专题2.2：直线和圆的位置关系【10个题型归纳】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【专题2.2：直线和圆的位置关系】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、核心位置关系定义 1.相交：直线与圆有2个公共点（直线为割线，两交点间线段为弦） 2.相切：直线与圆有且仅有1个公共点（直线为切线，公共点为切点） 3.相离：直线与圆无公共点 二、位置关系判定方法 1.几何法（高考首选，高效快捷） 圆标准方程：（圆心，半径） 直线一般式：（不同时为0） 圆心到直线距离公式： 判定规则： 相交 相切 相离 2.代数法（辅助判定，适用于求交点） 联立直线与圆方程，消元得一元二次方程（） 判别式： 判定规则： 相交（两不同实根） 相切（两相等实根） 相离（无实根） 三、核心公式与性质 1.切线相关 性质：切线垂直于过切点的半径（高考高频隐含条件） 过圆上点的切线方程： 单位圆： 标准圆： 一般圆（）： 过圆外点的切线求解： 设斜率为，方程为，利用求 必验证斜率不存在的情况（直线是否为切线） 切线长公式：（圆心到圆外点距离与半径的勾股定理） 2.弦长相关（直线与圆相交时） 垂径定理公式（首选）：（为圆心到直线距离） 代数法弦长公式：（为直线斜率，为联立方程判别式，为二次项系数） 补充性质：圆心到弦的垂线平分弦（可用于求弦中点坐标） 四、高考常考结论 1.过定点的直线与圆相交时，最短弦为过且垂直于（为圆心）的弦，最长弦为直径 2.若直线与圆相切，则（直接等价转化，省去距离公式推导） 3.圆的两条切线从圆外同一点引出，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两切线夹角 4.直线与圆相交时，弦心距、半径、弦长一半构成直角三角形（，高考必考模型） 5.若直线与圆相切，则（代入标准圆距离公式化简所得，直接套用） 五、二级结论（提速必备） 1.切点弦方程：过圆外点作圆的两条切线，切点连线方程为（与圆上点切线方程形式一致） 2.若两圆有公切线，则公切线斜率满足：（为两圆半径，为两圆圆心） 3.直线与圆相交于，则的面积（为圆心到直线距离） 4.过原点的直线与圆相切，则（代入原点到直线距离公式推导，简化计算） 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断直线和圆位置关系】 【解题策略】 1.优先选几何法（高考首选，高效快捷） 步骤：①化圆为标准方程，确定圆心和半径；②化直线为一般式；③计算圆心到直线的距离；④比较与：（相交）、（相切）、（相离）。 2.代数法辅助（适用于需求交点或直线/圆方程复杂时） 步骤：①联立直线与圆的方程，消元得一元二次方程（）；②计算判别式；③判定：（相交）、（相切）、（相离）。 3.易错提醒：直线方程需先整理为一般式（避免遗漏或为0的情况）；圆的方程需确保半径（配方时注意符号）。 例题精选 【例题1】（2025高三上·广东·专题练习）直线与圆（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．位置关系不确定 【答案】C 【分析】求出直线所过的定点，再判断该定点与圆的位置关系即可. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径， 直线，由，解得， 即直线过定点，由， 则位于圆的内部，所以直线与圆相交. 故选：C 【例题2】（25-26高二上·北京大兴·期中）已知直线l：，圆O：，则“”是“直线l与圆O相交”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系结合充分必要条件判断即可. 【详解】圆O圆心为，半径， 直线l到圆心距离， 若，则，直线与圆相交； 但直线与圆相交时，可得，不一定能推得， 故“”是“直线l与圆O相交”的充分不必要条件. 故选：A. 相似练习 【相似题1】【多选题】（25-26高二上·重庆·期中）已知圆，直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则直线过圆心． B．若，，则直线与圆相交． C．若直线与圆相离，则． D．圆心到直线的距离为3，则直线与圆相切． 【答案】ABD 【分析】求得圆心和圆的半径，根据直线与圆的位置关系逐项计算判断即可. 【详解】由圆，可知圆心，半径， 对于A，若，则直线，又，所以直线过圆心，故A正确． 对于B，若若，，则直线， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交，故B正确． 对于C，若直线与圆相离，则，所以，故C错误． 对于D，圆心到直线的距离为3，又，则直线与圆相切，故D正确． 故选：ABD. 【相似题2】（25-26高二上·天津河东·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆上，则圆关于直线对称 B．若点在圆外，则圆上存在两个点到直线的距离为 C．若点在直线上，则直线与圆相交于两点 D．若点在圆内，则直线与圆相离 【答案】D 【分析】对A：计算可得该直线不过圆的圆心，即可得；对B：当圆的圆心到直线的距离时不符；对C：可得，结合直线与圆位置关系，计算出圆的圆心到直线的距离即可得；对D：可得，结合直线与圆位置关系，计算出圆的圆心到直线的距离即可得. 【详解】对A：圆的圆心为， 有，故直线不过圆的圆心， 故直线不是圆的对称轴，故A错误； 对B：由点在圆外，则， 则点到直线的距离为， 但当时，有此时圆上有四个点到直线的距离为，故B错误； 对C：若点在直线上，则有，即， 则点到直线的距离为， 故直线为圆切线，故C错误； 对D：若点在圆内，则， 则点到直线的距离为， 则直线与圆相离，故D正确. 故选：D. 【题型2：由直线和圆的位置关系求参数】 【解题策略】 1.核心思路：等价转化 相交或；相切或；相离或。 2.步骤拆解： ①确定圆的圆心、半径（含参数时需保证）；②写出直线方程（整理为一般式）；③代入对应条件（与的关系或的符号），建立关于参数的不等式/方程；④求解参数范围/值，验证参数的隐含条件（如直线斜率存在与否、圆的定义要求）。 3.关键技巧：含参数的直线过定点时，可先求定点，再结合定点与圆的位置关系分析参数（减少计算量）。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·陕西商洛·期中）若圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，将问题转化为圆心到直线为1求解. 【详解】圆的圆心，半径， 由圆上有且仅有3个点到直线的距离为1， 得圆心到直线为1，则，而， 所以. 故选：B 【例题2】（河北省名校联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）已知圆上恰有三个点到直线l：（）的距离都为1，则l的方程为（   ） A． B． C．或 D．不存在 【答案】B 【分析】求出直线所过定点为，但不包括，再分析得圆心到直线的距离为1得到方程，解出即可. 【详解】由圆的方程可知其圆心为，半径为2， l：，显然表示恒过点的直线，但不包括直线， 若圆上恰有三个点到直线的距离都为1， 则圆心到直线l的距离为1，得，解得. 直线为， 故选：B. 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·广西来宾·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得直线为过点的动直线，曲线为以为圆心，1为半径的半圆，进而结合图象求解即可. 【详解】直线为过点的动直线， 曲线，即为半圆， 圆心为，半径为1，设半圆最下方的点为，如图，    当直线与半圆相切时，有，解得； 当直线过点时，有，即； 因为直线与半圆有两个不同的交点，所以， 则的取值范围是. 故选：B 【相似题2】（25-26高二上·天津滨海新·期中）已知直线的方程是：，且圆上恰有3个点到直线的距离为2，则的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算圆心到直线的距离为，根据圆上点到直线的距离等于2的个数为3个，可得，根据关系式计算即可； 【详解】因为圆上恰有3个点到直线的距离都等于2， 所以只需要圆心到直线的距离为2即可， 直线方程为:， 所以圆心到直线的距离为:， 解得， 故当时,圆上恰有3个点到直线l的距离都等于2． 故选：D 【题型3：求圆的弦长】 【解题策略】 1.首选垂径定理几何法（高考高频方法） 步骤：①求圆的圆心和半径；②计算圆心到直线的距离；③代入公式（直接套用，无需联立方程）。 2.代数法备用（直线斜率未知或不易计算时） 步骤：①联立直线与圆的方程，消元得一元二次方程；②计算判别式（确保相交）；③用韦达定理得，；④代入弦长公式（为直线斜率，无斜率时用）。 3.易错提醒：计算时需注意直线方程的一般式转化，避免距离公式分子符号错误。 例题精选 【例题1】（重庆市部分区2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷）直线l：被圆C：截得的弦AB的长为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用圆的弦长公式求解即可. 【详解】由题意得圆心，半径 ， 圆心到的距离为， 所以. 故选：A 【例题2】（浙江省温州新力量联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线恒过的定点，圆心和半径，通过分析可知直线与直线垂直时，最小， 利用勾股定理求解即可. 【详解】，，，， 直线恒过点，在圆的内部， ，圆心，半径， 要使最小，则圆心到直线的距离最大， 当直线与直线垂直时， 圆心到直线的距离最大， ，，， 则的最小值为. 故选：A. 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）平面内一动点到点与的距离之比为. (1)求动点的轨迹方程： (2)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）根据条件得直线，求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式，即可求解. 【详解】（1）设动点，因为到点与的距离之比为， 即，则， 整理可得， 所以动点的轨迹方程为. （2）由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 又直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，所以. 【相似题2】（25-26高二上·浙江·期中）已知圆过点，直线的方程为. (1)求圆的方程； (2)当直线被圆截得的弦长最短时，求的值及最短弦长. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）设圆的方程为，将三点代入解方程求出，即可得出答案. （2）先求出直线过定点可判断点在圆内，当时，直线被圆截得的弦长最短，由此可求出再由弦长公式求出最短弦长. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题意可知 解得：满足， 所以圆的方程为； （2）直线的方程为，即. 所以直线过点，即直线过定点 圆的圆心为，又因为，即点在圆内， 所以当时，直线被圆截得的弦长最短， 此时直线的斜率为1，所以直线的斜率为-1，，解得： 直线的方程为， ， 所以直线被圆截得的最短弦长为. 【题型4：由圆的弦长求参数】 【解题策略】 1.逆向运用弦长公式 步骤：①设所求参数为（直线斜率、截距或圆的半径等）；②确定圆的圆心、半径（含参数时需标注）；③表达圆心到直线的距离（含参数）；④由弦长建立方程，代入已知弦长求解参数；⑤验证：确保直线与圆相交（或），排除增根。 2.关键技巧：若参数在直线方程中，可先将用参数表示，再代入弦长公式，避免复杂联立。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·北京·月考）直线与圆交于，两点，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用垂径定理及勾股定理表示出弦长，列出关于的不等式，求出不等式的解集，即可得到的范围. 【详解】由圆的方程知，圆心，半径， 圆心到直线即的距离， ， 变形整理得，即，解得， 的取值范围是， 故选：D 【例题2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于A，B两点，且，，点在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心，半径为，根据条件，列出方程组，求，可得圆的标准方程. （2）先求圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式求直线的斜率. 【详解】（1）设圆心（，）. 因为，所以. 因为圆与轴相切，所以. 又，所以. 由. 所以圆的标准方程为：. （2）如图：    因为，所以圆心到直线的距离. 若直线不存在斜率，则直线：，点到的距离为2，不满足题意； 可设直线方程为：，即， 由 所以直线的方程为或. 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·北京·期中）已知圆的圆心在轴上，且经过点，. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心，根据圆过已知两点，可确定圆心和半径，可得圆的标准方程. （2）利用几何法，根据弦长可求圆心到直线的距离，分直线存在斜率和不存在斜率，利用点到直线的距离公式，可求直线方程. 【详解】（1）设圆心为，由， 所以. 所以圆的方程为：. （2）因为直线与圆相交，弦长为， 所以圆心到直线的距离为：. 如图：    若直线斜率不存在，则：，圆心到的距离为1，故满足题意； 若直线斜率存在，则设：即， 由. 所以直线：即. 综上，所求直线的方程为：或. 【相似题2】（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知一个圆与轴相切，其圆心在射线上，且被直线截得弦长为，则此圆的方程为 . 【答案】 【分析】设圆心为，可得圆的半径为，根据弦长列式，可求的值，从而确定圆的方程. 【详解】因为圆心在射线上，所以可设圆心为，， 又因为圆与轴相切，所以圆的半径为，. 所以圆的方程为. 因为圆被直线截得弦长为， 所以，又，所以. 所以所求圆的方程为：. 故答案为： 【题型5：求圆的切线方程】 【解题策略】 1.情况1：过圆上一点的切线方程 直接套用公式：①标准圆：；②一般圆：；③单位圆：。 2.情况2：过圆外一点的切线方程 步骤：①设切线斜率为，方程为（斜截式或点斜式）；②由圆心到直线距离列方程求；③必验证斜率不存在的情况（直线是否为切线）；④最终切线方程为1~2条（圆外点必引2条切线）。 3.情况3：斜率已知为的切线方程 步骤：①设切线方程为；②由得，求解；③切线方程为和（两解，除非直线与圆相切于一点）。 4.易错提醒：过圆外点时，切勿遗漏斜率不存在的切线（高考高频失分点）。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）圆在点处的切线方程为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可知点在圆上，根据垂直关系可得切线方程的斜率，即可得切线方程. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆上， 又因为，可知切线方程的斜率， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 【例题2】（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）过点与圆相切的直线方程为 . 【答案】或 【分析】将圆的方程化为标准方程，然后分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况，由圆心到直线距离等于圆的半径即可求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径， 过点，斜率不存在的直线方程为，圆心到直线的距离为2，该直线为圆的切线； 过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，即，解得， 此时切线方程为. 故答案为：或 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点的直线与圆相切，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】首先可得点在圆上，求出，即可求出直线的斜率，再由点斜式求出切线方程. 【详解】圆的圆心为， 又，所以点在圆上， 又由直线的斜率， 所以直线的斜率为2，则直线的方程为，即． 故答案为：． 【相似题2】（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射后的光线所在直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据反射光线的性质，设出反射光线所在直线方程，利用圆心到直线距离等于半径求直线斜率即可得解. 【详解】点关于轴的对称点， 根据光线的反射定律，反射后光线所在直线经过点 ， 因为反射光线与圆相切， 易知切线斜率存在，设反射光线所在直线方程为， 所以圆心到直线的距离，解得或， 所以反射光线所在直线方程为或 化简可得：或， 故答案为：或 【题型6：由圆的切线方程求参数】 【解题策略】 1.核心等价条件：切线圆心到直线距离（首选）或联立方程（备用）。 2.步骤拆解：①确定圆的圆心、半径；②将切线方程化为一般式；③代入建立关于参数的方程（或联立方程求）；④求解参数，验证参数合理性（如切线过定点时需满足定点在圆外）。 3.关键技巧：若切线过定点，可先利用定点在圆外的条件（，为圆心）缩小参数范围，再求参数。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·北京·期中）已知圆的圆心为，且过点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相切，求的值； (3)过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （2）利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于的等式，解之即可； （3）利用勾股定理求出圆心到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设该直线的方程为，结合点到直线的距离公式可得出关于的等式，求出的值，综合得出直线的方程. 【详解】（1）由题意可知，圆的半径为， 故圆的标准方程为. （2）直线的一般方程为，因为直线与圆相切，所以， 整理得，解得. （3）由题意可知，圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【例题2】（25-26高二上·天津·期中）已知圆的圆心在直线上，且与直线及都相切，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，设，利用圆心到直线的距离等于半径列出两个方程，求解即得，进而可得圆的方程. 【详解】因圆的圆心在直线上，可设圆心为，半径为， 依题意圆心到直线的距离，① 圆心到直线的距离，② 联立①和②，解得，故圆的方程为. 故选：A. 相似练习 【相似题1】（2025·山东·模拟预测）已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得圆心到直线l的距离，解该不等式即可得解. 【详解】因为圆的半径为， 且过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且， 所以圆心到直线l的距离，解得或， 故实数的取值范围是. 故选：D 【相似题2】（2025·山西晋中·模拟预测）若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意有半径且与圆心的距离，结合及二倍角余弦公式求. 【详解】由，则圆心，半径， 所以与圆心的距离， 所以，则. 故选：B 【题型7：切点弦及其方程】 【解题策略】 1.切点弦方程求解 公式法（直接套用）：过圆外点作圆的两条切线，切点连线（切点弦）方程为（与圆上点切线方程形式完全一致，可记忆为“代点入圆的‘半代换’形式”）。 2.切点弦相关问题（如求切点弦长、过定点） 步骤：①写出切点弦方程；②求圆心到切点弦的距离；③切点弦长；④过定点问题：将切点弦方程整理为关于参数的恒成立形式（如），联立求定点。 3.核心结论：切点弦所在直线与圆心和圆外点的连线垂直（可用于快速验证方程正确性）。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知，直线，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意直线与圆相离，根据圆的性质知共圆且，根据 知，当直线时最小，求出以为直径的圆的方程，即可求出直线的方程. 【详解】由题设，点到直线的距离， 所以直线与圆相离，    又为圆的切线，为切点，则四点共圆，且， 所以，而， 当直线时， ，此时最小， 而，则，故，即， 由，解得，此时， 以为直径的圆的圆心为，半径为，所以，即， 两圆的方程相减可得，即为直线的方程. 故选：A 【例题2】（22-23高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点. 【详解】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·湖北·期中）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线距离的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】假设点，求得以为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差可得直线的方程，然后可知直线过定点，最后判断和计算可得结果. 【详解】设，则， 则以为直径的圆的方程为， 与圆的方程相减，得到直线的方程为：， 又，可得，即， 可得，解得，所以直线恒过定点， 点到直线距离的最大值即为点，之间的距离，， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：A. 【相似题2】（2023·安徽·模拟预测）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合点在直线上，求出切点弦AB的方程，确定其所经过的定点，确定当时，C到直线AB的距离最大，M到直线AB的距离也最大，即可求得答案. 【详解】根据题意，设点，则， 过点作圆的切线，切点分别为A，B， 则有，，则点A，B在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立，可得圆D和圆O公共弦为：， 又由，则有，变形可得， 则有，可解得，故直线恒过定点， 点在圆上，， 当时，C到直线AB的距离最大，M到直线AB的距离也最大， 则点到直线距离的最大值为. 故选:B. 【题型8：直线与圆的位置关系求距离的最值】 【解题策略】 1.类型1：圆上一点到定直线的距离最值 几何意义：最大距离，最小距离（为圆心到定直线的距离）；②步骤：先求，再结合半径计算最值，最值点为过圆心且垂直于定直线的直线与圆的交点。 2.类型2：定直线上一点到圆的距离最值 几何意义：最大距离，最小距离（为圆心，为定直线上动点，的最值为圆心到定直线的距离）；②步骤：先求圆心到定直线的距离（即），再计算距离最值。 3.类型3：动直线与定圆的距离最值 若动直线过定点：①当在圆内/上时，最小距离为0（直线过圆心时），最大距离为；②当在圆外时，最小距离为（直线与垂直时），最大距离无界（直线远离圆时）。 4.关键技巧：所有距离最值问题均转化为“圆心到直线/点的距离”与半径的关系，避免代数法的复杂计算。 例题精选 【例题1】【多选题】（25-26高二上·广西河池·月考）已知实数满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】BD 【分析】由表示圆上的点到定点距离的平方可得其最大值为可判断A项，由表示圆上的点与点的连线的斜率，设，由圆心到直线的距离求出k的范围即可判断B项，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，结合圆上任意一点到直线的距离的最小值为（为圆心C到直线的距离），进而可判断C项，对于D,令，结合三角函数的图像与性质求解即可. 【详解】因为， 所以圆C的圆心，半径为. 对于A项，表示圆上的点到定点距离的平方，如图所示， 所以的最大值为，故A项错误； 对于B项，表示圆上的点与点的连线的斜率，如图所示， 设，即， 由圆心到直线的距离， 即，解得， 所以的最大值为，故B项正确； 对于C项， 表示圆上任意一点到直线的距离的倍，如图所示， 又圆心C到直线的距离， 所以圆上任意一点到直线的距离的最小值为， 所以的最小值为，故C项错误. 对于D项，因为， 令，所以， 所以当时，的最小值是 故选：BD. 【例题2】【多选题】（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】由圆的标准方程可判断AB，由圆心和的距离为，可判断C，设， 利用点到直线的距离可求得的最大值，可判断D. 【详解】对于A，方程为， 表示以为圆心，为半径的圆，故A正确； 对于B，，所以，所以， 所以的最大值为，故B错误； 对于C，表示圆上点到定点的距离， 又圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确； 对于D，设，直线与圆有公共点，则有. 解得，所以的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 相似练习 【相似题1】【多选题】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知是圆上的点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】将圆的方程化为标准方程，利用直线与圆的位置关系结合截距可判定A，结合两点斜率公式可判定B，利用点与圆的位置关系可判定C，利用点到直线的距离公式可判定D. 【详解】将化为标准方程， 得，圆心，半径. 对于A，设直线l的方程为， 即当直线l与圆相切时，m有最大值或最小值， 则，所以，所以的最小值为，此时点P位于图中处，故A项错误； 对于B，设，当与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，可得，所以的最大值为， 此时点P位于图中处，故B项正确； 对于C，圆心到点的距离为， 所以圆上的点到点的距离的最小值为， 所以的最小值为4，此时点P位于图中处，故C项正确； 对于D，圆心到直线的距离=， 所以点到直线距离的最大值为， 所以的最大值为，此时点P位于图中处，故D项错误. 故选:：BC 【相似题2】【多选题】（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点是圆上任意一点．则下列结论正确的是（      ） A．P点到直线的距离的最大值为2 B．P点到直线的距离的最小值为 C．的最大值为，最小值为 D．的最大值为，最小值为 【答案】BCD 【分析】先求圆心到直线的距离，进而求点到直线距离的最大值和最小值即可判断AB；设，即与圆有公共点，利用几何法即可判断C；设，即直线与圆有交点，利用几何法即可判断D. 【详解】由题意有：圆心为，由圆心到直线的距离： ，所以P点到直线的距离的最大值为，故A错误； 所以P点到直线的距离的最小值为，故B正确； 设，即，则与圆有公共点， 所以，所以的最大值为，最小值为，故C正确； 表示圆上点与点连线的斜率， 设，即，直线与圆有交点， 所以，所以的最大值为，最小值为，故D正确. 故选：BCD. 【题型9：直线与圆相交的定点定值问题】 【解题策略】 1.定点问题（直线过定点） 步骤：①设直线方程为含参数的形式（如或）；②联立直线与圆的方程，利用相交条件（）或弦长、中点等条件，整理方程为关于参数的恒成立形式（如，为参数）；③联立，解得定点坐标；④验证：将定点代入直线方程，确认对任意参数均成立。 2.定值问题（如弦长定值、向量数量积定值） 步骤：①设直线与圆的交点为、，联立方程得韦达定理结果（、）；②表达所求定值的表达式（如、）；③代入韦达定理和圆的方程（如），化简消去参数，证明结果为常数；④特殊值法辅助：先取特殊直线（如过圆心、垂直于x轴）求出定值，再针对性证明。 3.关键技巧：定点问题核心是“恒成立条件”，定值问题核心是“韦达定理化简”，均需结合圆的方程进行代换（减少变量个数）。