第二十七章 相似 第14讲 相似模型总结讲义2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

第14讲 相似模型总结 知识点1 平行线型 平行型：（A型、X型） （1）如图1所示，△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC，可以得到的比例线段主要有AD：AB＝AE：AC＝DE：BC; AD：BD＝AE：EC． （2）如图2所示，线段AB∥线段CD，且AD、BC交于点E，则△ABE∽△DCE，可以得到的比例线段主要有AB：CD＝AE：DE＝BE：EC． 【典例】 1.如图，和相交于点，. 1 证明：，. 2 求证：. 【解析】⑴ ∵ ∴ ∴， ⑵ 由⑴可知， ∴ ∴ 即 ∴ 2.如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长． 【解析】解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC， 有， ∵M为AB中点，AB=， ∴AM=， ∵BC=6， ∴MN=3； ②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC， 有， ∵M为AB中点，AB=， ∴AM=， ∵BC=6，AC=， ∴MN=， ∴MN的长为3或． 【方法总结】 此类型的题目主要是观察出平行线构造出的相似模型，如果没有的话则需要添加辅助线，构造基本相似模型. 【随堂练习】 1．已知如图，△ABC中，点D是边AC上的一点，过点D作DE∥AB交BC于点E，过点E作EF∥AC交AB于点F，若CD=2，BF=，BC=3，，求DE及CE的长． 【解答】解：∵CD=2，， ∴AD=3， ∴AC=CD+AD=2+3=5， ∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB， ∴=，即=， 解得CE=． 同理，由△CDE∽△CAB得到：==①． ∵EF∥AC， ∴△BEF∽△BCA， ∴=，即=， 解得BA=② 联立①②可得：DE=． 综上所述，CE=，DE=． 知识点2 垂直型 如图所示，△ABC中，∠BAC是直角，并且高AD把这个三角形分成两个小直角三角形，这时候△ABC与这两个三角形都是相似的. 【典例】 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， （1）写出图中所有相似三角形：　 　（不需证明）； （2）如果AB=10，AC=8，以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如下图），求点A、点B、点C坐标； （3）在（2）的情况下，若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒．是否存在点Q，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）图（1）中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD． 故答案为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD； （2）如图（2），在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8， ∴BC==6． ∵△ABC的面积=AB•CO=AC•BC， ∴CO==4.8， ∴AO==6.4， ∴OB=3.6， ∴A（﹣6.4，0）．B（3.6，0），C（0，4.8） （3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下： 在△BOC中，∵∠COB=90°，BC=6，OC=4.8， ∴OB=3.6． 分两种情况： ①当∠BQP=90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB， ∴=， ∴=， 解得t=2.25，即BQ=CP=2.25， ∴BP=BC﹣CP=6﹣2.25=3.75． 在△BPQ中，由勾股定理，得PQ==3， ∴点P的坐标为（1.35，3）； ②当∠BPQ=90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB， ∴=， ∴=， 解得t=3.75，即BQ=CP=3.75，BP=BC﹣CP=6﹣3.75=2.25． 过点P作PE⊥x轴于点E． ∵△QPB∽△ACB， ∴=，即=， ∴PE=1.8． 在△BPE中，BE==1.35， ∴OE=OB﹣BE=3.6﹣1.35=2.25， ∴点P的坐标为（2.25，1.8）（不合题意，舍去）． 综上可得，点P的坐标为（1.35，3）；（2.25，3）． 【方法总结】 垂直模型的特征比较明显，一定是出现在直角三角形中，解题时候很好辨认出该模型，解题时，可以根据射影定理进行计算求解（直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项） 【随堂练习】 1．如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD=2，BD=4，∠ACD=∠B，求AC的长． 【解答】解：在△ABC和△ACD中， ∵∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴=， 即AC2=AD•AB=AD•（AD+BD）=2×（2+4）=12． ∴AC=2． 　 知识点3 斜交型（反A） 如图3中的△ADE和△ACB，图4中的△ACD和△ABC，都有一个公共角相等，只需要知道另一对角相等，就可得到相似，这样的相似属于反A共角形相似． 对于平行中的八字形也有类似的变式，如图所示，△ABJ和△CDJ相似 【典例】 1.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为_______ 【答案】5 【解析】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C， ∴△ACD∽△BCA， ∵AB=4，AD=2， ∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4， ∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3， ∵△ABD的面积为15， ∴△ACD的面积∴△ACD的面积=5． 2.如图，添加一个条件：　 　，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可） 【答案】∠ADE=∠ACB 【解析】解：由题意得，∠A=∠A（公共角）， 则可添加：∠ADE=∠ACB，利用两角法可判定△ADE∽△ACB． 故答案可为：∠ADE=∠ACB． 【方法总结】 斜交型解题时难点在于对应角和对应边的关系，千万不能写错，有一个简单的方法是短边对短边，长边对长边，根据两个三角形中线段直观长度进行判断对应边，但是动点题要谨慎使用这个方法 【随堂练习】 1．如图，BD，CE是△ACB的高，求证：△ADE∽△ABC． 【解答】证明：∵∠A=∠A，∠ADB=∠AEC=90°， ∴△ABD∽△ACE． ∴=， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC． 　 2．如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD=∠B，AD=6cm，DB=8cm，求：AC的长． 【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴=，即=， 解得，AC=2． 知识点4 旋转型 如图1，∠A＝∠B＝∠DCE＝90°，则△ACD∽△BEC；如图2，∠A＝∠B＝∠DCE， 则ACD∽△BEC；图1、图2这样的相似模型叫做“K”型 由A字旋转得到的图形，也是常考的相似模型，如下图所示 【典例】 1.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上． （1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE； （2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论． 【解析】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135° 又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45° ∴∠NEC+∠MEB=135° ∴∠BEM=∠NEC， 而∠MBE=∠ECN=45°， ∴△BEM∽△CNE． （2）与（1）同理△BEM∽△CNE， ∴． 又∵BE=EC， ∴， 则△ECN与△MEN中有， 又∠ECN=∠MEN=45°， ∴△ECN∽△MEN． 2.已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN． 【解析】（1）证明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABE≌△ACD， ∴BE=CD． ②由△ABE≌△ACD，得 ∠ABE=∠ACD，BE=CD， ∵M、N分别是BE，CD的中点， ∴BM=CN． 又∵AB=AC， ∴△ABM≌△ACN． ∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形． （2）解：（1）中的两个结论仍然成立． （3）证明：在图②中正确画出线段PD， 由（1）同理可证△ABM≌△ACN， ∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN． 又∵∠BAC=∠DAE， ∴∠MAN=∠DAE=∠BAC． ∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形． ∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形， ∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM ∴△PBD∽△AMN． 【方法总结】 旋转型是相似模型中综合度最高的一类，往往结合其他知识一起出题，解题时旋转的那个角一般是相似证明过程中的一组对应角之一，利用好这个特征， 根据它所在的三角形就比较容易判断出相似模型了. 【随堂练习】 1．如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40． 求证：△ABC∽△AED． 【解答】证明：∵AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40． ∴==1.2，==1.2， ∴=， ∵∠BAC=∠EAD， ∴△ABC∽△AED． 综合运用：相似模型总结 1.已知：如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（-4，0）， B（0，3） （1）求AB的长； （2）过点B作BC⊥AB，交轴于点C，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，如果P、Q分别是AB和AC上的动点，连接PQ，设AP＝CQ＝x，问是否存在这样的使得△APQ与△ABC相似？若存在，请求出的x值；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）∵点A、B的坐标分别为A（-4，0），B（0，3），∴OB=3，AO=4，∴AB=5； ∵BC⊥AB，BO⊥AC， ∴BO2=AO•OC，即OC=＝=2.25， ∴C点的坐标是（2.25，0）； （2）当△APQ与∽△ABC时，PQ∥BC， ∴， ∵AP=CQ=x， ∴ 解得； 当△APQ与∽△ACB时，同理 解得 答：（1）AB的长为5；（2）C的坐标为（2.25，0）； （3） 存在，x的值为或． 2.如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE． （1）求证：AD∥BC； （2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长． 【解析】（1）证明：∵AD平分∠CAE， ∴∠DAG=∠CAG， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵∠CAG=∠B+∠ACB， ∴∠B=∠CAG， ∴∠B=∠CAG， ∴AD∥BC； （2）解：∵CG⊥AD， ∴∠AFC=∠AFG=90°， 在△AFC和△AFG中， ， ∴△AFC≌△AFG（ASA）， ∴CF=GF， ∵AD∥BC， ∴△AGF∽△BGC， ∴GF：GC=AF：BC=1：2， ∴BC=2AF=2×4=8 3.探索绕公共顶点的相似多边形的旋转： （1）如图1，已知：等边△ABC和等边△ADE，根据　 　（指出三角形的全等或相似），可得CE与BD的大小关系为：　 　． （2）如图2，正方形ABCD和正方形AEFG，求：的值； （3）如图3，矩形ABCD和矩形AEFG，AB=kBC，AE=kEF，求：的值．（用k的代数式表示） 【解析】解：（1）如图1， ∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AE=AD，AC=AB，∠CAB=∠EAD． ∴∠CAE=∠BAD． 在△AEC和△ADB中， ． ∴△AEC≌△ADB． ∴CE=BD． 故答案分别为：△AEC≌△ADB、CE=BD． （2）如图2， ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， ∴AC=AB，AF=AE，∠CAB=∠FAE=45°． ∴==，∠CAF=∠BAE． ∴△AFC∽△AEB． ∴==． ∴的值为． （3）连结FA、CA，如图3， ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，AB=kBC，AE=kEF， ∴∠FEA=∠CBA=90°，==k． ∴△FEA∽△CBA． ∴=，∠FAE=∠CAB． ∴∠FAC=∠EAB． ∴△FAC∽△EAB． ∴= ∵AC===BC． ∴==． ∴的值为． 4.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，BE与CD交于点G （1）求证：BD∥EF； （2）若=，BE=4，求EC的长． 【答案】 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∵DF=BE， ∴四边形BEFD是平行四边形， ∴BD∥EF； （2）∵四边形BEFD是平行四边形， ∴DF=BE=4． ∵DF∥EC， ∴△DFG∽CEG， ∴=， ∴CE==4×=6． 19 学科网（北京）股份有限公司 $第14讲相似模型总结 平行线性 垂直型 相似模型总结 斜交型 旋转型 知识点1平行线型 平行型：(A型、X型) D D 图1 图2 (1)如图1所示，△ABC中，DE∥BC,则AADE∽△ABC,可以得到的比例线段主要 AD:AB=AE:AC=DE:BC;AD:BD=AE:EC. (2)如图2所示，线段AB∥线段CD,且AD、BC交于点E,则△ABE∽△DCE,可 以得到的比例线段主要有AB:CD=AE:DE=BE:EC. 【典例】 1如图，AD和BC相交于点E,AB∥CD∥EF. (I)证明：△ABC∽△FEC,△ACD∽△AFE 1 阅证布+在 2.如图，已知△ABC中，AB=2√5，AC=4V5,BC-6,点M为AB的中点，在线段AC上 取点N,使△AN与△ABC相似，求MN的长. 8 【方法总结】 此类型的题目主要是观察出平行线构造出的相似模型，如果没有的话侧需要添加辅助线， 构造基本相似模型 2 【随堂练习】 1.已知如图，△ABC中，点D是边AC上的一点，过点D作DE∥AB交BC于 点E,过点E作F∥AC交AB于点P,若CD2,BF-号，BC-3, D2,求 DE及CE的长 D B 知识点2垂直型 3 B D 如图所示，△ABC中，∠BAC是直角，并且高AD把这个三角形分成两个小直角三角形 这时候△ABC与这两个三角形都是相似的， 【典例】 1如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CDLAB, (1)写出图中所有相似三角形： (不需证明)； (2)如果AB=l0,AC-8,以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O,建立直角坐标 系（如下图），求点A、点B、点C坐标； (3)在(2)的情况下，若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q 出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两 点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒.是否存在点Q,使以点B、P、Q为顶点的三角形 与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 D B\ (1) (2) 【方法总结】 垂直模型的特征比较明显，一定是出现在直角三角形中，解题时候很好辨认出该模型，解题 时，可以根据射影定理进行计算求解（直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项) 【随堂练习】 1.如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD,若AD=2,BD=4,∠ACD-∠ B,求AC的长， D 知识点3斜交型（反A) A D E B 图3 图4 如图3中的△ADE和△ACB,图4中的△ACD和△ABC,都有一个公共角相等，只需要知 5 道另一对角相等，就可得到相似，这样的相似属于反A共角形相似. 对于平行中的八字形他有类似的变式，如图所示，△ABJ和△CDJ相似 【典例】 1.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4,AD=2,∠DAC=∠B.如果△ABD的面积为 15,那么4ACD的面积为 2如图，添加一个条件： 使△ADE∽△ACB,(写出一个即可) 【方法总结】 斜交型解题时难点在于对应角和对应边的关系，干万不能写错，有一个简单的方法是短边 对短边，长边对长边，根据两个三角形中线段直观长度进行判断对应边，但是动点题要谨 慎使用这个方法 【随堂练习】 I.如图，BD,CE是AACB的高，求证：△ADE∽△ABC. 6 E C 2.如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD=∠B,AD=6cm,DB=8cm,求： AC的长 知识点4旋转型 如图1，∠A=∠B=∠DCE=90°，则AACD∽△BEC;如图2，∠A=∠B=∠DCE, 则ACD∽△BEC;图1、图2这样的相似模型叫做“K”型 D 图1 图2 由A字旋转得到的图形，也是常考的相似模型，如下图所示 1 【典例】 1.AABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中 点上 (I)如图1，设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证：ABEM∽△CNE; (2)如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N, 于是，除(1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论 D F B E 图1 图2 2.已知：如图①所示，在AABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B, A,D在一条直线上，连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点 (1)求证：①BE=CD;②△AMN是等腰三角形； (2)在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图② 所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立； (3)在(2)的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证：△PBD∽△AMN, D 图① 图② 8 【方法总结】 旋转型是相似模型中综合度最高的一类，往往结合其他知识一起出题，解题时旋转的那个角 一般是相似证明过程中的一组对应角之一，利用好这个特征，根据它所在的三角形就比较容 易判断出相似模型了 【随堂练习】 1.如图，已知：∠BAC=∠EAD,AB=20.4,AC=48,AE-17,AD=40. 求证：△ABC∽△AED. D 9 综合运用：相以模型总结 1.已知：如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（-4,0), B(0,3) (1)求AB的长； (2)过点B作BC⊥AB,交轴于点C,求点C的坐标； (3)在(2)的条件下，如果P、Q分别是AB和AC上的动点，连接PQ,设AP=CQ=x, 问是否存在这样的使得△APQ与△ABC相似？若存在，请求出的x值；若不存在，请说明 理由. y个 的 0 10