专题01 集合与充要条件（讲义）-2026年新疆（三校生升高职考试）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年新疆（“三校生升高职”考试）二轮复习《数学考纲专题练》依据新疆“三校生升高职”考试数学科目考试大纲及新疆历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是新疆（“三校生升高职”考试）二轮复习《数学考纲专题练》的第1个专题，内容为集合与充要条件。 2026年新疆（“三校生升高职”考试）《数学考纲专题练》 专题01 集合与充要条件 一、考纲解读 1.集合 (1)理解集合及其相关概念，理解元素与集合的关系，掌握集合之间的关系(子集、真子集、相等),掌握集合的表示法 (2)理解交集、并集、补集的概念及运算 2.简易逻辑 了解充分条件、必要条件及充要条件 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2024 选择题 1 集合/集合的运算（交集） 3 （1）题型：集中在选择题。 （2）分值：集合与充要条件2024年都有涉及，分值一般在6分左右。 （3）内容：集合的概念与关系、集合的运算均有考查；充要条件通常与集合、不等式等知识点结合考查。 2023 选择题 2 集合/集合的列举法 3 选择题 4 充分必要条件（与方程相关） 3 2022 选择题 1 集合/集合的运算（交集） 3 选择题 17 充分必要条件（与不等式相关） 3 三、考点预测 根据2022-2024年的真题考情，预估2026年新疆“三校生升高职”考试依然有2道题目分别考查集合与充分必要条件，题型均设置为单项选择题，分值各3分，共6分。 具体考点可能涉及如下内容： · 元素与集合的关系 · 集合之间的关系 · 集合的运算 · 充要条件的判断 四、知识梳理 一、两大概念 （一）集合 1.集合的概念：一般地，把一些能够确定的对象集中在一起构成的整体，叫做集合，简称集。 2.集合的分类：（1）有限集、无限集；（2）数集、点集 （二）元素 1.元素的概念：构成集合的每个对象叫做集合的元素。 2.元素的3个特性：确定性、互异性、无序性 二、集合中两大关系 （一）元素与集合的关系 1.元素属于集合。2.元素不属于集合3.注意：元素是相对于集合而言的。 （二）集合与集合的关系 1.包含关系 （1）子集的性质 ①任何一个集合都是它本身的子集，即。 ②空集是任何集合的子集，即。 ③若，则。 2.真包含关系 （1）真子集的性质 ①空集是任何非空集合的真子集，即 ②若，则 3.相等关系 （1）相等的性质： （三）重要性质 设一个集合A有n个元素，则集合A的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个。 三、集合的三大运算 （一）集合的交集 1.交集的定义 给定两个集合A、B，由既属于集合A又属于集合B的所有公共元素所构成的集合，叫做A与B的交集。 2.符号表示：,读作“A交B”，即 （二）集合的并集 1.并集的定义 给定两个集合A、B，把它们所有的元素合并在一起构成的集合，叫做A与B的并集。 2.符号表示：,读作“A并B”，即 （三）集合的补集 1.全集、补集的定义 全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果一些集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为这些集合的全集，通常用U表示。 补集：如果A是全集U的一个子集，那么有U中所有不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集。 2.符号表示：,读作“A在U中补集”，即 五、充分必要条件 （一）基本概念 1.“若p，则q”为真命题时， 可表示为“”，（读作p推出q） 此时称p是q的充分条件， 同时称q是p的必要条件。 2.“若p，则q”为假命题时， 可表示为pq”，（读作p推不出q） 此时称p是q的不充分条件， 同时称q是p的不必要条件。 五、10分钟小测验 1．集合，集合，则集合与集合的交集为（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，集合，求． 4．已知． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 参考答案 1．【答案】B 【知识点】交集的概念及运算 【分析】利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2．【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系、列举法表示集合 【分析】根据元素与集合的关系即可得解. 【详解】，故正确；，故错误； ，故错误；，故错误， 故选：. 3．【答案】 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、交集的概念及运算 【分析】解方程，用列举法表示出集合A，再根据交集的概念及运算可求解. 【详解】由可化为，解得或， 所以， 所以. 4．【答案】(1). (2). 【知识点】描述法表示集合、根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】（1）确定时集合，进而得到. （2）首先当时，确定的范围，此时成立，当时，由列出关于的式子，计算得到取值范围. 【详解】（1）当时，， 故. （2）因为，则或， 当时，即，可得，满足， 当时，要使， 即无解，或，解得， 练上所述，的取值范围是或. 六、经典例题解析 【考试题型1】交集的概念及运算 【例1】集合，集合，则 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为集合，集合， 则 . 故选：A. 【考试题型2】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【例2】下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合之间的关系与元素与集合的关系即可得解. 【详解】，故正确； ，故错误； ，故错误； ，故错误， 故选：. 【例3】下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】常用数集或数集关系应用、判断元素与集合的关系、空集的概念以及判断 【分析】根据元素与集合的关系判断即可. 【详解】因为空集是不含任意元素的集合，所以，故A错误，B正确； 因为不是整数，所以，故C错误； 因为是有理数，所以，故D错误. 故选：B. 【考试题型3】集合的表示方法 【例4】若集合，则中的元素个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数 【分析】先求方程的解，再用列举法表示集合可得结果. 【详解】因为方程的解为， 所以，即中的元素有2个. 故选：C. 【考试题型4】常用数集或数集关系应用 【例5】下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】常用数集或数集关系应用、判断元素与集合的关系、空集的概念以及判断 【分析】利用元素与集合之间的关系，结合空集与常用数集的定义即可得解. 【详解】选项A：空集不包含任何元素，所以，故A错误. 选项B：是无理数，表示有理数集，所以，故B错误. 选项C：表示实数集，是实数，所以，故C正确. 选项D：因为2是集合中的元素，所以，故D错误. 故选：C. 【考试题型5】集合的关系及其运算 【例6】设全集，集合． (1)写出集合A的所有子集和真子集； (2)求. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】常用数集或数集关系应用、求集合的子集（真子集）、补集的概念及运算 【分析】（1）根据子集和真子集的概念即可求解. （2）根据补集的概念即可求解. 【详解】（1）因为集合， 所以集合A的子集为， 集合A的真子集为. （2）因为全集，集合， 所以. 【例7】（1）已知集合，求； （2）已知集合，列出子集，真子集，非空真子集 【答案】（1）； （2）子集有：； 真子集有：； 非空真子集有： 【知识点】子集的概念、求集合的子集（真子集）、交集的概念及运算 【分析】（1）根据题意，结合交集的概念和运算，即可求解； （2）根据题意，结合子集、真子集、非空真子集的概念，即可求解. 【详解】（1）因为集合， 所以； （2）因为集合， 所以集合A的子集有：； 真子集有：； 非空真子集有：. 【考试题型6】集合的参数问题 【例8】已知集合，集合， (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2). 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】（1）根据并集的概念及运算可求；依次根据补集、交集的概念及运算可求； （2）由，可得，根据子集的概念，分、两种情况，列不等式（组）可求解. 【详解】（1）当时，，， 所以或， 所以，； （2）∵，. ①若时，，解得，符合题意； ②若时，，解得. 综上可得. 【例9】已知全集，集合，. (1)求；； (2)已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或. (2) 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】（1）根据集合的交集、补集以及并集求解即可. （2）根据集合的补集以及并集得到不等式组求解即可. 【详解】（1）因为集合，，所以， 因为全集，集合，所以或， 因为，所以或. （2）因为集合，或，集合， 又因为，所以，即. 【例10】设全集为R，集合或，. (1)求，； (2)设时，若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】（1）根据集合的交并补混合运算求解即可. （2）根据集合与集合的包含关系得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】（1）因为集合或，， 所以或. 因为全集为R， 所以，则. （2）因为，， 且， 所以，解得. 【考试题型7】充分必要条件 【例11】设是三个集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由交集的性质结合充分条件与必要条件的概念进行分析即可. 【详解】若， 则，但， 所以由，不一定有，所以充分性不成立， 反之，由，一定可得，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1、集合的基本概念与运算 集合表示：列举法、描述法。 集合关系：子集、真子集、相等。 特殊集合：空集 ∅（一切集合的子集）、全集 U 集合运算：交集、并集、补集（全集）。 2、充要条件的核心逻辑 充分条件：p ⇒ q（有 p 必有 q） 必要条件：q ⇒ p（无 p 必无 q） 充要条件：p ⇔ q（p 与 q 等价） 集合包含法（重点！）： p 是 q 的充分条件 ⇔ P ⊆ Q p 是 q 的必要条件 ⇔ Q ⊆ P p 是 q 的充要条件 ⇔ P = Q （其中 P = {x | p(x)}, Q = {x | q(x)}） （二）、解题策略与技巧 集合问题 数轴法：解不等式型集合（尤其含参数） 步骤： ① 画数轴标边界； ② 讨论参数临界点； ③ 验证端点是否取等（易错点！） 充要条件问题 充要条件快速判定 口诀记忆： "前推后是充分，后推前是必要；双推等价是充要" （三）、易错点总结 集合运算 混淆子集与真子集：注意“子集”与“真子集”的区别，空集是任何集合的子集。 化简集合出现错误：化简由二次不等式、绝对值不等式组成的集合出现错误。 求并集时出现错误：把并集当作交集。 充要条件判断 逻辑方向混淆：混淆充分/必要方向的推理。 （四）、复习建议 专题训练侧重： 强化集合语言与数学表达的转换（如 "A∩B=∅" 等价于 "方程无公共解"）； 重点训练含参集合的讨论能力（占高考中档题分值）。 学生能力提升： 建立逻辑推理思维树：从定义出发，用集合工具可视化充要条件； 整理错题本：聚焦"空集遗漏"、"参数端点"、"逻辑方向反"三类高频错误。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $