抓分练9 解直角三角形-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（北师大版）河南专版

基础知识抓分练9 解直角三角形 一、选择题（每小题3分，共15分） 题目 测量树顶到地面的距离 1.在t△ABC中，∠C=90,若sin4=亏，则 D 测量目标 cosB的值是( 示意图 B 4 c 4 B. 3 D. 5 相关数据 AB=30米，∠α=28°，∠B=45° 2.(安徽中考)点(-sin60°，cos60°)关于y轴 对称的点的坐标是( ) A.x=(x-30)tan28 B.x=(30+x)tan28 B.(31 C.x+30=xtan28 D.x-30=xtan28° 22) 二、填空题（每小题3分，共6分） c( 6.(威海期末)在△ABC中，若∠A、∠B满足 3.生活情境·梯子斜靠如图，梯子跟地面的夹 sinA3+(1-tamB)2=0,则∠C的度数 角为∠o,关于∠α的三角函数值与梯子的 为 倾斜程度之间，叙述正确的是( 7.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被 A.sina的值越小，梯子越陡 誉为“现代世界七大奇迹”之一的超级工 B.cosα的值越小，梯子越陡 程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的 C.tan的值越小，梯子越陡 里程碑之作.港珠澳大桥主桥为三座大跨 D.陡缓程度与∠的函数值无关 度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造 型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年 级学生为了测量该主塔的高度，站在B处 看塔顶A,仰角为60°，然后向后走160米 第3题图 第4题图 (BC=160米)，到达C处，此时看塔顶A,仰 4.文化情境·数学文化我国汉代数学家赵爽 角为30°，则该主塔的高度是 在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”如图 所示，它是由四个全等的直角三角形与中 间的小正方形拼成的一个大正方形.如果 大正方形面积为25，小正方形面积为1，则 三、解答题（共29分） sin=( ) 8.(10分)计算： (1)cos260°+cos245°+√2sin30°sin45°； 5 5.(佛山模拟)如表是小亮填写的实践活动报 告的部分内容：设树顶到地面的高度DC=x 米，根据以下条件，可以列出求树高的方程 为( 追梦之旅真题·课本回头练·ZBB·九年级数学第15页 (2)√/sin230°+sin260°-2sin60°sin30°. 10.（10分)（郑州期末）农业路大桥横跨亚洲 最大铁路编组站，该桥为独塔双索面钢混 凝土结合梁斜拉桥，是国内同类型桥中桥 面最宽的结合梁斜拉桥.某数学“综合与 实践”小组的同学把“测量农业路大桥的 某组斜拉索最高点到桥面的距离作为一 项课题活动，进行了探究，具体过程如下： 【方案设计】如图，分别在A,B两点放置测 9.数学思想·数形结合(9分)（衡阳期末）阅 角仪，测得∠CDE和∠CED的度数，并量 读以下材料，并按要求完成相应的任务 出AB的距离，即可解决问题； 构建几何图形解决代数问题是“数形结合” 【数据收集】∠CDE=37°，∠CED=45°，AB 思想的重要应用，例如：在计算tanl5时，可 =347米，测角仪AD和BE的高度为1.5 构造如图1所示的图形.在Rt△ACB中， 米； ∠C=90°，∠ABC=30°，设AC=x(x>0),延 【问题解决】求农业路大桥某组斜拉索最 长CB至点D,使得BD=AB,连接AD,易知 高点C到桥面AB的距离.（结果保留整 数，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， ∠D=15°，CD=BD+BC=AB+BC=2x+√3x, tan37°≈0.75) 所以tanl5°=tanD=… 30° 15) 45.22.50 B 图1 图2 任务： (1)请根据上面的步骤，完成tanl5°的计 算； （2)请类比这种方法，计算图2中tan22.5° 的值. 追梦之旅真题·课本回头练·ZBB·九年级数学第16页10.1.44π【解析】如图，由题意得，QB=0.8m,0Q= OP-PQ=3-1=2(m),BQ//AP,.. 3,解得k=6,这个反比例函数的表达式为y △OBQ△OAP,∴. B0=00即08 6 AP OP' AP [,解得AP=12.则地面上阴影那分 A （2)如图： 的面积=T×1.22=1.44m(m)2. 11.解：(1)112(2)810 (3)如图所示： 012345678910x (3)由图知E(6,4),令6 =4得，=3 ,6 3 左视图 12.解：(1)点0、线段OP即为所作 之一矩形ACD向左平移)个单位时，点E落在 2 反比例函数图象上. 9.解：(1)设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式 (2)BF=DB=2米，即∠D=45°，.DP=OP,在 为y=兰，将c(20,45)代人得45=前解得6=90， △COP中，AE⊥CP,OP⊥CP,.AE∥OP,. A61-a6P,合据设P=.Op-么则 反比例函数的解析式为y=900当x=45时，y 20,.D(45,20).AD∥x轴，∴.A(0,20),即点A 1+看，又：DP=0P,2+4+x=h,x=4,4 12 对应的指标值为20： (2)能.理由：当0≤x≤10时，设线段AB的解析式 10,∴.路灯有10米高. 为y=mx+n,将A(0,20)、B(10,45)代入得 5 基础知识抓分练8 (20=n 1.B (45=10m+n,解得/m二 2,.线段AB的解析式为y 2.B【解析】由题意，得k-1>0,则>1，整式x2 n=20 x+4可以用完全平方公式进行因式分解.·.-k=± 2×1×2=±4，则k=±4，故k=4,.该反比例函数的 2*+20当≥36时，解得x≥由(1)得反比 k-13 ,当y≥36时，解得x≤ 900 表达式为y= =.故选B. 例函数的解析式为y= xx 3.A 4.D【解析】D.如果两个变量的每一组对应值的乘 25.当32≤x≤25时，注意力指标都不低于36，而 积是一个不等于0的常数，那么就说这两个变量成 253293 反比例，从图象中得到当水分含量为0时，R,的阻 一5=5>18，张老师能确保学生在听这道综 值为402，此时水分含量×R,的阻值为0，不符合 合题的讲解时，注意力指标都不低于36. 成反比例关系的定义.故选D 基础知识抓分练9 5. 1.C2.A3.B 6.(8,4)【解析】设0C=a,:BC=20C=2CD,.BC 4.B【解析】如图所示.：大正方形的 =2a,CD=a,·四边形CDEF为正方形，∴.CF=EF 面积是25，小正方形面积是1，.大正 =CD=a,∴.OF=OC+CF=2a,∴.点E的坐标为 方形的边长AB=5,小正方形的边长 （2a,0,点E在反比例画数)32的图象上， CD=1..AC=BD,..AD=AC+1=BD+ 1,在Rt△ABD中，由勾股定理得AD+ 2a×=32,.a1=4,a2=-4(不合题意，舍去)，将y BD=AB2,.(BD+1)2+BD2=52,解得BD=AC=3 =a=4代入y=32, ，得=8点E的坐标为(8， （负值舍去)sim0=B03 AB了故选B 4). 5.B【解析】由题意得：DC⊥AC,在Rt△DBC中， 【解析】根据题意得：10A=20(A-20),解得A ∠DBC=45°，DC=x米，BC=DC tan45=xAB=30 =0,0=10x40=40.P-40,当R=1sn时. 米，.AC=(x+30)m,在Rt△ACD中，∠DAC=28°， .CD=AC·tan28°，.x=(30+x)tan28°.故选B. P80 =3,即当R=150时，P的值为80w 3 6.750【解折】由题意，得s1-=0,1-1nB=0. ⑧解：(1)把点4(3,2)代入反比例函数y=得2号 sind=3 F2,ianB=1∠A=60°，∠B=45°，∠C 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBB·九年级数学第5页 =180°-∠A-∠B=75 【解题技巧】根据点(1，m)和点(3，n)在抛物线y= 7.80√3米【解析】过点A作AD⊥CB,垂足为D,由 ax2+bx(a>0)上，得出a+b<0,3a+b>0,再根据点(- 题意，得∠ABD=60°，∠ACD=30°，∴.∠CAB= 1,y1),（2,y2),(4,y3)在该抛物线上，求出y1=a ∠ABD-∠ACD=30°，.∠CAB=∠ACD=30°，∴.BA b,y2=4a+2b,y3=16a+4b,利用作差法比较大小即 =BC=160米，在Rt△ABD中，AD=AB·sin60°=80 可· 3米，.该主塔的高度是803米 9.解：(1)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,.二次函数对 8:原武-（分产+3× 1211 称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4)； 2242 (2)列表如下： 15 x…-10123… 24 y…03430… (2)原式=√(sin60°-sin30°)2=1sim60°-sim30°|= 函数图象如图所示： sin60°-sin300=√3-1 2 9.解：(1)tanD= D2-3,即1aml15°=2-3： AC (2)延长CB到点D,使BD=BA,因为∠ABC=45°， AB=DB,所以∠D=∠DAB=22.5°.令AC=x,则BC (3)由函数图象可知，当-1<x<2时，0<y≤4. =x,AB=√2x,所以BD=AB=√2x,则CD=CB+DB 10.解：(1)把(0,0)代入y=-x2+2x+c得c=0,∴.抛 =+2x在R△ACD中，anD=AG=2-1,即 物线解析式为y=-x2+2x..y=-x2+2x=-(x-1)2 CD +1,.顶点B的坐标为(1,1)； tan22.5°=√2-1. (2)当y=0时，-x2+2x=0,解得x1=0,x2=2,∴.A 10.解：过点C作CH⊥AB于点H,交DE于点G,由题 意得：AD=GH=EB=1.5米，AB=DE=347米，设 (2,0),.Sa0B=2×2X1=1 DG=x米，在Rt△CDG中，∠CDG=37°，∴.CG= DG·tan37°≈0.75x米，在Rt△CGE中，∠CEG= (3)设C点坐标为(t,-P+2).:Sa0c=8,.2× 45°，∴.△CGE是等腰直角三角形，.EG=CG=0. 2×1-t2+2t|=8,即-2+2t=8或-t2+2t=-8,解方 75x米.DG+GE=DE,∴.x+0.75.x=347,解得x≈ 程-2+21=-8得t1=-2,2=4,.C点坐标为(-2， 198.3,.CH=0.75x+1.5≈150（米），答：农业路 -8)或(4，-8)，方程-2+21=8无实数解，综上所 大桥某组斜拉索最高点C到桥面AB的距离约为 述，C点坐标为(-2，-8)或(4，-8). 150米. C=-3 3 基础知识抓分练10 11.解：(1)由题得{，9， 1.A a+tc=0 Γ4，.y= c=-3 2.A【解析】抛物线开口方向向下，a<0.抛 9 物线与y轴交于负半轴，∴.c<0,ac>0.对称轴 4x3: x=-20 0,.b<0,∴.bc>0,∴.A(ac,bc)在第一象 (2)①设直线PC交x轴于点E,PD⊥x轴， PD/∥OC,∴.∠OCE=∠CPD=45°..·∠COE=90 限.故选A. ∴.∠CE0=45°，.0E=0C=3,点E(3,0).∴.直线 3.B4.D 5.B【解析】分别作出两条抛物线的对称轴PM, PC的解析式为)y=g-3.3+9-3=-3 4 4 QN,交AD于点M,N,∴.四边形PMNQ是矩形， MN=PQ.AB=10,BC=5,CD=6,MA=MC=2 ÷一5，x2=0(舍去)，当x三一3时，= 514 AC=()5BND-2 D2(CD+ 33 BC)=1 5 3 2.MN=AD-AM-ND=(AB+BC+CD)-AM 3 【解析)设点P(m,m2+号m-3),四边形 PECE'的周长记作I,过点E作EF⊥y轴于点F -WD=8,.PQ=8.故选B. 点E与E'关于PC对称，∴.∠ECP=∠PCE',CE 6.B【解析】过A作AH⊥x轴于H,.四边形ABCO =CE'.PE∥y轴，∴.∠EPC=∠PCE',∴∠ECP 是正方形，∠A0B=45°，.∠A0H=45°，.AH= =∠EPC,∴.PE=CE,∴.PE=CE',∴.四边形PECE 0H,设A(m,m),则B(0,2m),.=am+c,解得 2m=c 为年行四边形，口P5CE为支形当y=0时，子 am=-l,m=2c的值为-2.故选B. 4-3=0,解得x1=1,x2=-4,B(-4,0).又 7.y=-x2+1(答案不唯一) 8.y3>y1>y2 C(0,-3),直线BC的解析式为y=乙x-3, 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBB·九年级数学第6页