重难点01 建立空间直角坐标系与确定点坐标的8种方法讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 重难点01建立空间直角坐标系和确定点坐标的8种方法 题型一、 利用共顶点的互相垂直的三条棱建系 题型二、利用线面垂直建系 ◆ 题型三、利用面面垂直关系建系 模块一、建立直角坐标系的方法 题型四、利用正棱锥的中心与高所在直线建系 建立空间直角坐标 题型五、利用图形中的对称关系建系 系和确定点坐标的 题型六、作线面垂直铺助线建系 8种方法 ◆ 题型七、设点坐标 模块二、确定点坐标的方法 题型八、求点的坐标 知识梳理 方法一建立空间直角坐标系时，可以按照以下步骤进行： 1确定空间直角坐标系的三个坐标轴方向，一般选择为某轴、y轴和z轴。 2确定空间直角坐标系的原点，一般选择为三个轴的交点。 3确定坐标轴的正方向，一般按照右手定则确定，即当右手的大拇指指向某轴正方向，食指指向X轴正方向 时，中指所指的方向即为z轴正方向。 4确定坐标轴的长度和间距，一般选择适当的数值，方便计算。 5根据需要，可以在空间直角坐标系中建立坐标系网格和标注坐标轴上的刻度值，方便进行坐标计算和表示 几何体。 方法二利用共顶点且相互垂直的三条棱建系 方法三利用线面垂直建系 方法四利用面面垂直建系 方法五利用正棱锥的中心与高所在直线建系 方法六利用图形中的对称关系建系 图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称 性可建立空间直角坐标系 1/15 典型解析 模块一、空问建系常用方法 题型一、利用共顶点的互相垂直的三条棱建系 【例1】如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA1平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD的中点 A (1)求证：CD1平面PAD: (2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值； (3)求B点到平面EAC的距离.由 【跟踪训练】 1.如图，已知直四棱柱ABCD-ABCD中，AA=2,底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB II CD,AB=4, AD=2,DC=1,求异面直线BC与DC所成角的余弦值 D D 2/15 D C A B D 2.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC,F所截而得到的，其中AB=4,BC=2, CC=3,BE=1· D C 夕 (1)求C到平面AEC,F的距离 (2)EF与平面ABCD平行吗？请说明理由 3.如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AA,=AB=2,E为AB的中点，平面ABC1平面ABB,A1· A C E D B (1)求证：AE⊥BC: (2)若△A,BC的面积为2V2,试判断在线段AC上是否存在点D,使得二面角A-BD-C的大小为红.若存 在， 求出A巴的值若不存在，晚明理由， Z C 3/15 4.如图，AE1平面ABCD,CF/AE,AD/BC,AD1AB,AB=AD=1,AE=BC=2CF=2 E B (1)求证：BF/平面ADE (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； (3)求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值 题型二、利用线面垂直建系 【例2】如图，在三棱锥P-ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA=2,PA⊥底面ABC,点E,F分别 为AC,PC的中点. (1)求证：平面BEF⊥平面PAC: (2)在线段PB上是否存在点G,使得直线AG与平面PBC所成角的余弦值为y四？若存在， 确定点G的位置： 若不存在，请说明理由 【跟踪训练】 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD II BC,AD=2BC,△ABC是等边三角形，PA=AB=1 (I)求证：平面PCD⊥平面PAC; 4/15 (2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值. D (2 2.已知三棱柱ABC-AB,C1,AA=V5,AB=BC,∠BAC=30°，A,在平面ABC上的射影为B,二面角A,-AC -B的大小为45°， B A C B (I)求AA,与BC所成角的余弦值； ②在校人，上是否存在-点E,使得二面-BC-B,为90，若存在，求出的值，若不存在，说明理由2存 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1平面ABCD,AB/CD,且CD=2,AB=1,BC=22PA=2,AB1BC, N为PD的中点， M D 5/15 (1)求证：AN/平面PBC, (2)求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值： 3)点M在线段AP上，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为4V5, 求点M到平面PCD的距离. 15 题型三、利用面面垂直关系建系 【例3】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点· D ---B A (1)证明：平面BED⊥平面ACD; (2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦 值 【跟踪训练】 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个边长为4的菱形，且∠BCD=60°，侧面PAB是正三角形 D (1)求证：AB1PD: (2)若平面PAB⊥平面ABCD,求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值 B 2.三棱柱ABC-AB1C,中，平面ACCA1平面ABC,△ABC是等边三角形，∠A,AC=45,AA,=2V2 AC=2. 6/15 A C B B (1)证明：平面A,BC1平面ABC; (2)求二面角A,-BC,一B,的平面角的余弦值钝二面角 3.如图，已知ABCD为等腰梯形，点E为以BC为直径的半圆弧的上一点，平面ABCD L平面BCE,M为CE 的中点，BE=AB=AD=DC=2,BC=4, M E (1)求证：DMW/平面ABE (2)求直线AE与平面DCE所成角的正弦值 题型四、利用正棱锥的中心与高所在直线建系 【例4】如图，所有棱长均为2的正四棱锥P-ABCD,点M,N分别是PA,BD上靠近P,B的三等分 点 M B (1)求证：MN⊥BC; (2)求二面角M-CN-B的余弦值， 【跟踪训练】 7/15 I.如图，三棱锥E-ABD和F-BCD均为棱长为2的正四面体，且A,B,C,D四点共面，记直线AE与CF的交点 为Q 】 B (1)求三棱锥Q-BDE的体积； E A-- (2)求二面角A-QD-C的正弦值故三棱锥Q-BDE的体积为 3 2如图，平行六面体ABCD-AB,CD,中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点· D B B (1)证明：C,O⊥平面ABCD: (2)求二面角B-A4,-D的正弦值 题型五、利用利用底面正三角形建系 【例5】如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC,D为BC的中点，PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上，已 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. B (1)求异面直线AP,BC所成角的大小： (2)在线段AP上存在点M且AM=3,探究二面角A-MC-B的大小并说明理由.(-80.0)，AB=(4,5.0)【跟 8/15 踪训练】 1如下图：在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，△PAB是边长为2的等边三角形， PD⊥AB,PD=N6 D (1)求证：平面PAB⊥平面ABCD (2)求平面PAB和平面PCD所成二面角的正弦值· 2如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC,D是AP中点，BE=ED(0<元<1)，点F在线段PC上，且 PC=4C℉. D D B (I)若EF∥平面ABC,求2的值： (2)若△ABC是正三角形，AB=PA=4,且DE=2EB,求平面AEF与平面ABC夹角的余弦值 题型六、作线面垂直辅助线建系 【例6】如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC1平面BCD,AB=AC=BC=BD=2,CD=23. D (1)求AD的长度； (2)求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值， 【跟踪训练】 1.四棱锥P-ABCD中，PA1平面ABCD,PA=CD=1,AB=BC=2,PC=3,AB/CD. 9/15 (1)求证：BC1平面PAB: (2)求二面角A-PD-C的余弦值. 2.在三棱锥P-ABC中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB,PC=4且直线PC与平面ABC所成角 为30°，O为AB中点 - B (1)求证：平面POC1平面ABC, y M (2)求二面角A-PB-C的正弦值 B 模块二、确定点坐标的方法 题型七、设点的坐标 【例7】如图，三棱锥P-ABC,PA=PB=3,AB=AC=4,∠BAC=(O<6<m,平面PAB1平面ABC,点M为线 段PC上的动点， 10/15 2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 重难点01 建立空间直角坐标系和确定点坐标的8种方法 方法一.建立空间直角坐标系时，可以按照以下步骤进行： 1.确定空间直角坐标系的三个坐标轴方向，一般选择为某轴、y轴和z轴。 2.确定空间直角坐标系的原点，一般选择为三个轴的交点。 3.确定坐标轴的正方向，一般按照右手定则确定，即当右手的大拇指指向某轴正方向，食指指向X轴正方向时，中指所指的方向即为z轴正方向。 4.确定坐标轴的长度和间距，一般选择适当的数值，方便计算。 5.根据需要，可以在空间直角坐标系中建立坐标系网格和标注坐标轴上的刻度值，方便进行坐标计算和表示几何体。 方法二.利用共顶点且相互垂直的三条棱建系 方法三.利用线面垂直建系 方法四.利用面面垂直建系 方法五.利用正棱锥的中心与高所在直线建系 方法六.利用图形中的对称关系建系 图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系. 模块一、空间建系常用方法 题型一、利用共顶点的互相垂直的三条棱建系 【例1】如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，,是的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面； （2）利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值； （3）利用向量法求得点到平面的距离. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 由于四边形是矩形，所以， 由此，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则； 所以， 因为，所以， 由于，所以， 由于，平面， 所以平面； （2）设平面的法向量， 则，即 不妨令,可得， 且为平面的一个法向量， 于是， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）设点到平面的距离为， 由（2）可知平面的法向量，， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为.    【跟踪训练】 1. 如图，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，为直角，，，，，求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】 易得三线两两垂直， 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. (后面解析省略) 2.如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中，，，． (1)求到平面的距离． (2)与平面平行吗？请说明理由． 【答案】(1)；(2)不平行，理由见解析. 【解析】（1）显然直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，设， 由平面平面，平面平面，平面平面， 则，同理，即四边形为平行四边形，有， 即，解得，即，则， 设平面的法向量， 则，取，得， 而， 则点到平面的距离为. （2）由（1）知，，而平面的法向量为 由，得与不垂直， 所以与平面不平行. 3.如图，在直三棱柱中，，E为的中点，平面平面．    (1)求证：； (2)若的面积为，试判断在线段上是否存在点D，使得二面角的大小为．若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由,E是的中点可得结合平面平面可证平面，继而可证 （2）先设再由的大小为利用空间向量得方法构建的方程来求解, 可得. 【详解】（1）,E是的中点， 又平面平面， 平面平面， 且平面． 平面． 又 平面， ． （2）在直三棱柱中，平面． 又 平面， ． 又， 平面且， 平面． 又 平面 平面．平面， 、 从而可得两两垂直． 所以如图以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．    的面积为，且矩形中 可得解得． 则， ． 设， ． 又， 设平面的法向量， 则， 不妨取，则， ∴， 由（1）平面，∴平面的一个法向量， ． 解得,又可知 又由图可知当为的中点时，二面角为钝二面角符合题意， 综上，在上存在一点D，此时，使得二面角的大小为． 4.如图，平面，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用线面平行的判定证面、面，再由面面平行的判定得面面，最后根据面面平行的性质证结论； （2）构建空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值； （3）由（2）所得坐标系，向量法求面面角的余弦值； 【详解】（1）由，面，面，则面， 由，面，面，则面， 而，面，故面面， 由面，则平面； （2）由平面，平面，则，又， 以为原点构建空间直角坐标系，，， 所以，则，，， 令面的一个法向量，则，若，则， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为.    （3）由（2）知：，则， 令面的一个法向量，则，若，则， 所以，即平面与平面夹角的余弦值为. 题型二、利用线面垂直建系 【例2】如图，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点． (1)求证：平面平面PAC； (2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的余弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定，证明BE⊥AC，PA⊥BE即可； （2）以的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，再根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）∵AB＝BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC. 又PA⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴PA⊥BE. ∵PA∩AC＝A，且PA,PC⊂平面PAC，∴BE⊥平面PAC. ∵BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC. （2）存在.由（1）及已知得PA⊥BE，PA⊥AC， ∵点E，F分别为AC，PC的中点， ∴EF∥PA，∴EF⊥BE，EF⊥AC. 又BE⊥AC，∴EB，EC，EF两两垂直. 分别以的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图， 则，，，. 设，， 所以， 设平面PBC的法向量为， 则，即， 令，则，， ∴， 由已知得，即，即，， 解得或，由，故. 所以存在满足条件的点G，点G为PB的中点. 【跟踪训练】 1.如图，在四棱锥中，平面是等边三角形，. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值.    【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意，再解三角形得，由线面垂直判定定理知平面，再由面面垂直的判定定理得证； （2）方法一（向量法）：建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； 方法二（几何法）：过点作交于点，过作交于点，连接，则即为平面与平面所成二面角的平面角. 在中，求解完成. 【详解】（1）平面平面. 在中，， 又平面 平面， 平面，所以平面平面. （2）   方法一：取的中点，连接， 则两两互相垂直，以为坐标原点， 所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系. 则， . 设平面的一个法向量为，则 所以令，得. 设平面的一个法向量为， 则所以令，得. 记平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 几何法：      方法二：过点作交于点，过作交于点， 连接，则即为平面与平面所成二面角的平面角. 证明如下： 平面平面. 又 平面 平面平面 ， 又平面， 平面平面，， 所以即为平面与平面所成二面角的平面角. 在Rt中，， ， 即平面与平面夹角的余弦值为. 2.已知三棱柱，，，，在平面ABC上的射影为B，二面角的大小为， (1)求与BC所成角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点E，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据已知结合几何知识得出与，即可得出为二面角的平面角，则，令，则，在中，得出，在中，根据，，，，列式求解即可得出，过B作，又因为平面ABC，所以BM、BC、两两垂直，即可以、、为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，得出，，即可根据直线间夹角的向量求法得出答案； （2），所以，得出，则，根据平面的法向量的求法求出平面EBC与平面的法向量，即可根据二面角为，列式求解出，即可得出答案. 【详解】（1）连接，因为在平面ABC上的射影为B， 所以平面ABC， 取AC的中点F，由于， 所以， 连接，由三垂线定理可得， 则为二面角的平面角，即，则， 令，则， 则在中，， 所以， 在中，，，，， 所以，解得， 过B作，又因为平面ABC， 所以BM、BC、两两垂直， 以、、为x、y、z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 可得，，，， 则，， 则， 则与BC所成角的余弦值为 （2）设，所以，可求得，则， 设平面EBC的法向量为，由，， 得， 解得， 因为是三棱柱， 所以， 设平面的法向量， 由，， 得，解得， 若二面角为， 则，即，解得， 所以的值为. 3.如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先利用平面几何的知识与线面垂直的性质证得两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，由此证得线面平行； （2）结合（1）中结论，求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦的坐标表示求解即可； （3）先利用线面角结合向量法求得的坐标，再利用空间向量点面距离公式求解即可. 【详解】（1）记的中点为，连结， 因为，，所以四边形是平行四边形，则， 因为，所以平行四边形是矩形，则， 因为平面，平面，所以，则两两垂直， 故以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 因为为的中点，所以，则， 设平面的一个法向量为，而，， 则，令，则， 所以，则， 又平面，所以平面． . （2）设平面的一个法向量为，而，， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为，而，， 所以，令，则， 记平面与平面夹角为，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）依题意，不妨设，则，， 又由（2）得平面的一个法向量为，记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 题型三、利用面面垂直关系建系 【例3】如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)与平面所成的角的正弦值为 【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可. 【详解】（1）因为，E为的中点，所以； 在和中，因为， 所以，所以，又因为E为的中点，所以； 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）连接，由（1）知，平面，因为平面， 所以，所以， 当时，最小，即的面积最小. 因为，所以， 又因为，所以是等边三角形， 因为E为的中点，所以，， 因为，所以, 在中，，所以. 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 又因为，所以， 所以， 设与平面所成的角的正弦值为， 所以， 所以与平面所成的角的正弦值为. 【跟踪训练】 1.如图，在四棱锥中，底面是一个边长为的菱形，且，侧面是正三角形.    (1)求证：； (2)若平面平面，求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、、，证明出平面，再由线面垂直的性质可证得结论成立； （2）推导出平面，然后以点为坐标原点，、、的正方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得平面与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：取的中点，连接、、.    底面是一个边长为的菱形，且，则，是正三角形， 为的中点，， 是正三角形，为的中点，， ，、平面，平面， 平面，. （2）解：由（1）知，， 当平面平面时，平面平面，平面， 平面，又， 以为坐标原点，、、的正方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系.    则、、、、、， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，，， 则，令，可得， 所以，， 则， 平面与平面所成角的正弦值为. 2.三棱柱中，平面平面，是等边三角形，，，.    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，，，得到，再利用面面垂直的性质定理和判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量，由求解. 【详解】（1）因为，，， 所以， 则，即， 所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）建立如图所示空间直角坐标系：    则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得到，则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得到，则， 所以， 又二面角为钝二面角， 所以二面角的余弦值为. 3.如图，已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧的上一点，平面平面为的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析】（1）取的中点，连接， 则且， 又且，则且，即四边形是平行四边形． ，又平面平面， 平面． （2）取中点为，连接，因为为等腰梯形，所以， 又平面平面，平面平面平面，所以平面， 过点作直线的垂线交于点，则两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 为直径，． 在等腰梯形中，， 所以， ， ． 设平面的一个法向量为，则， ， 令则．， 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为． 题型四、利用正棱锥的中心与高所在直线建系 【例4】如图，所有棱长均为2的正四棱锥，点，分别是，上靠近，的三等分点. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接交于，建立如图所示的空间直角坐标系 则，，，，，，， ∴，， ∴， ∴. （2），， 设平面的法向量为，则 ， 取. 取平面的法向量为， 所以，，， 设二面角的平面角为， . ∴由图可知二面角的余弦值为 【跟踪训练】 1.如图，三棱锥和均为棱长为2的正四面体，且A，B，C，D四点共面，记直线AE与CF的交点为Q. (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面几何的知识证得与，从而利用线面垂直的判定定理证得面，进而得到面，结合正四面体的性质可得是底面的中心，由此可求得，再利用切割法即可求得解； （2）利用（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得面与面的法向量，从而利用空间向量夹角余弦的坐标表示求得二面角的余弦值，进而得解. 【详解】（1）连结，连结，过作，且，如图， 因为三棱锥和均为棱长为2的正四面体， 易得，则，则， 所以，所以， 因为，所以，则， 又是的中点，所以， 又面，所以面， 因为，所以面， 又三棱锥是正四面体，所以是底面的中心， 在边长为的等边中，易得，， 在中，，则， 又，所以，则， 因为， 所以 ， 故三棱锥的体积为. （2）由（1）知四边形是菱形，则， 又，，所以两两垂直， 故以为原点建立空间直角坐标系如图， 则， 故， 设面的一个法向量为，则， 令，则，故， 设面的一个法向量为，则， 令，则，故， 设二面角为， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 2.如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接， 因为底面是边长为2的正方形，所以， 又因为，， 所以，所以， 点为线段中点，所以， 在中，，， 所以， 则， 又，平面，平面， 所以平面. （2）【方法一】：由题知正方形中，平面，所以建系如图所示， 则， 则， ， 设面的法向量为，面的法向量为， 则，取，则 取，则. 设二面角大小为， 则， 所以二面角的正弦值为. 【方法二】：以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题设得，，，， ，， ，，． 设是平面的法向量， 则，即，可取． 设是平面的法向量， 则，即，可取． 所以． 因此二面角的正弦值为． 题型五、利用利用底面正三角形建系 【例5】如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上，已知，，，.      (1)求异面直线，所成角的大小； (2)在线段上存在点且，探究二面角的大小并说明理由. 【答案】(1) (2)二面角为，理由见解析 【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质可得出，由线面垂直可得出，进而得出平面，即可得出异面直线，所成角. （2）建立空间直角坐标系，写出，，，点的坐标，得出平面和平面的法向量，根据两个平面法向量关系，得出二面角的大小. 【详解】（1）由，为的中点，得， 又平面，得， 因为，所以平面， 而平面，得到.故异面直线所成角为. （2）如图，以为坐标原点，过点作交与点，方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，          则，，，，所以，，，，， 又因为，则，得，所以， 设平面的法向量为， 平面的法向量为， 由，得，取，则 由，得，取，则 因为，故二面角为. 【跟踪训练】 1.如下图：在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，是边长为2的等边三角形，． (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：取的中点，连接，在等边中，可得， 因为，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在中，因为，可得，且 因为为边长为的等边三角形，所以， 又由，所以，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）解：以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 由（1）知，平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面和平面所成的锐二面角的平面角为， 可得， 所以平面和平面所成的锐二面角的正弦值为. 2.如图，在四面体中，平面是中点，，点在线段上，且. (1)若平面，求的值； (2)若是正三角形，，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）如图，取中点，连接， 因为为中点，为中点，所以， 又因为，所以，故， 平面，平面，故平面， 因为平面，且，，平面， 所以平面平面， 又因为平面，故平面， 平面，平面平面，所以， 为的中点，所以为的中点，因为，所以； （2）如图，取中点，连接，则， 因为平面，故平面，连接，由于是正三角形，故， 以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由于，故，，设， 则， 所以，所以，即， 则，，， 设平面的法向量， 则，，令，则， 而平面的法向量可取为， 设平面与平面的夹角为，， 所以，即平面与平面的夹角的余弦值为. 题型六、作线面垂直辅助线建系 【例6】如图，在三棱锥中，平面平面，． (1)求的长度； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以B为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，写出A，D两点的坐标，即可得线段AD的长； （2）分别求得平面ACD与平面ABC的法向量，再由空间向量的夹角公式计算即可得解． 【详解】（1）以B为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 平面平面，平面平面，轴平面，轴 ，可知轴平面， ， 又，则，， 则， 所以， 所以． （2）设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则 ， 故平面与平面夹角的余弦值为． 【跟踪训练】 1.四棱锥中，平面，，，，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质得到、，从而得到，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）连接，因为平面，平面， 所以、， 又，，， 所以，所以，所以， ，平面， 所以平面. （2）如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令， 则， 设平面的法向量为，则，令， 则， 设二面角为，由图可得二面角为钝二面角， 所以，所以二面角的余弦值为. 2.在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，且直线与平面所成角为为中点.    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，转化为证明平面； （2）根据（1）的结果，过点作延长线的垂线，垂足为，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）由为等边三角形，且为中点，得. 又因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面 （2）过作延长线的垂线，垂足为，连接. 由（1）知，平面，又因为平面，所以. 因为，平面，所以平面. 直线与平面所成角为，则. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，过点作与轴平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题可得，.        设为平面的法向量，则 可取 设为平面的法向量，则 可取 因为， 则， 所以二面角的正值为 模块二、确定点坐标的方法 题型七、设点的坐标 【例7】如图，三棱锥，平面平面，点为线段上的动点．      (1)若点为的中点时，求的长； (2)当时，是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为 【答案】(1)； (2)存在，点为的中点. 【分析】（1）取的中点，结合已知，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答. （2）借助（1）的坐标系，确定点的坐标，借助共线向量表示出的坐标，利用空间向量结合线面角的正弦求解作答. 【详解】（1）在三棱锥中，，取的中点，连接，则， 而平面平面，平面平面，平面，则平面， 在平面内过作，则平面，于是两两垂直， 以为原点，以射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    而，则， ，线段中点， 于是，由，得， 解得，而，则，即， 所以. （2）由（1）知，当时，点，， 由为线段上的动点，得，，即点， 则，显然平面的法向量，令直线与平面所成的角为， 则，解得，即点为的中点， 所以当点为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为. 【跟踪训练】 1.如图，在四棱锥中，平面平面，，，. (1)证明：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）如图，取的中点，连接， 因为， 所以四边形为平行四边形. 因为，所以四边形为菱形， 所以，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面 因为平面，所以. （2）由（1）可知平面， 因为，取中点为，连，所以. 因为，为中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以两两互相垂直， 以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的法向量为， 由得， 取，得，则， 设平面的法向量为，由得， 取，得，则， 所以. 设平面与平面的夹角为，则. 所以，平面与平面夹角的余弦值为. 题型八、求点的坐标 【例8】长方形中，，是中点(图)，将沿折起，使得(图)在图中 (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存点，使得二面角的余弦值为，说明理由． 【解析】(1)证明：在长方形中，由，是中点， 得，而，，得， 又，且，平面， 而平面， 平面平面； (2) 思路：先根据“点在线段上”，得到其坐标形式(即找到的关系)，再利用二面角余弦值求出点的坐标；那怎么引入参数设出点坐标呢？ 解：取中点，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴， 在平面内，过作底面垂线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 方法1 向量法 设为线段上的点， 则， ，(即得到点坐标) (以上是由共线关系利用向量法引入参数设点坐标) (PS 以下求的过程学完求二面角的向量法方能理解) 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 由，取，得； 由， 取，得． 由， 解得舍)或． 在线段上存点，使得二面角的余弦值为． 方法2 函数法 设， ，， 点在平面上投影为，， (相当于把直线投影到平面上，空间问题化为平面问题，降维处理) 求得直线的方程为，则； 点在平面上投影为，， 求得直线的方程为，则，即； 所以的坐标可设为， 以下求解类似方法！ 【跟踪训练】 1.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，点在侧棱上，．若以，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求的坐标． 【答案】 【解析】 底面为矩形，底面 两两垂直， 如图以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系． 则， 设． ．可得：，解得 ， ． 2.如图，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点． (1)求证：平面平面PAC； (2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的余弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定，证明BE⊥AC，PA⊥BE即可； （2）以的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，再根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）∵AB＝BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC. 又PA⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴PA⊥BE. ∵PA∩AC＝A，且PA,PC⊂平面PAC，∴BE⊥平面PAC. ∵BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC. （2）存在.由（1）及已知得PA⊥BE，PA⊥AC， ∵点E，F分别为AC，PC的中点， ∴EF∥PA，∴EF⊥BE，EF⊥AC. 又BE⊥AC，∴EB，EC，EF两两垂直. 分别以的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图， 则，，，. 设，， 所以， 设平面PBC的法向量为， 则，即， 令，则，， ∴， 由已知得，即，即，， 解得或，由，故. 所以存在满足条件的点G，点G为PB的中点. 1.如图，在直三棱柱中，，，E是棱BC的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接，与相交于点O， 在三角形中，， 因为平面，平面， 所以平面. （2），以A为原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴 建立空间直角坐标系，如图所示， 则A（0，0，0），（0，0，1），（2，0，1），E（1，1，0）， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 由得，，取，的， 设平面的一个法向量为， 由得，，取，的， 设平面与平面的夹角为θ，则， 由图可知二面角为锐角，则二面角的大小为. 2. 如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，．已知，，．求二面角的平面角的正切值． 【解析】 侧面 而与不垂直，原图没三条两两垂直直线，此时在平面上过点作垂直的直线，便得三线两两垂直， 如图，以为原点，分别以所所在直线为轴建立空间直角坐标系． (后面解析省略) 3.如图，在三棱柱中，平面 . (1)求证:; (2)若，直线与平面所成的角为 ，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面 ，得到，再由，证得，进而证得平面，即可证得. （2）以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明: 因为平面 ，平面，所以， 因为， 四边形是平行四边形， 所以四边形是菱形， 所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 因为平面， 所以. （2）解： 因为与平面所成角为平面，所以， 因为， 所以是正三角形， 设， 则， 以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以 ， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设二面角的大小为， 因为， 所以， 所以二面角的正弦值为. 4.如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，. (1)证明：. (2)已知平面平面，求平面与平面所成夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）设为的中点，连接，，，，如图， 因为，所以， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，则， 又平面，平面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， ，所以平面， 因为平面，所以， 所以四边形为菱形，即. （2）因为平面平面，且平面平面， ，平面，所以平面； 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， 可得，，. 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. ， 故平面与平面所成夹角的余弦值为. 5.如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，．    (1)求证：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意结合线面垂直的判定定理和性质定理分析证明； （2）建系，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）取中点，连接，， 在和中，，，， 可得，则，所以， 因为，且，平面， 所以平面， 且平面，所以. （2）在平面中，过点作，交延长线于点，连接，，， 由（1）得平面，且平面，所以， 且，平面，所以平面， 在中，，， 由余弦定理可得，即， 在中，， 在中，， 在中，，可得，， 则以A为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 设平面与平面的夹角， 可得， 所以平面与平面的夹角的余弦值.    6.如图，在三棱锥中，平面平面，． (1)求的长度； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以B为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，写出A，D两点的坐标，即可得线段AD的长； （2）分别求得平面ACD与平面ABC的法向量，再由空间向量的夹角公式计算即可得解． 【详解】（1）以B为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 平面平面，平面平面，轴平面，轴 ，可知轴平面， ， 又，则，， 则， 所以， 所以． （2）设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则 ， 故平面与平面夹角的余弦值为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $