抓分练2 一元二次方程-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（北师大版）河南专版

基础知识抓分练2一元二次方程 一、选择题（每小题3分，共15分） 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.下列方程是一元二次方程的是( 6.开放性试题写出一个关于x的一元二次方 A.x+5=3x-1 B.ax2+x+1=0 程，使其二次项系数为1，有一根为2，则这 C.2x+3y=7 D.3x2-1=2x 个方程可以是 2.一元二次方程5x2-18=9x化成一般形式 7.若x=-1是方程x2-mx+2=0的一个根，则 后，一次项系数是() m= A.5 B.9 C.-9 D.1 8.如表是学生小明探究关于x的一元二次方 3.关于一元二次方程x2+kx-9=0(k为常数) 程x2+ax+b=0的根的情况，则4a+b的值 的根的情况，下列说法正确的是( 是 A.有两个不相等的实数根 -2-1 0 1 23 x2+ax+b5 0-3 -4 -30 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 9.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为x1、 x2,则x,+x2的值为 D.不能确定根的情况 三、解答题（共39分） 【变式】学科内融合若关于x的一元二次 10.(12分)按要求解方程： 方程x2-2x+k+1=0有两个不相等的实数 (1)x2+8x+15=0(用因式分解法)： 根，那么直线y=x+k一定不经过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.用分解因式法解方程x2-x-6=0,将左边 分解后有一个因式是(x-3),则p的值 (2)2x2-4x-3=0(用配方法)； 是() A.-5 B.5 C.-1 D.1 5.文化情境·传统文化“指尖上的非遗一一麻 柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态.如 图是在一幅长80cm,宽60cm的麻柳刺绣 (3)-3x=1-x2(用公式法)： 的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩 形挂图，且整个挂图的面积是6300cm?.设 边框的宽度为xcm,则列出的方程为( A.(60+x)(80+x)=6300 B.(60-x)(80-x)=6300 C.(60+2x)(80+2x)=6300 D.(60-2x)(80-2x)=6300 追梦之旅真题·课本回头练·ZBB·九年级数学第3页 11.(8分)已知关于x的方程x2-（m+1)x+ 13.(9分)某市按照《关于切实做好2025年初 2(m-1)=0. 中毕业升学体育考试工作的通知》的要 (1)求证：无论m取何值，这个方程总有实 求，跳绳项目为必选项目.某体育用品店 数根； 销售一种跳绳，4月份销售150条，6月份 (2)若等腰△ABC的一腰长a=6,另两边 销售216条，若从4月份到6月份销售量 b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的月增长率相同. 的周长 (1)求该跳绳销售量的月增长率： (2)若此种跳绳的进价为30元/条.经过 市场调研，当售价为40元/条时，月销售量 为600条，若在此基础上售价每上涨1元， 则月销售量将减少10条，为使月销售利润 达到10000元，而且尽可能让顾客得到实 惠，求该跳绳的实际售价， 12.[教材习题变式](10分)如图，在Rt △ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC= 10cm,点P从点A开始沿AB边向点B移 动，速度为1cm/s;点Q从点B开始沿BC 边向点C移动，速度为2cm/s,点P,Q分 别从点A,B同时出发，当其中一点到达终 点后，另一点也随之停止运动 (1)几秒后，PQ的长度为35cm: (2)几秒后，△PBQ的面积为8cm2; (3)△PBQ的面积能否为14cm2?请说明 理由. 追梦之旅真题·课本回头练·ZBB·九年级数学第4页形，∴.BC=OA=25.故选D. 10.解：(1)四边形ADCE为矩形.理由如下：，四边 4.B【解析】，PE⊥AB,PF⊥AC,∠BAC=90°，. 形ABDE为平行四边形，∴.AE∥BD且AE=BD. ∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°，∴.四边形AEPF是 D为BC的中点，∴.BD=CD,∴.AE=CD.由题意 矩形，∴.EF,AP互相平分且EF=AP,.EF,AP的 得AE∥BD,.四边形ADCE为平行四边形.：AB 交点就是M点，：当AP的值最小时，AM的值就最 =AC,D为BC的中点，.AD⊥BC,∴.∠ADC= 小，·当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最 90°.四边形ADCE为平行四边形，.四边形 小2P.BC=B·ACAPXRC=-AxAC. ADCE为矩形， (2)①4+43【解析】∠DAB=30°且AB=4, :AB=6,AC=8,在Rt△ABC中，由勾股定理，得 ∠ADB=ADC=90°，：BD=2=CD,AD=√J42-22= BC=√AB2+AC=10,.10AP=6×8,.AP=4.8, 23,四边形ADCE为矩形，∴.四边形ADCE的 AM=2.4.故选B. 5.B【解析】：四边形AEFG是正方形，∴.∠AEF= 周长为2×(2+23)=4+4W3; ②正方形 90°.：∠CEF=15°，.∠AEB=180°-90°-15°= 75°，∴.∠B=180°-45°-75°=60°..四边形ABCD 11.解：(1)矩形的四个角都是直角 矩形的对边 平行 是平行四边形，∴.∠D=∠B=60°.故选B. 6.B【解析】由图可知：点E的运动路线为B→C→ 剩余过程如下：∴.∠DAF=∠DFA,∴.AD=FD, D→O→B.∴.点E未出发在点B处，运动到，点D AD=AE=FD=FE,∴.四边形AEFD是菱形.又： 处，回到点B处时，AE的长度都等于菱形的边长， ∠D=90°，.四边形AEFD是正方形； 是相等的.点H与点N、点Q的纵坐标相同，故 (2)NF=ND',证明如下：连接HN.由(1)得：四边 A正确；：点M的坐标为(2.5,6)，此时点E在点 形AEFD是正方形，∴.∠EFD=90°，由折叠的性 C处，动，点E运动速度为a米/秒，.BC=2.5a,AC 质得：HD'=HD=HF,∠AD'H=∠D=90°，· =6.点Q的横坐标为9，此时点E回到点B处， ∠HD'N=90°，在Rt△HNF和Rt△HND'中， BD=9a-2.5a×2=4a.四边形ABCD是菱形， EHDR△HNF≌Rt△HND'(H),NF ∴.AC⊥BD,BO=2a,A0=OC=3,AB=BC=2.5a, ∠B0C=90°，点E在，点0处时，AE最小.∴.B02+ =ND'; C0=BC2,即(2a)2+32=（2.5a)2,解得a=2(取正 (3)由(2)得：FW=ND',设FN=ND'=xcm,由(1) 值)，AE最小值为3，故B错误，C正确；：BC=5. 得：四边形AEFD是正方形，∴.AE=EF=AD= ∴.△ABC的周长=5+5+6=16.故D正确.故选B. 8cm,由折叠性质得：AD'=AD=8cm,∴.NE=EF 7.AC=BD(答案不唯一) FN=(8-x)cm,AW=(8+x)cm,在Rt△AEN中，由 8.96【解析】：四边形ABCD是菱形，.OA=OC= 勾股定理得：AE2+NE2=AW2,即82+(8-x)2=(8+ 8,OB=OD,AC⊥BD,∴.AC=2OA=16.DH⊥BC, x)2,解得x=2,∴.NE=8-x=6. 基础知识抓分练2 ·.∠BHD=90°，.BD=20H=12,.S发#ABCn=2 1.D 16×12=96. 【解题技巧】一元二次方程定义：含有一个未知数 9 2或5【解析1：∠C=90,AC=6,BC=8AB= 未知数的最高次数是2的整式方程，根据定义逐项 判定即可得到答案 2.C √62+82=10，：点D为AB的中点，.AD=BD= 2 3.A【解析】a=1,b=k,c=-9,∴.△=b2-4ac=k2+ AB=5,如图1，DB'⊥BC,垂足为点E,则∠DEB= 36>0,.方程有两个不相等的实数根.故选A. ∠PEB=90°，：∠DEB=∠C=90°，∴.DE∥AC, 【变式】A【解析】根据题意得△=b2-4ac=(-2)2 -=CEBE=DEC3 -4(k+1)>0,解得k<0,.一次函数y=kx+k的图 BE BD 象经过第二、三、四象限，不经过第一象限.故选A. 由折叠得B'D=BD=5,.EB'=B'D-DE=5-3=2, 4.D【解析】由题意，得x-3=0,解得x=3,把x=3 EB2+PE2=B'P2,PB'=PB,PE=4-PB,..22+ 代入方程得9-3p-6=0,解得p=1.故选D. (4-PB)=Pg,解得PB=:0图2，DB1AC, 5.C6.x2-4=0(答策不唯-)7.-3 BC⊥AC,.DB'∥BC,.∠ADB'=∠B,由折叠得 及-11【解标]振搭题意释价=0解得侣子 ∠B'=∠B,∠B'=∠ADB',PB'BD,.四边形 所以4a+b=-11 PBDB'是平行四边形，，B'D=BD,∴.四边形PB 9.5 DB是菱形，PB=BD=5,综上所迷，PB的长为2 10.解：(1)因式分解，得(x+3)(x+5)=0,则x+3=0 或x+5=0,所以x1=-3,x2=-5; 或5 （2)两边同除以2，得产-2-0移项，得子 配方得(a1)2=两边开平方，得-1 23 2,*10 2,所以x,=1+0 2； 图1 图2 (3)移项，得x2-3x-1=0,a=1,b=-3,c=-1,则4 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBB·九年级数学第2页 =(-3)2-4x1×(-1)=13>0,所以x=3±V 2 ,所 数的有2种情况P(小明得3分)三。-？，P 以，=3+y厘3B 22 (小华得3分)=行子该游戏不公平可改游 11.(1)证明：△=[-(m+1)]2-4×2(m-1)=(m- 戏规则为：组成的两位数是4的倍数，小明得2分， 3)2≥0，.无论m取何值，这个方程总有实数根； 否则小华得1分 (2)解：等腰△ABC的一腰长a=6,.方程有 10.解：(1)列表如下 个根为6.将x=6代入原方程，得36-6(m+1)+2 A B C D (m-1)=0.解得m=7..原方程为x2-8x+12=0. A (A,A) (A,B)(A,C)(A,D) 解得x1=2,x2=6.2、6、6能组成三角形，∴.该三 B (B,A) (B,B)(B,C)(B,D) 角形的周长为2+6+6=14. C (C,A) (C,B)(C,C)(C,D) 12.解：(1)设点P,Q运动的时间为s,则AP=tcm, D (D,A)(D,B)(D,C)(D,D) BP=(6-t)cm,BQ=2tcm,在Rt△BPQ中，根据勾 (2)由表知，共有16种等可能结果，其中两个国 股定理得BP2+BQ=PQ=(3√5)2=45，即(6-t)2 家选到同一个领域的有4种等可能结果，P(两个 +(2)=45,解得1=3或1=}（舍去）.放35后， 41 国家选到同一个领域)= 1641 PQ的长度为3W5cm; 基础知识抓分练4 (2)由5am2BPxB0=8,得2(6-)·2=8 1 1.B 【解题技巧】相似多边形就是形状相同的两个图形， 解得t=2或t=4.故2s或4s后，△PBQ的面积等 即对应边的比相等，对应角相等的两个图形，依据 于8cm2; 定义即可进行判断. (3)不能.理由如下：当SAP0=14时，即。BP×BQ 1 =3 1 =14,2(6-)·24=14,整理，得2-61+14=0， 故选D. 3.A △=(-6)2-4×14=-20<0，.方程没有实数根， 【解题技巧】相似多边形对应边之比、周长之比等于 ∴.△PBQ的面积不可能等于14cm2. 相似比，而面积之比等于相似比的平方， 13.解：(1)设跳绳销售量的月增长率为x,根据题意 得：150(1+x)2=216,解得：x1=0.2=20%,x2= 4.C【解析】设P点表示的数为x,则根据平行线分 2.2(不符合题意，舍去).答：跳绳销售量的月增 长率为20%： 10-4-2解得x=10 线段成比例可得，x-21 ,经检验，t (2)设该跳绳的实际售价为y元/条，则每条的销 售利润为(y-30)元，月销售量为600-10(y-40) ?是分式方程的解且符合实际意义即P点表示 =(1000-10y)条，根据题意得：(y-30)(1000 10 10y)=10000,整理得：y2-130y+4000=0,解得：y1 的数 故选C =50,y2=80,又.要尽可能让顾客得到实惠，.y 5.D【解析】由图形知，扩张后的长方形宽为4cm, =50.答：该跳绳的实际售价为50元/条， 2 基础知识抓分练3 设长为xcm,:矩形AB'CD'∽矩形ABCD, 1.C2.A3.D4.C 5.C【解析】通过大量重复试验后发现，蓝球出现 x心x=6,.扩张后的长方形长为6cm,原长方形 的频率稳定于0.6小2+1中1n0.6解得n=6经 的周长为2×(2+3)=10(cm),扩张后长方形的周 长为2×(4+6)=20(cm),20-10=10(cm),∴.这根 检验是原方程的解.故选C. 铁丝需增加10cm.故选D. 6.2 7.(1)0.1133(2)0.168.7 2 6.3 9.解：(1)画树状图如下： 开始 5或2【解析】：四边形ABFE是正方形， 8. 2 DE=AD-AB,由题意，得B-DE,即AB_AD-AB b AD1 23 一共有6种等可能的结果，组成的两位数是奇数的 有13,23,21,31共4种情况，组成的两位数是奇数 整理，得2AD-2AD·AB-AB2=0,解得AD=1+3 的概率为42 2 63 (2)不公平.理由如下：：组成的两位数是4的倍 〔会)815点借 AB,AD=1-/3 AD 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBB·九年级数学第3页