期末总复习讲义 03 有理数的运算 2025-2026学年人教版七年级数学上册

七年级数学期末总复习讲义 第3课 有理数的运算 知识点梳理 知识点01——有理数的加减 知识点02——有理数的乘除 知识点03——有理数的乘方 知识点04——有理数的混合运算 知识点05——科学计数法与近似数 知识点01 有理数的加减 1. 加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ③一个数同0相加，仍得这个数； 2. 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b). 例题讲解 例1（24-25七年级上·甘肃武威·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加减混合运算常把正数和正数相结合，负数和负数相结合； （2）根据加法交换律和结合律把“同分母的相结合”简便计算即可； （3）根据加法交换律和结合律“凑整”简便计算即可； （4）先去括号和化简绝对值，化成“代数和”再根据加法交换律和结合律简便计算即可． 【详解】 （1）解： =-4-5+3 （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 例2（24-25七年级上·河北唐山·期末）我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正准备在一条南北方向的公路上执行治安巡逻．（规定初始位置为0，向北走为正，向南走为负）它从初始位置到结束巡逻所走的路程（单位：）如下： 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 路程（） (1)直接写出巡逻机器人在这次巡逻中离出发点最远的距离________； (2)通过计算，描述巡逻机器人结束巡逻时的最后位置； (3)已知这次巡逻机器人的平均速度为，请求出巡逻机器人的巡逻时间． 【分析】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）分别求得每次巡逻后距出发点的距离及位置后进行判断即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：第1次：； 第2次：； 第3次：； 第4次：； 第5次：； 第6次：； ∴巡逻机器人在这次巡逻中离出发点最远的距离为， 故答案为：． （2）解：， ∴巡逻机器人结束巡逻时的最后位置在出发点南距出发点处． （3）解：此次巡逻共走：， ， ∴巡逻机器人的巡逻时间． 知识点02 有理数的乘除 1. 乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. ②任何数同0相乘，都得0. 2. 除法法则。除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数即ab=a(b≠0) 3. 运算律 ①乘法交换律：ab=ba ②乘法结合律：(ab)c=a(bc) ③分配律：a(b+c)=ab+ac 例题讲解 例3（24-25七年级上·江苏扬州·期末）计算，最合理的方法是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法法则进行作答即可． 【详解】解：计算最简便的方法是， 故选：C． 例4（24-25七年级上·全国·期末）计算： ． 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据有理数混合运算顺序计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 注：本题切忌不可先约分. 例5（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）计算：． 【分析】本题考查有理数的混合运算，先计算乘法，同时计算括号内，然后计算除法，最后计算减法即可． 【详解】解：原式 ． 注：除法没有分配律 例6（24-25七年级上·云南曲靖·期末）已知有理数，我们规定是的“福倒数”，如：3的福倒数是，的福倒数是．如果，是的福倒数，是的福倒数，是的福倒数，⋯，依此类推，解答下列问题： (1)计算：________，_______，________； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了与有理数运算相关的规律题型，找到规律是解题的关键． （1）根据福倒数的定义求出，，； （2）根据（1）的结论，可发现每3个数一个循环，且3个数的和为，依照规律即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ， ； （2）解：∵，，，，…， 根据以上数据发现：3个数一个循环， 3个数的和为：， ∵， ∴第2025个数是， ∴. 知识点03 有理数的乘方 乘方的定义：求n个相同乘数积的运算叫做乘方. 乘方运算的符号法则： ①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0. 注意事项：表示2的4次幂的相反数，与（-2）4意义不一样. 例题讲解 例7（24-25七年级上·甘肃武威·期末）计算： （1） （2）． 【分析】（1）本题考查了有理数的混合运算． 先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】 ． 【分析】（2）本题考查含乘方的有理数的混合运算，根据先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号内的运算顺序求解即可． 【详解】解： ． 注：分清（-3）2与-32的区别是乘方计算的关键点。 例8（24-25七年级上·河北廊坊·期末）观察下面三行数： 4 16 64 …① 2 14 62 ② 3 9 33 …③ (1)第①行第7个数是 ，第①行第n个数是 ； (2)第②行第n个数是 ，第③行第n个数是 ． (3)取每一行的第10个数，计算这三个数的和． 【分析】本题主要考查代数式及有理数的混合运算，熟练掌握代数式及有理数的混合运算的解法是解题的关键． （1）根据题意得到数字的规律，然后进行求解即可； （2）由题意易得第二行与第一行对应的数字之间相差2，第三行与第一行对应的数字之间的关系是：第一行数字的相反数与1的和等于第三行的数，由此规律可进行求解； （3）根据题意及（2）直接进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：第①行第7个数是，第①行第n个数是； 故答案为：，； （2）解：根据题意得：第②行的第n个数是第①行的第n个数减去2， 故第②行的第n个数是：； 第③行的第n个数是第①行的第n个数的相反数与1的和， 故第③行的第n个数是； 故答案为：，； （3）解：根据题意得：第①行第10个数是， 第②行的第10个数是：， 第③行的第10个数是， 例9（24-25七年级上·河南安阳·期末）（1）根据已知条件填空： ①已知，那么_______，______； ②已知，那么_______，_______． （2）观察上述计算结果，我们可以看出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动_______位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动______位． （3）已知，，．填空： ①________； ②_______． 【答案】（1）①121，；②，；（2）①两；②三；（3）； 【分析】本题考查的是有理数的乘方，根据题意找出规律是解答此题的关键． （1）根据有理数的乘方运算得出结论即可； （2）通过观察底数的小数点移动的位数与结果的小数点移动的位数得出规律即可求出结果； （3）根据上面总结的规律求解即可． 【详解】解：（1）①已知，那么，； ②已知，那么，． （2）①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动两位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动三位． （3）①； ②． 知识点04 有理数的混合运算 有理数的混合运算顺序： ①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 例题讲解 例10（24-25七年级上·河北邯郸·期末）计算，得（   ） A．11 B．13 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】解： ； 故选：A 例11（24-25七年级上·北京西城·期末）对任意两个有理数如下运算：．有下列四个结论： ①；②；③；④若，则． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，绝对值，理解新定义运算的运算方法是解题的关键． 根据新定义运算逐项计算判断即可． 【详解】解：， ①错误； ， ②错误； ，， ， ③正确； ， 若， 则或， ④错误； ∴正确结论的序号是③； 故选：B ． 例12（24-25七年级上·云南曲靖·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先把除法化为乘法，再利用分配律进行简便运算即可； （2）先计算乘方，绝对值，再计算乘除，最后计算加减运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 知识点05 科学计数法与近似数 1.把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1,且a小于10,n是正整数)叫做科学记数法 对于小于-10的数也可以类似表示，例如：567000000=5.67×10⁸ 负数也可以用科学计数表示，例如：-567000000=-5.67×10⁸. 3. 近似数：常用四舍五入法取近似值. 例题讲解 例13（24-25七年级上·吉林白城·期末）2024年我国高考考生人数约为1353万，这个数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：万． 故选：． 例14按括号内的要求，用四舍五入法，对取近似值，其中错误的是（　　） A．（精确到） B．（精确到） C．（精确到十位） D．（精确到千分位） 【答案】B 【分析】本题考查四舍五入取近似值，涉及精确位数、科学记数法、四舍五入法取近似值等知识，熟记四舍五入法求解是解决问题的关键．按照精确度四舍五入取值，逐项分析验证即可得到答案． 【详解】解：A、对（精确到）取近似值为，故此选项正确，不符合题意； B、对（精确到）取近似值为，故此选项错误，符合题意； C、对（精确到十位）取近似值为，故此选项正确，不符合题意； D、对（精确到千分位）取近似值为，故此选项正确，不符合题意； 故选：B． 例15（24-25七年级上·陕西延安·期末）中国嫦娥六号探月器成功着陆月球背面，实现世界首次月球背面采样返回，其返回舱飞行速度最高达到马赫，约米秒，将精确到千位并用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法和近似数，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 课后练习 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各数中，与相加得0的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值、相反数，有理数的加法运算，正确掌握绝对值的性质是解题关键．化简，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴与相加得0的是， 故选：C． 2．（21-22七年级上·湖北黄冈·期中）扬州市旅游经济发展迅速，据扬州市统计局统计，2020年全年接待境内外游客约11370000人次，11370000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 科学记数法就是将一个数字表示成的次幂的形式，其中，表示整数．为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的次幂． 【详解】 解：11 370 ． 故选：A． 【点睛】 本题考查学生对科学记数法的掌握．科学记数法要求前面的部分是大于或等于1，而小于10，小数点向左移动7位，应该为11 370 ． 3．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）表示（　  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，求个相同因数的积的运算叫做乘方． 根据乘方的定义即可得到答案． 【详解】解： 故选：A ． 4．（22-23七年级上·全国·期中）若的相反数是，，则的值为（    ） A．9 B．1 C．9或 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查相反数，绝对值，有理数的加法，掌握分类讨论思想是解题的关键．先用相反数与绝对值求出x，y，再代入求值即可． 【详解】解：∵的相反数是，， ∴，， 当，时，， 当，时，， ∴的值为9或． 故选：C 5．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数轴可得，再结合运算法则可得，，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， 故选A 【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，有理数的减法，乘法，除法结果的符号确定，熟记运算法则是解本题的关键． 6．（25-26七年级上·河北唐山·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先计算乘方，再计算加法即可． 【详解】解：． 故选：C． 7．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）定义一种新运算：，例如：．则的值为（   ） A．3 B．9 C．15 D．27 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．先计算出，再计算即可得出答案． 【详解】解： ， ， 故选：C 8．（24-25七年级上·云南昆明·开学考试）下面各图中，不能说明与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了乘法分配律，解题的关键是读懂题意． 根据四个选项中的图只列出能用式子“”或“”表示即可，根据乘法分配律，． 【详解】解：A、6厘米厘米厘米总长度，不能用“”或“”表示．即不能说明“”与“”相等． B、总价是元，根据乘法分配律就是元．可以用“”或“”表示，即能说明“”与“”相等． C、总面积为平方厘米，根据乘法分配律就是平方厘米．能说明“”与“”相等． D、两种颜色的珠子一共有珠子个，根据乘法分配律就是个．即能说明“”与“”相等． 故选：A． 9．（22-23七年级上·江苏南京·期中）如图，点A、B表示的数分别是a、b，点A在0和1对应的两点（不包括这两点）之间移动，点B在和对应的两点之间移动，下列四个代数式可能比2022大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴得出，，求出，，再分别求出每个式子的范围，根据式子的范围即可得出答案． 【详解】A．因为，， 所以，， 所以的值可能比2022大，故本选项正确； B．由题意得：，所以，故本选项错误； C．因为，， 所以 所以，故本选项错误； D．因为 所以 所以，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查数轴以及有理数的运算，熟练掌握数轴上的点表示的数以及有理数的运算法则是解题关键． 10．（20-21七年级·全国·假期作业）定义一种关于整数的“”运算： （1）当是奇数时，结果为； （2）当是偶数时，结果是（其中是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经运算是29，第二次经运算是92，第三次经运算是23，第四次经运算是；若，则第2017次运算结果是（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由题意所给的定义新运算可得当时，第一次经运算是32，第二次经运算是1，第三次经运算是8，第四次经运算是，由此规律可进行求解． 【详解】解：由题意时，第一次经运算是32，第二次经运算是1，第三次经运算是8，第四次经运算是； 以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1， 第2017次运算结果8， 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数混合运算的应用，关键是从题中所给新运算得出数字的一般规律，然后可进行求解． 二、填空题 11．（22-23七年级上·四川宜宾·期中）若“方框”表示运算，则“方框” ． 【答案】 【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：“方框”． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．（21-22七年级上·甘肃庆阳·期中）把-2.3962精确到百分位的近似数是 ． 【答案】-2.40 【分析】把千分位上的数字6进行四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入法将-2.3962精确到百分位的近似数为-2.40． 故答案为：-2.40． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数称为近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完，所以这些数字都叫这个近似数的有效数字． 13．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查有理数除法，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键． 根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：6． 14．（25-26七年级上·河南驻马店·阶段练习）设表示不超过的整数中最大的整数，如：，，根据此规律计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的减法，读懂题意，理解新定义是解题的关键．根据新定义写成一般算式，然后根据有理数的减法进行计算即可得解． 【详解】解：． 故答案为：5． 15．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）已知2025个实数…，满足，则这个数中正数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，正数和负数的识别，正确理解互相抵消的正数和负数的个数是解题的关键． 用减去求出互相抵消的正数和负数的个数，然后求出负数的个数，再列式计算求出正数的个数即可． 【详解】解：∵， ∴负数的个数为， 正数的个数为． 故答案为：． 16．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m为最大的负整数，n的绝对值为2，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为，最大的负整数为，绝对值为2的数为，结合有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，， ∴原式； 故答案为：2． 17．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）据统计我国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，把这个数精确到十亿位，用科学记数法表示 千克． 【答案】 【分析】本题考查有效数字和科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】499.5亿， 精确到十亿位，用科学记数法表示为， 故答案为：． 三、解答题 18．（24-25七年级上·云南昭通·期中）某中学开展了数学解题大赛，提高了学生数学综合素养，增强了学生学习数学的兴趣． 下表为该校七（一）班选派8位学生代表参加数学解题大赛的情况，若规定每人解出10个题为标准数量（错解或不解视为未解出）． 规定解出题数超过标准数量，每多解出一个题加3分，规定解出题数未达到标准数量，每少解出一个题扣2分． 若七（一）班8位学生代表解题总积分超过40分，七（一）班可得到学校的奖励，通过计算说明七（一）班能否得到学校奖励？ 8位学生代表序号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 解出题数与标准数量的差值 【答案】能得到学校奖励，理由见解析 【分析】本题考查了有理数四则运算的应用，掌握有理数四则运算是解题的关键．根据题意列式计算解答即可． 【详解】解：依据题意， ∴七（一）班能得到学校奖励 19．（24-25七年级上·江西赣州·期末）毛泽东寻乌调查纪念馆在2024年某一周每天的客流量与上一周同期相比，变化情况如下（单位：人）： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天 变化量 (1)请计算这一周毛泽东寻乌调查纪念馆游客流量的总变化量是增加还是减少多少人？ (2)计算本周游客变化量最大的一天与游客变化量最小（与上周同期最接近）的一天游客变化量相差多少？ 【答案】(1)增加人 (2)人 【分析】（1）将表格中的所有数据相加，根据答案即可得出结论； （2）从表格中找出本周游客变化量最大的一天和游客变化量最小的一天，两者数据相减即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： （人）， 答：这一周毛泽东寻乌调查纪念馆游客流量的总变化量是增加人； （2）解：本周游客变化量最大的一天是星期六：人，游客变化量最小的一天是星期四：人， （人）， 答：本周游客变化量最大的一天与游客变化量最小的一天游客变化量相差人． 【点睛】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减混合运算的应用，绝对值的其他应用，有理数大小比较的实际应用，有理数减法的实际应用等知识点，读懂题意，弄清题中正负数的含义是解题的关键． 20．（23-24七年级上·天津津南·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）利用加法交换律和结合律进行计算，即可解答； （2）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答； （3）利用乘法分配律进行计算，即可解答； （4）先算乘方，再算除法，后算加减，有括号先算括号里，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 21．（23-24七年级上·山东德州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的加法交换律和运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘除法混合运算法则计算即可； （3）利用乘法分配律和有理数的乘法运算法则计算即可； （4）根据有理数的混合运算法则计算即可． 本题考查了有理数的计算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 22．（20-21七年级上·四川成都·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：＝ ＝ ； (2)用含有n的代数式表示第n个等式：＝ （n为正整数）； (3)求 的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据所给的等式的形式求解即可； （2）根据所给的等式，进行总结可得出规律； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 第5个等式：； 故答案为：，． （2）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． …… 以此规律可得，， 故答案为：． （3）解： ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律并灵活运用． 23．（2025·河北秦皇岛·一模）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合； (2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】(1)3 (2)①，②、两点表示的数分别是、． 【分析】 本题考查了数轴，主要利用了数轴的对称性，读懂题目信息，分别求出对称中心是解题的关键． （1）先根据数轴判断出对称中心，然后解答即可； （2）先根据数轴判断出对称中心，①根据对称中心列式求解即可； ②求出的一半，再根据对称中心分别列式计算即可得解． 【详解】（1） 解：（1）表示的点与表示的点重合， 对称中心为0， 表示的点与数3表示的点重合； （2）表示的点与2表示的点重合， 对称中心为， ①， 表示的点与数表示的点重合； ②，两点之间的距离为5， 的一半为， 在的左侧， 点表示， 点表示． 、两点表示的数分别是、． 24．（23-24七年级上·北京朝阳·期中）阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点表示的数分别为，3，则线段的长度可以这样计算：或，那么当点表示的数分别为m，n时，线段的长度可以表示为或． 请你参考小兰的发现，解决下面的问题． 在数轴上，点A，B，C分别表示数a，b，c．给出如下定义：若，则称点B为点A，C的双倍绝对点．    (1)如图1，． ①若，点在数轴上分别表示数，5，7，在这三个点中，点 是点的双倍绝对点； ②若B是的双倍绝对点，且，则 ； (2)若，B为点的双倍绝对点，则的值为 ． 【答案】(1)①E；②3或 (2) 【分析】本题考查两点间的距离公式，有理数的四则运算等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）①设点A，C的双倍绝对点对应应的数是b，利用“”求出b的值，从而得解； ②利用“，，”求解即可； （2）首先推导出，，再分①点A在B，C之间，②点A不在B，C之间两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：①设点A，C的双倍绝对点对应应的数是b ∵，， ∴， 解得或， ∴点E是点的双倍绝对点． 故答案为：E； ②∵，， ∴， 解得或3， 故答案为：或3； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ①当点A在之间时，， ∴，即， 解得或； ②当点A不在之间时，， ∴，即， 解得或8． 综上，c的值为，8，或． 故答案为：，8，或； 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学期末总复习讲义 第3课 有理数的运算 知识点梳理 知识点01——有理数的加减 知识点02——有理数的乘除 知识点03——有理数的乘方 知识点04——有理数的混合运算 知识点05——科学计数法与近似数 知识点01 有理数的加减 1. 加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ③一个数同0相加，仍得这个数； 2. 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b). 例题讲解 例1（24-25七年级上·甘肃武威·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 例2（24-25七年级上·河北唐山·期末）我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正准备在一条南北方向的公路上执行治安巡逻．（规定初始位置为0，向北走为正，向南走为负）它从初始位置到结束巡逻所走的路程（单位：）如下： 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 路程（） (1)直接写出巡逻机器人在这次巡逻中离出发点最远的距离________； (2)通过计算，描述巡逻机器人结束巡逻时的最后位置； (3)已知这次巡逻机器人的平均速度为，请求出巡逻机器人的巡逻时间． 知识点02 有理数的乘除 1. 乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. ②任何数同0相乘，都得0. 2. 除法法则。除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数即ab=a(b≠0) 3. 运算律 ①乘法交换律：ab=ba ②乘法结合律：(ab)c=a(bc) ③分配律：a(b+c)=ab+ac 例题讲解 例3（24-25七年级上·江苏扬州·期末）计算，最合理的方法是（   ） A． B． C． D． 例4（24-25七年级上·全国·期末）计算： ． 例5（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）计算：． 例6（24-25七年级上·云南曲靖·期末）已知有理数，我们规定是的“福倒数”，如：3的福倒数是，的福倒数是．如果，是的福倒数，是的福倒数，是的福倒数，⋯，依此类推，解答下列问题： (1)计算：________，_______，________； (2)求的值． 知识点03 有理数的乘方 乘方的定义：求n个相同乘数积的运算叫做乘方. 乘方运算的符号法则： ①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0. 注意事项：表示2的4次幂的相反数，与（-2）4意义不一样. 例题讲解 例7（24-25七年级上·甘肃武威·期末）计算： （1） （2）． 例8（24-25七年级上·河北廊坊·期末）观察下面三行数： 4 16 64 …① 2 14 62 ② 3 9 33 …③ (1)第①行第7个数是 ，第①行第n个数是 ； (2)第②行第n个数是 ，第③行第n个数是 ． (3)取每一行的第10个数，计算这三个数的和． 例9（24-25七年级上·河南安阳·期末）（1）根据已知条件填空： ①已知，那么_______，______； ②已知，那么_______，_______． （2）观察上述计算结果，我们可以看出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动_______位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动______位． （3）已知，，．填空： ①________； ②_______． 知识点04 有理数的混合运算 有理数的混合运算顺序： ①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 例题讲解 例10（24-25七年级上·河北邯郸·期末）计算，得（   ） A．11 B．13 C． D． 例11（24-25七年级上·北京西城·期末）对任意两个有理数如下运算：．有下列四个结论：①；②；③；④若，则． 其中所有正确结论的序号是（   ） A． ①② B．③ C．①③ D．③④ 例12（24-25七年级上·云南曲靖·期末）计算： (1)； (2)． 知识点05 科学计数法与近似数 1.把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1,且a小于10,n是正整数)叫做科学记数法 对于小于-10的数也可以类似表示，例如：567000000=5.67×10⁸ 负数也可以用科学计数表示，例如：-567000000=-5.67×10⁸. 3. 近似数：常用四舍五入法取近似值. 例题讲解 例13（24-25七年级上·吉林白城·期末）2024年我国高考考生人数约为1353万，这个数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 例14按括号内的要求，用四舍五入法，对取近似值，其中错误的是（　　） A．（精确到） B．（精确到） C．（精确到十位） D．（精确到千分位） 例15（24-25七年级上·陕西延安·期末）中国嫦娥六号探月器成功着陆月球背面，实现世界首次月球背面采样返回，其返回舱飞行速度最高达到马赫，约米秒，将精确到千位并用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 课后练习 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各数中，与相加得0的数是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级上·湖北黄冈·期中）扬州市旅游经济发展迅速，据扬州市统计局统计，2020年全年接待境内外游客约11370000人次，11370000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）表示（　  　） A． B． C． D． 4．（22-23七年级上·全国·期中）若的相反数是，，则的值为（    ） A．9 B．1 C．9或 D．或1 5．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（    ）    A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·河北唐山·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）定义一种新运算：，例如：．则的值为（   ） A．3 B．9 C．15 D．27 8．（24-25七年级上·云南昆明·开学考试）下面各图中，不能说明与相等的是（   ） A． B． C． D． 9．（22-23七年级上·江苏南京·期中）如图，点A、B表示的数分别是a、b，点A在0和1对应的两点（不包括这两点）之间移动，点B在和对应的两点之间移动，下列四个代数式可能比2022大的是（    ） A． B． C． D． 10．（20-21七年级·全国·假期作业）定义一种关于整数的“”运算： （1）当是奇数时，结果为； （2）当是偶数时，结果是（其中是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经运算是29，第二次经运算是92，第三次经运算是23，第四次经运算是；若，则第2017次运算结果是（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 二、填空题 11．（22-23七年级上·四川宜宾·期中）若“方框”表示运算，则“方框” ． 12．（21-22七年级上·甘肃庆阳·期中）把-2.3962精确到百分位的近似数是 ． 13．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ． 14．（25-26七年级上·河南驻马店·阶段练习）设表示不超过的整数中最大的整数，如：，，根据此规律计算： ． 15．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）已知2025个实数…，满足，则这个数中正数有 个． 16．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m为最大的负整数，n的绝对值为2，则 ． 17．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）据统计我国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，把这个数精确到十亿位，用科学记数法表示 千克． 三、解答题 18．（24-25七年级上·云南昭通·期中）某中学开展了数学解题大赛，提高了学生数学综合素养，增强了学生学习数学的兴趣． 下表为该校七（一）班选派8位学生代表参加数学解题大赛的情况，若规定每人解出10个题为标准数量（错解或不解视为未解出）． 规定解出题数超过标准数量，每多解出一个题加3分，规定解出题数未达到标准数量，每少解出一个题扣2分． 若七（一）班8位学生代表解题总积分超过40分，七（一）班可得到学校的奖励，通过计算说明七（一）班能否得到学校奖励？ 8位学生代表序号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 解出题数与标准数量的差值 19．（24-25七年级上·江西赣州·期末）毛泽东寻乌调查纪念馆在2024年某一周每天的客流量与上一周同期相比，变化情况如下（单位：人）： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天 变化量 (1)请计算这一周毛泽东寻乌调查纪念馆游客流量的总变化量是增加还是减少多少人？ (2)计算本周游客变化量最大的一天与游客变化量最小（与上周同期最接近）的一天游客变化量相差多少？ 20．（23-24七年级上·天津津南·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 21．（23-24七年级上·山东德州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 22．（20-21七年级上·四川成都·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：＝ ＝ ； (2)用含有n的代数式表示第n个等式：＝ （n为正整数）； (3)求 的值． 23．（2025·河北秦皇岛·一模）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合； (2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 24．（23-24七年级上·北京朝阳·期中）阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点表示的数分别为，3，则线段的长度可以这样计算：或，那么当点表示的数分别为m，n时，线段的长度可以表示为或． 请你参考小兰的发现，解决下面的问题． 在数轴上，点A，B，C分别表示数a，b，c．给出如下定义：若，则称点B为点A，C的双倍绝对点．    (1)如图1，． ①若，点在数轴上分别表示数，5，7，在这三个点中，点 是点的双倍绝对点； ②若B是的双倍绝对点，且，则 ； (2)若，B为点的双倍绝对点，则的值为 ． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $