抓分练1 特殊平行四边形-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（北师大版）河南专版

基础知识抓分练1特殊平行四边形 一、选择题（每小题3分，共18分） 6.如图，菱形ABCD对角线交于点O,动点E 1.下列说法中，正确的是() 以a米/秒的速度做匀速运动，从点B出发 A.对角线互相垂直的平行四边形是矩形 到C,然后沿图中某些线段继续匀速运动， B.一组对边平行，另一组对边相等的四边 最后回到点B.设运动时间是x秒，AE的长 形是平行四边形 度是y米，右图反映了y随x变化而变化的 C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方 图象.下列说法不正确的是( 形 D.四条边都相等的四边形是菱形 2.如图，矩形ABCD中，AC,BD交于点O,M,N 02.5 9 分别为BC,OC的中点.若MN=3,AB=6,则 AD的长为( A.点H与点N、点Q的纵坐标相同 B.AE的最小值为3.1米 A.8 B.10 C.62 D.63 C.a=2 D.△ABC的周长是16米 二、填空题（每小题3分，共9分） 第2题图 第3题图 7.新趋势·条件开放在平行四边形ABCD中， 对角线AC与BD交于点O.添加一个条件： 3.学科内融合在平面直角坐标系中，矩形 ,则可判定四边 OBAC的位置如图，点A的坐标是(-2,4)， 形ABCD是矩形 则矩形对角线BC的长是( ) 8.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于 A.3 B.22 C.4 D.25 点O,过点D作DH⊥BC于点H,连接OH, 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6, 若OA=8,OH=6,则菱形ABCD的面积 AC=8,P为边BC上一动点，PE⊥AB于E, 为 PF⊥AC于F,M为EF的中点，则AM的最 小值是() A.2.5 B.2.4 C.2 D.3 第8题图 第9题图 9.数学思想·分类讨论如图，在Rt△ABC中， 第4题图 第5题图 ∠C=90°，AC=6,BC=8,点D为斜边AB的 5.如图，在□ABCD中，E为BC边上一点，以 中点，点P为BC边上的一动点，沿着PD AE为边作正方形AEFG,若∠BAE=45°， 所在直线折叠△PBD,得到△PB'D,当DB ∠CEF=15°，则∠D的度数是() 垂直于Rt△ABC的直角边时，PB的长度 A.55° B.60° C.65 D.70° 为 追梦之旅真题·课本回头练·ZBB·九年级数学第1页 三、解答题（共18分） 由第一步折叠可知∠FAE=∠DAF,AD= 10.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC AE,FD=FE,∴.… 的中点，四边形ABDE是平行四边形 (1)填写证明过程中的依据1： (1)判断四边形ADCE的形状，并说明理由. ,依据2： (2)填空： ,并完成剩余证明过程； ①当∠DAB=30°且AB=4时，四边形 (2)请在图④中判断NF与ND'的数量关 ADCE的周长等于 系，并加以证明； ②当∠DAB=45°时，四边形ADCE的形状 (3)请在图④中求NE的长度： 为 D 图① 图② B 》Hh0 D I FMC D 行EB 图③ 图④ 11.（10分)【实践操作】如图①，在矩形纸片 ABCD中，AD=8cm,AB=12cm. 第一步：如图②，将图①中的矩形纸片AB CD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB 上的点E处，折痕为AF,然后把纸片展平； 第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再 次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH, 然后展平，隐去AF; 第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿 AH折叠，得到△AD'H,延长AD'与EF交 于点N,与DC交于点M. 【问题解决】 请在图②中证明四边形AEFD是正方形 证明：.四边形ABCD是矩形，.∠D=90° (依据1)，AB∥CD(依据2). ·.∠FAE=∠DFA 追梦之旅真题·课本回头练·ZBB·九年级数学第2页答案详解详析·易错剖析 7的 3.D4.B 5《课本知识集锦》答案 5.C【解析】由题意得：∠AGC=∠FGE,AC⊥CE,FE ⊥CE,∴.∠ACG=∠FEG=90°，∴.△ACG△FEG, 九年级上册 六FEEC心L72,解得AC=85.:BC=DB= AC CG AC 10 第一章特殊平行四边形 1.A2.B 1m,.AB=AC+BC=9.5m,∴.凉亭的高度为9.5m. 故选C. 3A【解析】由题意，得0A=4C=4,4C1BD,BD 第五章投影与视图 =2OB,在Rt△AB0中，由勾股定理得OB= 1.D 2.B【解析】延长PA、PB分别交x轴于A'、B',作 VAB-0A=3,BD=6,S菱1= 2AC·BD= PE⊥x轴于E,交AB于D.P(2,2),A(0,1),AB ∥x轴，PD=1,PE=2,A'B'=6.AB∥A'B', 24.故选A. 4.C【解析】：四边形ABCD是菱形，.AB=BC. AB_PD,即 ∠B=60°，△ABC是等边三角形，.AB=AC=8, P时E份PE中设：AR= 则正方形的边长为8.故选C. 3.点A的坐标为(0,1)，B(3,1).故选B. 3.C 5.B【解析】：四边形ABCD是矩形，∴.∠ABC= 第六章反比例函数 90°，AD=BC=3,在Rt△ABD中，AB=7,AD=3, 1.D2.B3.R≥1 .BD=√AB2+AD2=4.故选B. 九年级下册 6.B【解析】连接CM、CN.DE=4,点M、N分别是 第一章直角三角形的边角关系 DE4AB的中点CN=B=5,C1=DE=2,当 1.A【解析】在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12, C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，.MN的 AC=13,BC=T3-122=5,inA-BC-5 最小值为5-2=3.故选B. AC3故 选A 第二章一元二次方程 1.D2.C 3.C【解析】由题意，得4=42-4(k-1)=0,.k=5, 2.C【解析小sim4= .1 F2,c0sB=2∠A=45°，∠B .关于x的一元二次方程x2-4x+k=0中，△=16 =60°，∴.∠C=75°，∴.△ABC的形状是锐角三角 4h=-4<0,·该方程没有实数根.故选C. 形.故选C 3.C 【点拨】掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 第二章二次函数 根与△=b2-4ac有如下关系：当△>0时，方程有两 1.A 个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的 2.D【解析】关于二次函数y=2(x-3)2+1,a=2>0, 实数根；当△<0时，方程无实数根. 开口向上；对称轴为直线x=3;顶，点坐标为(3,1). 4.解：(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x,根据 故选D. 题意得：500(1+x)2=720,解得x1=0.2=20%,x2= 3.C【解析】：二次函数y=ax2+bx+c的顶点为(1， -2.2(不符合题意，舍去).答：该品牌头盔销售量 -4),.对称轴为x=1,而对称轴左侧图象与x轴 的月增长率为20%； 交点横坐标的取值范围是-3<x<-2,∴右侧交点横 (2)设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，根 坐标的取值范围是4<x<5.故选C. 据题意得：(y-30)(1000-10y)=10000,解得y,= 50,y2=80,又：要尽可能让市民得到实惠，∴.y= 4D【解析由题意，当y=0时，则2+2+5 3 50.答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个. 0,解得x=-2(舍去)或x=10.故选D. 第三章概率的进一步认识 分心n心心∽nt与 1.C【解析】设袋中红球有x个，根据题意，可得：5 《课本回头练》答案〔 =0.4,解得x=6,则黄球的个数为15-6=9（个）. 基础知识抓分练1 故选C. 1.D 2c3后 2.D【解析】M,N分别为BC,OC的中点，MN=3, ∴.B0=2MN=6.在矩形ABCD中，∠BAD=90°，OB 第四章图形的相似 =OD,..BD=12..AB=6,..AD=BD2-AB2 =6 1.A √3.故选D. 2.C【解析】：AB=3,BC=2,.AC=AB+BC=5.L1 3.D【解析】连接OA,BC.作AE⊥y轴于点E,则 mm…器-光 ∠AE0=90°.A(-2,4),∴.E(0,4),∴.AE=2,0E .故选C =4,∴.0A=√2+42=25，四边形0BAC是矩 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBB·九年级数学第1页 形，∴.BC=OA=25.故选D. 10.解：(1)四边形ADCE为矩形.理由如下：，四边 4.B【解析】，PE⊥AB,PF⊥AC,∠BAC=90°，. 形ABDE为平行四边形，∴.AE∥BD且AE=BD. ∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°，∴.四边形AEPF是 D为BC的中点，∴.BD=CD,∴.AE=CD.由题意 矩形，∴.EF,AP互相平分且EF=AP,.EF,AP的 得AE∥BD,.四边形ADCE为平行四边形.：AB 交点就是M点，：当AP的值最小时，AM的值就最 =AC,D为BC的中点，.AD⊥BC,∴.∠ADC= 小，·当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最 90°.四边形ADCE为平行四边形，.四边形 小2P.BC=B·ACAPXRC=-AxAC. ADCE为矩形， (2)①4+43【解析】∠DAB=30°且AB=4, :AB=6,AC=8,在Rt△ABC中，由勾股定理，得 ∠ADB=ADC=90°，：BD=2=CD,AD=√J42-22= BC=√AB2+AC=10,.10AP=6×8,.AP=4.8, 23,四边形ADCE为矩形，∴.四边形ADCE的 AM=2.4.故选B. 5.B【解析】：四边形AEFG是正方形，∴.∠AEF= 周长为2×(2+23)=4+4W3; ②正方形 90°.：∠CEF=15°，.∠AEB=180°-90°-15°= 75°，∴.∠B=180°-45°-75°=60°..四边形ABCD 11.解：(1)矩形的四个角都是直角 矩形的对边 平行 是平行四边形，∴.∠D=∠B=60°.故选B. 6.B【解析】由图可知：点E的运动路线为B→C→ 剩余过程如下：∴.∠DAF=∠DFA,∴.AD=FD, D→O→B.∴.点E未出发在点B处，运动到，点D AD=AE=FD=FE,∴.四边形AEFD是菱形.又： 处，回到点B处时，AE的长度都等于菱形的边长， ∠D=90°，.四边形AEFD是正方形； 是相等的.点H与点N、点Q的纵坐标相同，故 (2)NF=ND',证明如下：连接HN.由(1)得：四边 A正确；：点M的坐标为(2.5,6)，此时点E在点 形AEFD是正方形，∴.∠EFD=90°，由折叠的性 C处，动，点E运动速度为a米/秒，.BC=2.5a,AC 质得：HD'=HD=HF,∠AD'H=∠D=90°，· =6.点Q的横坐标为9，此时点E回到点B处， ∠HD'N=90°，在Rt△HNF和Rt△HND'中， BD=9a-2.5a×2=4a.四边形ABCD是菱形， EHDR△HNF≌Rt△HND'(H),NF ∴.AC⊥BD,BO=2a,A0=OC=3,AB=BC=2.5a, ∠B0C=90°，点E在，点0处时，AE最小.∴.B02+ =ND'; C0=BC2,即(2a)2+32=（2.5a)2,解得a=2(取正 (3)由(2)得：FW=ND',设FN=ND'=xcm,由(1) 值)，AE最小值为3，故B错误，C正确；：BC=5. 得：四边形AEFD是正方形，∴.AE=EF=AD= ∴.△ABC的周长=5+5+6=16.故D正确.故选B. 8cm,由折叠性质得：AD'=AD=8cm,∴.NE=EF 7.AC=BD(答案不唯一) FN=(8-x)cm,AW=(8+x)cm,在Rt△AEN中，由 8.96【解析】：四边形ABCD是菱形，.OA=OC= 勾股定理得：AE2+NE2=AW2,即82+(8-x)2=(8+ 8,OB=OD,AC⊥BD,∴.AC=2OA=16.DH⊥BC, x)2,解得x=2,∴.NE=8-x=6. 基础知识抓分练2 ·.∠BHD=90°，.BD=20H=12,.S发#ABCn=2 1.D 16×12=96. 【解题技巧】一元二次方程定义：含有一个未知数 9 2或5【解析1：∠C=90,AC=6,BC=8AB= 未知数的最高次数是2的整式方程，根据定义逐项 判定即可得到答案 2.C √62+82=10，：点D为AB的中点，.AD=BD= 2 3.A【解析】a=1,b=k,c=-9,∴.△=b2-4ac=k2+ AB=5,如图1，DB'⊥BC,垂足为点E,则∠DEB= 36>0,.方程有两个不相等的实数根.故选A. ∠PEB=90°，：∠DEB=∠C=90°，∴.DE∥AC, 【变式】A【解析】根据题意得△=b2-4ac=(-2)2 -=CEBE=DEC3 -4(k+1)>0,解得k<0,.一次函数y=kx+k的图 BE BD 象经过第二、三、四象限，不经过第一象限.故选A. 由折叠得B'D=BD=5,.EB'=B'D-DE=5-3=2, 4.D【解析】由题意，得x-3=0,解得x=3,把x=3 EB2+PE2=B'P2,PB'=PB,PE=4-PB,..22+ 代入方程得9-3p-6=0,解得p=1.故选D. (4-PB)=Pg,解得PB=:0图2，DB1AC, 5.C6.x2-4=0(答策不唯-)7.-3 BC⊥AC,.DB'∥BC,.∠ADB'=∠B,由折叠得 及-11【解标]振搭题意释价=0解得侣子 ∠B'=∠B,∠B'=∠ADB',PB'BD,.四边形 所以4a+b=-11 PBDB'是平行四边形，，B'D=BD,∴.四边形PB 9.5 DB是菱形，PB=BD=5,综上所迷，PB的长为2 10.解：(1)因式分解，得(x+3)(x+5)=0,则x+3=0 或x+5=0,所以x1=-3,x2=-5; 或5 （2)两边同除以2，得产-2-0移项，得子 配方得(a1)2=两边开平方，得-1 23 2,*10 2,所以x,=1+0 2； 图1 图2 (3)移项，得x2-3x-1=0,a=1,b=-3,c=-1,则4 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBB·九年级数学第2页