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)设直线交圆于P，Q两点，若直线的斜率之积为3，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）由圆心在直线上，可设圆心坐标，由圆心到切线的距离等于半径列方程解得a后可得圆方程； （2）分类讨论，直线斜率不存在时，可设，由已知求出，但此直线与圆无交点，不合题意；直线l的斜率存在．设直线l的方程，把已知用坐标表示出来，记为①式，由直线与圆相交，直线方程与圆方程联立，消元后应用韦达定理得，代入①式，得出的关系式，代入直线方程整理可得直线过的定点的坐标． 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设， 因为圆C经过点，所以圆C的半径， 因为圆C和直线相切，所以圆C的半径， 所以. 化简，得，解得. 所以，半径. 所以圆C的方程为. （2）若直线的斜率不存在，则可设， 所以， 消去得，再代入不存在， 所以直线的斜率存在. 设直线的方程， 所以， 整理得， ① 直线方程与圆C方程联立，， 消去y得， 所以代入 ① 得， 由于，整理得，即， 所以直线l的方程为，即， 令，解得， 所以直线l过一个定点，该定点坐标为. 【例题2】（25-26高二上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，已知圆：，，是圆上的动点，且，的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)设点是直线：上的动点，，是的轨迹的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值； (3)若垂直于轴的直线过点且与的轨迹交于点，，点为直线上的动点，直线，与的轨迹的另一个交点分别为，，（与不重合），求证：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据弦长关系可得，可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，即可得方程； （2）根据切线性质可得，进而可得最小值； （3）先进行图形平移，将圆心平行至原点，可得，分类讨论直线斜率是否存在，利用韦达定理可证直线过定点，进而可得结果. 【详解】（1）已知圆的方程为 ，将其转化为圆的标准方程： . 所以圆心，半径. 因为是的中点，可知 . 已知，则 . 在中，根据勾股定理. 设点，根据两点间的距离公式 ， 两边平方可得 . 所以点的轨迹方程为 . （2）因为，是圆的切线，所以，. 又因为 ， 所以四边形的面积， 根据勾股定理 ， 所以. 点是直线上的动点， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离 ， 即.当取最小值时， . 所以四边形面积的最小值为 . （3）    由题意可知：直线，由，解得或， 不妨令， 先证明如下问题：若点为直线上的动点，直线（其中）与圆的另一个交点分别为，（与不重合），求证：直线过定点．    因为， 可知，即，可得， 又因为， 可得， 则，即， 整理可得， 若直线的斜率存在，设为， 联立方程，消去y可得， 则，且， 则，整理可得，解得或， 若，则直线：过定点； 若，则直线：过定点，又与不重合，不合题意； 所以直线过定点； 若直线的斜率不存在，则，可得， 即，解得或（舍去）， 此时直线过点，符合题意； 且在圆内部，直线与圆必相交， 综上所述：直线过定点. 将上述问题图象，整体向右平移1个单位，再向上平移个单位，即可得到本题的问题， 结合图形平移可知：直线过定点. 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与轴正半轴的交点为，过点的直线与圆交于不同的两点A，B. (1)直线与轴交于点，且，求直线的方程； (2)设AB的中点为，若，求的面积； (3)设直线QA，QB的斜率分别为，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)或9； (3)是定值，. 【分析】（1）设出直线的方程，表示出点，再利用数量积的坐标表示列式求解并验证即得. （2）设出直线的方程，与圆的方程联立，利用韦达定理结合两点间距离公式求出直线的方程，进而求出三角形面积. （3）由（2）中信息，利用斜率坐标公式计算得证. 【详解】（1）圆的圆心为，半径，点，而， 显然直线的斜率存在，设其方程为，则， ，由，得，解得或， 当时，直线：，圆心到直线距离，符合题意； 当时，直线：，圆心到直线距离，不符合题意， 所以直线的方程为. （2）设直线的方程为，由，得， 设，则， 点，由，得， 整理得，即， 而点在直线上，即，因此，即或， 当时，，直线， 圆心到直线距离为， 到直线距离为，则面积为； 当时，，直线， 圆心到直线距离为， 到直线距离为，则面积为， 所以的面积为或9． （3）由（2）知，，而，则， 于是 ， 所以是定值. 【相似题2】（25-26高二上·湖北武汉·月考）已知的两个顶点，，直角顶点C的轨迹记为曲线T，过点的直线l与曲线T相交于M，N两点． (1)求曲线T的方程； (2)若点，记的面积为，求的取值范围； (3)是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的Q点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【分析】（1）设动点坐标，方法1由直线垂直斜率乘积为求得轨迹方程；方法2由直角三角形斜边上的中线得到即可求得轨迹方程；方法3,由勾股定理建立方程求得轨迹方程； （2）方法1设，联立方程组整理得一元二次方程，由三角形面积公式结合韦达定理列出的代数式，然后借助双勾函数的单调性求得最值；方法2讨论斜率是否存在，设直线方程，联立方程组整理得一元二次方程，由三角形面积公式结合韦达定理列出的代数式，换元后借助二次函数求出最值； （3）由（2）中方法1得到交点纵坐标的关系，列出代数式，由圆的方程和直线方程消元，将代数式整理成关于纵坐标的式子，然后代入韦达定理的结论，由为定值得到方程，解得参数，即解得Q点坐标 【详解】（1）法1：设，由题意、存在， ∴， ∴曲线T的方程为：． 法2：由，得，∴曲线T的方程为：． 法3：∵，∴， 即曲线T的方程为：． （2）法1：由题意可知：直线l一定与T相交于不同的两点，且直线l的斜率不为0， 不妨设，，， 由，解得． 由韦达定理得：，． ∵ ． 令，则，． 又∵，∴，∴． 法2：当直线不存在斜率时，即， 则，，； 当直线存在斜率时，不妨设，，， 由，解得：， 由韦达定可得：，， 则，， 则， 令 则，，则， 综上所述，∴． （3）由（2）中方法1可知，，， ， 因为，所以， 同理， 所以， 将，代入上式，可得 使得为定值，则，则或或， 即存在，，满足要求． 【点睛】关键点睛：本题考查了圆的轨迹方程，动直线与圆交点形成的交点三角形，以及圆中动点问题.本题的关键在于找到设动直线方程，与圆的方程联立方程组，借助韦达定理，即可解答本题. 【题型10：直线与圆相交的实际问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【答案】(1)游客不在该摄像头监控范围内 (2)观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米 【分析】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线方程，判断直线与圆的位置关系即可； （2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点的直线与圆相切时的直线方程即可. 【详解】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则，观景直道所在直线的方程为， 依题意得：游客所在点为， 则直线的方程为，化简得， 所以圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. （2）由图易知：过点的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线过且恰与圆相切， ①若直线垂直于轴，则不可能与圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于， 由，解得，由，解得， 所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米. 【例题2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，某海面上有三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛千米处．以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，千米为单位长度，建立如图的平面直角坐标系．圆同时相切于线段和，切点分别为，且为的中点．若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？请说明理由． 【答案】该船没有触礁的危险，理由见解析 【分析】根据坐标可求得直线，设圆心，由直线与圆相切可构造方程求得；根据坐标可得该船航线所在直线的方程，由圆心到直线距离大于半径可得结论. 【详解】由题意知：圆心在线段与线段的垂直平分线的交点处， 由条件可知，则， 线段所在直线的方程为，即， 易知线段的垂直平分线方程为， 设圆心为， 则圆心到线段的距离，解得：， 圆的方程为． 该船初始位置为点，则，且该船航线所在直线的斜率为， 故该船航行方向为直线，即， 则圆心到直线的距离， 该船没有触礁的危险． 相似练习 【相似题1】（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），有，化简并整理即可求解. （2）直线截距式方程为，结合点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 【详解】（1）根据已知条件设且，， 由，有， ， ， ， 整理有，它是以为圆心，8为半径的圆． 所以曲线的方程为：． （2）   ，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 所以直线截距式方程为， 化为一般式方程为， 根据题意，且，解得， 所以综上可知的取值范围为． 【相似题2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心为圆心，半径为400km的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km处准备出发，若运输车沿北偏西60°方向以每小时km的速度做匀速直线运动： (1)运输车将在无人区经历多少小时？ (2)若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？ 【答案】(1)5小时 (2)800km 【分析】（1）根据题意，以火山口的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，结合点到直线的距离公式求得弦长，即可得到结果； （2）根据题意，由直线与圆相切，即可得到结果. 【详解】（1） 以火山口的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，记运输车从出发，点处开始进入无人区，到处离开无人区，则圆方程为，由运输车沿北偏西60°方向运动，可得直线的斜率，则，即，因为到的距离为, 则， 所以经历时长为小时. （2）设运输车至少应离火山口出发才安全， 此时运输车的行驶直线刚好与圆相切， 且直线方程为，即， 则到直线的距离，解得， 即运输车至少应离火山口出发才安全. 课后针对训练 1．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 2．（24-25高二下·贵州毕节·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）已知A，B为圆上的两个动点，且，若直线上存在点P，且P为线段AB的中点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北廊坊·期末）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆：相切，则反射后光线所在直线的斜率为（    ） A． B． C．±3 D． 6．（24-25高二下·浙江·阶段练习）若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·河南洛阳·期末）已知圆，直线，则下列结论错误的是（    ） A．直线l与圆C不可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．恰有三条直线与圆C和圆都相切 D．直线l与直线垂直 8．（24-25高二下·安徽滁州·期末）圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·四川南充·期末）已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．弦的中点的轨迹方程为 C．若为坐标原点，则的最大值为 D．直线的交点的轨迹方程为（去掉点） 10．（24-25高二上·广西钦州·期末）已知圆，点是直线上的点，则（    ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C．从点向圆引切线，切线长的最小值为 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 11．（24-25高二下·湖南湘西·期末）已知直线（不同时为0），圆，则（    ） A．当时，直线与圆不可能有交点 B．当时，直线与圆相切 C．当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点，使得的面积为 D．当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线 三、填空题 12．（23-24高二下·广东江门·期末）已知直线与圆交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 13．（24-25高二上·山东东营·期末）已知直线与圆交于A，B两点，，则过点的圆C的切线长为 . 14．（24-25高二上·广西柳州·期末）圆关于直线对称，则的最小值是 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·广东茂名·期末）已知圆关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于、两点，求； (3)在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 16．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标． 17．（24-25高一下·上海·期末）已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； (3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 18．（24-25高一下·重庆·期末）已知圆． (1)求圆C关于直线的对称圆的标准方程； (2)若经过点的直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，求直线l的方程 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B A C B A BCD BC 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】求出圆心和半径，求出直线过的定点，证明定点在圆内，根据当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大即可求解. 【详解】原圆方程配方得， 所以圆心为，半径， 因为直线， 所以直线过定点，因为定点和圆心的距离， 所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为， 所以弦长最短为. 故选：C. 2．D 【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解. 【详解】由得， 直线经过定点，如图， ， 当直线与半圆相切时，， 所以恰有两个公共点时，由图可知，， 故选：D． 3．B 【分析】根据圆心到直线的距离大于半径求解. 【详解】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以. 故选：B. 4．B 【分析】取AB的中点为，连接 ，由题意可得，即点 在以为圆心，1为半径的圆上，由题意可得，解不等式即可求解. 【详解】圆 C的方程为 ，所以圆心为 ，半径 ， 取AB的中点为 ，连接 ， 由于，则， 因此点 在以为圆心，1为半径的圆上， 又点 在直线 上， 所以直线 与圆 ，有公共点， 则 ，解得 ， 故实数 m的取值范围是 故选：. 5．A 【分析】求出点关于直线的对称点，结合光的反射定律求出过作圆的切线斜率即可. 【详解】依题意，点关于直线的对称点，由光的反射定律知，反射光线必过点， 而圆：的圆心，半径1， 显然过点的圆的切线斜率存在，设切线方程为，即， 由，得，所以. 故选：A 6．C 【分析】求得点到圆心距离，进而由，即可求解. 【详解】由，则圆心，半径， 所以点与圆心的距离， 所以， 则，. 所以. 故选：C. 7．B 【分析】对于A项，求出直线经过的定点坐标，判断该点与圆的关系，即可判断；对于B项，代入，得出直线的方程，求出圆心到直线的距离，即可得出答案；对于C项，根据两直线的系数计算即可得出；对于D项，根据已知可知两圆外切，根据已知求出两圆圆心、半径，列出方程，求解即可得出答案. 【详解】对于A项，整理直线 可得出， 解方程组可得，直线过定点. 圆的圆心为，半径为， 则， 所以点在圆内，即直线过圆内一定点， 所以，直线l与圆C一定相交，不可能相切.故A正确； 对于B项，当时，直线化为. 此时有圆心到直线的距离，且， 因此圆C上只有两个点到直线l的距离等于1.故B错误； 对于C项，圆可化为， 圆心为，半径为. 因为，所以两圆外切， 即恰有三条直线与圆C和圆都相切，故C正确； 对于D项，因为， 所以直线l与直线垂直，故D项正确. 故选：B 8．A 【分析】根据圆的标准方程确定圆心和半径，再根据直线方程，利用点到直线的距离公式，计算出圆心到直线的距离d，根据的大小关系，得出直线和圆不相交，从而得出距离的最小值为. 【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径. 直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为： . 因为，那么圆与直线相离. 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即： 故选:A. 9．BCD 【分析】求出直线所过定点判断A；利用圆的弦长公式求出弦心距判断B；利用圆的性质求出最大值判断C；确定两直线垂直并求出轨迹方程判断D. 【详解】对于A，直线恒过定点，A错误； 对于B，圆的圆心，半径，则， 因此弦的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，直线过定点，而直线不包含直线， 直线不包含直线，由，得，因此点的轨迹是以 点与为直径端点的圆（不含点），方程为（去掉点），D正确. 故选：BCD 10．BC 【分析】由圆心到直线的距离和半径关系可判断A，B；由切线长计算公式可判断C，D； 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径. 圆心到直线的距离，所以A不正确，B正确. 从点向圆引一条切线，设切点为，连接，    则，则， 当时， 取得最小值，此时取得最小值， 即，故C正确，D不正确. 故选：BC 11．BCD 【分析】求得圆心到直线的距离，当时，，可判定A错误；求得圆心到直线的距离，可判定B正确；求得直线与坐标轴相交于两点坐标，结合圆的性质，得到，可判定C正确；求得圆心到直线的距离，结合抛物线的定义，可判定D正确． 【详解】对于A中，圆C的标准方程为，则圆心为，半径， 当时，圆心到直线的距离， 当时，，所以直线与圆可能相交，所以A错误； 对于B中，当时，可得， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切，所以B正确； 对于C中，当时，直线的方程为， 可得直线与坐标轴相交于两点， 如图所示，直线的方程为，与直线垂直， 又因为，，可得， 因为，可得，满足题意， 所以圆上存在点，使得的面积为，所以C正确； 对于D中，当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离，此时直线与圆相离， 由抛物线的定义，可得与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线，所以D正确． 故选：BCD. 12．（答案不唯一） 【分析】利用圆的弦长求法，结合面积可得方程求解即可. 【详解】由圆可知，圆心，半径， 设圆心到直线的距离为， 由垂径定理可知， 由面积为知：，解得或， 则由点到直线的距离公式得：， 当时，有，解得：， 当时，有，解得：， 故答案为：（取这三个中的任何一个都算对，答案不唯一）. 13．3 【详解】求出m，得圆半径，由切线长定理即可求解. 【解答】解：圆可化为， 则圆心坐标为，半径为. ，即， 圆心到直线的距离. 圆心到直线的距离为，解得，则圆半径， 则， 则切线长为， 故答案为：3 14． 【分析】由题设得直线过圆心，进而得，再结合基本不等式常数“1”的代换方法计算即可求解.. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为圆关于直线对称， 则直线过圆心，所以，则， 所以， 当且仅当时，即当时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，分析可知，直线过圆心，求出的值，即可得出圆的标准方程； （2）求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得弦的长； （3）求出点到直线的距离的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】（1）圆的方程可化为，圆心为， 因为圆关于直线对称， 则直线过圆心，所以，得. 所以圆的标准方程为. （2）由（1）得圆心为，半径， 又直线的方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， 所以. （3）圆的圆心为，半径长为， 则点到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 16．(1) (2)或 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据题意和直线与圆相切求出方程； （2）根据题意，可知点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，其轨迹方程为，与直线方程联立可求点的坐标． 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆心在直线上，所以，           因为圆经过点，所以，   因为圆与直线相切，所以，    联列方程组，解得， 所以圆的标准方程为； （2）因为，由对称性可知， 所以， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，其轨迹方程为，    又因为在直线上， 联列方程组，解得或 所以点的坐标为或. 17．(1)或 (2) (3)存在直线，使得向量与共线，直线的方程为 【分析】（1）法一：设弦的中点为，分直线的斜率不存在与直线的斜率存在两种情况讨论可求得直线的方程；法二：设直线的方程为，利用点到线的距离可得，求解即可； （2）法一：由题意得，结合，可求面积的最小值；法二：前面与法一相同，利用，结合二次函数的知识可求得的最小值，进而可得结论； （3）设直线的方程为，、，与圆的方程联立方程组，结合根与系数的关系，可得，进而得，结合已知得，判断方程有无解即可. 【详解】（1）（解法一）设弦的中点为， ①当直线的斜率不存在时，易知符合题意．            ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为即， ，，则由，解得， 此时直线的方程为， 故直线的方程为或； （解法二）易知直线的斜率不为零，设直线方程为， ，，则由，解得或， 故直线的方程为或； （2）（解法一）由于、为圆的两条切线， 所以， 又，而的最小值为点到直线的距离，   所以， 故四边形面积的最小值为； （解法二） （前两步同解法一） 设点的坐标为，则， ， 所以当时，， 故四边形面积的最小值为； （3）易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，、， 由，可得， 可得， 所以，所以， 则，所以. 又，，所以， 若向量与共线，则， 由，可得，解得， 当时，， 所以存在直线，使得向量与共线， 直线的方程为，即. 18．(1)； (2)或. 【分析】（1）求出圆心关于直线的对称点，进而求出圆的标准方程. （2）由给定条件求出直线l将圆C分成劣弧所对圆心角，再求出圆心到直线距离，进而分情况求出直线方程. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 设点关于直线对称点，则， 解得，而圆的半径为2， 所以圆的标准方程为. （2）由直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，得分成的劣弧所对圆心角为， 圆心到直线的距离， 直线过点，且点到该直线距离为1，则直线可以为； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 由，解得，方程为，即， 所以直线l的方程为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【专题2.2：直线和圆的位置关系】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、核心位置关系定义 1.相交：直线与圆有2个公共点（直线为割线，两交点间线段为弦） 2.相切：直线与圆有且仅有1个公共点（直线为切线，公共点为切点） 3.相离：直线与圆无公共点 二、位置关系判定方法 1.几何法（高考首选，高效快捷） 圆标准方程：（圆心，半径） 直线一般式：（不同时为0） 圆心到直线距离公式： 判定规则： 相交 相切 相离 2.代数法（辅助判定，适用于求交点） 联立直线与圆方程，消元得一元二次方程（） 判别式： 判定规则： 相交（两不同实根） 相切（两相等实根） 相离（无实根） 三、核心公式与性质 1.切线相关 性质：切线垂直于过切点的半径（高考高频隐含条件） 过圆上点的切线方程： 单位圆： 标准圆： 一般圆（）： 过圆外点的切线求解： 设斜率为，方程为，利用求 必验证斜率不存在的情况（直线是否为切线） 切线长公式：（圆心到圆外点距离与半径的勾股定理） 2.弦长相关（直线与圆相交时） 垂径定理公式（首选）：（为圆心到直线距离） 代数法弦长公式：（为直线斜率，为联立方程判别式，为二次项系数） 补充性质：圆心到弦的垂线平分弦（可用于求弦中点坐标） 四、高考常考结论 1.过定点的直线与圆相交时，最短弦为过且垂直于（为圆心）的弦，最长弦为直径 2.若直线与圆相切，则（直接等价转化，省去距离公式推导） 3.圆的两条切线从圆外同一点引出，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两切线夹角 4.直线与圆相交时，弦心距、半径、弦长一半构成直角三角形（，高考必考模型） 5.若直线与圆相切，则（代入标准圆距离公式化简所得，直接套用） 五、二级结论（提速必备） 1.切点弦方程：过圆外点作圆的两条切线，切点连线方程为（与圆上点切线方程形式一致） 2.若两圆有公切线，则公切线斜率满足：（为两圆半径，为两圆圆心） 3.直线与圆相交于，则的面积（为圆心到直线距离） 4.过原点的直线与圆相切，则（代入原点到直线距离公式推导，简化计算） 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断直线和圆位置关系】 【解题策略】 1.优先选几何法（高考首选，高效快捷） 步骤：①化圆为标准方程，确定圆心和半径；②化直线为一般式；③计算圆心到直线的距离；④比较与：（相交）、（相切）、（相离）。 2.代数法辅助（适用于需求交点或直线/圆方程复杂时） 步骤：①联立直线与圆的方程，消元得一元二次方程（）；②计算判别式；③判定：（相交）、（相切）、（相离）。 3.易错提醒：直线方程需先整理为一般式（避免遗漏或为0的情况）；圆的方程需确保半径（配方时注意符号）。 例题精选 【例题1】（2025高三上·广东·专题练习）直线与圆（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．位置关系不确定 【例题2】（25-26高二上·北京大兴·期中）已知直线l：，圆O：，则“”是“直线l与圆O相交”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 相似练习 【相似题1】【多选题】（25-26高二上·重庆·期中）已知圆，直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则直线过圆心． B．若，，则直线与圆相交． C．若直线与圆相离，则． D．圆心到直线的距离为3，则直线与圆相切． 【相似题2】（25-26高二上·天津河东·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆上，则圆关于直线对称 B．若点在圆外，则圆上存在两个点到直线的距离为 C．若点在直线上，则直线与圆相交于两点 D．若点在圆内，则直线与圆相离 【题型2：由直线和圆的位置关系求参数】 【解题策略】 1.核心思路：等价转化 相交或；相切或；相离或。 2.步骤拆解： ①确定圆的圆心、半径（含参数时需保证）；②写出直线方程（整理为一般式）；③代入对应条件（与的关系或的符号），建立关于参数的不等式/方程；④求解参数范围/值，验证参数的隐含条件（如直线斜率存在与否、圆的定义要求）。 3.关键技巧：含参数的直线过定点时，可先求定点，再结合定点与圆的位置关系分析参数（减少计算量）。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·陕西商洛·期中）若圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【例题2】（河北省名校联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）已知圆上恰有三个点到直线l：（）的距离都为1，则l的方程为（   ） A． B． C．或 D．不存在 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·广西来宾·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（25-26高二上·天津滨海新·期中）已知直线的方程是：，且圆上恰有3个点到直线的距离为2，则的取值为（   ） A． B． C． D． 【题型3：求圆的弦长】 【解题策略】 1.首选垂径定理几何法（高考高频方法） 步骤：①求圆的圆心和半径；②计算圆心到直线的距离；③代入公式（直接套用，无需联立方程）。 2.代数法备用（直线斜率未知或不易计算时） 步骤：①联立直线与圆的方程，消元得一元二次方程；②计算判别式（确保相交）；③用韦达定理得，；④代入弦长公式（为直线斜率，无斜率时用）。 3.易错提醒：计算时需注意直线方程的一般式转化，避免距离公式分子符号错误。 例题精选 【例题1】（重庆市部分区2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷）直线l：被圆C：截得的弦AB的长为（    ） A．4 B． C． D．2 【例题2】（浙江省温州新力量联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）平面内一动点到点与的距离之比为. (1)求动点的轨迹方程： (2)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，求的值. 【相似题2】（25-26高二上·浙江·期中）已知圆过点，直线的方程为. (1)求圆的方程； (2)当直线被圆截得的弦长最短时，求的值及最短弦长. 【题型4：由圆的弦长求参数】 【解题策略】 1.逆向运用弦长公式 步骤：①设所求参数为（直线斜率、截距或圆的半径等）；②确定圆的圆心、半径（含参数时需标注）；③表达圆心到直线的距离（含参数）；④由弦长建立方程，代入已知弦长求解参数；⑤验证：确保直线与圆相交（或），排除增根。 2.关键技巧：若参数在直线方程中，可先将用参数表示，再代入弦长公式，避免复杂联立。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·北京·月考）直线与圆交于，两点，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于A，B两点，且，，点在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于M，N两点，且，求直线的方程. 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·北京·期中）已知圆的圆心在轴上，且经过点，. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，若，求直线的方程. 【相似题2】（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知一个圆与轴相切，其圆心在射线上，且被直线截得弦长为，则此圆的方程为 . 【题型5：求圆的切线方程】 【解题策略】 1.情况1：过圆上一点的切线方程 直接套用公式：①标准圆：；②一般圆：；③单位圆：。 2.情况2：过圆外一点的切线方程 步骤：①设切线斜率为，方程为（斜截式或点斜式）；②由圆心到直线距离列方程求；③必验证斜率不存在的情况（直线是否为切线）；④最终切线方程为1~2条（圆外点必引2条切线）。 3.情况3：斜率已知为的切线方程 步骤：①设切线方程为；②由得，求解；③切线方程为和（两解，除非直线与圆相切于一点）。 4.易错提醒：过圆外点时，切勿遗漏斜率不存在的切线（高考高频失分点）。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）圆在点处的切线方程为 ． 【例题2】（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）过点与圆相切的直线方程为 . 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点的直线与圆相切，则直线的方程为 . 【相似题2】（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射后的光线所在直线的方程为 ． 【题型6：由圆的切线方程求参数】 【解题策略】 1.核心等价条件：切线圆心到直线距离（首选）或联立方程（备用）。 2.步骤拆解：①确定圆的圆心、半径；②将切线方程化为一般式；③代入建立关于参数的方程（或联立方程求）；④求解参数，验证参数合理性（如切线过定点时需满足定点在圆外）。 3.关键技巧：若切线过定点，可先利用定点在圆外的条件（，为圆心）缩小参数范围，再求参数。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·北京·期中）已知圆的圆心为，且过点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相切，求的值； (3)过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线方程. 【例题2】（25-26高二上·天津·期中）已知圆的圆心在直线上，且与直线及都相切，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·山东·模拟预测）已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·山西晋中·模拟预测）若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【题型7：切点弦及其方程】 【解题策略】 1.切点弦方程求解 公式法（直接套用）：过圆外点作圆的两条切线，切点连线（切点弦）方程为（与圆上点切线方程形式完全一致，可记忆为“代点入圆的‘半代换’形式”）。 2.切点弦相关问题（如求切点弦长、过定点） 步骤：①写出切点弦方程；②求圆心到切点弦的距离；③切点弦长；④过定点问题：将切点弦方程整理为关于参数的恒成立形式（如），联立求定点。 3.核心结论：切点弦所在直线与圆心和圆外点的连线垂直（可用于快速验证方程正确性）。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知，直线，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（22-23高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·湖北·期中）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线距离的最大值（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2023·安徽·模拟预测）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型8：直线与圆的位置关系求距离的最值】 【解题策略】 1.类型1：圆上一点到定直线的距离最值 几何意义：最大距离，最小距离（为圆心到定直线的距离）；②步骤：先求，再结合半径计算最值，最值点为过圆心且垂直于定直线的直线与圆的交点。 2.类型2：定直线上一点到圆的距离最值 几何意义：最大距离，最小距离（为圆心，为定直线上动点，的最值为圆心到定直线的距离）；②步骤：先求圆心到定直线的距离（即），再计算距离最值。 3.类型3：动直线与定圆的距离最值 若动直线过定点：①当在圆内/上时，最小距离为0（直线过圆心时），最大距离为；②当在圆外时，最小距离为（直线与垂直时），最大距离无界（直线远离圆时）。 4.关键技巧：所有距离最值问题均转化为“圆心到直线/点的距离”与半径的关系，避免代数法的复杂计算。 例题精选 【例题1】【多选题】（25-26高二上·广西河池·月考）已知实数满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【例题2】【多选题】（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为 相似练习 【相似题1】【多选题】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知是圆上的点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最大值为 【相似题2】【多选题】（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点是圆上任意一点．则下列结论正确的是（      ） A．P点到直线的距离的最大值为2 B．P点到直线的距离的最小值为 C．的最大值为，最小值为 D．的最大值为，最小值为 【题型9：直线与圆相交的定点定值问题】 【解题策略】 1.定点问题（直线过定点） 步骤：①设直线方程为含参数的形式（如或）；②联立直线与圆的方程，利用相交条件（）或弦长、中点等条件，整理方程为关于参数的恒成立形式（如，为参数）；③联立，解得定点坐标；④验证：将定点代入直线方程，确认对任意参数均成立。 2.定值问题（如弦长定值、向量数量积定值） 步骤：①设直线与圆的交点为、，联立方程得韦达定理结果（、）；②表达所求定值的表达式（如、）；③代入韦达定理和圆的方程（如），化简消去参数，证明结果为常数；④特殊值法辅助：先取特殊直线（如过圆心、垂直于x轴）求出定值，再针对性证明。 3.关键技巧：定点问题核心是“恒成立条件”，定值问题核心是“韦达定理化简”，均需结合圆的方程进行代换（减少变量个数）。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)设直线交圆于P，Q两点，若直线的斜率之积为3，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标. 【例题2】（25-26高二上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，已知圆：，，是圆上的动点，且，的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)设点是直线：上的动点，，是的轨迹的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值； (3)若垂直于轴的直线过点且与的轨迹交于点，，点为直线上的动点，直线，与的轨迹的另一个交点分别为，，（与不重合），求证：直线过定点. 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与轴正半轴的交点为，过点的直线与圆交于不同的两点A，B. (1)直线与轴交于点，且，求直线的方程； (2)设AB的中点为，若，求的面积； (3)设直线QA，QB的斜率分别为，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【相似题2】（25-26高二上·湖北武汉·月考）已知的两个顶点，，直角顶点C的轨迹记为曲线T，过点的直线l与曲线T相交于M，N两点． (1)求曲线T的方程； (2)若点，记的面积为，求的取值范围； (3)是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的Q点坐标；若不存在，说明理由． 【题型10：直线与圆相交的实际问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【例题2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，某海面上有三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛千米处．以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，千米为单位长度，建立如图的平面直角坐标系．圆同时相切于线段和，切点分别为，且为的中点．若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？请说明理由． 相似练习 【相似题1】（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 【相似题2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心为圆心，半径为400km的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km处准备出发，若运输车沿北偏西60°方向以每小时km的速度做匀速直线运动： (1)运输车将在无人区经历多少小时？ (2)若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？ 课后针对训练 1．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 2．（24-25高二下·贵州毕节·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）已知A，B为圆上的两个动点，且，若直线上存在点P，且P为线段AB的中点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北廊坊·期末）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆：相切，则反射后光线所在直线的斜率为（    ） A． B． C．±3 D． 6．（24-25高二下·浙江·阶段练习）若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·河南洛阳·期末）已知圆，直线，则下列结论错误的是（    ） A．直线l与圆C不可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．恰有三条直线与圆C和圆都相切 D．直线l与直线垂直 8．（24-25高二下·安徽滁州·期末）圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·四川南充·期末）已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．弦的中点的轨迹方程为 C．若为坐标原点，则的最大值为 D．直线的交点的轨迹方程为（去掉点） 10．（24-25高二上·广西钦州·期末）已知圆，点是直线上的点，则（    ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C．从点向圆引切线，切线长的最小值为 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 11．（24-25高二下·湖南湘西·期末）已知直线（不同时为0），圆，则（    ） A．当时，直线与圆不可能有交点 B．当时，直线与圆相切 C．当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点，使得的面积为 D．当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线 三、填空题 12．（23-24高二下·广东江门·期末）已知直线与圆交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 13．（24-25高二上·山东东营·期末）已知直线与圆交于A，B两点，，则过点的圆C的切线长为 . 14．（24-25高二上·广西柳州·期末）圆关于直线对称，则的最小值是 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·广东茂名·期末）已知圆关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于、两点，求； (3)在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 16．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标． 17．（24-25高一下·上海·期末）已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； (3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 18．（24-25高一下·重庆·期末）已知圆． (1)求圆C关于直线的对称圆的标准方程； (2)若经过点的直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，求直线l的方程 1 学科网（北京）股份有限公司 $