)如图所示，直线DE即为所求； x2=18,.x2-x1=16,即DE的长为16米； ②嘉琪的小船至少要向右划行6-25 米 5 【解析】由题易知小球的轨迹是抛物线，设DE中 点为F,小球轨迹的顶点是点M,∴.F(10,-3.6), 由①知E(18,-3.6),由题意，得E、F两，点关于对 B 称轴对称，.M(14,4.4).设小球的轨迹抛物线的 AD AE (2)DE//BC,BD=CE =2,∴.AE=2CE,AC= 表达式为y=k(x-14)2+4.4,将F(10,-3.6)代入 AE+CE=6,..AE=4. 得=- 2y= 2(x-14)+4.4,设向右划行n 7.(1)证明：△ACP∽△APB,∴.∠APC=∠B,PC 米，小球落到A点，此时抛物线表达式为y=2 1 =PD,.∠PCD=∠PDC,∠PCD+∠ACP=180°， ∠PDC+∠PDB=180°，∴.∠ACP=∠PDB,∴.△ACP △PDB; (2)解：.∠CPD=70°，∠PCD=∠PDC=55°，. (x-14-m)2+44,将A(20,0)代入可得-(6 ∠A+∠APC=55°，.∠A+∠ABP=55°，.∠APB S°（舍）或n=6 255 n)2+4.4=0,解得n=6+ =125°； (3)解：△ACP∽△PDB,PD=BD,PC=PD. S°，故嘉琪的小脂至少向右划行625丽米 255 5 ∴.PC2=AC·BD=36,.PC=PD=6,.PC+PD+CD 11.解：(1)设BC=xm,则AB=(39-3x)m,由题意得： =17,∴.△PCD的周长为17. x(39-3x)=120,解得：x1=5,x2=8,当x=5时，39 8.解：(1)2 -3x=24>15,不符合题意；当x=8时，39-3x=15, ②)化的值保持不变，理由：~四边形ACD与四 符合题意.答：鸡场的长AB和宽BC分别为15m 与8m. 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBB·九年级数学第8页 (2)设BC=am,则AB=(39-3a)m,由题意得：a AC CN (39-3a)=130,整理得：3a2-39a+130=0,△= 4-2,由①知，△AcNn△MCA...CM-AC (-39)2-4×3×130=-39<0,方程无实数解，所以 AN 1 想法不能实现， 2CN=2AC=2.CM-2AC-8,AB// 12.解：过点A作AE⊥CD,垂足为E,设AE=x米.在 CE CN 1 Rt△ACE中，：∠C=45°，.CE=AE=x米.在Rt CD,.△CEN△BEA.BEAB4.CE=5 AE △ADE中，.：∠D=25°，tanD DE.DE=AE tanD BC=8 0.47DE+CE=CD,047+x=70.4 追梦专项二易错重难专练 类型一特殊平行四边形 22.38..AB=60-22.38≈37.6（米）.答：妙乐寺 1.C2.C 塔AB的高度约为37.6米， 3.D【解析】连接AM,由题意，得∠A=90°，ME 13.（1)解：如图，AE即为所作； ⊥AB,MF⊥AD,∴.四边形AFME是矩形，∴.AM= EF,当AM⊥BD时，AM最小，此时EF最小， ∠AMD=90°，∠ADM=45°，∴.△ADM是等腰直角 三角形，.AM=2√2，∴.EF的最小值是22.故 选D. (2)证明：由作图得∠AEC=90°，：四边形ABCD 4.10【解析】过点C作CH⊥AB,交AB的延长线于 H,四边形ABCD是菱形，.AD=AB=BC.,点 是平行四边形，∴.AD∥BC,AB=CD,∠B=∠D, E,F分别是菱形ABCD的边AD,BC上的两个动 ∠EAD+∠AEC=180°，∴.∠EAD=90°，在△CDF 点，当，点E与点A重合，点F与点C重合时，EF (CD=AB 和△ABE中，{∠D=∠B,.△CDF≌△ABE 有最大值，即AC=EF=85;当EF⊥BC时，EF有 最小值，即直线AD与直线BC之间的距离为8， DF=BE AB、CD之间的距离也为8，即CH=8.∴.AH= (SAS),∴.∠CFD=∠AEB=90°，∴.∠CFA=90°， ∴.∠EAD=∠CFA=∠AEC=90°，∴.四边形AECF √AC2-Cf=16..BC2=C+B,∴.BC2=64+ 是矩形 (16-BC)2,.BC=10. 14.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，点E在 5.15°或45°【解析】连接AF,.点E,F关于AC对 BC的延长线上，∴.DA∥CB,即DA∥CE.DE∥ 称，.AC垂直平分EF,∴.AF=AE=AD=1,若EF= AC,.四边形ADEC是平行四边形.：AC⊥BC, 1,则△AEF是等边三角形，.∠FAE=60°， ∠ACB=∠ACE=90°，.四边形ADEC是矩形. (2)解：∴点M为斜边AB的中点，且CM=5,AC= ∠CP=∠CME=∠FME=30,AB=5,BG=1, 8,∴.AB=2CM=10,在Rt△ABC中，BC= n∠ACB=9=5,∠ACB=60,∠DAC= BC √AB2-AC2=√102-82=6.由(1)可知，四边形 60°，当，点E在AC上方时，如图1，∠DAE=60°- ADEC是矩形，∴.AC=DE=8,AD=CE=BC=6,BE =6+6=12Sm-（6+12)×8-=72 309=30∠nAP=7∠DAMB=15,当点E在AC 2 下方时，如图2，∠DAE=∠CAD+∠CAE=90°，. 15.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.∠BAD= ∠BCD=90∠EMF=3∠BD=45,∠BCA= ∠PAD= -∠DAE=45° ∠ACD=45°，∴.∠CAN+∠CAM=45°，∴.∠ACM= ∠ACN=135°，：∠CAM+∠M=∠BCA=45°， ∠CAN=∠M,.△ACN∽△MCA: (2)解：①(1)中的结论仍然成立，理由如下：四 图1 图2 边形ABCD是菱形，.AB∥CD,.∠BAD= 类型二一元二次方程 ∠BCD,.∠BCA=∠ACD,.180°-∠BCA=180°- 1.D2.A 3.C【解析】由题意可知：当k≠0时，△=(-4)2-4h ∠ACD,即∠ACM=∠ACW,∠MAN= ∠BAD, ×(-4)≥0，∴.k≥-1，当k=0时，原方程是一元 次方程，有实数根，k≥-1.故选C. ·∠CAW+∠CMM= ∠BAD,:∠CAM+∠M= 4.15.2 2 LACB=∠BCD=∠BD∠CN=LM. 6.解：(1)y=×20+100=10x+100: △ACN∽△MCA; (2)由题意可，得(50-30-x)(10x+100)=1760,解 ②MA=MWN,.∠MAN=∠MNA,由①知，∠ACB 得x1=-2(舍去)，x2=12,50-12=38..该商品的 E∠BAC=∠MAN,△MAN∽△BAC,NAC] 销售单价是38元时，商家每天获利1760元； (3)由题意可得：(50-30-x)(10x+100)=3000,△ 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBB·九年级数学第9页