零点存在性定理、根据零点数量求参数、指对幂函数的零点分布问题专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

零点存在性定理、根据零点数量求参数、指对幂函数的零点分布问题专项训练 零点存在性定理、根据零点数量求参数、指对幂函数的零点分布问题专项训练 考点目录 零点存在性定理 根据零点数量求参数 指对幂函数的零点分布问题 考点一 零点存在性定理 例1．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的零点是（    ） A．和 B．和 C．和6 D．3和6 【答案】C 【详解】由，得或， 所以函数的零点是和6. 故选：C 例2．（25-26高三上·海南海口·月考）方程的实数根所在的区间是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令,在上单调递增，并且有 , 根据零点存在定理，使得 即方程的根所在的区间为. 故选：B. 例3．（25-26高一上·辽宁大连·期中）函数在下列哪个区间内一定有零点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，，，， 则由零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为 故选：B. 例4．（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）函数的大致图象如图所示，则不能由函数零点存在定理确定的的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图象可知，在附近，函数的值均小于0， 故不能由函数零点存在定理确定． 故选：C 变式1．（25-26高一上·广东广州·月考）函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 【答案】D 【分析】直接解方程即得函数的零点. 【详解】令，即，解得, 所以函数的零点为和. 故选：D 变式2．（25-26高一上·北京房山·期中）函数的零点所在的区间（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，而， 当时，，令函数， 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 又， 因此函数的零点在上，所以函数的零点在上. 故选：C 变式3．（25-26高一上·辽宁·期中）若函数，则下列区间中一定包含零点的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知：当时，， 所以函数在上不存在零点， 当时，因为函数和函数在单调递减， 所以函数在上单调递减， 又，，， 根据零点存在定理可知，一定包含零点的区间为， 故选：C. 变式4．（25-26高三上·天津蓟州·期中）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由复合函数的单调性可得在上单调递增， 又， ， 所以，由零点存在定理可得函数的零点位于内. 故选：C. 考点二 根据零点数量求参数 例1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，若函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 故，解得， 故， 而 ，即满足，函数是定义在上的奇函数， 故； 令，解得， 又函数的零点在区间内， 故令，则，令，解得， 即实数的取值范围为， 故选：B 例2．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上单调递增， 所以，即， 解得． 故选：D. 例3．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在区间上有零点方程在区间上有解， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， 则，则. 故选：D． 例4．（24-25高二下·天津河北·期末）函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意有：当时，，令得满足题意， 当时，解得，当 时，令得满足题意， 当时，得，只需即可，则，解得， 当时，解得，所以，令得，满足题意， 当时，解得，所以，令解得，满足题意， 综上所述有：. 故答案为：. 例5．（24-25高一下·上海·期中）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由可得， 则函数在区间上有零点等价于函数与在区间上有交点， 因在区间上为减函数，在区间上为增函数，如图所示. 由图知，需使，即，解得. 故答案为：. 例6．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在区间上为增函数， 因为函数在区间上存在零点， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 例7．（25-26高一上·北京·期中）已知函数 (1)若，求的值； (2)若，用函数单调性定义证明在上单调递减； (3)设，若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由得，，解得； （2）当时，，设，且， 则， ，且， ，， ， 在上单调递减； （3）， 若函数在上有唯一零点，即在上有唯一零点不是函数的零点）， 且二次函数的对称轴为， 若函数在上有唯一零点，依题意， ①当时，，解得； ②当时，，解得，则方程的根为，符合题意； ③当时，解得，则此时的两个零点为， 符合题意． 综上所述，实数的取值范围为． 变式1．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 变式2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 变式3．（24-25高一上·河南开封·期末）已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在为增函数， 因为，，，则， 由零点存在定理可得，又因为，，故. 故选：B. 变式4．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，若存在实数使得在上有三个实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，由的图象知，在上最多有两个实数解，不满足题意； 当时，由的图象可知，不存在实数使得在上有三个实数解，不满足题意； 若，如下图，均可找到实数，使得在上有三个实数解， 所以实数的取值范围是. 故选： 变式5．（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】当，时，函数，对称轴为， 因此函数在单调递增，函数图象如下：      令函数，，解得或， 即或， 根据图象有2个解，有1个解， 因此此时函数有3个零点，不符合题意； 当，时，函数，对称轴为， 所以在单调递减，在单调递增，函数图像如下：    令函数，，解得或或， 根据图象，有3个解，有2个解， 又有6个零点，所以要有1个解， 即，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：． 变式6．（25-26高三上·天津河西·期中）若函数且函数在区间内恰有4个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意得，函数， 因为函数在区间内恰有4个零点，则满足， 当时，有两个零点， 令，即，即， 即与的图象有两个公共点，如图所示， 则满足，即，解得； 当时，， 令，即方程在有2个不等的实数根， 又由函数的开口向上，对称轴为， 要使得的图象在上有两个不同的交点，如图所示， 则满足，即，解得， 所以要使得函数在区间内恰有4个零点，则满足， 即实数的取值范围为. 故答案为：.      变式7．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数． (1)当时，求的解集； (2)若函数在上是增函数，求实数的取值范围： (3)若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，可得， 不等式可得，故. 综上可知，的解集为. （2）依题意可知； 当时，图象的对称轴为， 当时，图象的对称轴为， 若函数在上是增函数，可得，解得； 因此实数的取值范围为. （3）依题意可知方程有三个不相等的实数根， 又因为，由（2）中结论可得当时，函数在上是增函数， 此时方程不可能有三个不相等的实数根，不合题意； 当时，可知； 所以可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，关于方程可能有三个不相等的实数根， 即可得， 因为，所以， 设，则； 又在上单调递增，所以； 因此可知时，满足题意， 所以实数的取值范围为. 考点三 指对幂函数的零点分布问题 例1．（25-26高三上·黑龙江·期中）定义在上的函数满足：，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意作出的大致图象如图中曲线所示： 恰有3个零点，的图象和直线恰有3个交点， 过定点， 当直线过点时，此时斜率为， 当直线过点时，此时斜率为， 结合图象可知当，即时，函数的图象和直线恰有3个交点，即. 故选：B. 例2．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若方程有4个不同的实根，如图，作出符合题意的图像， 当时，， 则由二次函数性质得此时最多有两个不同的实根， 而当时，，此时一定有两个不同的实根， 即与有两个不同的交点，得到， 当时，结合题意得有两个不同的实根， 此时与有两个不同的交点， 且此时，， 可得，即， 因为仅存在一个整数，所以，解得， 而，得到，故B正确. 故选：B 例3．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）设若有且仅有两个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知,当时,,则此时在上为单调递减,且值域为, 当时,由可知,函数是以为周期的周期函数, 且, 结合函数的图像,当满足时,与有且仅有两个交点， 即有且仅有两个解. 故选：C. 例4．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知，若、、是方程的三个相异实根，则实数的取值范围为 ，的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，， 当时，由，可得， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 所以，实数的取值范围是， 不妨设，则，则， 所以，，， 由可得，即， 所以，， 当时，由可得， 由图可得，因此，. 故答案为：；. 例5．（24-25高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，若存在且，使得，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图所示， 由图象可知，且， 所以，则， 所以，故的取值范围为． 故答案为：． 例6．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段练习）设，若方程恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为 ；若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为 . 【答案】 6 【详解】，因此的图象关于直线对称，作出函数的图象，如图， 作直线， 若是三个根，则，，， 若是四个根，由图可知，，，所以， ，因此， ， 令，则， 对函数，设，， 因为，所以，，所以，即， 即是增函数，所以， 因素，在时递增， 所以． 故答案为：6；． 变式1．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作出函数的图象如下图所示：    若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，即，即. 故选：D. 变式2．（24-25高一上·重庆江北·期末）已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 故或， 令，则或，故或， 故有3个不同的解，且解异于. 故有一个解且有两个解且解不为， 故，且，，解得. 故选：B. 变式3．（24-25高一上·湖南·阶段练习）设，若函数有4个不同的零点，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，函数 当时，，可得的图象关于直线对称. 作出的大致图象，如图所示. 由，可知. 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 所以当时，， 所以， 则 . 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 所以， 即， 即的取值范围是. 故选：A. 变式4．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若方程有2个根，则的范围是 ． 【答案】 【详解】因为， 当时，由单调递增， ∴在上单调递增， ∴当时，， 当时，所以， 综上，函数的值域为， 作出函数的图象与直线如图所示：    函数有2个零点，即与有2个交点， 所以，即. 故答案为：. 变式5．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为 【答案】或 【详解】令， 所以或，如图，画出函数的大致图象，   时，与的图象有3个交点， 所以与的图象只能有2个交点，则或， 所以或. 故答案为：或 变式6．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】函数与直线的图象如下图所示： 因为方程有四个不同根， 所以函数的图象与直线有四个不同的交点， 由图可知：， 因为二次函数的对称轴为， 所以， 由及图象可得， 因为， 所以由 ， 因为，所以， 于是， 由对勾函数的单调性可知函数在时，单调递减， 所以有， 所以的取值范围是， 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $零点存在性定理、根据零点数量求参数、指对幂函数的零点分布问题专项训练 零点存在性定理、根据零点数量求参数、指对幂函数的零点分布问题专项训练 考点目录 零点存在性定理 根据零点数量求参数 指对幂函数的零点分布问题 考点一 零点存在性定理 例1．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的零点是（    ） A．和 B．和 C．和6 D．3和6 例2．（25-26高三上·海南海口·月考）方程的实数根所在的区间是（  ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·辽宁大连·期中）函数在下列哪个区间内一定有零点（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）函数的大致图象如图所示，则不能由函数零点存在定理确定的的零点为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高一上·广东广州·月考）函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 变式2．（25-26高一上·北京房山·期中）函数的零点所在的区间（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·辽宁·期中）若函数，则下列区间中一定包含零点的区间是（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三上·天津蓟州·期中）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 考点二 根据零点数量求参数 例1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，若函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例4．（24-25高二下·天津河北·期末）函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为 . 例5．（24-25高一下·上海·期中）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 ． 例6．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为 . 例7．（25-26高一上·北京·期中）已知函数 (1)若，求的值； (2)若，用函数单调性定义证明在上单调递减； (3)设，若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 变式1．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一上·河南开封·期末）已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，若存在实数使得在上有三个实数解，则实数的取值范围是 . 变式5．（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 . 变式6．（25-26高三上·天津河西·期中）若函数且函数在区间内恰有4个零点，则的取值范围为 . 变式7．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数． (1)当时，求的解集； (2)若函数在上是增函数，求实数的取值范围： (3)若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 考点三 指对幂函数的零点分布问题 例1．（25-26高三上·黑龙江·期中）定义在上的函数满足：，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）设若有且仅有两个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知，若、、是方程的三个相异实根，则实数的取值范围为 ，的取值范围为 ． 例5．（24-25高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，若存在且，使得，则的取值范围为 . 例6．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段练习）设，若方程恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为 ；若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为 . 变式1．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一上·重庆江北·期末）已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一上·湖南·阶段练习）设，若函数有4个不同的零点，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若方程有2个根，则的范围是 ． 变式5．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为 变式6．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $