期末复习讲练全攻略一本通（知识梳理+高频易错考点练+压轴题型练+真题重组卷）-2025-2026学年人教版数学六年级上学期培优全攻略

期末复习讲练全攻略一本通 100 冲刺 分 2026最新版 名师推荐 人教版 · 单元知识梳理精讲（回顾） · 易错考点真题练（分单元） · 压轴考点真题练（总复习） · 期末实战演练卷（2套） 知识梳理+易错考点练+压轴考点练+期末实战练 （原卷版） 小学数学 姓名： 班级： 学号： 六年级上 同学你好，该套讲义精选历年人教版数学六年级上册第1-8单元各地区期末考试超高频考察题型题目，精益求精，助你轻松掌握解题技能！整体难度中等及偏上，适合绝大多数同学学习使用。讲义分为三大部分。 ●第一部分：单元知识梳理、易错讲练 1-8单元（分数乘法、位置与方向（二）、分数除法、比、圆、百分数（一）、扇形统计图、数学广角-数与形）知识点综合重难点复习，查漏补缺。每个单元知识点汇总，易错考点讲练，学以致用！加强对所学内容的进一步理解和掌握，熟悉易错题型的解题技巧和解题方法！ ●第二部分：压轴考点真题练 优选近两年全国各地名校期末真题，难度中上，1-8单元总复习篇，按照考点划分，深入浅出掌握疑难解题技巧！ ●第三部分：期末实战演练卷 一套名校真题重组卷、一套培优通关卷!层层递进，超越自我！ 预祝你在期末考试中取得满意成绩！ 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 知识梳理 易错讲练 2 第一单元 分数乘法 2 【温故知新 知识梳理】 2 【优选真题 易错讲练】9个考点 共18题 3 第二单元 位置与方向（二） 7 【温故知新 知识梳理】 7 【优选真题 易错讲练】4个考点 共16题 8 第三单元 分数除法 15 【温故知新 知识梳理】 15 【优选真题 易错讲练】9个考点 共18题 18 第四单元 比 26 【温故知新 知识梳理】 26 【优选真题 易错讲练】8个考点 共16题 29 第五单元 圆 33 【温故知新 知识梳理】 33 【优选真题 易错讲练】14个考点 共28题 37 第六单元 百分数（一） 46 【温故知新 知识梳理】 46 【优选真题 易错讲练】14个考点 共28题 48 第七单元 扇形统计图 54 【温故知新 知识梳理】 54 【优选真题 易错讲练】3个考点 共9题 55 第八单元 数学广角-数与形 60 【温故知新 知识梳理】 60 【优选真题 易错讲练】5个考点 共15题 61 第二部分 压轴考点真题练（45个题型 共90题） 64 第三部分 期末实战演练卷 89 2025-2026学年人教版数学六年级上学期期末真题重组拔高卷 89 2025-2026学年苏教版数学五年级上学期期末冲刺培优卷 97 第一单元 分数乘法 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：分数乘法的意义 （1）分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。 （2）一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以） 知识点梳理02：分数乘法的计算法则 （1）分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。 ①为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分） ②约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数）。 （2）分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母） ①如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。 ②分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。 ③在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。（约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数）。 ④分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。 （3）小数乘分数的运算法则是： ①把小数化成分数计算； ②如果所乘分数可以化成有限小数，也可以把分数化成小数计算； ③小数和分母能约分的，先约分在计算比较方便。 知识点梳理03：积与因数的关系 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。a×b=c,当b >1时，c>a。 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。a×b=c,当b <1时，c<a (b≠0)。 一个数（0除外）乘等于1的数，积等于这个数。a×b=c,当b =1时，c=a。 注：在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为0时的特殊情况。 知识点梳理04：分数乘法混合运算 （1）分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。 （2）整数乘法运算定律对分数乘法同样适用；运算定律可以使一些计算简便。 乘法交换律：a×b=b×a   乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c 知识点梳理05：分数乘法的应用 （1）连续求一个数的几分之几是多少？（用乘法） 已知单位“1”的量，求单位“1”的量的几分之几是多少，用单位“1”的量与分数相乘。 （2）求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的数是多少的解题方法： ①单位“1”的量×=这个数量； ②单位“1”的量单位“1”的量=这个数量。 【优选真题 易错讲练】9个考点 共18题 易错讲练1 求一个数的几分之几的问题 1．（24-25六年级下·安徽宿州·期末）小智的学校买来黄色乒乓球的数量是白色球数量的，两种乒乓球的总数量在50～60之间，黄色球的数量是 个。 2．（24-25六年级下·广东东莞·期末）一根绳子长a米，第一次用去，第二次用去米。两次用去的长度（    ）。 A．第一次长 B．第二次长 C．一样长 D．无法比较 易错讲练2 分数乘分数 3．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）在分析“求千米的是多少？”一题的过程中，下面的示意图不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 4．（20-21六年级上·河北沧州·期末）甲、乙、丙三人合修一条公路。甲、乙合修6天修好公路的，乙、丙合修2天修好余下的；剩下的部分三人又合修了5天才完成。共得到劳务费3600元，按各人完成工作量的多少来分配劳务费，三人各应得劳务费多少元？ 易错讲练3 分数乘小数 5．（21-22六年级上·四川南充·期末）3.2与一个分数相乘，积一定比3.2小。( )（判断对错） 6．（24-25六年级上·重庆南岸·期末）港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世界，极大地缩短了三地间的陆路路程。2018年正式通车后，大巴车从香港到珠海需要的时间比通车前大约能节约。通车前某大巴车从香港到珠海需要3.2小时，则通车后需要多少小时？ 易错讲练4 因数和积的大小关系（分数乘法) 7．（23-24六年级下·福建福州·期末）若a＞0，则下面的算式中得数最大的是（    ）。 A．a×0.99 B．a÷0.99 C．a÷1.02 D．a× 8．（24-25六年级上·安徽芜湖·期末）（a、b、c、d均不为0），这四个数中最大的是( )，最小的是( )。 易错讲练5 整数乘法运算定律推广到分数乘法 9．（24-25六年级上·重庆渝北·期末）简便运算，写出必要的过程。                  10．（24-25六年级上·江西抚州·期末）计算下面各题，怎么简便就怎么算。                          易错讲练6 分数的连乘运算 11．（24-25六年级上·重庆·期末）“胸藏文墨怀若谷，腹有诗书气自华”。安安平时喜欢阅读，下面是安安读《西游记》选文后的一些记录。在不认识的字中能理解意思的字有多少个？ 读书记录①本段选文共480字。 ②一共有的字不认识。 ③读错的字比不认识的少。 ④不认识的字中根据上下文能理解意思的占。 （1）要解决这个问题需要（    ）作为已知条件（填序号）。 （2）根据选择的条件解决上面的问题。 12．（22-23六年级上·四川·期末）将一张长方形的纸对折3次后，现在的面积是原来的（    ）。 A． B． C． D． 易错讲练7 连续求一个数的几分之几是多少的问题 13．（24-25六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”，我们要像保护眼睛一样保护生态环境。在沙漠植树造林要选择需水量较低的树木。在西北某沙漠的一个区域种植胡杨800棵，种植沙柳的棵数是胡杨棵数的，种植沙枣的棵数又是沙柳棵数的，这个区域种植沙枣树多少棵？ 14．（24-25六年级上·福建福州·期末）名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，第三天截取的长度与最初木棒总长度的比是（    ）。 A．1∶4 B．1∶8 C．1∶16 D．1∶32 易错讲练8 已知总量及一部分分率，求另—部分量 15．（23-24六年级下·浙江温州·期末）一根长米的绳子，如果用去米，还剩( )米；如果用去这根绳子的，还剩( )米。 16．（22-23六年级下·安徽·期末）我国古代数学名著《九章算术》里有这样一道题：今有人持百斗米出三关，内关四而取一，中关五而取一，外关十而取一，余米几斗？意思是：有个人带了100斗米出三道关，内关按总货物的收税，中关按余下货物的收税，外关按余下货物的收税，最后还剩( )斗米。 易错讲练9 求比一个数多/少几分之几的数是多少 17．（24-25六年级下·河南许昌·期末）鱼肉富含动物蛋白质和磷质等，营养丰富，滋味鲜美，易被人体消化吸收，对人类体力和智力的发展具有重大作用。四海鱼店今天售出鲢鱼315千克，售出的草鱼的质量比鲢鱼多，售出的乌鱼的质量比草鱼少，四海鱼店今天售出乌鱼多少千克？ 18．（21-22六年级下·浙江金华·期末）在一个教学实验活动中，先往一个长方体容器中注水，使水深为4厘米，然后将一块不规则冰块完全浸没水中，水的高度上升到7厘米。（冰块能完全浸没） （1）冰块的体积是多少立方厘米？ （2）已知冰融化成水，体积减小原来的，当冰块完全融化时，容器内的水深是多少厘米？ 第二单元 位置与方向（二） 【温故知新 知识梳理】 知识点01：确定物体的位置 1、确定物体位置的条件：方向和距离，两个条件缺一不可。 2、确定物体位置的方法： （1）确定观测点，画出以观测点为中心的正北、正南、正西、正东四个方向的射线； （2）看被观测物体与观测点之间的线段往哪个方向偏，量出那个方向的线段与射线之间的角度和物体与观测点之间的距离； （3）把方向和距离结合起来就能确定物体的具体位置。 3、物体位置关系的相对性 （1）描述两个物体或地点位置关系时，会有两种方式，如“A在B的北偏西约60°方向上”和“B在A的南偏东约60°方向上”。 这两种描述方式角度不变，但方向正好相反，体现了位置关系的相对性。 （2）两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时，观测点不同，叙述的方向正好相反，而度数和距离正好相等。 知识点02：在平面图上标出物体位置 在平面图上标明物体位置的方法: （1）确定观测点和方向（方位角）：确定方向，一般是按“上北下南、左西右东”来确定； （2）换算距离：根据单位长度表示的实际距离计算出图上距离； （3）标出位置：根据方向和距离确定物体的具体位置，标出物体的名称。 知识点03：路线图 1、描述路线图。 （1）描述路线图时，观测点变化了，就要以新的观测点为中心建立方向标，然后根据方向和距离描述物体的运动路线。 （2）描述运动路线时先说起点是哪里，再说沿着什么方向运动了多远，最后说到达什么位置，也就是终点。 2、绘制路线图。 （1）确定方向标和单位长度； （2）确定起点的位置； （3）根据描述，从起点出发，找准方向和距离，一段一段地画（第一段的观测点是起点，以后每段的观测点都是上一段的终点）。 （4）以谁为观测点，就以谁为中心画出“十”字方向标，据此判断下一段的方向和距离。 【优选真题 易错讲练】4个考点 共16题 易错讲练1 根据方向和距离描述简单的路线 1．（23-24六年级上·内蒙古通辽·期末）查找路线。 （1）小林从家出发向（    ）走（    ）米，再向（    ）方向走（    ）米，又向（    ）走（    ）米，到达图书馆。 （2）请描述小林从图书馆回到家的路线。 2．（23-24六年级上·河北秦皇岛·期末） （1）小力从电影院出发，向　 　走　 　到达书亭，从书亭向　 　走　 　到达超市，从超市向　 　走　 　到达广场。 （2）根据路线图，请你写一写小力从家去超市的方向和路程。 3．（20-21四年级上·广东惠州·期末）看图填空。 （1）用数对表示小丽家的位置是( )，学校的位置是( )。 （2）小丽从家向( ) 方向走( )米到体育馆，然后向( )走( )米到图书馆，再向( ) 方向走( )米到学校。 （3）如果小丽以每分50米的速度从体育馆走到商场，需要走( )分钟。 4．（23-24六年级上·全国·期末）下列图形中每个小方格的边长都是200米。 （1）小华从体育馆出发，先去超市买完矿泉水后再去图书馆看书，他的行走路线是：先从体育馆向（    ）方向走（    ）米，再从（    ）向（    ）方向走（    ）。 （2）实验楼在超市的东偏北35°方向上，距离是1000m，请在图上标出它的位置。 易错讲练2 根据方向、角度和距离描述路线图 5．（24-25六年级下·重庆长寿·期末）第三届“一带一路”田径邀请赛暨2025年全国田径大奖赛（第3站）于5月14—16日在长寿区体育中心举办。假如在比赛期间碧桂园酒店、体育中心和菩提古镇成为国际参赛选手主要的活动区域，下列描述正确的是（    ）。 A．从碧桂园酒店向西偏南39°方向大约走2千米到体育中心。 B．从体育中心向西偏北21°方向走大约3千米到菩提古镇。 C．从体育中心向东偏北39°方向走大约2千米到碧桂园酒店。 D．从碧桂园酒店向南偏西8°方向大约走3.5千米到菩提古镇。 6.（24-25六年级上·广东东莞·期末） （1）小玲从家去书店，她先向_________方向，走________米到达商场，用时15分钟；再向_________方向走____________米到达书店，用时7分钟。 （2）根据如图的路线图，小玲从家去书店的平均速度是多少？ 7．（23-24六年级下·重庆铜梁·期末）画一画、填一填。 （1）汽车站在少年宫西边500m处，火车站在体育馆东边600m处，在方格图中用“·”标出汽车站、火车站的位置。 （2）小明从少年宫出发，向（    ）方向行走到达百货大楼，从百货大楼向南方行走（    ）m到达体育馆。 8．（22-23六年级上·广东珠海·期末）根据下面的描述，完成下列各题。 （1）商场在小玲家（            ）方向（        ）米处。 （2）小红家在小玲家南偏西45°方向600米处，请你在图中标出小红家的位置。 （3）请你描述小玲从书店出发回家所走的路线：小玲从书店出发，沿东偏北45°方向走400米到商场，再沿（                     ）到小玲家。 （4）小玲从书店回家每分钟走70米，那么她从书店回到家需要步行（      ）分钟。 易错讲练3 根据方向、角度和距离画线路图 9．（24-25六年级上·湖北襄阳·期末）如图，军事演习中，一艘军舰从起点沿北偏东30°方向航行60km到达A处，接着向正西方向航行40km到达B处，最后向西偏南45°方向航行30km到达终点C处。请根据上面描述，把这艘军舰行驶的路线图补充完整。 10．（24-25六年级下·云南楚雄·期末）在一次军事演习中，一艘军舰从起点先向东偏北60°方向行驶72千米后，再向正东方向行驶36千米，最后向东偏南30°方向行驶24千米到达终点。 （1）根据上面的描述，把军舰行驶的路线图画完整。 （2）如果从终点按原路匀速返回起点用了4小时，那么这艘军舰返回时的速度是（    ）千米/小时。 11．（23-24六年级下·福建漳州·期末）按照要求填空和作图。 （1）丽丽从家出发去图书馆，她应先向（    ）偏（    ）（    ）°方向走200米来到游乐园，然后再向正东方向走（    ）米到图书馆。 （2）丽丽看完书要去图书馆东偏南60°，距离200米的欢欢家。请你在上图中补充丽丽从图书馆到欢欢家的路线图。 12．（20-21六年级上·浙江·期末）看图填空。下图，每个小正方形的对角线长。 （1）如果点的位置用数对表示，那么点的位置可用数对（    ）表示。 （2）点在点的南偏东45度方向处，请在图上标出点。 （3）依次连接三个点形成封闭图形，这是（    ）形，估计一下，这个图形的面积约是（    ）平方米。 易错讲练4 根据方向、角度和距离确定物体的位置 13．（24-25六年级上·河北衡水·期末）下图以科技馆为观测点。 (1)第十二中学在( )( )°方向上，距离是( )米。 (2)实验小学在( )( )°方向上，距离是( )米。 14．（24-25六年级上·河南郑州·期末）量一量，填一填。 （1）小帆先从家向（    ）走（    ）米到学校，再向（    ）偏（    ）（    ）°走（    ）米到图书馆。 （2）小航家在学校北偏东45°方向600米处。请在下图中用★标出小航家的位置。 15．（24-25六年级上·湖南岳阳·期末）根据路线图，完成下面各题。 （1）涛涛从家出发，先沿西偏北（    ）°方向行走（    ）米到达公园，再沿（    ）偏（    ）（    ）°方向行走（    ）米到达学校。 （2）书店位于涛涛家北偏东30°方向400米处，请在图中标出书店的位置。 16．（21-22六年级上·天津南开·期末）根据下面的描述，借助图上的量角器在平面图上标出体育场、文化广场和博物馆的位置。图中1cm长的线段表示500m的实际距离。 （1）体育场在电视塔的北偏西30°方向2500m处。 （2）电视塔在文化广场的东偏北45°方向2km处。 （3）博物馆在电视塔的东偏北45°方向2km处。 第三单元 分数除法 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：倒数的认识 1.意义： 乘积是1的两个数互为倒数。 （1）例如：因为 ，所以 和 互为倒数。 2.求一个数的倒数的方法： （1）分数： 交换分子和分母的位置。（若为带分数，先化成假分数再交换）例： 的倒数是 ；，其倒数是 。 （2）整数（0除外）： 看作分母是1的分数，再交换分子和分母的位置（即整数的倒数是几分之一）。例：5 的倒数是 ；1 的倒数是 1。 （3）小数： 先化成分数，再求倒数。例：0.25 = ，其倒数是 4。 3.特殊情况： （1）1的倒数是它本身（1）。 （2）0没有倒数。（因为0乘任何数都得0，不可能等于1） 知识点梳理02：分数除法的意义和计算法则 1.分数除法的意义： （1）与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 （2）例如： 表示已知两个因数的积是 ，其中一个因数是2，求另一个因数是多少。 （3） 表示已知两个因数的积是 ，其中一个因数是 ，求另一个因数是多少。 2.分数除以整数的计算法则： （1）分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 （2）字母表示： (a ≠ 0, c ≠ 0) （3）例：①；② (能约分的先约分) 3.一个数除以分数的计算法则： （1）一个数（可以是整数、分数）除以一个不为0的分数，等于乘这个分数的倒数。 （2）字母表示： (a ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0) （3）例：①；② (能约分的先约分) 4.分数除法的统一计算法则：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。 知识点梳理03：分数混合运算 1.运算顺序： （1）与整数混合运算的顺序相同。 （2）同级运算（只有乘除或只有加减）：从左往右依次计算。 （3）不同级运算（既有乘除又有加减）：先算乘除，后算加减。 （4）有括号的：先算括号里面的，再算括号外面的。 2.简便运算：整数乘法的运算定律（交换律、结合律、分配律）对于分数乘法同样适用。在分数混合运算中，能运用运算定律进行简便计算的要简便计算。 （1）例： (交换律) （2）例： (分配律) 知识点梳理04：解决问题 1.已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 (已知部分量，求单位“1”的量) （1）关键： 找准单位“1”的量（未知），找出已知量对应的分率。 （2）数量关系式： 单位“1”的量 × 分率 = 分率对应的量 (已知量) （3）解题方法： ①方程法：设单位“1”的量为 x。 ，解方程。 ②算术法：已知量 ÷ 对应的分率 = 单位“1”的量。 2.已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数。 (已知比单位“1”多/少部分的量，求单位“1”的量) （1）关键： 找准单位“1”的量（未知），理解“多（或少）几分之几”的含义，确定已知量对应的分率是 (1 + 几分之几) 或 (1 - 几分之几)。 （2）数量关系式： 单位“1”的量 × (1 ± 分率) = 已知量 （3）解题方法： ①方程法：设单位“1”的量为 x。 ，解方程。 ②算术法：已知量 ÷ (1 ± 分率) = 单位“1”的量。 3.已知两个数的和（或差）及这两个数的倍数关系（几分之几），求这两个数。 （1）关键： 设其中一个数（通常设单位“1”的量）为 x，根据倍数关系用含 x 的式子表示另一个数，再根据和或差列方程。 4.工程问题（分数除法的应用之一）： （1）特点： 工作总量未知，通常用“1”表示工作总量。 （2）工作效率： 单位时间内完成的工作量，即工作总量 ÷ 工作时间。通常表示为“几分之一”（如：甲单独做需5天完成，则甲的工作效率是 ）。 （3）数量关系式： 工作总量 ÷ 工作效率之和 = 合作工作时间。 知识点梳理05：易错点提示 1.分数除法计算错误： （1）忘记将除法转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数）。 （2）记错倒数（尤其是小数的倒数）。 （3）约分不彻底或错误约分。 2.解决问题时： （1）找不准单位“1”： 特别是在“比一个数多（或少）几分之几”的题目中。 （2）分不清用乘法还是除法： 单位“1”已知用乘法，单位“1”未知用除法（或方程）。 （3）对应分率找错： 已知量与分率不对应。 （4）用方程解决问题时，等量关系列错或解方程出错。 4.分数混合运算顺序错误： 特别是在有括号和多种运算符号时。 5.简便运算的滥用或不用： 该用简便方法的不用，或者不满足运算定律条件时强行使用。 【优选真题 易错讲练】9个考点 共18题 易错讲练1 倒数的认识 1．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）如图，直线上有、、、四个数，其中有可能互为倒数的是（    ）。 A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25六年级下·河南南阳·期末）已知（a、b、c均不为0），那么a、b、c的大小关系是( )＞( )＞( )。 易错讲练2 与倒数有关的综合计算 3．（22-23六年级上·河北邯郸·期末）×( )＝×( )＝0.25×( )＝1。 4．（23-24六年级上·河南新乡·期末）甲数的倒数是，乙数的倒数是4，甲、乙两数之和的是（    ）。 A． B． C． D． 易错讲练3 自然数与倒数的和或差的问题 5．（23-24六年级上·北京平谷·期末）一个自然数，与它的倒数的和是，这个自然数是( )。 6．（23-24六年级上·北京丰台·期末）两个自然数的和是18，它们倒数的和是，这两个自然数分别是( )。 易错讲练4 分数的平均分 7．（24-25六年级上·重庆黔江·期末）÷3怎样算的呢？仔细观察图，结合情境想一想，再填空。 情境：把长为米的彩带平均分成3段，每段长为多少米？ （1）方法一：把6个平均分成（    ）份，每份是（    ）个，就是（    ）。 即：（米） （2）方法二：把平均分成3份，求每份是多少，也就是求的是多少。 即：（米） 8．（24-25六年级上·浙江宁波·期末）想一想，填一填。 想：把平均分成6份，就是把30个平均分成6份，每份是（    ）； 想：把平均分成6份，每份就是的。 易错讲练5 分数与整数的除法 9．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）王老师平时上班开车需要24分钟，下雪天，行驶速度比平时降低，这样路上大约要（    ）分钟。 A．18 B．19.2 C．30 D．32 10．（21-22六年级上·吉林·期末）一本书，小明第一天看了它的，第二天看了剩下的，还剩没有看；如果还有116页没看，这本书一共有（    ）页。 易错讲练6 分数与分数的除法 11．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）下面问题中，所有能用解决的问题有（    ）。 ①小明回家，行了千米，已经行全程的，回家的路程是多少千米？ ②小明小时看了一本书的，他每小时看这本书的几分之几？ ③小明5分钟走了千米，那么6分钟走多少千米？ ④小明6分钟行了千米，那么5分钟行多少千米？ A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 12．（20-21六年级上·贵州遵义·期中）修一条公路，甲队单独10天修完，乙队单独12天修完，丙队单独15天修完，现在三队合修，但中途甲队撤离到其他工地，结果一共用了6天把这条公路修完，修这条公路甲队工作了几天？ 易错讲练7 被除数与商的大小关系（分数除法） 13．（24-25六年级上·山西长治·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )        ( ) ( )        ( ) 14．（24-25六年级上·湖北襄阳·期末）M所在的位置如图，是位置点是 ，是位置是点 。 易错讲练8 分数的连除运算 15．（24-25六年级上·河南郑州·期末）“China“这个英文单词，据说其来源与“瓷器”有关。我国瓷器源起商代，东汉立形，经南北朝发展，唐有“南青北白”及唐三彩，宋以五大名窑领衔鼎盛，元有景德镇的青花瓷、釉里红独树一帜，明清制瓷登峰造极，外销海外，辉煌灿烂。如今，瓷器已经进入了寻常百姓家，成为人们日常生活里常见的物品。景德镇一个民窑一年生产瓷碗90万件，是瓷杯产量的，______。这个民窑一年生产多少万件瓷盘？横线上补充下面信息（    ），用算式解答。 A．瓷杯的产量是瓷盘产量的 B．瓷盘的产量是瓷杯产量的 C．瓷杯比瓷盘每年的产量多 D．瓷盘的产量比瓷杯多 16．（23-24六年级上·浙江嘉兴·期末）计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。                                        易错讲练9 分数的乘、除法的混合运算 17．（24-25六年级上·河南郑州·期末）计算下列各题。 ①       ②        ③ ④        ⑤         ⑥ 18．（24-25六年级上·重庆黔江·期末）脱式计算，能简算的要简算。         34－34×              ×＋÷13     48×（＋）÷     （156×－26）× 易错讲练10 分数的四则混合运算 19．（24-25六年级下·重庆忠县·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。           46.7×0.82＋4.67×1.8            375＋625÷25                  20．（24-25六年级上·山西长治·期末）某博物馆，有一群可爱的“红领巾讲解员”，他们参与周末红色研学志愿讲解活动，用动听的声音，热忱的服务，积极向来自五湖四海的游客宣讲着红色故事。截至目前，已建25个少先队校外实践教育基地，有102名红领巾讲解员参与校外场馆志愿讲解，比去年同期增长了，去年同期有（    ）名红领巾讲解员。 A．80 B．85 C．24 D．20 易错讲练11 分数除法相关的简便计算 21．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）怎样简便就怎样算。 ①               ② ③           ④ ⑤      ⑥ ⑦解方程： 22．（24-25六年级上·安徽宣城·期末）下面各题怎样简便怎样算。                       易错讲练12 解分数方程 23．（24-25六年级上·山西长治·期末）某小学2024年一年级新生有420人，比2023年增加了，这所小学2023年一年级新生有多少人？ （1）下面哪幅图正确表达了题目的意思？请你在相应的括号里画“√”。 （2）请你列方程解决这个问题。 24．（21-22六年级下·河南洛阳·期末）某水果店购进一批水果，第一天卖掉吨，第二天卖掉了剩下的，还剩下2吨，这批水果一共多少吨？ 易错讲练13 已知一个数的几分之几是多少，求这个数 25．（24-25六年级下·广东东莞·期末）亮亮的作业不小心沾上了墨水（如图），根据亮亮列的算式，被沾上墨水部分的信息是（    ）。 A．六（1）班收集的是六（2）班的。 B．六（2）班收集的是六（1）班的。 C．六（1）班收集的比六（2）班少。 D．六（2）班收集的比六（1）班少。 26．（23-24六年级上·全国·课后作业）《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？”题意：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的纳税，过中关时用所余米的纳税，经过内关时再用余米的纳税，最后还剩下5斗米。这个人原来背多少斗米出关？ 易错讲练14 已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 27．（24-25六年级下·广西南宁·期末）神舟载人飞船是中国自行研制的用于天地往返运输人员和物资的载人航天器，达到或优于国际第三代载人飞船技术标准，具有完全自主知识产权及鲜明的中国特色。 请你算一算神舟十六号飞船重多少吨？（得数保留一位小数） 28．（24-25六年级下·山东济宁·期末）在千秋展厅，有唐三彩相关展品。唐三彩烧制技艺和广彩瓷烧制技艺都是国家级非物质文化遗产。广彩瓷的烧制温度大约是800摄氏度， ，唐三彩的烧制温度大约是多少摄氏度？解决这个问题列式为800÷（1－），那么横线上应该补充的条件是（    ）。 A．是唐三彩烧制温度的 B．比唐三彩的烧制温度高 C．比唐三彩的烧制温度低 D．唐三彩的烧制温度是广彩瓷烧制温度的 易错讲练15 已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 29．（24-25六年级上·重庆黔江·期末）木雕至今已有7000多年的历史，是我国非物质文化遗产之一。振兴木雕厂接受一批雕刻任务，该任务由赵师傅和王师傅共同完成。赵师傅分到的雕刻任务是45个，王师傅的任务占总数的，那么这批雕刻任务数一共是多少个？ 30．（23-24六年级下·浙江嘉兴·期末）小红骑车从甲地去乙地，小明步行从乙地去甲地，两人同时出发。当两人相遇时，小明走了全程的。相遇后两人继续前行，当小红到达乙地后，小明离甲地还有12千米。甲乙两地相距多少千米？ 易错讲练16 运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 31．（24-25六年级上·湖北襄阳·期末）小红和小刚都是集邮爱好者，他们共有240枚邮票。如果小红拿出给小刚，这时两人的邮票数量就同样多。原来小红有（    ）枚邮票。（先将线段图补充完整，再解答） 32．（21-22六年级下·重庆九龙坡·期末）在某大坝截流时，用载重卡车将一堆石料运到围堰龙口，第一次运了这堆石料的少2万方，第二次运了剩下的多3万方，此时还剩下12万方未运，则这堆石料共有多少万方？ 第四单元 比 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：比的意义 1.定义： 两个数相除又叫做两个数的比。 （1）例如：男生人数是女生人数的，我们可以说男生人数和女生人数的比是3比2。 2.各部分名称： （1）在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。 （2）比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 （3）形式：前项:后项 = 前项÷后项 = 比值 (比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示) （4）例如：3:2 = 3÷2 = (或1.5)，其中3是前项，2是后项， (或1.5)是比值。 3.比与分数、除法的联系与区别： 比 前项 比号 (:) 后项 (不能为0) 比值 (表示两个数的关系) 除法 被除数 除号 (÷) 除数 (不能为0) 商 (表示一种运算结果) 分数 分子 分数线 (-) 分母 (不能为0) 分数值 (表示一个数) 联系： (b ≠ 0) 区别： 比表示两个数量之间的关系；分数是一个数；除法是一种运算。 4.注意： （1）比的后项不能为0。(因为除数不能为0，分母不能为0) （2）比值是一个数，可以是整数、分数或小数。 知识点梳理02：比的基本性质 1.性质内容： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。字母表示：如果 a:b = k，那么 (a×m):(b×m) = k，(a÷m):(b÷m) = k (其中 m≠0)。 2.与商不变的性质、分数的基本性质的联系： 比的基本性质与商不变的性质、分数的基本性质在本质上是一致的。 知识点梳理03：化简比 1.定义： 把两个数的比化成最简单的整数比。 2.最简整数比的特征： 比的前项和后项都是整数，且它们的最大公因数是1（即互质数）。 3.化简方法： （1）整数比化简： 比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。 例如：12:18 = (12÷6):(18÷6) = 2:3 （2）分数比化简： 比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，转化成整数比，再进行化简；或者利用求比值的方法，前项除以后项，结果写成比的形式。 例如： = ( × 15) : ( × 15) = 10 : 12 = 5 : 6 或 = = = = 5:6 （3）小数比化简： 先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，转化成整数比，再进行化简。 例如：0.75:1.2 = (0.75×100):(1.2×100) = 75:120 = (75÷15):(120÷15) = 5:8 （4）带单位的比化简： 若单位不同，先统一单位，再化简。 例如：2小时:30分钟 = 120分钟:30分钟 = 120:30 = 4:1 知识点梳理04：求比值和化简比的区别 项目 求比值 化简比 意义 前项除以后项所得的商 把比化成最简单的整数比的过程 方法 前项÷后项 运用比的基本性质，或求比值的方法（结果需为比） 结果 是一个数（整数、分数、小数） 是一个比（前项、后项为互质的整数） 表示形式 可以是整数、分数、小数 必须是比的形式（如3:4，5/6 读作5比6） 例如： （1）求比值：4:5 = 4÷5 = 0.8 或 （2）化简比：①4:5 = 4:5 (已是最简比)； ②12:18 = 2:3 知识点梳理05：按比分配 1.意义： 把一个数量按照一定的比进行分配，这种分配方法叫做按比分配。 2.解题步骤： （1）方法一（归一法）： ①先求出总份数：前项 + 后项 = 总份数。 ②再求出每份是多少：总量 ÷ 总份数 = 每份数量。 ③最后求出各部分数量：每份数量 × 各部分对应的份数 = 各部分数量。 （2）方法二（分数法）： ①先求出总份数：前项 + 后项 = 总份数。 ②再求出各部分数量占总量的几分之几： a：部分量1占总量的分率 = b：部分量2占总量的分率 = ③最后求出各部分数量：总量 × 各部分对应的分率 = 各部分数量。 知识点梳理06：易错点提示 1.混淆“比”和“比值”： 比是表示两个数的关系，有前项和后项；比值是一个数。 2.比的后项为0： 尤其是在体育比赛中记分，如“3:0”，这只是一种计分形式，不表示数学意义上的比。 3.化简比不彻底： 没有将前项和后项除以它们的最大公因数，得到的不是最简整数比。 4.运用比的基本性质时，忘记“0除外”。 5.求比值和化简比的方法混淆，结果形式写错。 6.按比分配时： （1）审题不清，弄错部分量与总数量的对应关系。 （2）计算时，总份数找错，或各部分对应的份数找错。 （3）结果忘记带单位名称（在解决实际问题时）。 【优选真题 易错讲练】8个考点 共16题 易错讲练1 比的意义 1．（24-25六年级上·河北衡水·期末）将甲班人数调到乙班后，两班的人数相等，则甲、乙两班原来的人数比是（    ）。 A．1∶1 B．5∶3 C．5∶4 2．（24-25六年级下·贵州六盘水·期末）“茶倒七分满”是我国的传统礼仪，是指给客人倒茶时茶水的体积与杯子的容积的比是7∶10，根据倒茶礼仪，倒入茶水后，没装茶水的部分占整个杯子的( )（填分数），请在图中画出茶水水面的位置。 3．（22-23六年级上·河南南阳·期末）加工一批零件，师傅单独加工15天完成，徒弟每天能加工30个。现在先由师傅单独加工3天，然后两人共同加工，完成任务时，师徒加工零件个数的比是3∶2。这批零件一共有多少个？ 易错讲练2 比的读法、写法及各部分的名称 4．（21-22六年级上·湖南娄底·期末）将比化简后是( )，化简后的比读作( )。 5．（19-20六年级上·河南商丘·期末）在5∶7中，5是比的( )，7是比的( )，比值是( )。若5变成15，要使比值不变，7应变成( )。 6．（23-24六年级上·广西玉林·期末）既可以看作分数，也可以看成一个比。( )（判断对错） 易错讲练3 比与分数、除法的关系 7．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）二十四节气中的“夏至”是一年中白昼最长的一天。2024年6月21日是“夏至”，这一天湘西地区白昼时长的等于黑夜时长的，那么白昼和黑夜的时长比是（    ）。 A．5∶7 B．7∶5 C．7∶25 D．25∶7 8．（24-25六年级上·浙江绍兴·期末）（    ）∶8＝＝＝62.5%＝（    ）（填小数）。 9．（21-22六年级上·山西忻州·期末）一方有难，八方支援，近来西安疫情也是受到四面八方支援。秦晋之好。绵延千年，抗击疫情，让我们认识了真正的英雄。他们有“遥知百战胜，定扫鬼方还”的决绝，他们有“谓我不愧君，青鸟明丹心”的赤诚，他们有“驰驱一世豪杰，相与济时艰”的担当，山西省医护工作队720人，咸阳市医护工作队560人，星夜兼程，支援西安疫情防控。从山西省调出几人到咸阳市医护工作队，才能使两工作队人数的比达到2∶3？ 易错讲练4 比的基本性质 10．（23-24六年级下·甘肃临夏·期末）一个比的前项是8，如果前项增加16，要使比值不变，后项应该（    ）。 A．增加16 B．乘2 C．除以 D．增加24 11．（24-25六年级上·湖南长沙·期末）30分钟∶2.5小时＝( )∶100，化成最简整数比是( )，比值是( )。 12．（22-23六年级上·福建漳州·期中）已知甲∶乙＝3∶4，乙∶丙＝3∶2，那么甲、乙、丙三个数的大小关系是（    ）。 A．甲＞乙＞丙 B．丙＞乙＞甲 C．乙＞甲＞丙 D．甲＝乙＝丙 易错讲练5 比的化简 13．（24-25六年级下·江西赣州·期末）手工课上，一张长方形卡纸被分成①②两部分（单位：cm），如下图所示。②的周长是( )cm，①和②的面积比是( )。 14．（24-25六年级上·湖南怀化·期末）《庄子·天下篇》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是一根一尺长的木棒，第一天截取它长度的一半，以后每天都截取它前一天长度的一半，那么将永远也截取不完。如果按照这种截取方法，那么第三天截取后，剩余的木棒长度与截取掉的木棒长度之比是（    ）。 A． B． C． D． 15．（21-22六年级下·天津南开·期末）客、货两车分别从A、B两地同时出发相向而行，客、货两车的速度比是4∶3，相遇后，客车的速度减少20%，货车的速度增加，这样，当客车到达B地时，货车离A地还有25千米，A、B两地相距多少千米？ 易错讲练6 求比值 16．（24-25六年级上·福建龙岩·期末）的最简整数比是( )；的比值是( )。 17．（24-25六年级上·浙江绍兴·期末）根据下图，下列结论错误的是（    ）。 A．甲是乙的。 B．甲比乙多。 C．乙比甲少。 D．乙与甲的比值是。 18．（24-25六年级上·重庆江北·期末）把“7.8千克∶0.26千克”化简为最简整数比是( )，比值是( )。 易错讲练7 按比分配问题 19．（24-25六年级上·湖南永州·期末）欢欢、乐乐和迎迎三家一起到饭店用餐，一共用去750元，家长们决定按照每家人数比分摊餐费。求三家各应付多少元？ 20．（24-25六年级上·福建龙岩·期末）为了预防传染疾病，我们要做好日常消毒工作。消毒液和水按1∶29的比配制成稀释液。 （1）要配制600毫升的稀释液，需要多少毫升的消毒液？ （2）如果在600毫升的稀释液中倒入5毫升消毒液和145毫升水。明明说：“稀释液的浓度没有发生变化”，他说对了吗？请说明理由。 21．（23-24六年级上·湖北省直辖县级单位·期末）请根据阅读材料中的信息解决问题： “楚韵虾乡▪奔跑潜江”，中国虾谷▪2023潜江返湾湖湿地马拉松于11月19日8时在潜江返湾湖莫岭广场鸣枪开跑，10196名跑者参与了这场“最美湿地赛道”上的全程马拉松、半程马拉松、健康跑等项目的比拼。园林小学张老师就参加了全程马拉松比赛，他一路坚持，当他跑到了“距离终点还有15千米”的提示牌处时，他已跑完了全程的，真是太了不起了！ 此次潜江返湾湖湿地马拉松一经上线就热度不减，三个项目都有大量长跑爱好者踊跃参与。此次参加全程马拉松的有2000人，半程马拉松3000人，健康跑5000人。已知全程马拉松男女比例为3∶1，半程马拉松男女比例为7∶3，健康跑男女比例为12∶13。 整个赛事以返湾湖运动主题公园为起终点，穿过风景如画、烟波浩渺的返湾湖湿地公园，途经莫岭大道、彩虹栈桥等，让跑友们近距离感受“云梦缩影、观鸟天堂”的湖光之美、绿色之美、生态之美。沿途观众如潮、热情似火。 (1)在起点处，有一个长100米、宽5米的长方形观看场地。比赛开始时，场地上挤满了观众。最有可能的观众人数约是（    ）人。 A．200 B．500 C．2000 D．20000 (2)这次潜江马拉松比赛的全程是多少千米？（列方程解答） (3)参加这次潜江马拉松比赛的总人数的男女人数之比是多少？ 易错讲练8 比的应用 22．（24-25六年级下·河南南阳·期末）仓库里有一批粮食要运出。第一天运出了总数的，第二天运出了200吨，这时已经运出的和没有运出的比是。这批粮食共有多少吨？ 23．（24-25六年级上·湖北襄阳·期末）《种太阳》儿歌道出儿童及全人类对阳光、温暖与无尽能量的渴望。如今，中国科学家让其照进现实，“种下”人造太阳——东方超环（EAST），即全超导托卡马克核聚变实验装置，成为探寻未来高效清洁能源的重要路径。在聚变反应中所需要的原料有氢、氘（dāo）和氚（chuān），这三种原料的比是25∶49∶51，如果有1000克原料，这三种原料分别是多少克？ 24．（23-24六年级上·湖南张家界·期末）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向开往对方出发地。已知甲车和乙车速度的比是5∶3，经过1.5小时两车相遇，相遇时甲车还剩全程的。两车在相遇后继续前行，当乙车行到全程的时，甲车距离B地还有34千米，AB两地相距（    ）千米。 第五单元 圆 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：圆的认识 1.圆的定义： 一条线段绕着它固定的一个端点在平面上旋转一周，另一个端点所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的点叫做圆心。 2.圆的各部分名称及特征： （1）圆心 (O)： 圆中心的一点，它决定圆的位置。 （2）半径 (r)： 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。 ①一个圆有无数条半径。 ②在同圆或等圆中，所有半径的长度都相等。 ③半径决定圆的大小。 （3）直径 (d)： 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。 ①一个圆有无数条直径。 ②在同圆或等圆中，所有直径的长度都相等。 （4）半径与直径的关系： 在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，即 或 。 3.圆的对称性： （1）圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。 （2）每条对称轴都是直径所在的直线。 知识点梳理02：用圆规画圆 1.画圆步骤： （1）定圆心：把圆规的两脚分开，有针尖的一脚固定在一点上，这个点就是圆心。 （2）定半径：根据所画圆的大小，调整圆规两脚之间的距离，这个距离就是半径。 （3）旋转一周：把装有铅笔尖的一脚绕圆心旋转一周，就画出一个圆。 2.注意事项： （1）画圆时，圆规两脚之间的距离不能改变。 （2）针尖要固定好，不能移动。 （3）旋转时要平稳，用力均匀。 知识点梳理03：圆的周长 1.圆的周长 (C) 的意义： 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2.圆周率 (π)： （1）任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母 π (pài) 表示。 （2）π是一个无限不循环小数，π ≈ 3.1415926535...，在小学阶段的计算中，通常取 π ≈ 3.14。 3.圆的周长计算公式： （1）已知直径 (d)，求周长： （2）已知半径 (r)，求周长： 4.半圆的周长： 半圆的周长等于圆周长的一半加上一条直径。 （1） 或 5.圆的周长公式的应用： （1）已知周长求直径： （2）已知周长求半径： 知识点梳理04：圆的面积 1.圆的面积 (S) 的意义： 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 2.圆的面积计算公式的推导： 通常采用“转化”的方法，将圆等分成若干个小扇形，然后拼成一个近似的长方形。这个长方形的长近似于圆周长的一半 ()，宽近似于圆的半径 (r)。因为长方形的面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 。 3.圆的面积计算公式： 4.圆的面积公式的应用： （1）已知半径求面积： （2）已知直径求面积：先求半径 ，再用 （3）已知周长求面积：先求半径 ，再用 5.环形（圆环）的面积： 环形面积 = 外圆面积 - 内圆面积。 （1）设外圆半径为 R，内圆半径为 r，则 知识点梳理05：扇形的认识 1.扇形的定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 2.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角（如∠AOB）。扇形的大小与圆心角的大小和半径的长短有关。 3.扇形的各部分名称：半径（两条）、弧（一条曲线）、圆心角。 4.特殊扇形： （1）圆心角是180°的扇形是一个半圆。 （2）圆心角是90°的扇形是一个四分之一圆。 知识点梳理06：圆的知识的实际应用 1.解决与圆的周长有关的实际问题：车轮滚动一周前进的路程（车轮周长）、围绕圆形花坛跑一圈的长度、钟面上时针/分针尖端走过的路程等。 2.解决与圆的面积有关的实际问题：圆形草坪的占地面积、圆形铁片的面积、给圆形桌面配玻璃等。 3.组合图形的周长与面积： （1）周长： 注意区分是哪些边的长度之和，特别是组合图形中“内边”是否计算。 （2）面积： 通常采用“割补法”或“加减法”，将组合图形转化为基本图形（如圆、长方形、正方形、三角形等）的面积之和或差。例如：求“外方内圆”、“外圆内方”中正方形与圆之间部分的面积。 知识点梳理07：易错点提示 1.概念混淆： 半径和直径的概念及关系（易忽略“同圆或等圆中”）；周长和面积的概念（一个是长度，一个是面积）。 2.圆周率 (π) 的取值： 计算时要明确题目要求，π取3.14还是保留π。 3.公式运用错误： 周长和面积公式混淆；已知直径或周长求面积时，忘记先求半径。 4.半圆周长与圆周长一半的区别： 半圆周长包括直径，圆周长的一半不包括直径。 5.单位问题： 长度单位（如厘米、米）和面积单位（如平方厘米、平方米）的区分和正确使用。 6.计算粗心： 涉及π的计算较繁琐，容易出错；平方的计算（如 是 r × r，不是 r × 2）。 7.环形面积计算： 容易写成 ，正确应为 。 8.审题不清： 如“占地面积”是求面积，“走了多少米”是求周长；“半圆”和“半圆形”在具体问题中的含义。 【优选真题 易错讲练】14个考点 共28题 易错讲练1 圆的周长 1．（24-25六年级上·湖南岳阳·期末）小明将一个圆形的纸卡片沿直尺的边滚动了一周（如图）这个圆的直径大约是( )厘米。（结果保留整厘米数） 2．（24-25六年级上·湖北襄阳·期末）下图是王林在研究圆的面积计算公式时用的方法，此时近似梯形的上底与下底的和相当于圆的（    ）。 A．半径 B．直径 C．周长 D．周长的 易错讲练2 半圆的周长 3．（24-25六年级上·重庆巴南·期末）要在一个长方形的纸片上剪出一个周长是的半圆，则这张长方形纸片的面积至少是（    ）。 A． B． C． D．无法判断 4．（24-25六年级上·浙江宁波·期末）图1是一个半径为50米的半圆形花坛，李爷爷习惯饭后绕着它的周边匀速散步。李爷爷从O点出发，按箭头所指的方向步行，最后回到出发点。他步行过程中距离与时间的关系如图2所示。 （1）李爷爷绕半圆形花坛散步一圈需要多少米？ （2）观察图2，请你计算李爷爷散步的速度？ （3）如果李爷爷只在散步途中休息了一次，请看图分析，在图1上用“☆”标出休息的位置。 易错讲练3 圆的周长的应用 5．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）有两辆轮胎不一样大小的客车，甲车轮胎直径是0.8米，乙车轮胎直径是0.6米。甲车轮胎一分钟转300圈，乙车轮胎一分钟转400圈。现甲、乙两车从桥头同时出发（车长大约8米），桥全长3760米。小东、莉莉和小文为此展开关于哪辆车会先通过这座桥的讨论： 小东：甲车先通过，因为甲车的轮胎大。 莉莉：乙车先通过，因为乙车每分钟转的圈数多。 小文：甲、乙两车同时通过，因为它们的速度一样。 谁的结论说的正确？根据上面的结论，算出甲、乙两车通过这座桥所需要的时间。 6．（24-25六年级下·海南海口·期末）在现代科技中，数学的应用也是无处不在，如下面飞行器中的数学问题。飞行器甲的发射轨道与飞行器乙的运行轨道分别是以点O和点O'为圆心的两个圆形轨道（如图）。已知飞行器甲的飞行速度为40千米/分，飞行器乙的飞行速度为20千米/分，某行星在B点（假定不动），弧BC与弧AC的长度差为3600千米。早上9：00飞行器甲准时发射，此时飞行器乙正好在A点，要求在C点处对接。 （1）请你计算两个飞行器在几时对接。 （2）飞行器甲的发射轨道与飞行器乙的运行轨道的半径各是多少千米？（结果取整数） 易错讲练4 含圆的组合图形的周长 7．（24-25六年级下·内蒙古赤峰·期末）当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人以其外观较小，强大的自主感知、规划能力，已经成为新时代人们日常生活的重要助手，受到越来越多的消费者的青睐。如图，一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周。这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1.5分米。请你计算扫地机器人的底面圆心走过的路线长是多少分米？ 8．（20-21六年级上·四川·期末）如图，从地到地，走路线①比走路线②近。( )（判断对错） 易错讲练5 圆的面积 9．（24-25六年级上·河北衡水·期末）下面两个图形的阴影部分面积相比，（    ）。（单位：厘米） A．甲图形面积大 B．乙图形面积大 C．一样大 10．（24-25六年级上·河南郑州·期末）如图，小扬同学用两张相同的正方形卡纸剪图形，剪了一个最大的扇形和一个最大的圆，剩下的卡纸（    ） A．甲最多 B．乙最多 C．一样多 易错讲练6 圆的面积的应用 11．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）下面四幅图中，正方形的边长都是10cm。关于四幅图中阴影面积的大小，说法（    ）是正确的。 A．四幅图的阴影部分面积都相等 B．甲、丙的阴影部分面积相等，但与乙、丁的阴影部分面积不相等 C．丁的阴影部分面积最小 D．乙的阴影部分面积最大 12．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）如图，AB＝BC＝CD＝4厘米，∠ABC和∠BCD都是直角。一枚半径为1厘米的游戏币从点A出发，沿A——BC——D的路径无滑动地滚动到点D。 （1）计算游戏币从A滚动到D的过程中圆心走过的路径长度。 （2）游戏币从A滚动到C的过程中扫过的面积是多少？ 易错讲练7 圆环的面积 13．（24-25六年级上·山西长治·期末）如图是寓意“海上生明月，天涯共此时”的“月光环”景观灯，其外直径是36m，内直径是22m，计算“月光环”正面的近似面积的正确算式是（    ）。 A． B． C． D． 14．（24-25六年级上·吉林四平·期末）求出阴影部分的周长和面积。 易错讲练8 求最大面积 15．（23-24六年级上·湖南怀化·期末）用10m长的绳子，分别围成长方形，正方形、圆，面积最大的（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆 D．一样大 16．（22-23六年级上·湖北武汉·期末）一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？ 易错讲练9 含圆的组合图形的面积 17．（24-25六年级上·河南漯河·期末）求阴影部分的面积。（单位：厘米） 18．（22-23六年级上·河南郑州·期末）下图中阴影部分的面积最大的是（    ）。 A．  B．   C．   易错讲练10 方中國和圆中方的面积问题 19．（24-25六年级上·广东汕头·期末）剪一个面积是28.26平方厘米的圆，至少需要边长是（    ）厘米的正方形。 A．9 B．3 C．6 D．12 20．（22-23六年级上·河北沧州·期末）如图，小圆面积是正方形的（    ），大圆面积是正方形的（    ）。 A．；2倍 B．； C．2倍；2倍 D．不能确定 易错讲练11 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 21．（24-25六年级上·重庆渝中·期末）在一个边长为8厘米的正方形中画一条对角线、一个半圆和一个四分之一圆（如图所示），阴影部分的面积是( )平方厘米。 22．（24-25六年级上·安徽黄山·期末）科创社团准备举行四驱车比赛，比赛场地示意图如下图。场地外围为赛道，如需给比赛场地铺草皮，需要准备多少平方米草皮？王新同学制作的四驱车速度约为2米/秒，如沿赛道跑一周需要多长时间？ 易错讲练12 弧、圆心角、扇形的认识 23．（24-25六年级上·山西晋中·期末）操作。 （1）以图中O点为圆心，画一个半径是的圆。 （2）在圆里画一条直径，使直径的一个端点A在处，用数对表示A（    ），B（    ）。 （3）在所画圆中画一个扇形，使扇形的面积正好是圆面积的。该扇形的圆心角是（    ）°。 24．（24-25六年级上·重庆渝中·期末）弧度制规定：长度等于半径的圆弧，所对的圆心角为1弧度（图示），那么1弧度约等于（    ）度。 A．1 B．57.3 C．60 D．62.3 易错讲练13 画扇形 25．（24-25六年级上·河南郑州·期末）如果A、B、C三个点都在圆上，这个圆的圆心应该在哪里？ （1）请在图中标出圆心的位置，并用字母O表示。 （2）画出这个圆。 （3）在圆中画一个圆心角是135°的扇形，并涂上阴影。 26．（24-25六年级上·江西吉安·期末）根据要求画一画。 （1）以点（5，4）为圆心O，在图中画一个半径为4cm的圆。 （2）在这个圆中画一个扇形并涂色，使扇形的面积正好是圆面积的。 易错讲练14 扇形的周长和面积 27．（24-25六年级上·江西吉安·期末）如图，圆的半径都为r，圆的圆心都在三角形的顶点上，涂色部分的面积为（    ）。 A． B． C． D． 28．（22-23六年级上·北京怀柔·期末）如图，甲、乙、丙三位同学用相同的正方形卡纸剪图形，甲剪了一个最大的扇形，乙剪了一个最大的圆，丙剪了四个最大的圆，三个人剩下的卡纸（    ）。 A．甲最多 B．乙最多 C．丙最多 D．一样多 第六单元 百分数（一） 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：百分数的意义和读写法 1. 百分数的意义 （1）定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。 （2）核心：百分数只表示两个数之间的倍比关系，不表示具体的数量，因此后面不能带单位。 例如：①“出勤率是95%”表示出勤人数占总人数的；②“今年粮食产量比去年增产20%”表示增产的产量是去年产量的。 2. 百分数的读写法 （1）写法：百分数通常不写成分数形式，而是在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。 例：①百分之三十五写作 35%；②百分之一百二十写作 120%；③百分之零点六写作 0.6%。 （注意：%的两个小圆圈要写小，避免与数字混淆。） （2）读法：读百分数时，先读“百分之”，再读百分号前面的数。 例：①35%读作“百分之三十五”；②120%读作“百分之一百二十”。 知识点梳理02百分数与分数、小数的互化 1. 百分数与小数的互化 （1）小数化百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号（%）。 例：①0.35 = 35%（小数点右移两位得35，添%）；②1.2 = 120%；③0.006 = 0.6%。 （2）百分数化小数：去掉百分号（%），同时把小数点向左移动两位（位数不足时用0补足）。 例：①65% = 0.65（去掉%，小数点左移两位得0.65）；②120% = 1.2；③0.8% = 0.008。 2. 百分数与分数的互化 （1）分数化百分数： 方法①：先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再化成百分数。 例：① = 0.75 = 75%；② ≈ 0.333 = 33.3%。 方法②：若分数的分母是100的因数，可先将分数化成分母是100的分数，再写成百分数。 例：① = = 20%；② = = 15%。 （2）百分数化分数：先把百分数改写成分母是100的分数，再约分成最简分数（分子是小数的，先化成整数）。 例：①60% = = ；12.5% = = = 。 知识点梳理03：“求一个数是另一个数的百分之几”的问题 1.意义：这类问题与“求一个数是另一个数的几分之几”的意义相同，只是结果要用百分数表示。 2.解题方法：用“一个数”除以“另一个数”，再将结果化成百分数。 通用公式：比较量 ÷ 单位“1”的量 × 100% = 百分率（百分之几） 关键：找准单位“1”的量和与单位“1”相比的比较量（即“一个数”是比较量，“另一个数”是单位“1”的量）。 3.常见百分率： （1）出勤率 = × 100% （2）合格率 = × 100% （3）成活率 = × 100% （4）发芽率 = × 100% （所有百分率都≤100%） 知识点梳理04：“求一个数的百分之几是多少”的问题 1.意义：与“求一个数的几分之几是多少”的意义相同，用乘法计算。 2.解题方法：单位“1”的量 × 所求量对应的百分数 = 所求量 关键：准确找到单位“1”的量，并确认给出的百分数是所求量占单位“1”的百分之几。 知识点梳理05：“求一个数比另一个数多（或少）百分之几”的问题 1.意义：求一个数比另一个数多（或少）的部分是另一个数（单位“1”的量）的百分之几。 2.解题方法： （1）先求一个数比另一个数多（或少）的具体数量（相差量）。 （2）再用相差量 ÷ 单位“1”的量 × 100% 通用公式： ①求A比B多百分之几：(A - B) ÷ B × 100% ②求A比B少百分之几：(B - A) ÷ B × 100% ③关键：找准单位“1”的量（通常是“比”字后面的那个量），以及两个量的相差量。 知识点梳理06：“已知一个数比另一个数多（或少）百分之几，求这个数”的问题 1.特征：单位“1”的量是已知的，求比单位“1”多（或少）百分之几的那个数。 2.解题方法： （1）方法一：单位“1”的量 ± 单位“1”的量 × 多（或少）的百分数 = 所求量 （2）方法二：单位“1”的量 × [1 ± 多（或少）的百分数] = 所求量 （3）关键：理解“比单位‘1’多百分之几”就是“单位‘1’的（1 + 百分之几）”，“比单位‘1’少百分之几”就是“单位‘1’的（1 - 百分之几）”。 【优选真题 易错讲练】14个考点 共28题 易错讲练1 百分数、分数、小数和比的互化 1．（24-25六年级上·福建龙岩·期末）27÷（    ）＝0.45＝＝（    ）∶40＝（    ）%。 2．（24-25六年级上·湖北十堰·期末）（填小数）。 易错讲练2 含百分数的运算 3．（24-25六年级上·山西长治·期末）计算下面各题，能简算的要简算。                   4．（24-25六年级上·浙江绍兴·期末）已知a、b、c（均不为0）三个数满足，这三个数中最大的是（    ）。 A．a B．b C．c D．无法判断 易错讲练3 整数、小数、分数、百分数的简便运算 5．（24-25六年级上·山东济南·期末）脱式计算，能简算的用简便方法计算。                  6．（24-25六年级上·广东东莞·期末）计算下面各题，能简算的要简算，并写出主要计算过程。 （1）        （2） （3）             （4） （5）            （6） 易错讲练4 求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题） 7．（24-25六年级上·河南郑州·期末）河南省伏羲山大峡谷谷底有飞瀑、跌水、深潭等景观，是一个湿地公园。我国湿地鸟类资源丰富，在亚洲濒危鸟类中，中国湿地占54%。针对这条信息，下面说法中错误的是（    ）。 A．如果把亚洲濒危鸟类总种数平均分成100份，我国湿地濒危鸟类的种数超过一半 B．若亚洲濒危鸟类有10000种，则我国湿地濒危鸟类有5400种 C．我国湿地濒危鸟类的种数有54种 8．（24-25六年级上·重庆渝中·期末）校园篮球比赛，亮亮在上半场20投15中，下半场10投10中。旭旭在上半场投篮12次，下半场投篮18次。在每半场比赛中，亮亮的投篮命中率都高于旭旭，而他们的全场命中率又相同。旭旭在下半场比上半场多命中了( )次。 易错讲练5 求一个数比另一个数多/少百分之几 9．（24-25六年级上·浙江绍兴·期末）六（1）班男生人数比女生人数多25%，那么男、女生人数的最简整数比是( )。已知六（1）班有36人，那么女生有( )人，比男生少( )%。 10．（20-21六年级上·重庆万州·期末）2020年12月17日，探月工程“嫦娥五号”任务取得圆满成功。“嫦娥五号”从出发奔月到回归地球共经历了23天，其中8天完成从地球到月球的旅程，在月工作2天，其余的时间用于返回地球。在月球上，“嫦娥五号”首次实现了国旗展开。所展开的国旗由国产特殊材料制作，既能够在月球表面不褪色、不变形、不串色，又能够耐高低温、防静电、防月球尘埃等，其周长为10分米，重量仅12克。 （1）“嫦娥五号”在月工作的天数占它从出发奔月到回归地球共经历的总天数的。 （2）“嫦娥五号”返回地球用的时间比从地球到月球用的时间多 %。 （3）月球上展开的国旗长宽之比为3∶2，其面积是 平方分米。 易错讲练6 求一个数的百分之几是多少 11．（24-25六年级上·河南郑州·期末）我国是一个缺水严重的国家。我国的淡水资源总量为28000亿立方米，占全球水资源总量的6%，仅次于巴西、俄罗斯、加拿大、美国和印度尼西亚，名列世界第六位。但是，我国的人均水资源量不足2200立方米，仅为世界平均水平的，是全球人均水资源最贫乏的国家之一。 ①根据上面的信息，28000÷6%解决的问题是（    ）。 ②据统计：我国660个城市中，有30%的城市供水不足。在这些供水不足的城市中，又有的城市严重缺水。我国严重缺水的城市有多少个？ ③如果一个水龙头1分钟滴水20毫升，每天浪费多少毫升水？如果每个成年人每天大约需要饮用2000毫升水，那么这个水龙头每天浪费的水大约够几个成年人喝一天？ 12．（23-24六年级上·福建厦门·期末）改革开放40多年来，我国铁路运行的列车发生了巨大的变化，从普通列车到快列车，再到高速列车（如“和谐号”“复兴号”），中国铁路技术装备已领跑世界。小雪收集了一些关于我国列车运行速度的信息： 信息1：普通列车运行速度是120千米/时。 信息2：普通列车运行速度是“和谐号”列车的40%。 信息3：快速列车运行的速度是普通列车的，“复兴号”列车的运行速度是快速列车的。 （1）根据信息1和信息2，请你提出一个数学问题并解答。 （2）“复兴号”列车的运行速度是多少？请你选择相关信息列式解答。 （3）如下图，A、B两地与B、C两地的路程比是3∶5。王叔叔乘坐普通列车从A地到B地用2小时，从B地到C地换乘快速列车，王叔叔从B地到C地用了多少小时？ 易错讲练7 比一个数多/少百分之几的数是多少 13．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）唐老师用U盘拷贝一个1.8G的文件。他查看了两个U盘的属性，发现第一个U盘总容量是8G，已经用了6.4G。第二个U盘总容量是16G，已用空间为70%。 （1）唐老师要将这个文件存在哪一个U盘中合适？写出计算过程。 （2）文件保存速度非常快，这个1.8G的文件，24秒时显示已经保存了15%。照这样的速度，保存这个文件还需要多少时间？ 14．（24-25六年级上·广西南宁·期末）在学校的科技小制作活动中，有两个机器人在进行移动操作。一个机器人的形状是直径为10厘米的圆形，另一个是边长为10厘米的正方形。它们在一条长轨道上，初始时两者相距28厘米。正方形机器人每秒移动4厘米，圆形机器人比正方形机器人快40%。 （1）当圆形机器人和正方形机器人刚好完全接触（重叠面积最大时），没有重合部分的面积是多少？ （2）正方形和圆形同时开始运动，经过多少秒后恰好完全分开？ 易错讲练8 已知一个数的百分之几是多少，求这个数 15．（23-24六年级上·河南南阳·期末）为了改善人民群众的宜居环境，凤瑞公园里要建一个直径是24m的圆形大花坛，在花坛的周围铺一条1m宽的小路，这条小路的面积是( )m2；但是这项工程现在需要提前3天完成，就要把原来的工作效率提高12%，原计划完成这一工程用( )天。 16．（24-25六年级下·贵州六盘水·期末）今年的学校运动会，六年级举行了篮球比赛。六（1）班全场得了48分，________。 ①下半场得分与上半场的比是5∶7     ②上半场得分是下半场的 ③上半场得分比下半场多40% 请选择一条信息，提出一个数学问题并解答。 （1）我选择的信息：________（填序号）。 （2）我提出的问题：________________________________。 （3）解答。 17．（2024·广东韶关·小升初真题）如图为王老师的电脑杀毒的过程图，电脑显示扫描这些文件已经用时30分，如果保持扫描速度不变，请你估一估，还要等( )分钟杀毒软件才能扫描完这些文件。 易错讲练9 已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 18．（24-25六年级上·湖南永州·期末）光明小学计划修建一幢办公楼，用了40万元，比原计划节约了20%，则节约了( )万元。 19．（23-24六年级上·福建厦门·期末）实验小学组织五、六年级的同学种一批树苗，把这批树苗按5∶8分配给五、六年级。植树结束后，李老师发现：六年级同学完成分配任务后，又帮助五年级同学种植了一些正好一共种植了2000棵，超额完成分配任务的25%，而五年级同学只完成了分配任务的60%。五年级同学实际种植了多少棵？ 易错讲练10 已知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 20．（24-25六年级上·重庆渝中·期末）宋叔叔把他的手机充满电后，如果只用于打电话，32小时内会耗尽电量；如果只用于上网，20小时内会耗尽电量；如果不使用手机，80小时内会耗尽电量。宋叔叔上火车时，手机电量为75%。在火车上，他使用手机上网、打电话和不使用手机的时长都相同。火车刚到目的地，他的手机电量为25%。他一共坐了多少小时的火车？ 21．（24-25六年级上·河北保定·期末）李阿姨通过手机APP查看电动自行车充电状态，显示的信息如下表。观察信息，解决下面的问题。 电池详细信息： 目前状态 充电中 电池充电已完成 92% 充满电池还要等待 32分钟 （1）这块电池的电量从0%到100%，需充电多长时间？ （2）李阿姨的电动自行车充满电，夏季可行驶50千米（即夏季续航里程为50千米）。冬季因为气温低，续航里程只能达到夏季的80%。如果李阿姨有急事要马上出门，那么目前电量最多能行驶多少千米？ 第七单元 扇形统计图 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：扇形统计图的认识 1.定义： 用整个圆的面积表示总数（单位“1”），用圆内各个扇形的面积表示各部分数量占总数的百分数。 2.特点： （1）直观地反映出各部分数量占总数量的百分比。 （2）清楚地看出各部分数量与总数量之间的关系。 （3）不能直接看出各部分数量的具体多少（除非知道总数）。 知识点梳理02：扇形统计图的解读与信息提取 1.读懂标题和图例： 明确统计图所表示的内容和各个扇形代表的类别。 2.获取各部分百分比： 直接从图中读出各部分数量占总数量的百分比。 3.比较各部分大小： 通过扇形面积的大小（或百分比数值）比较不同部分的多少。 （1）扇形面积越大，对应的百分比越大，该部分数量越多（在总数相同的情况下）。 4.计算具体数量： 如果已知总数量，可以根据各部分的百分比求出各部分的具体数量。 （1）公式：部分数量 = 总数量 × 该部分所占百分比 5.计算部分与部分之间的关系： （1）一个部分比另一个部分多（少）占总数的百分之几：用百分比直接相减。 （2）一个部分是另一个部分的百分之几：用一个部分的百分比除以另一个部分的百分比。 知识点梳理03：扇形统计图与其他统计图的比较 统计图类型 特 点 优 点 缺 点 适用情况 条形统计图 用直条的长短表示数量的多少。 能清楚地看出各种数量的多少，便于比较。 不能直观反映部分与整体的关系。 表示各个数量的多少，进行数量间的比较。 折线统计图 用折线的起伏表示数量的增减变化。 不仅能表示数量的多少，还能清楚地反映数量的增减变化情况。 不能直观反映部分与整体的关系。 表示数量随时间或其他因素的变化趋势。 扇形统计图 用整个圆表示总数，用扇形表示各部分占总数的百分比。 能清楚地表示出各部分数量与总数量之间的关系（部分与整体的关系）。 不能直接看出各部分的具体数量，也不易看出数量的增减变化。 表示各部分数量占总数量的百分比，反映部分与整体的关系。 【优选真题 易错讲练】3个考点 共9题 易错讲练1 扇形统计图的特点及绘制 1．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）如图是某地居民人均消费支出情况统计图。 经济学家恩格尔提出了恩格尔系数：恩格尔系数＝×100% 对生活水平划分如下表： 恩格尔系数 大于60% 50%~60% 40%~50% 30%~40% 20%以下 生活水平 贫穷 温饱 小康 相对富裕 极其富裕 （1）根据这些信息，把统计图填完整。这个地区生活水平是（    ）。 （2）如果文化教育支出与赡养老人支出相差4800元，那么食品支出是多少元？ 2．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）材料一：习近平生态文明思想的鲜明主题是努力实现人与自然和谐共生，习总书记提出要大力推动我国新能源高质量发展，为共建清洁美丽世界作出更大贡献。在国家政策的引导和支持下，我国新能源汽车行业的迅猛发展，新能源汽车以其环保、节能、使用成本低等优点，越来越受到人们的青睐。2014年“中国电动汽车百人会”刚成立时，国内新能源汽车销量仅7.5万辆，2024年已经增长到950万辆，中国新能源汽车全球占比达到50%，国际能源署测算2030年全球新能源汽车年需求量将达4500万辆，是2022年的4.5倍。 材料二：下面是某区域2024年各季度新能源汽车销售盘情况统计图。 （1）计算这个区域2024年第四季度销售新能源汽车多少万辆？并将上面的条形统计图和扇形统计图中缺失的数据补充完整。 （2）2030年全球新能源汽车总量超过2024年全球新能源汽车总量的百分之几？（百分号前保留一位小数） 3．（23-24六年级上·陕西西安·期末）“保护环境，从我做起。”下面是在某超市调查的顾客使用购物袋的情况的统计图。 根据以上信息解答下列问题。 （1）一共调查了多少名顾客？ （2）请你先算一算，之后将上面统计图补充完整。 （3）照这样计算，如果这个超市在某时段内共接待了320名顾客，那么自备环保购物袋的顾客比购买环保购物袋的顾客多多少人？ 易错讲练2 统计图的选择（扇形统计图） 4．（24-25六年级上·河南郑州·期末）某城市滨河路（南北方向）和新兴路（东西方向）相交形成一个十字路口，下面是该十字路口日常情况下某一天部分时段的车流量统计表。 时段 7：00－8：00 10：00－11：00 13：00－14：00 16：00－17：00 19：00－20：00 滨河路（南北方向）（辆） 356 257 174 388 190 新兴路（东西方向）（辆） 231 169 114 258 159 (1)如果要统计该十字路口不同时段车流量的增减变化情况，应绘制（    ）统计图；如果要统计某一时段车流量占全天车流量的百分比，应绘制（    ）统计图。 A．条形；折线 B．折线；扇形 C．条形；扇形 (2)19：00－20：00时段，新兴路（东西方向）的车流量大约是滨河路（南北方向）车流量的几分之几，列出算式是（    ）。 A．190÷159 B．159÷190 C．（190－159）÷190 5．（24-25六年级上·河南郑州·期末）我国古代绘画以独特的水墨运用自成风流，类型丰富多样，人物画、花鸟画、山水画等各具特色，展现了不同的审美追求与文化内涵。若想统计某个朝代各类型画作占全部画作的百分比，选用（    ）统计图更为恰当，要想知道各朝代山水画的发展变化情况，选择（    ）统计图比较合适。 A．条形；折线 B．扇形；折线 C．折线；条形 D．都可以 6．（24-25六年级上·河南郑州·期末）巩义市某小学开展了丰富多彩的劳动教育实践活动。小航将他们班参加活动的情况绘制成了两幅统计图。 （1）根据图上信息，小航班参加劳动教育实践活动的共（    ）人。 （2）根据两幅统计图的信息将条形统计图补充完整。 （3）参加校园保洁的人数比餐饮制作的人数少（    ）%。 易错讲练3 统计图表的综合应用 7．（24-25六年级上·湖北襄阳·期末）春节快到了，光明小学就学生对春节文化习俗的了解情况进行了随机调查。（了解程度为：A—非常了解，B—了解较多，C—了解较少，D—不了解。）并将调查结果绘制成了条形统计图和扇形统计图。 （1）调查时，如果在学校中任意抽样，方法（    ）是最好的。 ①从每班随机抽10名学生；②从女生鼓号队中选一些成员； ③从男生足球队中选一些成员；④选一些对春节文化习俗有了解的学生。 （2）本次共调查了（    ）人，调查的学生中对春节文化习俗“非常了解”的占总调查人数的（    ）%。 （3）本次调查的学生中对春节文化习俗“了解较少”的有（    ）人，请将条形统计图补充完整。 （4）若光明小学共有学生1500人，请你估计全校所有学生对春节文化习俗“了解较多”的有（    ）人。 8．（24-25六年级上·广东东莞·期末）2023年9月21日下午，“天宫课堂”第四课正式开课，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮进行太空科普授课。小林对本校六年级同学们最感兴趣的实验情况进行了调查，并将调查结果记录在了下面的统计图表中。 学生对四个实验最感兴趣情况统计表： 实验 感兴趣人数 A（球型火焰实验） 24 B（奇妙乒乓球实验） 42 C（动量守恒实验） 18 D（又见陀螺实验） 根据上面统计图表的信息完成下面各题。 （1）把不完整的统计表和统计图补充完整，并在下面写出思考过程。 （2）对动量守恒实验最感兴趣的学生人数比对又见陀螺实验最感兴趣的学生人数少百分之几？ 9．（24-25六年级上·山西长治·期末）用白色和黑色圆形按照下面的方法摆图形。 按照这样的方法摆下去，第5个图形中，共有( )个圆形；当某一个图形中有10个黑色的圆形时，那么这个图形中白色的圆形有( )个。 第八单元 数学广角-数与形 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：数与形找规律的步骤 1、寻找数量关系； 2、用代数式表示规律； 3、验证规律。 知识点梳理02：寻找数与形规律的方法 1、算式的规律 （1）把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容。在探索“式”的规律时，要从组成“式的要素中去探索。 （2）在数学算式中探索规律，应仔细观察算式的特点和结果的特点，进而根据规律找出这一类算式的结果。 2、数字排列的规律 （1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中。 （2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律。 （3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律。 （4）相邻两数的关系中隐含着规律。 3、图形的变化规律 在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题。 重点是能够发现图形之间的数量关系，以及增长的规律。 【优选真题 易错讲练】5个考点 共15题 易错讲练1 算式规律题 1．（24-25六年级上·山西晋中·期末）明明是个善于观察，乐于思考的好孩子。他通过数形结合（如图），发现了求两个连续自然数平方差的规律。请你根据明明发现的规律，直接写出下面算式的结果：( )；( )。 2．（24-25六年级下·湖南株洲·期末）探究规律：观察下面的图形和算式，你发现什么规律？完成填空。 (1)1＝( )2；1＋3＝( )2；1＋3＋5＝( )2。 (2)1＋3＋5＋7＋9＋11＝( )2。 (3)＝( )。 3．（24-25六年级下·湖南株洲·期末）观察下列等式：1，＋＝9，＋＋36，依此类推，第5个等式是：( )，结果等于( )。 易错讲练2:图形拼接的周长或面积规律 4． （24-25六年级上·重庆长寿·期末）如图： 60个这样的小梯形拼出的图形是( )，周长是( )cm。 5．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）“黄金螺旋线”是一种优美的曲线，它是由长度不一、但圆心角都是90°的弧组成的。如图是彤彤尝试画它的步骤，第一步中弧所在扇形的半径是1厘米，第二步中弧所在扇形的半径是1厘米，第三步中弧所在扇形的半径是2厘米，按照这样的方法继续画下去，第 步中的弧所在扇形的半径是21厘米。 6．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形（第2幅），画3个正方形能得到8个直角三角形（第3幅），画n个正方形能得到 个直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为 平方厘米。 第1幅            第2幅          第3幅         第4幅 易错讲练3 图形搭建所需材料数量规律 7．（24-25六年级下·山东济宁·期末）在运河文化展厅展示了房屋模型，乐乐对此十分好奇，搭建3间这样的房屋模型一共使用了13根木棒。他想知道，如果按照同样的搭建规律，要搭建10间这样的房屋模型，一共需要用到（    ）根木棒。 A．40 B．41 C．42 D．53 8．（24-25六年级下·江西抚州·期末）小棒摆摆乐！用小棒按照一定的规律摆八边形： (1)如果摆成7个八边形，需要( )根小棒，29根小棒可以摆成( )个八边形。 (2)如果要摆成n个八边形，需要( )根小棒。 9．（24-25六年级下·天津津南·期末）下面图形都是由面积为1的正方形组成的，观察图形的变化规律，第⑥个图形中正方形的数量是( )个。 …… 易错讲练4 图形排列的数量规律 10．（24-25六年级下·湖北黄冈·期末）如图，1张桌子可坐4人，2张桌子拼起来可坐6人，3张桌子拼起来可坐8人。像这样10张桌子可坐( )人，( )张桌子拼起来可坐38人。 11．（24-25六年级上·湖南衡阳·期末）A、B、C、D、E五支足球队进行循环赛（每两队之间要比赛1场）。到现在为止，A队已经比了4场，B队已经比了3场，C队已经比了2场，E队已经比了1场，则D队已经比了( )场。 12．（24-25六年级下·河北邢台·期末）将黑、白棋子按一层白、一层黑、一层白、一层黑……排成正三角形的形状，如图：当这样的一个正三角形中黑棋子比白棋子多5颗时，这个正三角形一共排了( )层，排成这个正三角形一共用了( )颗棋子。 易错讲练5 图形分割数量规律 13．（24-25六年级下·天津南开·期末）如图，用“＋”字形分割正方形，分割一次，分成了4个小正方形，分割两次分成了7个小正方形，请思考分割的次数和正方形个数的关系，如果分成了361个正方形，共用“＋”字形分割了( )次。 14．（24-25六年级上·广东云浮·期末）如下图，按规律继续画下去，第（6）个图形共有( )个。 15．（23-24六年级下·江苏盐城·期末）如下图，按这样的规律，第四个图形中有( )个白色三角形。 压轴题型练1 求一个数的几分之几的问题 1．（22-23六年级上·四川资阳·期末）甲、乙、丙三人共同加工1260个零件，甲加工了全部零件的，乙加工零件是丙加工零件个数的。三人谁加工零件最多？为什么？（说明道理） 2．（21-22六年级上·山东临沂·期末）根据下列选项列式，能得出算式5×（1－）－的是（    ）。 A．仓库里有5吨苹果，第一次运走吨后，第二次又运走吨，还剩多少吨苹果？ B．仓库里有5吨苹果，第一次运走吨后，第二次又运走余下的，还剩多少吨苹果？ C．仓库里有5吨苹果，梨的质量比苹果的少，运走吨梨后，还剩多少吨梨？ D．仓库里有5吨苹果，梨的质量比苹果的还少吨，有多少吨梨？ 压轴题型练2 整数乘法运算定律推广到分数乘法 3．（24-25六年级上·重庆南岸·期末）芳芳发现：计算分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。因为有乘法交换律，所以两个分数相乘，互相交换分子，积不变。例如：。她根据这一发现，在计算时通过合理变化，用乘法分配律非常快地求出了结果。猜一猜她是怎么做的，然后把她的计算过程写出来。 4．（24-25六年级上·江西抚州·期末）计算下面各题，怎么简便就怎么算。                          压轴题型练3 分数的连乘运算 5．（22-23六年级上·四川·期末）将一张长方形的纸对折3次后，现在的面积是原来的（    ）。 A． B． C． D． 6．（2024·四川成都·小升初真题）已知、、都是最简真分数，并且它们的乘积是，则a＋b＋c＝（    ）。 A．20 B．18 C．24 D．21 压轴题型练4 连续求一个数的几分之几是多少的问题 7．（20-21六年级上·四川乐山·期末）佳香饭店老板采购了一桶油重100千克，第一个月用去了它的，第二个月用去第一个月的。 (1)100×表示( )。 (2)100××表示( )。 (3)100×100××表示( )。 (4)两个月一共用去多少千克油，列式为( )。 (5)还剩多少千克油，列式为( )。 8．（19-20六年级上·福建福州·期末）名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，第三天截取的长度与最初木棒总长度的比是（    ）。 A．1∶4 B．1∶8 C．1∶16 D．1∶32 压轴题型练5 已知总量及一部分分率，求另—部分量 9．（22-23六年级下·安徽·期末）我国古代数学名著《九章算术》里有这样一道题：今有人持百斗米出三关，内关四而取一，中关五而取一，外关十而取一，余米几斗？意思是：有个人带了100斗米出三道关，内关按总货物的收税，中关按余下货物的收税，外关按余下货物的收税，最后还剩( )斗米。 10．（24-25六年级上·安徽芜湖·期末）“双十二”期间，小芳在网上商城买了一本240页的故事书，计划两个星期看完。现在小芳已经看了全书的，还剩多少页没看完？ 压轴题型练6 求比一个数多/少几分之几的数是多少 11．（21-22六年级下·浙江金华·期末）在一个教学实验活动中，先往一个长方体容器中注水，使水深为4厘米，然后将一块不规则冰块完全浸没水中，水的高度上升到7厘米。（冰块能完全浸没） （1）冰块的体积是多少立方厘米？ （2）已知冰融化成水，体积减小原来的，当冰块完全融化时，容器内的水深是多少厘米？ 12．（24-25六年级下·河南许昌·期末）鱼肉富含动物蛋白质和磷质等，营养丰富，滋味鲜美，易被人体消化吸收，对人类体力和智力的发展具有重大作用。四海鱼店今天售出鲢鱼315千克，售出的草鱼的质量比鲢鱼多，售出的乌鱼的质量比草鱼少，四海鱼店今天售出乌鱼多少千克？ 压轴题型练7 位置与方向 13．（22-23六年级上·福建莆田·期末）根据要求填一填，算一算。    （1）少年宫在学校东偏（    ）（    ）°方向上，距离是（    ）米。 （2）小明家在学校西偏（    ）（    ）°方向上，距离是（    ）米。 （3）医院在学校正东面，并且学校、少年宫、医院三点正好可以围成一个等腰三角形。这个等腰三角形的另外两个角分别是（          ）°和（          ）°。 （4）这天小明从家步行到图书馆，平均每分钟走50米，请你算一算，从家到图书馆一共用了多少分钟？ 14．（22-23六年级上·河南郑州·期末）志愿者马叔叔要给B地、C地、D地运送防疫物品。 （1）他从A地出发，向（    ）偏（    ）25°方向，行走（    ）千米到达B地，继续向（    ）偏（    ）（    ）°行走（    ）千米到达C地。 （2）以C地为观测点，B地在C地的（    ）偏（    ）（    ）°方向。 （3）马叔叔最终的目的地是D地，D地位于C地的南偏西45°、距离C地30千米的位置上，请你在图上标出D地的位置。 （4）如果马叔叔早上8：00从A地出发，那他12：00前能把防疫物品送到D地吗？（马叔叔平均每小时行走50千米，中间卸货时间不计） 压轴题型练8 自然数与倒数的和或差的问题 15．（23-24六年级上·北京丰台·期末）两个自然数的和是18，它们倒数的和是，这两个自然数分别是( )。 16．（23-24五年级下·全国·单元测试）一个非零自然数与它的倒数和是20.05，这个自然数是（    ）。 A． B．21 C．20 D． 压轴题型练9 分数的连除运算 17．（23-24六年级上·福建莆田·期末）“一盒药一共12片，每次吃半片，每天吃3次。可以吃几天？”解决这个问题时，小明的计算过程是这样的：，小红的计算过程是这样的：。小明的算式中“”这一步表示( )，小红的算式中“”这一步表示( )。 18．（23-24六年级上·浙江嘉兴·期末）计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。                                        压轴题型练10 分数的乘、除法的混合运算 19．（24-25六年级上·重庆江北·期末）下面各题，怎样算简便就怎样算。                                     20．（24-25六年级上·重庆黔江·期末）脱式计算，能简算的要简算。            34－34×         ×＋÷13        48×（＋）÷         （156×－26）× 压轴题型练11 分数的四则混合运算 21．（24-25六年级下·重庆忠县·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。           46.7×0.82＋4.67×1.8            375＋625÷25                  22．（24-25六年级上·重庆忠县·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                               压轴题型练12 分数除法相关的简便计算 23．（24-25六年级下·贵州黔东南·期末）脱式计算，能简便的用简便方法计算。                                  24．（24-25六年级上·安徽宣城·期末）下面各题怎样简便怎样算。                       压轴题型练13 解分数方程 25．（24-25六年级上·重庆九龙坡·期末）解方程。            26．（21-22六年级下·重庆九龙坡·期末）在某大坝截流时，用载重卡车将一堆石料运到围堰龙口，第一次运了这堆石料的少2万方，第二次运了剩下的多3万方，此时还剩下12万方未运，则这堆石料共有多少万方？ 压轴题型练14 已知一个数的几分之几是多少，求这个数 27．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）下面问题中，所有能用解决的问题有（    ）。 ①小明回家，行了千米，已经行全程的，回家的路程是多少千米？ ②小明小时看了一本书的，他每小时看这本书的几分之几？ ③小明5分钟走了千米，那么6分钟走多少千米？ ④小明6分钟行了千米，那么5分钟行多少千米？ A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 28．（23-24六年级上·四川成都·期末）李老师买来一些红色和黑色签字笔作为奖品，其中黑色签字笔比红色签字笔多10支。如果黑色签字笔发出，红色签字笔发出，那么红色和黑色签字笔剩下的支数恰好相等。红色和黑色签字笔各买了多少支？（用方程解答）。 压轴题型练15 已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 29．（24-25六年级上·山西长治·期末）某博物馆，有一群可爱的“红领巾讲解员”，他们参与周末红色研学志愿讲解活动，用动听的声音，热忱的服务，积极向来自五湖四海的游客宣讲着红色故事。截至目前，已建25个少先队校外实践教育基地，有102名红领巾讲解员参与校外场馆志愿讲解，比去年同期增长了，去年同期有（    ）名红领巾讲解员。 A．80 B．85 C．24 D．20 30．（22-23六年级上·浙江湖州·期末）王老师和陈老师参加一次自行车比赛。当陈老师行了全程的时，王老师行了8千米；当陈老师行完全程时，王老师还要行全程的才能到达终点。如果两人的速度都是不变的，你能计算比赛的全程吗？（提示：如果你觉得有困难，可以画图试一试） 压轴题型练16 已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 31．（23-24六年级下·山东菏泽·期末）在观看往年视频时，2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，飞船返回时首次使用了快速返回技术，返回时间只有原来的，比原来缩短了20小时。神舟十三号返回时间是多少小时？ 32．（24-25六年级上·重庆黔江·期末）木雕至今已有7000多年的历史，是我国非物质文化遗产之一。振兴木雕厂接受一批雕刻任务，该任务由赵师傅和王师傅共同完成。赵师傅分到的雕刻任务是45个，王师傅的任务占总数的，那么这批雕刻任务数一共是多少个？ 压轴题型练17 运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 33．（21-22六年级上·湖北武汉·期末）风采大赛之后，老师拿了一箱奖品发给获奖的同学们。将其中的发给一等奖的同学，剩下的发给二等奖的同学，一、二等奖发完后剩下的发给三等奖的同学，这时箱子里还剩下15份奖品，问箱子里原来有多少份奖品？ 34．（20-21六年级上·山东日照·期末）明明的爸爸去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半少100元，这时他的存折上还有1350元，他存折上原有多少钱？ 压轴题型练18 比的基本性质 35．（23-24六年级上·湖北孝感·期中）下面四幅图中的比，可以用4∶3表示的一共有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 36．（23-24六年级上·浙江·期末）有一个长方形，长与宽之比为；另有一个直角三角形，两条直角边之比为。若这两个图形恰能拼成一个直角梯形，则该长方形与三角形的面积之比不可能是（    ）。 A． B． C． D． 压轴题型练19 比的化简 37．（23-24六年级上·湖北省直辖县级单位·期末）请根据阅读材料中的信息解决问题： “楚韵虾乡▪奔跑潜江”，中国虾谷▪2023潜江返湾湖湿地马拉松于11月19日8时在潜江返湾湖莫岭广场鸣枪开跑，10196名跑者参与了这场“最美湿地赛道”上的全程马拉松、半程马拉松、健康跑等项目的比拼。园林小学张老师就参加了全程马拉松比赛，他一路坚持，当他跑到了“距离终点还有15千米”的提示牌处时，他已跑完了全程的，真是太了不起了！ 此次潜江返湾湖湿地马拉松一经上线就热度不减，三个项目都有大量长跑爱好者踊跃参与。此次参加全程马拉松的有2000人，半程马拉松3000人，健康跑5000人。已知全程马拉松男女比例为3∶1，半程马拉松男女比例为7∶3，健康跑男女比例为12∶13。 整个赛事以返湾湖运动主题公园为起终点，穿过风景如画、烟波浩渺的返湾湖湿地公园，途经莫岭大道、彩虹栈桥等，让跑友们近距离感受“云梦缩影、观鸟天堂”的湖光之美、绿色之美、生态之美。沿途观众如潮、热情似火。 (1)在起点处，有一个长100米、宽5米的长方形观看场地。比赛开始时，场地上挤满了观众。最有可能的观众人数约是（    ）人。 A．200 B．500 C．2000 D．20000 (2)这次潜江马拉松比赛的全程是多少千米？（列方程解答） (3)参加这次潜江马拉松比赛的总人数的男女人数之比是多少？ 38．（21-22六年级上·浙江宁波·期末）两只蜗牛在比赛爬行（如图所示，单位cm），甲爬外面的路线花了6分钟，乙爬里面的路线花了5分钟。甲、乙蜗牛爬行的路程比是( )∶( )，甲蜗牛的速度是乙蜗牛的( )。 压轴题型练20 求比值 39．（24-25六年级上·安徽宣城·期末）小红用30克蜂蜜和450克温开水调制蜂蜜水，蜂蜜与蜂蜜水质量的最简单的整数比是( )，比值是( )。 40．（24-25六年级上·湖北黄石·期末）求比值。（写出主要过程） 公顷∶125平方米    120分∶时    9.8∶    ∶2.4 压轴题型练21 按比分配问题 41．（24-25六年级上·山西长治·期末）中国铁路的发展见证了新中国的沧桑巨变，高铁已成为中国的一张名片。由我国自主研发的“和谐号”动车组、“复兴号”高铁动车组和高速磁悬浮列车的速度比是，“和谐号”动车组每小时行250千米，高速磁悬浮列车比“复兴号”高铁动车组每小时多行( )千米。 42．（23-24六年级下·湖南长沙·期末）有A、B两地，从A到B包括一段上坡和一段下坡。甲、乙两人上坡速度一样，甲的上坡速度与下坡速度的比为2∶3，乙的上坡速度与下坡速度的比为3∶4。 （1）如果甲的下坡速度为5.4千米/时，乙的下坡速度是多少？ （2）如果甲从A到B的时间与乙从B到A的时间相同，那么从A到B的上坡与下坡路程之比为______。 压轴题型练22 比的应用 43．（24-25六年级上·湖南长沙·期末）王伯伯用36米的篱笆一面靠墙围成了一个正方形菜地，准备用其中种西红柿，剩下的按3∶1的面积比种黄瓜和茄子。种茄子的面积是多少平方米？ 44．（23-24六年级上·湖南张家界·期末）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向开往对方出发地。已知甲车和乙车速度的比是5∶3，经过1.5小时两车相遇，相遇时甲车还剩全程的。两车在相遇后继续前行，当乙车行到全程的时，甲车距离B地还有34千米，AB两地相距（    ）千米。 压轴题型练23 圆的周长 45．（24-25六年级上·山西长治·期末）杭州奥体中心体育场——“大莲花”的内部配有奥体训练场，被设计成标准400米的综合田径场，两端是半圆形，中间是长方形。半径36.5米，直道长85.39米，道宽1.22米。如果在这个场地组织400米田径比赛，第二和第四道起跑线相差( )π米。 46．（22-23六年级上·贵州安顺·期末）一个圆的周长、直径、半径的和是18.56厘米，这个圆的直径是（    ）厘米。 A．2 B．3 C．3.14 D．4 压轴题型练24 半圆的周长 47．（23-24六年级上·河北秦皇岛·期末）下图是由三个半圆组成的图形，求图形的周长。（单位：厘米） 48．（24-25六年级上·湖南永州·期末）一个半圆的直径是4厘米，半圆的周长是（    ）厘米。 A．6.28 B．12.56 C．10.28 压轴题型练25 圆的周长的应用 49．（24-25六年级上·重庆渝北·期末）重庆市市树是黄桷树、又名黄葛树、属于桑科、榕属，是一种落叶乔木。它具有顽强的生命力，根深杆壮，寿命长，能够忍高温、耐潮湿、抗污染，即使在悬崖峭壁也能苗壮成长。1986年，黄桷树被正式命名为重庆市市树。这一决定不仅因为其在环保和城市绿化中的重要作用，还象征着重庆人民勤奋、勇敢、顽强的精神。黄桷树枝繁叶茂，生长快。调查表明，生长在岩石峭壁等处的黄桷树每年胸径可增加1.2厘米，而生长在地势平坦且土壤深厚、光照充分的地方每年胸径可增加2厘米以上。 ※小知识：胸径是指树干在离地面1.3米高处的直径。 （1）如下图，这是重庆半山崖线步道旁的一棵巨大的黄桷树。在距离地面1.3米的位置，用皮尺围树干一周，测得的该树胸围是3.6米左右。请算一下，这棵树的树龄大约多少年？（为便于计算，取值为3） （2）请试着写出在不砍伐树的前提下，计算黄桷树树龄的公式。 50．（23-24六年级上·山东济南·期末）一年级小朋友两臂伸平后长度约是1.2米，32个小朋友手拉手围成一个圆圈做投掷游戏，靶子放在围成的圆圈中心位置，每个小朋友距离靶子大约是( )米。其中，距离最远的两名小朋友之间的距离是( )米。（得数都保留整数） 压轴题型练26 含圆的组合图形的周长 51．（24-25六年级上·河南郑州·期末）在观看过升旗仪式后，桃子自己制作了一个简易的升旗装置（如图），桃子现需要给装置缠上一圈线，至少需要多少厘米的线？（接口处忽略不计） 52．（24-25六年级上·贵州黔东南·期末）（如图）已知正方形边长是4cm。求阴影部分周长。 压轴题型练27 圆的面积 53．（23-24六年级下·湖北鄂州·期末）求下面阴影部分的面积。 54．（24-25六年级上·浙江绍兴·期末）“转化”是一种重要的数学思想，下面4个数学实例中，有（    ）个运用了“转化思想”。 ①如图，用推导出三角形的面积计算公式。 ②如图，用推导出平行四边形的面积计算公式。 ③如图，用推导出。 ④如图，用推导出圆面积计算公式。 A．1 B．2 C．3 D．4 压轴题型练28 圆的面积的应用 55．（22-23六年级上·福建厦门·期末）如图所示，院子两堵墙的长度分别为5m和8m，墙外是一片草地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4m，请画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据。 56．（23-24六年级上·湖南郴州·期末）长度相等的三根铁丝，分别做成一个长方形，正方形和圆，（    ）的面积最小。 A．长方形 B．正方形 C．圆 D．不确定 压轴题型练29 圆环的面积 57．（22-23六年级上·河北保定·期末）2022年10月25日，国家林业和草原局等部门联合下发了《“十四五”乡村绿化美化行动方案》。方案持续推进乡村绿化美化，改善提升农村人居环境，建设生态宜居美丽乡村。 （1）幸福新村修建了一个周长是37.68米的圆形花坛，在花坛周围铺了一条2米宽的石子路，石子路的面积是多少平方米？ （2）幸福新村把一些树苗分给三个绿化队来栽种，第一队栽种的棵数是总数的，第二队栽种的棵数是总数的，第三队栽种了500棵。这批树苗一共有多少棵？ 58．（22-23六年级上·浙江湖州·期末）下图阴影部分的面积是30cm2，圆环的面积是（    ）cm2。 A．251.2 B．188.4 C．2826 D．1256 压轴题型练30 求最大面积 59．（21-22六年级上·湖南张家界·期末）同学们用同样长的三根绳子分别围成长方形、正方形、圆形，其中面积最大的是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．圆形 D．无法确定 60．（23-24六年级上·浙江杭州·期末）在一张长9厘米、宽6厘米的长方形纸上，用圆规画一个最大的圆。圆规两脚间的距离应该取( )厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。 压轴题型练31 含圆的组合图形的面积 61．（22-23六年级下·浙江·期末）求图中阴影部分的面积（图中，长方形内有一个最大的半圆，半圆内有一个最大的长方形）。 62．（23-24六年级上·福建厦门·期末）如图，半圆的面积是39.25平方厘米，圆的面积是28.26平方厘米，那么阴影部分的面积是( )。 压轴题型练32 方中圆和圆中方的面积问题 63．（24-25六年级上·广西柳州·期末）人民公园里安装了一个圆形的喷水池。喷水池内的正方形区域是喷水区（如图），喷水区的面积是( )m2。 64．（24-25六年级上·山东济南·期末）“外方内圆”和“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理，下图是一种外方内圆的建筑，外面正方形面积是36平方分米，则内圆面积是（    ）平方分米。 A．41.04 B．30.96 C．28.26 D．18.8 压轴题型练33 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 65．（21-22六年级上·浙江嘉兴·期末）按要求完成。 （1）在如图的正方形中画一个周长是的圆。 （2）如果所画的圆可以在正方形内任意移动，那么这个圆不能接触到的面积有多大？ 66．（16-17六年级上·四川德阳·期末）如图，三角形ABC的面积是2cm2，那么阴影部分的面积是( )cm2。 压轴题型练34 扇形的周长和面积 67．（22-23六年级下·浙江温州·期末）如图，中间是面积为16平方厘米的正方形，与这个正方形每一条边相连的都是圆心角为90°的扇形。那么涂色部分的面积是（    ）平方厘米。    A．π×12 B．π×22 C．π×42 D．π×62 68．（21-22六年级上·浙江·期末）如图，空地上有一座长方形羊圈。这座长方形羊圈的长是6米，宽是4米，在羊圈的墙角上栓着一只小羊。 （1）栓羊的绳长是4米，小羊在空地上的活动范围是多少平方米？ （2）如果栓羊的绳长是6米，那么小羊的活动范围增加了多少平方米？ 压轴题型练35 含百分数的运算 69．（22-23六年级上·湖南永州·期末）甲、乙两人同时分别加工同样多的一种零件，当甲做了他的时，乙还有46个没有做。这时甲效率提高20%，乙效率不变。当甲又做了余下的时，乙还有没有做完。两人一共要加工零件多少个？ 70．（21-22六年级上·四川乐山·期末）为响应国家精准扶贫政策，某扶贫工作队为果农合作社销售苹果，第一批售出了苹果总量的15%，第二批售出的量与第一批售出量的比是5∶3，这时，果农合作社里还有苹果36吨没有卖出。果农合作社今年共产苹果多少吨？（用方程求解） 压轴题型练36 整数、小数、分数、百分数的简便运算 71．（24-25六年级上·新疆克孜勒苏·期末）脱式计算，能简算的要简算。                  72．（24-25六年级上·河南焦作·期末）计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。（简便计算写出主要步骤） 48×（＋－）              ×17－      76×60%＋24×                  ×[÷（－）] 压轴题型练37 求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题） 73．（23-24六年级上·河北邯郸·期末）妈妈买回一箱含水量为90%的芒果，经过一段时间后，含水量降为80%。现在这箱芒果的质量是原来的百分之几？ 74．（23-24六年级上·四川德阳·期末）今年12月某旅游景点迎来了旅游旺季。该旅游景点车站在车辆紧缺的情况下车票价格提价了100%，物价部门查处后，限定其提价的幅度只能是原价的20%，则该车站车票价格现在降价幅度应是多少？ 压轴题型练38 求一个数比另一个数多/少百分之几 75．（23-24六年级上·贵州铜仁·期末）六（1）班有男生30人、女生25人。男生比女生多( )%，女生占全班人数的( )。第一次期末模拟考试中，有20个男生成绩在80分以上（80分以上为优秀），男生的优秀人数比女生多，女生优秀的有( )人；第二次模拟考试中男生的优秀人数增加了15%，第二次模拟考试男生优秀的有( )人。今天六（1）班有3个同学生病请假，今天的出勤率是( )%。 76．（22-23六年级上·宁夏石嘴山·期末）超市促销，五包牛奶装成一袋，平均每包的售价比单包的原价降低16%。与此同时，厂家又联合超市推出进一步的优惠政策，买五连包牛奶再赠送一包。这时平均每包牛奶的价格比单包的原价降低了( )%。 压轴题型练39 求一个数的百分之几是多少 77．（23-24六年级上·河南南阳·期末）某校开展研学旅行活动。参与此次活动的学生被分成了三个研学小组，第一组的人数占总人数的40%，第二组和第三组的人数比为15∶8。已知第三组的人数为96人，第一组有多少人？ 78．（22-23六年级上·山东济南·期末）花园小学有一块100平方米的劳动实践基地，种了三种花。月季花的种植面积占了46%，其余的种了矮牵牛和太阳花。矮牵牛的种植面积比太阳花多，太阳花种了多少平方米？（请用方程解答） 压轴题型练40 比一个数多/少百分之几的数是多少 79．（21-22六年级上·福建泉州·期末）甲、乙两辆汽车同时从A地开往B地，先到B地的立即返回，两车在离B地24千米处相遇。已知甲车速度是每小时80千米，乙车速度比甲车慢20%。A、B两地间的路程是多少千米？（温馨提醒：画画线段图，能帮助你更直观地理解题意哦！） 80．（22-23六年级上·湖北武汉·期末）某品牌的数码相机春节期间开展促销活动，先降价10%，并在此基础上再返还售价5%的现金。那么在促销活动中买一台这个品牌的数码相机，相当于降价百分之多少？ 压轴题型练41 已知一个数的百分之几是多少，求这个数 81．（21-22六年级上·河南周口·期末）可可读《奔跑的少年》这本积极向上，充满正能量的书籍。第一周读总页数的，第二周读的页数与第一周读的页数比是，这时还有63页没有读，这本书共多少页？ 82．（21-22六年级上·山东临沂·期末）家家乐水果店运进一批苹果，第一天卖出37.5%，第二天卖出剩下的，还剩下210千克苹果，第一天卖出多少千克苹果？ 压轴题型练42 已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 83．（22-23六年级上·河南郑州·期末）“劳动最光荣。”为了让每个学生都参与到劳动中，学校为每个班分配了一块试验田，六年级准备在试验田里种植蔬菜，种植蔬菜需要准备一些种子和一些劳动工具。 （1）王老师用186元买青萝卜种子和小葱种子，已知买这两种种子所花钱数的比是15∶16，王老师买青萝卜和小葱种子各多少份？ （2）大套工具32元/套，比小套工具贵25%，小套工具的单价是多少元？ 84．（21-22六年级上·浙江温州·期末）瑞安吾悦商场“庆元旦”活动，某款羽绒服在标价的基础上降价30%出售，每件售价为840元。已知这款羽绒服的进价是标价的40%。如果活动结束，这款羽绒服要在原来标价的基础上再涨价10%，那么活动结束后每卖出一件羽绒服可盈利( )元。 压轴题型练43 已知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 85．（23-24六年级上·全国·单元测试）一辆客车从甲地开往乙地，第一天行了全程的20%，第二天行了450km，这时已行的路程和剩下的路程比是3：7．甲、乙两地相距多少千米? 86．（24-25六年级上·河南郑州·期末）不同人有不同人的健身方式，某家健身房周日有55%的顾客选择有氧运动，其余的顾客选择无氧运动。选择有氧运动的顾客比选择无氧运动的多15人，那么这周日该健身有多少名顾客？ 压轴题型练44 扇形统计图的特点及绘制 87．（23-24六年级上·吉林白城·期末）垃圾分类有利于改善城乡环境，维护生态安全。垃圾的种类有可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾。同学们对锦绣小区一周产生的垃圾构成情况进行了调查，并绘制了下面两幅不完整的统计图。请你根据统计图完成下面的问题。 （1）有害垃圾占垃圾总质量的（    ）%。 （2）锦绣小区一周共产生了（    ）吨垃圾。 （3）将条形统计图补充完整。 （4）锦绣小区一周产生的厨余垃圾比可回收物多（    ）%。 88．（22-23六年级上·湖北省直辖县级单位·期末）李阿姨通过实践来践行“低碳生活，绿色出行”。她从公司下班后，先坐公交车到菜市场买菜，再步行回家。下面图①和图②记录了她的行程。 （1）李阿姨从公司下班，先买菜再回家，一共用了多少分钟？ （2）李阿姨买菜后步行回家，平均每分钟走多少米？（得数保留一位小数） 压轴题型练45 数与形（归纳递推） 89．（24-25六年级上·湖北随州·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为三角形数，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”。从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。如果把“正方形数”64写成两个相邻的“三角形数”之和，这两个“三角形数”分别是( )和( )。 90．（24-25六年级上·广东东莞·期末）明明是个善于观察，乐于思考的好孩子，他通过数形结合（如图），发现了“求两个连续自然数平方差”的规律。 请你根据明明发现的规律，直接写出下面算式的结果： ( )            ( ) 2025-2026学年人教版数学六年级上学期期末真题重组拔高卷 考试时间：90分 满分：100分 班级： 姓名： 学号： . 一、计算：本题共3小题，共20分． 1．（本题8分）（25-26六年级上·浙江杭州·期末）直接写出下列各题的得数。                           2．（本题8分）（24-25六年级上·湖南永州·期末）能简算的要简算。 ×÷                    0.6×3.3＋×7.7－60% 12.43－（5.43－4.12）             ÷[×（＋）] 3．（本题4分）（24-25六年级上·重庆巫山·期末）求下图阴影部分的面积。 二、填空题：本题共8小题，每空1分，共19分． 4．（本题2分）（23-24六年级上·辽宁·单元测试）“红花朵数的等于黄花的朵数”是把( )的朵数看作单位“1”，关系式是( )。 5．（本题2分）（24-25六年级下·江西赣州·期末）学龄儿童11~15岁标准体重的估算方法是：年龄×3－2。（单位：） 实际体重比标准体重轻（重）百分比 轻20%以上 轻11%~20% 轻10%~重10% 重11%～20% 重20%以上 等级 营养不良 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 小果今年12岁，体重38kg，他的标准体重应该是( )kg，他的体重等级是( )。 6．（本题3分）（25-26六年级上·浙江杭州·期末）已知七巧板的总面积是16平方厘米。要求七巧板中平行四边形的面积，用本学期的分数知识，可以这样计算： （    ）○（    ）（填分数）＝（    ）平方厘米。 6． （本题4分）（25-26六年级上·浙江杭州·期末） (1)如图，每个小方格面积是1cm2。已知等腰三角形ABC中AB两个点的位置，如果以AB为腰，要寻找C点的位置，小明想到用圆规来寻找（如图中弧线所示），利用这条弧线，C点的位置可以是( )。从B点沿这条弧线走到C点，距离是( )cm。 (2)用1cm代表实际距离2km，图中DB的距离约是4.2cm。如果以A为观测点，M点在A点( )偏( )( )°方向，距离是( )km。 8．（本题4分）（25-26六年级上·浙江杭州·期末）观察图，用数和式表示图中棋子数。 照这样画下去，第6组图形中，黑棋数用算式表示为( )，有( )个；第8组图形中，总棋数用算式表示为( )，有( )个。 9．（本题1分）（25-26六年级上·浙江杭州·期末）已知A班和B班人数相同，A班的女生比B班的女生多，多( )人。 10．（本题1分）（25-26六年级上·浙江杭州·期末）如图中，每个小圆的直径是4cm，那么正六边形的周长是( )cm；阴影部分的面积是( )cm2。 11．（本题2分）（23-24六年级上·河南南阳·期末）如图，两个长方形重叠部分的面积是小长方形面积的，是大长方形面积的25%，已知两个长方形面积相差45平方厘米，那么大长方形的面积是( )平方厘米，小长方形的面积是( )平方厘米。 三、选择题：本题共5小题，每小题1分，共5分． 12．（本题1分）（25-26六年级上·浙江杭州·期末）王老师平时上班开车需要24分钟，下雪天，行驶速度比平时降低，这样路上大约要（    ）分钟。 A．18 B．19.2 C．30 D．32 13．（本题1分）（24-25六年级下·广东东莞·期末）亮亮的作业不小心沾上了墨水（如图），根据亮亮列的算式，被沾上墨水部分的信息是（    ）。 A．六（1）班收集的是六（2）班的。 B．六（2）班收集的是六（1）班的。 C．六（1）班收集的比六（2）班少。 D．六（2）班收集的比六（1）班少。 14．（本题1分）（24-25六年级下·贵州黔南·期末）绘画、篮球和足球三个兴趣小组人数的关系为：（a、b、c均为不为0的整数），下面大小顺序排列正确的是（    ）。 A． B． C． D． 15．（本题1分）（24-25六年级上·重庆永川·期末）快入冬时，白兔和灰兔都储存了一些萝卜，灰兔先把自家萝卜的送给白兔。白兔收到萝卜后，觉得自己吃不完，又将自己现有萝卜的送给灰兔。这时两只兔子的萝卜一样多，原来灰兔的萝卜数是白兔的（    ）。 A． B． C． D． 16．（本题1分）（24-25六年级上·北京通州·期末）一项工作，小李单独做24天可以完成。小李和小王一起做这项工作，中间小王休息了3天，实际用了10天完成这项工作。小王单独做完这项工作需要的时间是：（    ）。 A．7天 B．10天 C．12天 D．13天 四、判断题：本题共5小题，每小题1分，共5分． 17．（本题1分）（24-25六年级下·湖南郴州·期末）一根电线长2米，用去后，还剩下米。( ) 18．（本题1分）（24-25六年级上·河北衡水·期末）如果笑笑家在学校北偏西35°方向，距离560米，那么学校一定在笑笑家北偏东35°方向，距离560米。( ) 19．（本题1分）（24-25六年级下·贵州黔南·期末）烹饪兴趣小组把40克白糖放入400克水中制成糖水，糖和糖水质量的比是1∶11。( ) 20．（本题1分）（21-22六年级上·吉林四平·期末）一家服装店以300元的价格分别卖出两件服装，结果一件赚了20%，一件亏了20%，卖出这两件衣服不赚也不亏。( ) 21．（本题1分）（20-21六年级上·四川内江·期末）在一个周长是31.4cm的圆内，画一个最大的正方形，这个正方形的面积是50cm2。( ) 五、应用题：本题共10小题，共51分． 22．（本题5分）（24-25六年级下·河南郑州·期末）李老师要将一个15G的超大文件拷贝在自己的电脑上，他查了一下C盘和E盘的属性，发现C盘总容量65G，已用空间80%；E盘总容量120G，未用空间15%。请算一算李老师将这个超大文件拷贝在哪个盘里合适？ 23．（本题5分）（24-25六年级上·湖北襄阳·期末）中国创造成果丰硕，上天有神舟，下海有蛟龙，追风有高铁，入地有盾构。我国地铁总里程世界第一，纵横交错的动车、高铁线路密布，很大程度得益于全球最强的盾构机，这一挖隧道的大型设备，是基建不可或缺的“利器”。盾构机的横截面是一个圆形，直径是8米，盾构机前进一次能切割的最大面积是多少平方米？（取3.14） 24．（本题5分）（25-26六年级上·浙江杭州·期末）某办公大楼的立体停车位和地面停车位按1∶3配置，立体停车位正在维修中，车位上暂时没有停车。地面车位有50%已经停车。监控系统自动按总车位计算，此时的车位显示屏显示尚有空余车位990个，这个大楼共有车位多少个？ 25．（本题5分）（24-25六年级下·内蒙古赤峰·期末）“五一”期间，李明一家为响应学校号召，进行了自驾研学，下面是研学途中产生的一些数学问题，请根据具体信息进行解答。 （1）李明家的汽车油箱容量为60升，使用95号汽油。那么出发前当爸爸看到如图所示的汽车油表时，大约花多少钱能将油箱加满？（五一期间95号汽油单价是7.50元/升） （2）在去往目的地的途中，爸爸开车8：00从家里出发，全程走高速，10：00到达200千米处的服务区，休息20分钟后，按照之前的速度继续行驶，12：20到达研学目的地。李明家距离研学目的地有多远？ 26．（本题5分）（24-25六年级下·四川南充·期末）今年是抗日战争胜利80周年，升钟红军小学举行“赓续红色血脉，激扬时代新风”的系列活动。活动中六年级有24人获奖，比五年级的获奖人数多，五年级有多少人获奖？（先画图再解答。） 27．（本题5分）（24-25六年级上·山西长治·期末）在长治某民俗文化村，有一个圆形的露天舞台，为了庆祝节日，要在舞台边缘布置红灯笼，已知舞台周长是62.8米。若舞台半径向外扩充2米，那么舞台面积增加了多少平方米？（π取3.14） 28．（本题5分）（24-25六年级上·湖南湘西·期末）常温下，浓度大于26.5%的盐水会出现盐结晶的现象。科学课上老师在准备“盐的结晶”实验时，配制了140克的盐水，其中盐和水的质量比是2∶5，老师将盐水加热、沸腾（蒸发），当剩下的盐水重90克时，冷却至常温，这时盐水中会出现盐的结晶现象吗？请用数据说明。 29．（本题5分）（24-25六年级上·河南郑州·期末）小启家楼下的小吃店新推出一种小烧饼，价格只有原来的一半，直径大约是原来的，薄厚没变。小启认为买小烧饼合算，好朋友小航却认为买大烧饼合算。请你运用学过的数学知识判断谁说的正确。 30．（本题5分）（22-23六年级上·湖北省直辖县级单位·期末）材料：数形结合是一种重要的数学思想方法。在我国，“数形结合”最早出现在数学家华罗庚撰写的科普读物《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的一首词中：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。 （1）如下图，你能利用数形结合的知识发现（a＋b）（a－b）与a2－b2之间的关系吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。 （2） 观察上面的点阵图规律，请问第（5）个有（    ）个点，第（7）个有（    ）个点。 那么：第（n）个点阵图有多少个点？请根据数与形结合的规律，分析和归纳，并表达你总结的方法。 31．（本题6分）（24-25六年级上·湖北荆州·期末）鱼苗池中有池水，一个进水管10小时可以把空池注满，一个出水管16小时可以把整池水放完，为保证水的流动，按进水管先开1小时，出水管再开1小时的顺序轮流注、放水，几小时后水池的水第一次注满？（注意：将水池注满最后应该是轮到进水管） 2025-2026学年人教版数学六年级上学期期末冲刺培优卷 考试时间：90分 满分：100分 一、计算：本题共3小题，共18分． 1．（本题6分）（24-25六年级上·广西南宁·期末）直接写出得数。                  2．（本题8分）（24-25六年级上·重庆·期末）下面各题怎样简便就怎样算。                               3．（本题4分）（22-23六年级上·湖南湘西·期末）求下图阴影部分的面积。 二、填空题：本题共8小题，每空1分，共11分． 4．（本题2分）（24-25六年级上·山西长治·期末）比30kg多20%的是( )kg，240km比( )km少。 5．（本题2分）（24-25六年级上·河南郑州·期末）某林场今年植树a棵，成活了b棵（a、b为大于0的数），成活率是（填a、b）。如果万，成活率为96%，那么（    ）万。 6．（本题1分）（24-25六年级上·湖南岳阳·期末）一件衣服的原价为300元，商家先提价10%，一个月后，又再降价10%，最后的定价是( )元。 7．（本题2分）（24-25六年级上·浙江绍兴·期末）用小棒摆三角形（如下图），照这样摆5个三角形要用( )根小棒，摆n个三角形需要用( )根小棒。 8．（本题1分）（23-24六年级上·吉林·期末）小丽用棱长1cm的小方块搭建台阶，下图显示了她搭建台阶的过程，分别有2cm、3cm、4cm高。如果一直照这样搭下去，当用了105个这样的小方块时，她搭建的台阶有( )cm高。 9．（本题1分）（22-23六年级上·贵州遵义·期末）如图所示的输入程序中，若开始输入的值为96，发现第1次输出的值为48，第2次输出的值为24，第3次……，那么第2022次输出的值是( )。 10．（本题1分）（22-23六年级上·江苏盐城·期末）新华书店新进了一批故事书，卖掉后，又卖掉160本，这时卖出的本数正好是这批故事书的。新华书店新进的这批故事书有( )本。 11．（本题1分）（21-22六年级上·天津南开·期末）一个直径为4厘米的半圆，以点A为中心，把半圆按照顺时针旋转45°，这时点B移至点B1处（如图所示），图中阴影部分的面积是( )平方厘米。 三、选择题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 12．（本题2分）（24-25六年级下·天津蓟州·期末）红星小学四年级学生人数与五年级学生人数的比是5∶4，五年级学生人数与六年级学生人数的比也是5∶4。下列描述正确的是（    ）。 A．四年级的学生人数最多 B．五年级的学生人数最多 C．六年级的学生人数最多 D．四、六年级的学生人数一样多 13．（本题2分）（24-25六年级上·湖南湘西·期末）小强在看一本《故事大王》，已看页数与未看页数之比是3∶5，如果再看10页，就正好看了整本书的50%，这本《故事大王》一共有（    ）页。 A．120 B．100 C．80 D．160 14．（本题2分）（23-24六年级下·重庆渝中·期末）一次数学竞赛，所有选手的平均分是70分，其中女选手人数与男选手人数的比是3∶5，男选手的平均分比女选手平均分高40%。那么男选手的平均分是（    ）分。 A．56 B．75.6 C．78.4 D．81.2 15．（本题2分）（22-23六年级下·江西赣州·期末）小白兔挑了一筐萝卜去卖，这筐萝卜连筐共重30千克。上午卖出萝卜的一半，下午卖出剩下的一半，这时剩下的萝卜连筐还重12千克。原来一共有多少千克萝卜（    ）。 A．12 B．18 C．24 16．（本题2分）（23-24六年级上·山东济南·期末）如图，如果正方形和圆之间部分的面积是4.56m2，该圆的面积是（    ）m2。 A．12.56 B．6.28 C．4 四、判断题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 17．（本题2分）（24-25六年级上·河北衡水·期末）据2024年统计数字显示：中国男、女人口数的比约是17∶16，则男性人口约占中国总人口数的17%。( ) 18．（本题2分）（24-25六年级上·山西长治·期末）丹丹家在学校东偏北60°方向300米处，则学校在丹丹家南偏西30°方向300米处。( ) 19．（本题2分）（2022·河北保定·小升初真题）在含盐20%的盐水中，同时加入200克水和3克盐后，含盐率小于20%。( ) 20．（本题2分）（19-20六年级下·安徽铜陵·期末）。( ) 21．（本题2分）（20-21六年级下·河南开封·期末）同样长的铁丝围成三角形、长方形和圆，其中面积最大的是圆。( ) 五、应用题：本题共10小题，共51分． 22．（本题5分）（24-25六年级下·江西赣州·期末）滕王阁是江南三大名楼之一，甲店和乙店都是滕王阁景区的文创书店，今年6月1日儿童节当天，甲乙两店共卖出960套《滕王阁历史故事》，如果甲店拿出给乙店，这时两店卖出《滕王阁历史故事》的本数同样多。原来甲店卖出多少套？（先把线段图补充完整，再解答） 23．（本题5分）（23-24六年级下·甘肃临夏·期末）学校开展包粽子活动，五、六年级一共包了225个粽子，其中五年级同学包的数量是六年级同学的。五、六年级同学各包多少个粽子？（用方程解答） 24．（本题5分）（24-25六年级下·湖南怀化·期末）据《墨子·鲁问》记载，鲁班的“木鹊”是风筝的早期形式。某工厂要制作120个风筝，甲车间单独做需要15天完成，乙车间单独做需要20天完成。如果乙车间先单独做4天，剩下的由甲、乙两个车间合作完成，还需要多少天才能完成任务？ 25．（本题5分）（24-25六年级下·湖南湘西·期末）近些年来，肥胖已经成为影响身体健康的重要因素。2024年，国家卫生健康委员会联合多部门启动实施“体重管理年”活动，旨在通过科学普及和宣传倡导，提升全民体重管理意识和技能，预防和控制超重肥胖，普及健康生活方式。某公司为了解员工的肥胖程度，随机抽取了20位员工的体检数据，通过计算身体质量指数，对照标准绘制了两幅不完整的统计图。请根据统计图中的信息，解答下列问题。 员工胖瘦程度条形统计图                  员工胖瘦程度扇形统计图 （1）将两幅统计图补充完整。 （2）该公司共有300名员工，请你计算肥胖和偏胖的员工共有多少人？ 26．（本题5分）（24-25六年级下·内蒙古呼和浩特·期末）悦悦正在读一本儿童文学，两周读了120页，还剩下没有读。这本儿童文学一共有多少页？ 27．（本题5分）（23-24六年级上·河南南阳·期末）六一班铭铭同学原来重45千克，放假一段时间他的体重增加了10%，后来他坚持体育锻炼，体重又减轻了10%。锻炼后的体重与原来相比，是增了还是减了？增减幅度是多少？ 28．（本题5分）（23-24六年级上·湖北黄石·期末）一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，现在两队合做，但乙队中途休息了几天，这样一来甲队从头到尾一共做了12天，乙队做了多少天？ 29．（本题5分）（22-23六年级上·湖北省直辖县级单位·期末）某品牌创意的商标外形是由三个相同的圆拼成的（如图），它们的周长都是57.12毫米。这个商标的总面积是多少？（π取3.14） 30．（本题5分）（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某文具商店从文具厂购进A、B两种文具共50套，A种文具的数量是B种文具数量的。 （1）求A、B两种文具各购进多少套？ （2）A种文具每套进价30元，该文具商店在A种文具进价的基础上提高20%出售，B种文具的进价比售价少，两种文具全部售出后共获利420元。求B种文具每套的进价为多少元？ （3）在（2）的条件下，文具商店再次从文具厂购进A、B两种文具共200套，文具厂把A、B两种文具都打八折出售给文具商店，文具商店将A种文具在原售价降低后出售，文具商店将B种文具在原售价七折后出售。该文具商店将此次购进的200套文具全部售出。此次销售共获利多少元？ 31．（本题6分）（21-22六年级上·浙江杭州·期末）如图，院子的两堵墙分别为5米和8米，墙外是一片草地，墙上拴着一只小羊，绳长4米如果将小羊A和小羊B分别拴在图1，图2中的位置，哪只小羊吃到草的面积更大一些？相差多少？请用算式或其他方法说明。（结果可用含有π的式子表示） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习讲练全攻略一本通 100 冲刺 分 2026最新版 名师推荐 人教版 · 单元知识梳理精讲（回顾） · 易错考点真题练（分单元） · 压轴考点真题练（总复习） · 期末实战演练卷（2套） 知识梳理+易错考点练+压轴考点练+期末实战练 （解析版） 小学数学 姓名： 班级： 学号： 六年级上 同学你好，该套讲义精选历年人教版数学六年级上册第1-8单元各地区期末考试超高频考察题型题目，精益求精，助你轻松掌握解题技能！整体难度中等及偏上，适合绝大多数同学学习使用。讲义分为三大部分。 ●第一部分：单元知识梳理、易错讲练 1-8单元（分数乘法、位置与方向（二）、分数除法、比、圆、百分数（一）、扇形统计图、数学广角-数与形）知识点综合重难点复习，查漏补缺。每个单元知识点汇总，易错考点讲练，学以致用！加强对所学内容的进一步理解和掌握，熟悉易错题型的解题技巧和解题方法！ ●第二部分：压轴考点真题练 优选近两年全国各地名校期末真题，难度中上，1-8单元总复习篇，按照考点划分，深入浅出掌握疑难解题技巧！ ●第三部分：期末实战演练卷 一套名校真题重组卷、一套培优通关卷!层层递进，超越自我！ 预祝你在期末考试中取得满意成绩！ 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 知识梳理 易错讲练 2 第一单元 分数乘法 2 【温故知新 知识梳理】 2 【优选真题 易错讲练】9个考点 共18题 3 第二单元 位置与方向（二） 15 【温故知新 知识梳理】 15 【优选真题 易错讲练】4个考点 共16题 16 第三单元 分数除法 32 【温故知新 知识梳理】 32 【优选真题 易错讲练】9个考点 共18题 35 第四单元 比 65 【温故知新 知识梳理】 65 【优选真题 易错讲练】8个考点 共16题 67 第五单元 圆 83 【温故知新 知识梳理】 83 【优选真题 易错讲练】14个考点 共28题 87 第六单元 百分数（一） 112 【温故知新 知识梳理】 112 【优选真题 易错讲练】14个考点 共28题 114 第七单元 扇形统计图 133 【温故知新 知识梳理】 133 【优选真题 易错讲练】3个考点 共9题 134 第八单元 数学广角-数与形 147 【温故知新 知识梳理】 147 【优选真题 易错讲练】5个考点 共15题 148 第二部分 压轴考点真题练（45个题型 共90题） 157 第三部分 期末实战演练卷 238 2025-2026学年人教版数学六年级上学期期末真题重组拔高卷 238 2025-2026学年苏教版数学五年级上学期期末冲刺培优卷 261 第一单元 分数乘法 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：分数乘法的意义 （1）分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。 （2）一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以） 知识点梳理02：分数乘法的计算法则 （1）分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。 ①为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分） ②约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数）。 （2）分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母） ①如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。 ②分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。 ③在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。（约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数）。 ④分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。 （3）小数乘分数的运算法则是： ①把小数化成分数计算； ②如果所乘分数可以化成有限小数，也可以把分数化成小数计算； ③小数和分母能约分的，先约分在计算比较方便。 知识点梳理03：积与因数的关系 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。a×b=c,当b >1时，c>a。 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。a×b=c,当b <1时，c<a (b≠0)。 一个数（0除外）乘等于1的数，积等于这个数。a×b=c,当b =1时，c=a。 注：在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为0时的特殊情况。 知识点梳理04：分数乘法混合运算 （1）分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。 （2）整数乘法运算定律对分数乘法同样适用；运算定律可以使一些计算简便。 乘法交换律：a×b=b×a   乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c 知识点梳理05：分数乘法的应用 （1）连续求一个数的几分之几是多少？（用乘法） 已知单位“1”的量，求单位“1”的量的几分之几是多少，用单位“1”的量与分数相乘。 （2）求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的数是多少的解题方法： ①单位“1”的量×=这个数量； ②单位“1”的量单位“1”的量=这个数量。 【优选真题 易错讲练】9个考点 共18题 易错讲练1 求一个数的几分之几的问题 1．（24-25六年级下·安徽宿州·期末）小智的学校买来黄色乒乓球的数量是白色球数量的，两种乒乓球的总数量在50～60之间，黄色球的数量是 个。 【答案】21 【思路引导】根据黄色乒乓球的数量是白色球数量的，可知黄色球占3份，白色球占5份，总共8份。两种乒乓球的总数量一定是8的倍数，8的倍数中只有56在50﹣60之间，据此可以推算出两种乒乓球的总数量是56个，再根据分数乘法的意义，用两种乒乓球的总数量乘，即可计算出黄色球的数量是多少个。 【规范解答】3＋5＝8 8的倍数中只有56在50﹣60之间 56×＝21（个） 即黄球的数量为21个。 2．（24-25六年级下·广东东莞·期末）一根绳子长a米，第一次用去，第二次用去米。两次用去的长度（    ）。 A．第一次长 B．第二次长 C．一样长 D．无法比较 【答案】D 【思路引导】根据题意，可以设当a＝1米、4米、米时进行讨论； 把绳子的全长看作单位“1”，第一次用去全长的，单位“1”已知，用全长乘，求出第一次用去的长度，再与第二次用去的长度进行比较，得出结论。 【规范解答】①当a＝1米时； 第一次用去：1×＝（米） 米＝米，两次用去的长度一样长； ②当a＝4米时； 第一次用去：4×＝1（米） 1米＞米，第一次用去的长； ③当a＝米时； 第一次用去：×＝（米） 米＜米，第二次用去的长； 综上所述，两次用去的长度无法比较。 故答案为：D 易错讲练2 分数乘分数 3．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）在分析“求千米的是多少？”一题的过程中，下面的示意图不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】“求千米的是多少？”意思是，把千米看作单位“1”，平均分成4份，取其中的1份；据此分析各选项中的示意图，找出不正确的即可。 【规范解答】 A．，把线段表示的千米平均分成4份，取其中的1份，符合“求千米的是多少？”的意义，原选项正确； B．，把图形表示的千米平均分成4份，取其中的1份，符合“求千米的是多少？”的意义，原选项正确； C．，图中斜线部分表示把整个图形看作单位“1”，平均分成了4份，取其中的1份，表示1千米的是多少，不符合“求千米的是多少？”的意义，原选项错误； D．，把半圆表示的千米平均分成4份，取其中的1份，符合“求千米的是多少？”的意义，原选项正确。 故答案为：C 4．（20-21六年级上·河北沧州·期末）甲、乙、丙三人合修一条公路。甲、乙合修6天修好公路的，乙、丙合修2天修好余下的；剩下的部分三人又合修了5天才完成。共得到劳务费3600元，按各人完成工作量的多少来分配劳务费，三人各应得劳务费多少元？ 【答案】甲获660元，乙获1820元，丙获1120元。 【思路引导】假设工程总量为3600，分别求出甲乙丙三人的工作效率，再算出三人的劳务费即可。 【规范解答】假设工作总量为3600 甲、乙合修6天修：3600× 甲乙每天修：1200÷6＝200 乙、丙合修2天修： 乙丙每天修：600÷2＝300 甲乙丙三人5天合修：3600－1200－600 ＝2400－600 ＝1800 则甲乙丙三人每天修：1800÷5＝360 甲每天修：360－300＝60 丙每天修：360－200＝160 乙每天修：360－60－160＝140 甲应获劳务费：60×（6＋5） ＝60×11 ＝660（元） 乙应获：140×（6＋2＋5） ＝140×13 ＝1820（元） 丙应获：160×（2＋5） ＝160×7 ＝1120（元） 答：甲获660元，乙获1820元，丙获1120元。 【考点剖析】本题考查分数乘法、工程问题，解答本题的关键是掌握工程问题的解决方法。 易错讲练3 分数乘小数 5．（21-22六年级上·四川南充·期末）3.2与一个分数相乘，积一定比3.2小。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】在分数乘法中，一个因数（0除外）保持不变，当另一个因数大于1时，积比原来的因数大。当另一个因数小于1时，积比原来的因数小。当另一个因数等于1时，积等于原来的因数。据此解答。 【规范解答】当这个分数大于1时，3.2与这个分数相乘，积比3.2大； 当这个分数小于1时，3.2与这个分数相乘，积比3.2小； 当这个分数等于1时，3.2与这个分数相乘，积等于3.2； 所以原题中关于“3.2与一个分数相乘，积一定比3.2小”的说法是错误的。 故答案为：× 【考点剖析】此题的解题关键是理解掌握分数乘法的计算法则，利用积与因数的关系求解。 6．（24-25六年级上·重庆南岸·期末）港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世界，极大地缩短了三地间的陆路路程。2018年正式通车后，大巴车从香港到珠海需要的时间比通车前大约能节约。通车前某大巴车从香港到珠海需要3.2小时，则通车后需要多少小时？ 【答案】0.8小时 【思路引导】由题意可知，把通车前大巴车从香港到珠海需要的时间看作单位“1”，通车后的时间是通车前的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此解答。 【规范解答】 （小时） 答：通车后需要0.8小时。 易错讲练4 因数和积的大小关系（分数乘法) 7．（23-24六年级下·福建福州·期末）若a＞0，则下面的算式中得数最大的是（    ）。 A．a×0.99 B．a÷0.99 C．a÷1.02 D．a× 【答案】B 【思路引导】A．一个非0的数乘一个小于1的小数，结果小于这个数，据此判断； B．一个非0的数除以一个小于1的小数，结果大于这个数，据此判断；     C．一个非0的数除以一个大于1的小数，结果小于这个数，据此判断；     D．一个非0的数乘一个真分数，结果小于这个数，据此判断。 【规范解答】A．因为0.99＜1，所以a×0.99＜a；     B．因为0.99＜1，所以a÷0.99＞a；     C．因为1.02＞1，所以a÷1.02＜a；     D．因为＜1，所以a×＜a； 所以若a＞0，则得数最大的算式是a÷0.99。 故答案为：B 8．（24-25六年级上·安徽芜湖·期末）（a、b、c、d均不为0），这四个数中最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 a d 【思路引导】根据“积一定的情况下，一个因数小则另一个因数就大”来判断，先把带除法的式子改写成乘法形式，可知原算式变为，要比较a、b、c、d的大小，比较、、、3的大小即可。 【规范解答】可以改写成：。 因为，，所以，则d＜b＜c＜a。 因此这四个数中最大的是a，最小的是d。 易错讲练5 整数乘法运算定律推广到分数乘法 9．（24-25六年级上·重庆渝北·期末）简便运算，写出必要的过程。                  【答案】；；29 【思路引导】（1）根据减法的运算性质，从一个数中依次减去两个数，等于这个数减去这两个数的和。进行简便运算。 （2）根据乘法分配律，进行简便运算即可。 （3）根据乘法分配律，进行简便运算即可。 【规范解答】 10．（24-25六年级上·江西抚州·期末）计算下面各题，怎么简便就怎么算。                          【答案】；52； 【思路引导】“”先计算乘法，再计算加法； “”根据乘法分配律a×b＋a×c＝a×（b＋c）将提出来，再计算； “”将2024写成2023加上1，再根据乘法分配律展开计算。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝52 ＝ ＝ ＝ ＝ 易错讲练6 分数的连乘运算 11．（24-25六年级上·重庆·期末）“胸藏文墨怀若谷，腹有诗书气自华”。安安平时喜欢阅读，下面是安安读《西游记》选文后的一些记录。在不认识的字中能理解意思的字有多少个？ 读书记录①本段选文共480字。 ②一共有的字不认识。 ③读错的字比不认识的少。 ④不认识的字中根据上下文能理解意思的占。 （1）要解决这个问题需要（    ）作为已知条件（填序号）。 （2）根据选择的条件解决上面的问题。 【答案】（1）①②④ （2）6个 【思路引导】（1）要解决问题“在不认识的字中能理解意思的字有多少个”，需要知道本段选文共480字，共有的字不认识，不认识的字中根据上下文能理解意思的占。 （2）先把本段选文的总字数看作单位“1”，其中的字不认识，单位“1”已知，用本段选文的总字数乘，求出不认识的字的个数； 再把不认识的字的个数看作单位“1”，其中根据上下文能理解意思的占，单位“1”已知，用不认识的字的个数乘，求出在不认识的字中能理解意思的字的个数。 【规范解答】（1）要解决这个问题需要（①②④）作为已知条件。 （2）480×× ＝16× ＝6（个） 答：在不认识的字中能理解意思的字有6个。 12．（22-23六年级上·四川·期末）将一张长方形的纸对折3次后，现在的面积是原来的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】把原来这张长方形纸的面积看作单位“1”，对折1次后，每份是原来的，对折2次后，每份是原来的，对折3次后，每份是原来的，据此解答。 【规范解答】分析可知： ＝ ＝ 所以，现在的面积是原来的。 故答案为：C 【考点剖析】理解这张纸每次对折后的面积都是对折前面积的是解答题目的关键。 易错讲练7 连续求一个数的几分之几是多少的问题 13．（24-25六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”，我们要像保护眼睛一样保护生态环境。在沙漠植树造林要选择需水量较低的树木。在西北某沙漠的一个区域种植胡杨800棵，种植沙柳的棵数是胡杨棵数的，种植沙枣的棵数又是沙柳棵数的，这个区域种植沙枣树多少棵？ 【答案】400棵 【思路引导】将胡杨棵数看作单位“1”，胡杨棵数×沙柳对应分率＝沙柳棵数；再将沙柳棵数看作单位“1”，沙柳棵数×沙枣对应分率＝沙枣棵数，据此列式解答。 【规范解答】800×× ＝500× ＝400（棵） 答：这个区域种植沙枣树400棵。 14．（24-25六年级上·福建福州·期末）名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，第三天截取的长度与最初木棒总长度的比是（    ）。 A．1∶4 B．1∶8 C．1∶16 D．1∶32 【答案】B 【思路引导】把一尺长的木棒看作单位“1”，第一天截取它的一半，即截取了，还剩下；第二天截取的一半，即，还剩下；第三天取的一半，即；最后根据比的意义，写出第三天截取的长度与最初木棒总长度之比，再化简比。 【规范解答】第一天截取： 还剩下： 第二天截取： 还剩下： 第三天截取： ∶1 ＝（×8）∶（1×8） ＝1∶8 第三天截取的长度与最初木棒总长度的比是1∶8。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查分数乘法的意义以及比的意义与化简比，利用分数乘法的意义求出第三天截取的长度是解题的关键。 易错讲练8 已知总量及一部分分率，求另—部分量 15．（23-24六年级下·浙江温州·期末）一根长米的绳子，如果用去米，还剩( )米；如果用去这根绳子的，还剩( )米。 【答案】 【思路引导】绳子长度－用去的长度＝还剩的长度；将绳子长度看作单位“1”，如果用去这根绳子的，还剩（1－），绳子长度×还剩的对应分率＝还剩的长度，据此用字母分别表示出还剩的长度。 【规范解答】×（1－）＝（米） 一根长米的绳子，如果用去米，还剩（）米；如果用去这根绳子的，还剩米。 16．（22-23六年级下·安徽·期末）我国古代数学名著《九章算术》里有这样一道题：今有人持百斗米出三关，内关四而取一，中关五而取一，外关十而取一，余米几斗？意思是：有个人带了100斗米出三道关，内关按总货物的收税，中关按余下货物的收税，外关按余下货物的收税，最后还剩( )斗米。 【答案】54 【思路引导】将出关前米的斗数看作单位“1”，内关按总货物的收税，还剩出关前的（1－）；再将过内关后余下的斗数看作单位“1”，中关按余下货物的收税，还剩过内关后余下的（1－）；再将过中关后余下的斗数看作单位“1”，外关按余下货物的收税，还剩过中关后余下的（1－），出关前的斗数×过内关后余下的对应分率×过中关后余下的对应分率×过外关后余下的对应分率＝最后剩下的斗数，据此列式计算。 【规范解答】100×（1－）×（1－）×（1－） ＝100××× ＝75×× ＝60× ＝54（斗） 最后还剩54斗米。 【考点剖析】关键是确定单位“1”，确定对应分率，根据整体数量×部分对应分率＝部分数量，列式计算。 易错讲练9 求比一个数多/少几分之几的数是多少 17．（24-25六年级下·河南许昌·期末）鱼肉富含动物蛋白质和磷质等，营养丰富，滋味鲜美，易被人体消化吸收，对人类体力和智力的发展具有重大作用。四海鱼店今天售出鲢鱼315千克，售出的草鱼的质量比鲢鱼多，售出的乌鱼的质量比草鱼少，四海鱼店今天售出乌鱼多少千克？ 【答案】252千克 【思路引导】分析题目，先把鲢鱼的质量看作单位“1”，则草鱼的质量是鲢鱼的（1＋），根据求一个数的几分之几是多少用乘法求出草鱼的质量；再把草鱼的质量看作单位“1”，则乌鱼的质量是草鱼的（1－），再用草鱼的质量乘（1－）即可求出乌鱼的质量。 【规范解答】315×（1＋）×（1－） ＝315×× ＝378× ＝252（千克） 答：四海鱼店今天售出乌鱼252千克。 18．（21-22六年级下·浙江金华·期末）在一个教学实验活动中，先往一个长方体容器中注水，使水深为4厘米，然后将一块不规则冰块完全浸没水中，水的高度上升到7厘米。（冰块能完全浸没） （1）冰块的体积是多少立方厘米？ （2）已知冰融化成水，体积减小原来的，当冰块完全融化时，容器内的水深是多少厘米？ 【答案】（1）300立方厘米 （2）6.7厘米 【思路引导】（1）根据题意，将一块不规则冰块完全浸没水中，水上升了（7－4）厘米，那么冰块的体积等于水上升部分的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算即可求出冰块的体积。 （2）根据题意，冰融化成水，体积减小原来的，意思是，水的体积比冰块的体积小，把冰块的体积看作单位“1”，水的体积是冰块体积的（1－），单位“1”已知，用冰块的体积乘（1－），求出冰块融化成水后的体积； 根据长方体的体积公式V＝abh，求出原来长方体容器水深4厘米时水的体积； 根据长方体的高h＝V÷S，用长方体容器内原来水的体积加上冰块融化成水后的体积，除以容器的底面积，即可求出当冰块完全融化时，容器内的水深。 【规范解答】（1）10×10×（7－4） ＝10×10×3 ＝100×3 ＝300（立方厘米） 谷：冰块的体积是300立方厘米。 （2）冰融化成水，水的体积： 300×（1－） ＝300× ＝270（立方厘米） 原来容器内水的体积： 10×10×4 ＝100×4 ＝400（立方厘米） 冰化成水后，容器内水深： （270＋400）÷（10×10） ＝670÷100 ＝6.7（厘米） 答：容器内的水深是6.7厘米。 【考点剖析】（1）本题考查不规则物体体积的算法，明确放入物体的体积等于水上升部分的体积，然后利用长方体的体积计算公式列式计算。 （2）本题考查分数乘法的应用以及长方体体积计算公式的灵活运用，明确求比一个数多或少几分之几的数是多少，用乘法计算。 第二单元 位置与方向（二） 【温故知新 知识梳理】 知识点01：确定物体的位置 1、确定物体位置的条件：方向和距离，两个条件缺一不可。 2、确定物体位置的方法： （1）确定观测点，画出以观测点为中心的正北、正南、正西、正东四个方向的射线； （2）看被观测物体与观测点之间的线段往哪个方向偏，量出那个方向的线段与射线之间的角度和物体与观测点之间的距离； （3）把方向和距离结合起来就能确定物体的具体位置。 3、物体位置关系的相对性 （1）描述两个物体或地点位置关系时，会有两种方式，如“A在B的北偏西约60°方向上”和“B在A的南偏东约60°方向上”。 这两种描述方式角度不变，但方向正好相反，体现了位置关系的相对性。 （2）两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时，观测点不同，叙述的方向正好相反，而度数和距离正好相等。 知识点02：在平面图上标出物体位置 在平面图上标明物体位置的方法: （1）确定观测点和方向（方位角）：确定方向，一般是按“上北下南、左西右东”来确定； （2）换算距离：根据单位长度表示的实际距离计算出图上距离； （3）标出位置：根据方向和距离确定物体的具体位置，标出物体的名称。 知识点03：路线图 1、描述路线图。 （1）描述路线图时，观测点变化了，就要以新的观测点为中心建立方向标，然后根据方向和距离描述物体的运动路线。 （2）描述运动路线时先说起点是哪里，再说沿着什么方向运动了多远，最后说到达什么位置，也就是终点。 2、绘制路线图。 （1）确定方向标和单位长度； （2）确定起点的位置； （3）根据描述，从起点出发，找准方向和距离，一段一段地画（第一段的观测点是起点，以后每段的观测点都是上一段的终点）。 （4）以谁为观测点，就以谁为中心画出“十”字方向标，据此判断下一段的方向和距离。 【优选真题 易错讲练】4个考点 共16题 易错讲练1 根据方向和距离描述简单的路线 1．（23-24六年级上·内蒙古通辽·期末）查找路线。 （1）小林从家出发向（    ）走（    ）米，再向（    ）方向走（    ）米，又向（    ）走（    ）米，到达图书馆。 （2）请描述小林从图书馆回到家的路线。 【答案】（1）东；250；北偏东45°；650；东；350； （2）见详解 【思路引导】（1）根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，用方向和距离结合来描述路线时，要注意三个要素：一是观测点（即参照物），二是方向，三是距离；据此解答； （2）根据方向的相对性，它们的方向相反，角度相等，距离相等；据此描述小林从图书馆回家的路线。 【规范解答】（1）小林从家出发，向东走250米，再向北偏东（北偏东）45°方向走650米，又向东走350米到达书店。 （2）从书店出发，向西走350米，再向南偏西（西偏南）45°方向走650米，再向西走250米到家。 2．（23-24六年级上·河北秦皇岛·期末） （1）小力从电影院出发，向　 　走　 　到达书亭，从书亭向　 　走　 　到达超市，从超市向　 　走　 　到达广场。 （2）根据路线图，请你写一写小力从家去超市的方向和路程。 【答案】（1）东偏北15°方向；300米；正北方向；100米；东偏南35°方向；420米 （2）小力从家走超市的路线图是：小力从家出发，先向南偏西40°方向走180米到小军家；再从小军家向正西方向走200米到广场；最后从广场向西偏北35°方向走420米即可到超市。 3．（20-21四年级上·广东惠州·期末）看图填空。 （1）用数对表示小丽家的位置是( )，学校的位置是( )。 （2）小丽从家向( ) 方向走( )米到体育馆，然后向( )走( )米到图书馆，再向( ) 方向走( )米到学校。 （3）如果小丽以每分50米的速度从体育馆走到商场，需要走( )分钟。 【答案】 （2，3） （10，8） 东北 500 东 400 东北 650 6 【思路引导】（1）竖排叫做列，横排叫做行。确定第几列－般从左往右数，确定第几行一般从前往后数。数对的表示方法是（所在的列数，所在的行数），依此填空。 （2）先找到中心参照点，并按上北、下南、左西、右东标明，然后进行填空即可。 （3）从体育馆走到商场的路程为300米，因此用300除以50即可。 【规范解答】（1）小丽家在第2列，第3行，即用数对表示小丽家的位置是（2，3）； 学校家在第10列，第8行，即用数对表示学校的位置是（10，8）； （2）300＋100＝400（米） 小丽从家向东北方向走500米到体育馆，然后向东走400米到图书馆，再向东北方向走650米到学校。 （3）300÷50＝6（分钟） 【考点剖析】此题考查的是用数对表示位置，普通行程问题的计算，以及根据方向与距离描述线路图，应熟练掌握。 4．（23-24六年级上·全国·期末）下列图形中每个小方格的边长都是200米。 （1）小华从体育馆出发，先去超市买完矿泉水后再去图书馆看书，他的行走路线是：先从体育馆向（    ）方向走（    ）米，再从（    ）向（    ）方向走（    ）。 （2）实验楼在超市的东偏北35°方向上，距离是1000m，请在图上标出它的位置。 【答案】（1）南；800；超市；西；600米 （2）见详解 【思路引导】根据地图上的方向“上北下南，左西右东”及其他信息（角度、距离）来确定位置即可；确定距离时，用每格的长度乘格数即可。 【规范解答】（1）他的行走路线是：先从体育馆向南方向走800米，再从超市向西方向走600米； （2）如图： 【考点剖析】确定位置时，方向和角度一定要对应。 易错讲练2 根据方向、角度和距离描述路线图 5．（24-25六年级下·重庆长寿·期末）第三届“一带一路”田径邀请赛暨2025年全国田径大奖赛（第3站）于5月14—16日在长寿区体育中心举办。假如在比赛期间碧桂园酒店、体育中心和菩提古镇成为国际参赛选手主要的活动区域，下列描述正确的是（    ）。 A．从碧桂园酒店向西偏南39°方向大约走2千米到体育中心。 B．从体育中心向西偏北21°方向走大约3千米到菩提古镇。 C．从体育中心向东偏北39°方向走大约2千米到碧桂园酒店。 D．从碧桂园酒店向南偏西8°方向大约走3.5千米到菩提古镇。 【答案】B 【思路引导】判断选项时，要依据“方向和距离确定位置”的核心知识：先明确观测点（观测点不同，方向描述可能相反）；方向需以“东、南、西、北”为基准，说明偏向方向和夹角（锐角）；按这个思路，逐一核对每个选项的观测点、方向（含角度）和距离是否与图中信息一致，就能判断对错。 【规范解答】A．从碧桂园酒店到体育中心，观测点是碧桂园酒店。正确方向应为南偏西39°，而非西偏南39°，距离约2千米。因此A选项方向错误。 B．从体育中心到菩提古镇，观测点是体育中心。方向以正西为基准，向北偏21°，即西偏北21°，距离约3千米。角度和距离均合理，因此B选项描述正确。 C．从体育中心到碧桂园酒店，观测点是体育中心。以正北为基准，向东偏39°，正确方向是北偏东39°，而非东偏北39°，因此C选项方向错误。 D．从碧桂园酒店到菩提古镇，观测点是碧桂园酒店。以正西为基准，向南偏8°，正确方向是西偏南8°，而南偏西8°，因此D选项方向错误。 故答案为：B 6． （24-25六年级上·广东东莞·期末） （1）小玲从家去书店，她先向_________方向，走________米到达商场，用时15分钟；再向_________方向走____________米到达书店，用时7分钟。 （2）根据如图的路线图，小玲从家去书店的平均速度是多少？ 【答案】（1）西偏北30°；1000；南偏西45°；400 （2）63.6米/分 【思路引导】（1）地图是上北下南，左西右东，以小玲家为观测点，结合角度方向，商场在小玲家西偏北30°（或北偏西60°）方向，图上1格表示实际200米，两地距离200×5＝1000米；以商场为观测点，书店在商场南偏西（或西偏南）45°方向，两地距离200×2＝400米。   （2）小玲从家去书店的平均速度＝（小玲家到商场的路程＋商场到书店的路程）÷（小玲家到商场用的时间＋商场到书店用的时间），据此求平均速度即可。 【规范解答】（1）200×5＝1000（米）      200×2＝400（米） 小玲从家去书店，她先向西偏北30°（或北偏西60°）方向走1000米到达商场，用时15分钟；再向南偏西（或西偏南）45°方向走400米到达书店，用时7分钟。   （2）（1000＋400）÷（15＋7） ＝1400÷22 ≈63.6（米/分） 答：小玲从家去书店的平均速度是63.6米/分。 7．（23-24六年级下·重庆铜梁·期末）画一画、填一填。 （1）汽车站在少年宫西边500m处，火车站在体育馆东边600m处，在方格图中用“·”标出汽车站、火车站的位置。 （2）小明从少年宫出发，向（    ）方向行走到达百货大楼，从百货大楼向南方行走（    ）m到达体育馆。 【答案】（1）见详解 （2）西南；300 【思路引导】（1）根据上北下南左西右东，确定汽车站在少年宫的西边也就是左边，一格为100m，500÷100＝5格，汽车站离少年宫图上距离为5格；火车站在体育馆的东边600m，东边也就是右边，600÷100＝6格，火车站到体育馆图上距离为6格。 （2）根据“上北下南左西右东”的图上方向，结合路线图，分析解答即可。 【规范解答】（1） （2）小明从少年宫出发，向西南方向行走到达百货大楼，从百货大楼向南方行走300m到达体育馆。 8．（22-23六年级上·广东珠海·期末）根据下面的描述，完成下列各题。 （1）商场在小玲家（            ）方向（        ）米处。 （2）小红家在小玲家南偏西45°方向600米处，请你在图中标出小红家的位置。 （3）请你描述小玲从书店出发回家所走的路线：小玲从书店出发，沿东偏北45°方向走400米到商场，再沿（                     ）到小玲家。 （4）小玲从书店回家每分钟走70米，那么她从书店回到家需要步行（      ）分钟。 【答案】（1）西偏北30°；1000； （2）见详解 （3）东偏南30°方向走1000米； （4）20 【思路引导】以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离200米。 （1）以小玲家为观测点，商场在小玲家的西偏北30°方向，与小玲家相距（200×5）米； （2）在小玲家南偏西45°方向上画600÷200＝3厘米长的线段，即是小红家； （3）描述路线时，注意起始点与目的地，起始点是观测点，在地图上按照“上北下南，左西右东”确定方向，用方向和距离描述路线。 （4）从图中可知，书店与小玲家相距（200×7）米，根据“时间＝路程÷速度”，即可求出她从书店回到家需要步行的时间。 【规范解答】（1）200×5＝1000（米） 商场在小玲家西偏北30°方向1000米处。 （2）600÷200＝3（厘米） 如图： （3）小玲从书店出发回家所走的路线：小玲从书店出发，沿东偏北45°方向走400米到商场，再沿东偏南30°方向走1000米到小玲家。 （4）200×（2＋5） ＝200×7 ＝1400（米） 1400÷70＝20（分钟） 她从书店回到家需要步行20分钟。 【考点剖析】本题考查方向与位置的知识以及行程问题，找准观测点，根据方向、角度和距离确定物体的位置及描述路线，利用速度、时间、路程之间的关系解答。 易错讲练3 根据方向、角度和距离画线路图 9．（24-25六年级上·湖北襄阳·期末）如图，军事演习中，一艘军舰从起点沿北偏东30°方向航行60km到达A处，接着向正西方向航行40km到达B处，最后向西偏南45°方向航行30km到达终点C处。请根据上面描述，把这艘军舰行驶的路线图补充完整。 【答案】见详解 【思路引导】将方向和距离结合起来画路线时，要注意三个要素：一是观测点，二是方向，三是距离。地图上按上北下南左西右东确定方向，看图可知，图上1厘米表示实际10千米，几十千米图上就画几厘米。 【规范解答】 10．（24-25六年级下·云南楚雄·期末）在一次军事演习中，一艘军舰从起点先向东偏北60°方向行驶72千米后，再向正东方向行驶36千米，最后向东偏南30°方向行驶24千米到达终点。 （1）根据上面的描述，把军舰行驶的路线图画完整。 （2）如果从终点按原路匀速返回起点用了4小时，那么这艘军舰返回时的速度是（    ）千米/小时。 【答案】（1）见详解 （2）33 【思路引导】（1）根据上北下南，左西右东，结合角度和距离画图即可； （2）返回时的路程等于（72＋36＋24）千米，根据“速度＝路程÷时间”解答。 【规范解答】（1）如图： （2）（72＋36＋24）÷4 ＝（108＋24）÷4 ＝132÷4 ＝33（千米/小时） 所以这艘军舰返回时的速度是33千米/小时。 11．（23-24六年级下·福建漳州·期末）按照要求填空和作图。 （1）丽丽从家出发去图书馆，她应先向（    ）偏（    ）（    ）°方向走200米来到游乐园，然后再向正东方向走（    ）米到图书馆。 （2）丽丽看完书要去图书馆东偏南60°，距离200米的欢欢家。请你在上图中补充丽丽从图书馆到欢欢家的路线图。 【答案】（1）北；东；60；200 （2）见详解 【思路引导】（1）从图中可知：图上1厘米表示实际100米，游乐园到图书馆的实际距离是2×100＝200米。根据地图是上北下南，左西右东，分别以丽丽家和游乐园为观测点，结合角度方向距离即可确定游乐园、图书馆的位置。（答案不唯一） （2）图上1厘米表示实际100米，图书馆与欢欢家的图上距离是200÷100＝2厘米。以图书馆为观测点，根据上北下南，左西右东，结合角度方向距离即可确定欢欢家的位置，并画图即可。 【规范解答】（1）丽丽从家出发去图书馆，她应先向北偏东60°方向走200米来到游乐园，然后再向正东方向走200米到图书馆。 （2）如图： 12．（20-21六年级上·浙江·期末）看图填空。下图，每个小正方形的对角线长。 （1）如果点的位置用数对表示，那么点的位置可用数对（    ）表示。 （2）点在点的南偏东45度方向处，请在图上标出点。 （3）依次连接三个点形成封闭图形，这是（    ）形，估计一下，这个图形的面积约是（    ）平方米。 【答案】（1）3，6 （2）图形见详解 （3）三角形；300 【思路引导】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行，一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。 （1）用数对表示位置，数对的第一个数表示列，第二个数表示行，据此分析； （2）弄清楚要表示的物体在哪个方位上，有多少度，按要求的方位和度数准确画图； （3）连接ABC得到一个图形是三角形，因为方格的对角线是10m，那么以这条对角线围成的三角形的高就是10除以2，所以一个小方格的面积就是10×（10÷2）÷2×2＝50m2，最后用数格的方法算出三角形ABC的面积大约是多少，据此解答。 【规范解答】（1）如果A点的位置用数对（1，2）表示，那么B点的位置可用数对（3，6）表示； （2）    （3）连接ABC得到的图形是三角形，图形如下图： 一个方格的面积是： 10×（10÷2）÷2×2 ＝10×5÷2×2 ＝50（m2） 三角形ABC大约有6个格， 50×6＝300（m2） 【考点剖析】此题考查的是位置关系，解题的关键是掌握数对的表示方法。 易错讲练4 根据方向、角度和距离确定物体的位置 13．（24-25六年级上·河北衡水·期末）下图以科技馆为观测点。 (1)第十二中学在( )( )°方向上，距离是( )米。 (2)实验小学在( )( )°方向上，距离是( )米。 【答案】(1) 东 偏北60 400 (2) 东 偏南25 200 【思路引导】（1）观察图可知，以科技馆为观测点，第十二中学在科技馆以东方向为主方向，在东方向的基础上向北方向偏转60°方向上，图中1段表示200米，有2段，所以距离是200×2＝400米。 （2）以科技馆为观测点，实验小学在科技馆以东方向为主方向，在东方向的基础上向南方向偏转25°方向上，有1段，所以距离是200×1＝200米。 【规范解答】（1）第十二中学在科技馆以东方向为主方向，在东方向的基础上向北方向偏转60°方向上，图中1段表示200米，有2段。 200×2＝400（米） 第十二中学在东偏北60°方向上，距离是400米。（答案不唯一） （2）实验小学在科技馆以东方向为主方向，在东方向的基础上向南方向偏转25°方向上，有1段。 200×1＝200（米） 实验小学在东偏南25°方向上，距离是200米。（答案不唯一） 14．（24-25六年级上·河南郑州·期末）量一量，填一填。 （1）小帆先从家向（    ）走（    ）米到学校，再向（    ）偏（    ）（    ）°走（    ）米到图书馆。 （2）小航家在学校北偏东45°方向600米处。请在下图中用★标出小航家的位置。 【答案】（1）东；800；南；东；60；400 （2）见详解 【思路引导】（1）观察图形，小帆家到学校的线段有4段，每段代表200米，所以小帆从家向东走200×4＝800米到学校；从学校到图书馆，根据上北下南，左西右东，由图中角度标识可知，是向南偏东60°方向，线段有2段，所以走200×2＝400米到图书馆。 （2）已知小航家在学校北偏东45°方向600米处，每段代表200米，所以600÷200＝3段；以学校为观测点，沿北偏东45°方向画3段长度的线段，端点处标上★，即为小航家的位置。 【规范解答】（1）小帆先从家向东走800米到学校，再向南偏东60°走400米到图书馆。 （2）如图： 15．（24-25六年级上·湖南岳阳·期末）根据路线图，完成下面各题。 （1）涛涛从家出发，先沿西偏北（    ）°方向行走（    ）米到达公园，再沿（    ）偏（    ）（    ）°方向行走（    ）米到达学校。 （2）书店位于涛涛家北偏东30°方向400米处，请在图中标出书店的位置。 【答案】（1）30；800；南；西；45；400 （2）见详解 【思路引导】（1）从图中可以看出，公园在涛涛家以西方向为主方向，在西方向的基础上向北方向偏转30°方向上。所以涛涛从家出发到公园，方向是西偏北30°。图中线段比例尺表示1段为200米，从家到公园有4段，所以距离是200×4＝800米。从公园到学校，学校在公园以南方向为主方向，在南方向的基础上向西方向偏转45°方向上。所以从公园到学校是南偏西45°，有2段，距离是200×2＝400米。 （2）已知书店位于涛涛家北偏东30°方向400米处，因为1段为200米，所以400÷200＝2段。以涛涛家为观测点，画出北偏东30°的方向线，然后在该方向线上量取2段的长度，确定书店的位置。 【规范解答】（1）公园在涛涛家以西方向为主方向，在西方向的基础上向北方向偏转30°方向上，4段距离。 200×4＝800（米） 学校在公园以南方向为主方向，在南方向的基础上向西方向偏转45°方向上，2段距离。 200×2＝400（米） 涛涛从家出发，先沿西偏北30°方向行走800米到达公园，再沿南偏西45°方向行走400米到达学校。（答案不唯一） （2）400÷200＝2（段） 标记如图： 16．（21-22六年级上·天津南开·期末）根据下面的描述，借助图上的量角器在平面图上标出体育场、文化广场和博物馆的位置。图中1cm长的线段表示500m的实际距离。 （1）体育场在电视塔的北偏西30°方向2500m处。 （2）电视塔在文化广场的东偏北45°方向2km处。 （3）博物馆在电视塔的东偏北45°方向2km处。 【答案】见详解 【思路引导】以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图中1cm相当于实际距离500m； （1）以电视塔为观测点，在电视塔的北偏西30°方向上画2500÷500＝5cm长的线段，即是体育场； （2）已知“电视塔在文化广场的东偏北45°方向2km处”，根据位置的相对性可知，文化广场在电视塔的西偏南45°方向2km处，2km＝2000m，图上画2000÷500＝4cm长的线段；据此画出文化广场的位置； （3）2km＝2000m，以电视塔为观测点，在电视塔的东偏北45°方向上画2000÷500＝4cm长的线段，即是博物馆。 【规范解答】如图： 【考点剖析】本题考查方向与位置的知识，找准观测点，根据方向、角度和距离确定物体的位置。 第三单元 分数除法 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：倒数的认识 1.意义： 乘积是1的两个数互为倒数。 （1）例如：因为 ，所以 和 互为倒数。 2.求一个数的倒数的方法： （1）分数： 交换分子和分母的位置。（若为带分数，先化成假分数再交换）例： 的倒数是 ；，其倒数是 。 （2）整数（0除外）： 看作分母是1的分数，再交换分子和分母的位置（即整数的倒数是几分之一）。例：5 的倒数是 ；1 的倒数是 1。 （3）小数： 先化成分数，再求倒数。例：0.25 = ，其倒数是 4。 3.特殊情况： （1）1的倒数是它本身（1）。 （2）0没有倒数。（因为0乘任何数都得0，不可能等于1） 知识点梳理02：分数除法的意义和计算法则 1.分数除法的意义： （1）与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 （2）例如： 表示已知两个因数的积是 ，其中一个因数是2，求另一个因数是多少。 （3） 表示已知两个因数的积是 ，其中一个因数是 ，求另一个因数是多少。 2.分数除以整数的计算法则： （1）分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 （2）字母表示： (a ≠ 0, c ≠ 0) （3）例：①；② (能约分的先约分) 3.一个数除以分数的计算法则： （1）一个数（可以是整数、分数）除以一个不为0的分数，等于乘这个分数的倒数。 （2）字母表示： (a ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0) （3）例：①；② (能约分的先约分) 4.分数除法的统一计算法则：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。 知识点梳理03：分数混合运算 1.运算顺序： （1）与整数混合运算的顺序相同。 （2）同级运算（只有乘除或只有加减）：从左往右依次计算。 （3）不同级运算（既有乘除又有加减）：先算乘除，后算加减。 （4）有括号的：先算括号里面的，再算括号外面的。 2.简便运算：整数乘法的运算定律（交换律、结合律、分配律）对于分数乘法同样适用。在分数混合运算中，能运用运算定律进行简便计算的要简便计算。 （1）例： (交换律) （2）例： (分配律) 知识点梳理04：解决问题 1.已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 (已知部分量，求单位“1”的量) （1）关键： 找准单位“1”的量（未知），找出已知量对应的分率。 （2）数量关系式： 单位“1”的量 × 分率 = 分率对应的量 (已知量) （3）解题方法： ①方程法：设单位“1”的量为 x。 ，解方程。 ②算术法：已知量 ÷ 对应的分率 = 单位“1”的量。 2.已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数。 (已知比单位“1”多/少部分的量，求单位“1”的量) （1）关键： 找准单位“1”的量（未知），理解“多（或少）几分之几”的含义，确定已知量对应的分率是 (1 + 几分之几) 或 (1 - 几分之几)。 （2）数量关系式： 单位“1”的量 × (1 ± 分率) = 已知量 （3）解题方法： ①方程法：设单位“1”的量为 x。 ，解方程。 ②算术法：已知量 ÷ (1 ± 分率) = 单位“1”的量。 3.已知两个数的和（或差）及这两个数的倍数关系（几分之几），求这两个数。 （1）关键： 设其中一个数（通常设单位“1”的量）为 x，根据倍数关系用含 x 的式子表示另一个数，再根据和或差列方程。 4.工程问题（分数除法的应用之一）： （1）特点： 工作总量未知，通常用“1”表示工作总量。 （2）工作效率： 单位时间内完成的工作量，即工作总量 ÷ 工作时间。通常表示为“几分之一”（如：甲单独做需5天完成，则甲的工作效率是 ）。 （3）数量关系式： 工作总量 ÷ 工作效率之和 = 合作工作时间。 知识点梳理05：易错点提示 1.分数除法计算错误： （1）忘记将除法转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数）。 （2）记错倒数（尤其是小数的倒数）。 （3）约分不彻底或错误约分。 2.解决问题时： （1）找不准单位“1”： 特别是在“比一个数多（或少）几分之几”的题目中。 （2）分不清用乘法还是除法： 单位“1”已知用乘法，单位“1”未知用除法（或方程）。 （3）对应分率找错： 已知量与分率不对应。 （4）用方程解决问题时，等量关系列错或解方程出错。 4.分数混合运算顺序错误： 特别是在有括号和多种运算符号时。 5.简便运算的滥用或不用： 该用简便方法的不用，或者不满足运算定律条件时强行使用。 【优选真题 易错讲练】9个考点 共18题 易错讲练1 倒数的认识 1．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）如图，直线上有、、、四个数，其中有可能互为倒数的是（    ）。 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【思路引导】由图可知，a在0和1的中间，且0到1的线段被平均分成了4段，a在第2段处，所以a表示为；b在0到1中的第3段处，所以b表示；c表示2，d表示3。因为乘积为1的两个数互为倒数，只有×2＝1，所以a和c互为倒数。 【规范解答】由分析可知，a表示，b表示，c表示2，d表示3。 ×2＝1 所以和2互为倒数，即a和c互为倒数。 故答案为：B 2．（24-25六年级下·河南南阳·期末）已知（a、b、c均不为0），那么a、b、c的大小关系是( )＞( )＞( )。 【答案】 a b c 【思路引导】解答本题可以利用赋值法，令，根据倒数的意义求出a、b、c的值，再比较大小。分母相同的分数，分子大的分数就大；分子相同，分母大的分数反而小。异分母分数可以先通分再比较大小。据此解答。 【规范解答】令 已知（a、b、c均不为0），那么a、b、c的大小关系是a＞b＞c。 易错讲练2 与倒数有关的综合计算 3．（22-23六年级上·河北邯郸·期末）×( )＝×( )＝0.25×( )＝1。 【答案】 4 【思路引导】若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，求一个分数的倒数，我们只需把这个分数的分子和分母交换位置，求一个小数的倒数，可以先把小数化成分数，然后分子和分母调换位置。 【规范解答】1＝ 0.25＝ 所以×＝×＝0.25×4＝1 4．（23-24六年级上·河南新乡·期末）甲数的倒数是，乙数的倒数是4，甲、乙两数之和的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】甲数的倒数是，则甲数是；乙数的倒数是4，则乙数是。根据题意，把加上，求出甲、乙两数之和，再乘即可解答。 【规范解答】通过分析可得：甲数是，乙数是。 （＋）× ＝× ＝ 则甲、乙两数之和的是。 故答案为：C 易错讲练3 自然数与倒数的和或差的问题 5．（23-24六年级上·北京平谷·期末）一个自然数，与它的倒数的和是，这个自然数是( )。 【答案】5 【思路引导】假设这个自然数是a，则它的倒数是，根据这个自然数＋它的倒数＝，列出方程，通过观察即可得出a的值。 【规范解答】假设这个自然数是a。 a＋＝＝5＋ 所以a＝5 一个自然数，与它的倒数的和是，这个自然数是5。 【考点剖析】关键是理解倒数的含义，乘积是1的两个数互为倒数。 6．（23-24六年级上·北京丰台·期末）两个自然数的和是18，它们倒数的和是，这两个自然数分别是( )。 【答案】6和12 【思路引导】假设这两个自然数为A、B，根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，可知A的倒数是，B的倒数是；根据题意可知， ，根据异分母分数加法的计算方法，可得，根据分数和除法的关系，可知，据此算出AB的结果，最后结合这两个自然数的和是18，推出A和B即可。 【规范解答】解：设这两个自然数为A、B，由题意可得： 已知 可推出 所以这两个自然数分别是6和12。 【考点剖析】本题考查了倒数的认识以及异分母分数的加法的计算方法，熟记异分母分数加法的计算方法是解答本题的关键。 易错讲练4 分数的平均分 7．（24-25六年级上·重庆黔江·期末）÷3怎样算的呢？仔细观察图，结合情境想一想，再填空。 情境：把长为米的彩带平均分成3段，每段长为多少米？ （1）方法一：把6个平均分成（    ）份，每份是（    ）个，就是（    ）。 即：（米） （2）方法二：把平均分成3份，求每份是多少，也就是求的是多少。 即：（米） 【答案】（1）3；2；； 6；3； （2） ； 【思路引导】（1）方法一：根据分数单位的意义可知，表示6个。画图时，先画6个长方形，表示6个，再平均3份，每份就是2个。列式计算时，分母不变，分子6除以3即可。 （2）方法二：把平均分成3份，求每份是多少，也就是求的是多少。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可得解。 【规范解答】（1）方法一：把6个平均分成（3）份，每份是（2）个，就是（）。 即：（米） （2）方法二：把平均分成3份，求每份是多少，也就是求的是多少。 即：（米） 8．（24-25六年级上·浙江宁波·期末）想一想，填一填。 想：把平均分成6份，就是把30个平均分成6份，每份是（    ）； 想：把平均分成6份，每份就是的。 【答案】；； ；；； ；；5 【思路引导】想法一：根据分数单位的意义可知，里有30个；把平均分成6份，就是把30个平均分成6份，30÷6＝5，即是5个，也就是； 想法二：把平均分成6份，根据除法的意义列式为÷6，由分数除法的计算法则可知，÷6＝×，所以求每份就是求的。 【规范解答】想：把平均分成6份，就是把30个平均分成6份，每份是； 想：把平均分成6份，每份就是的。 易错讲练5 分数与整数的除法 9．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）王老师平时上班开车需要24分钟，下雪天，行驶速度比平时降低，这样路上大约要（    ）分钟。 A．18 B．19.2 C．30 D．32 【答案】D 【思路引导】把王老师上班的路程看作单位“1”，已知平时上班开车需要24分钟，根据“速度＝路程÷时间”，求出平时上班开车的速度； 已知下雪天的行驶速度比平时降低，把平时开车的速度看作单位“1”，则下雪天开车的速度是平时的（1－），单位“1”已知，用平时的速度乘（1－），求出下雪天开车的速度； 再根据“时间＝路程÷速度”求出下雪天在路上大约需要的时间。 【规范解答】平时开车的速度：1÷24＝ 下雪天开车的速度： ×（1－） ＝× ＝ 下雪天在路上的时间： 1÷ ＝1×32 ＝32（分钟） 这样路上大约要32分钟。 故答案为：D 10．（21-22六年级上·吉林·期末）一本书，小明第一天看了它的，第二天看了剩下的，还剩没有看；如果还有116页没看，这本书一共有（    ）页。 【答案】；261 【思路引导】（1）把这本书的总页数看作单位“1”，第一天看了它的，则还剩它的（1－），第二天看了剩下的，即看了（1－）的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出第二天看了这本书的几分之几； 再根据减法的意义，用“1”分别减去第一天、第二天看了这本书的分率，就是还剩这本书的几分之几没有看。 （2）由上一题可知，还剩下没有看，即没看的116页占这本书的，把这本书的总页数看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即可求出这本书的总页数。 【规范解答】（1）第二天看了这本书的： （1－）× ＝× ＝ 还剩： 1－－ ＝－ ＝－ ＝ 还剩没有看。 （2）116÷ ＝116× ＝261（页） 如果还有116页没看，这本书一共有261页。 【考点剖析】（1）根据分数乘法的意义求出第二天看了这本书的几分之几是解题的关键。 （2）本题考查分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。 易错讲练6 分数与分数的除法 11．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）下面问题中，所有能用解决的问题有（    ）。 ①小明回家，行了千米，已经行全程的，回家的路程是多少千米？ ②小明小时看了一本书的，他每小时看这本书的几分之几？ ③小明5分钟走了千米，那么6分钟走多少千米？ ④小明6分钟行了千米，那么5分钟行多少千米？ A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【思路引导】①回家的全程为单位“1”，已知全程的是千米，求回家的路程需要用除法，据此列式即可。 ②这本书的总页数为单位“1”，小明小时看了这本书的，那么他每小时看这本书的几分之几，就需要用分率除以所对应的时间，据此列式即可。 ③要想求出6分钟走多少千米，需要先求出1分钟走多少千米，再乘时间6分钟，据此列式即可。 ④要想求出5分钟走多少千米，需要先求出1分钟走多少千米，再乘时间5分钟，据此列式即可。 【规范解答】①全程为单位“1”，求回家的路程需要用除法，列式为，能用解决。 ②求每小时看这本书的几分之几，就需要用分率除以所对应的时间，列式为，能用解决。 ③需要先求出速度再乘时间6分钟，就可以求出6分钟走多少千米，列式为，不能用解决。 ④需要先求出速度再乘时间5分钟，就可以求出5分钟走多少千米，列式为，不能用解决。 所以能用解决的有①②。 故答案为：B 12．（20-21六年级上·贵州遵义·期中）修一条公路，甲队单独10天修完，乙队单独12天修完，丙队单独15天修完，现在三队合修，但中途甲队撤离到其他工地，结果一共用了6天把这条公路修完，修这条公路甲队工作了几天？ 【答案】1天 【思路引导】根据题意可知，工作总量为单位“1”，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，丙队的工作效率为，再根据“甲、乙、丙三队的工作效率和×天数＋乙、丙两队的工作效率和×（6－天数）＝1”，据此列方程解答即可。 【规范解答】解：设三队总共修了x天，乙、丙两队总共修了（6－x）天。 （＋＋）x＋（＋）（6－x）＝1 x＋（6－x）＝1 x＋－x＝1 x＝ x＝1； 答：修这条公路甲队工作了1天。 【考点剖析】明确单位“1”，进而确定甲队、乙队和丙队的工作效率，再根据工作总量、工作效率和工作时间的关系解答。 易错讲练7 被除数与商的大小关系（分数除法） 13．（24-25六年级上·山西长治·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )        ( ) ( )        ( ) 【答案】 ＞ ＞ ＜ ＝ 【思路引导】（1）一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大。 （2）乘法算式中，其中一个因数相同，另一个因数大的，积就大。 （3）一个数（0除外）除以大于1的数，商比原来的数小。 （4）根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把改写成，再比较。 【规范解答】（1），所以； （2），所以； （3），所以； （4）。 14．（24-25六年级上·湖北襄阳·期末）M所在的位置如图，是位置点是 ，是位置是点 。 【答案】 ③ ⑤ 【思路引导】将看作单位“1”，即的，根据分数的意义，分母表示平均分的份数，分子表示取走的份数，即可确定表示位置的点；除以一个数等于乘这个数的倒数，＝，即的，根据分数的意义，即可确定表示位置的点。 【规范解答】根据分析，是位置点是③，是位置是点⑤。 易错讲练8 分数的连除运算 15．（24-25六年级上·河南郑州·期末）“China“这个英文单词，据说其来源与“瓷器”有关。我国瓷器源起商代，东汉立形，经南北朝发展，唐有“南青北白”及唐三彩，宋以五大名窑领衔鼎盛，元有景德镇的青花瓷、釉里红独树一帜，明清制瓷登峰造极，外销海外，辉煌灿烂。如今，瓷器已经进入了寻常百姓家，成为人们日常生活里常见的物品。景德镇一个民窑一年生产瓷碗90万件，是瓷杯产量的，______。这个民窑一年生产多少万件瓷盘？横线上补充下面信息（    ），用算式解答。 A．瓷杯的产量是瓷盘产量的 B．瓷盘的产量是瓷杯产量的 C．瓷杯比瓷盘每年的产量多 D．瓷盘的产量比瓷杯多 【答案】A 【思路引导】把瓷杯产量看作单位“1”，瓷碗的产量是瓷杯的产量的，求单位“1”，用瓷碗的产量÷解答；根据算式可知，瓷盘的产量看作单位“1”，瓷杯的产量是瓷盘产量的，求单位“1”，用瓷杯的产量÷，即可求出瓷盘的产量，即90÷÷；据此解答。 【规范解答】根据分析可知，景德镇一个民窑一年生产瓷碗90万件，是瓷杯产量的，______。这个民窑一年生产多少万件瓷盘？横线上补充下面信息瓷杯的产量是瓷盘产量的，用算式90÷÷解答。 故答案为：A 16．（23-24六年级上·浙江嘉兴·期末）计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。                                        【答案】；16；5 ；；12 【思路引导】×÷，把除法换算成乘法，原式化为：××，再按照运算顺序，再进行计算； 16×＋16×，根据乘法分配律，原式化为：16×（＋），再进行计算； 36×（－），根据乘法分配律，原式化为：36×－36×，再进行计算； ÷÷，把除法换算成乘法，原式化为：××，再进行计算； 1÷[÷（＋）]，先计算小括号里的加法，再计算中括号里的除法，最后计算括号外的除法； 3.2×＋÷0.75，把小数化成分数，0.75＝，原式化为：3.2×＋÷，再把除法换算成乘法，原式化为：3.2×＋×，再根据乘法分配律，原式化为：×（3.2＋），再进行计算。 【规范解答】×÷ ＝×× ＝× ＝ 16×＋16× ＝16×（＋） ＝16×1 ＝16 36×（－） ＝36×－36× ＝33－28 ＝5 ÷÷ ＝×× ＝× ＝ 1÷[÷（＋）] ＝1÷[÷（＋）] ＝1÷[÷] ＝1÷[×] ＝1÷ ＝1× ＝ 3.2×＋÷0.75 ＝3.2×＋÷ ＝3.2×＋× ＝×（3.2＋） ＝×（3.2＋5.8） ＝×9 ＝12 易错讲练9 分数的乘、除法的混合运算 17．（24-25六年级上·河南郑州·期末）计算下列各题。 ①       ②        ③ ④        ⑤         ⑥ 【答案】①；②；③； ④；⑤；⑥6 【思路引导】①除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数，得，先约分再计算； ②按照运算顺序，先算除法，再算加法； ③按照运算顺序，先算除法，再算减法； ④除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数，得，先约分再计算； ⑤根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，分别相乘，再相加； ⑥除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数，得，根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c，先计算5.8＋3.2＝9，再与相乘。 【规范解答】① ＝ ＝ ② ＝ ＝ ＝ ③ ＝ ＝ ＝ ④ ＝ ＝ ⑤ ＝ ＝ ＝ ＝ ⑥ ＝ ＝ ＝ ＝6 18．（24-25六年级上·重庆黔江·期末）脱式计算，能简算的要简算。         34－34×              ×＋÷13     48×（＋）÷     （156×－26）× 【答案】；；17； ；51；16 【思路引导】（1）先把分数除法转化为分数乘法，再约分计算； （2）（3）利用乘法分配律简便计算； （4）先把分数除法转化为分数乘法，再利用乘法分配律简便计算； （5）先利用乘法分配律计算括号里面的，再计算括号外面的分数除法； （6）按照四则混合运算的顺序，先计算括号里面的分数乘法，再计算括号里面的减法，最后计算括号外面的分数乘法。 【规范解答】（1） ＝ ＝ ＝ （2）34－34× ＝34×（1－） ＝34× ＝ （3） ＝ ＝ ＝17 （4）×＋÷13 ＝×＋× ＝×（＋） ＝×1 ＝ （5）48×（＋）÷ ＝（48×＋48×）÷ ＝（28＋6）÷ ＝34÷ ＝34× ＝51 （6）（156×－26）× ＝（48－26）× ＝22× ＝16 易错讲练10 分数的四则混合运算 19．（24-25六年级下·重庆忠县·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。           46.7×0.82＋4.67×1.8            375＋625÷25                  【答案】47；46.7；10 400；1；116 【思路引导】（1）根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把36×（＋）变成36×＋36×进行简算。 （2）先根据积不变的规律把46.7×0.82＋4.67×1.8变成4.67×8.2＋4.67×1.8，按照乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把算式变成4.67×（8.2＋1.8）进行简算。 （3）先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成进行简算。 （4）先算除法，再算加法。 （5）先算小括号里面的减法，再算乘法，最后算除法。 （6）先算小括号里面的减法，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成进行简算。 【规范解答】（1）36×（＋） ＝36×＋36× ＝20＋27 ＝47 （2）46.7×0.82＋4.67×1.8 ＝4.67×8.2＋4.67×1.8 ＝4.67×（8.2＋1.8） ＝4.67×10 ＝46.7 （3） ＝ ＝ ＝ ＝10 （4）375＋625÷25 ＝375＋25 ＝400 （5） ＝ ＝35÷35 ＝1 （6） ＝ ＝ ＝ ＝128－12 ＝116 20．（24-25六年级上·山西长治·期末）某博物馆，有一群可爱的“红领巾讲解员”，他们参与周末红色研学志愿讲解活动，用动听的声音，热忱的服务，积极向来自五湖四海的游客宣讲着红色故事。截至目前，已建25个少先队校外实践教育基地，有102名红领巾讲解员参与校外场馆志愿讲解，比去年同期增长了，去年同期有（    ）名红领巾讲解员。 A．80 B．85 C．24 D．20 【答案】B 【思路引导】已知目前已有102名红领巾讲解员，比去年同期增长了，把去年同期红领巾讲解员的人数看作单位“1”，则目前已有红领巾讲解员是去年同期的（1＋），单位“1”未知，用目前已有红领巾讲解员的人数除以（1＋），求出去年同期红领巾讲解员的人数。 【规范解答】102÷（1＋） ＝102÷ ＝102× ＝85（名） 去年同期有85名红领巾讲解员。 故答案为：B 易错讲练11 分数除法相关的简便计算 21．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）怎样简便就怎样算。 ①               ② ③           ④ ⑤      ⑥ ⑦解方程： 【答案】①；②； ③6；④11； ⑤11；⑥； ⑦ 【思路引导】①先把分数除法改写成分数乘法，能约分的要先约分。先算可以简便一点。 ②先把0.24化成分数，再把分数除法改写成分数乘法，能约分的要先约分。 ③利用乘法分配律的逆运算进行简便计算。     ④先算4×7＝28，再利用乘法分配律进行简便计算。 ⑤根据除法与分数的关系，把5÷17改写为；再利用乘法分配律计算，最后根据加法交换律进行简算。       ⑥先根据除法的性质，把括号去掉；再根据除法与分数的关系，改写成分数除法，再计算。 ⑦利用等式的性质解方程，等式两边先除以，等式两边再加上1.5。 【规范解答】①            ② ③            ④ ＝7＋4 ＝11 ⑤ ＝1＋10 ＝11 ⑥ ＝ ＝ ＝ ＝ ⑦解方程： 解； 22．（24-25六年级上·安徽宣城·期末）下面各题怎样简便怎样算。                       【答案】； 24； 【思路引导】“”先计算小括号内的加法，再计算括号外的乘法； “”将除法写成乘法形式，再根据乘法分配律a×b＋a×c＝a×（b＋c）将提出来，再计算； “”先计算小括号内的乘法、加法，再计算括号外的除法； “”将2024写成2025减去1，再根据乘法分配律展开计算。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 易错讲练12 解分数方程 23．（24-25六年级上·山西长治·期末）某小学2024年一年级新生有420人，比2023年增加了，这所小学2023年一年级新生有多少人？ （1）下面哪幅图正确表达了题目的意思？请你在相应的括号里画“√”。 （2）请你列方程解决这个问题。 【答案】（1）见详解 （2）336人 【思路引导】（1）根据题意得：一年级新生420人，比2023年增加了，可将2023年一年级新生看作单位“1”，则2024年一年级新生为，即在图中表示为2023年为较短的线段，2024年为较长的线段且为420人，且比2023年长的部分是2023年的，据此可得出答案。 （2）列方程解决问题时，可设2023年新生有x人，则列出方程：2023年人数×＋2023年人数＝2024年人数，运用等式性质计算得出答案。 【规范解答】（1） （2）解：设2023年一年级新生有x人，可列出方程： 答：这所小学2023年一年级新生有336人。 24．（21-22六年级下·河南洛阳·期末）某水果店购进一批水果，第一天卖掉吨，第二天卖掉了剩下的，还剩下2吨，这批水果一共多少吨？ 【答案】6吨 【思路引导】方法1：把这批水果的总吨数设为未知数，等量关系式：这批水果的总吨数－第一天卖出的吨数－第二天卖出的吨数＝剩下的水果吨数； 方法2：把第一天卖完之后剩下的水果吨数看作单位“1”，第二天卖掉第一天剩下的，那么第二天卖完之后剩下的吨数占第一天剩下的（1－），第二天卖完之后剩下2吨，根据量÷对应的分率＝单位“1”求出第一天卖完之后剩下的水果吨数，最后加上第一天卖出的水果吨数求出这批水果的总吨数，据此解答。 【规范解答】方法1：解：设这批水果一共x吨。 x－－（x－）×＝2 x－－x＋×＝2 x－x－＋×＝2 x－＋＝2 x－（－）＝2 x－＝2 x＝2＋ x＝ x＝÷ x＝× x＝6 答：这批水果一共6吨。 方法2：2÷（1－）＋ ＝2÷＋ ＝2×＋ ＝＋ ＝6（吨） 答：这批水果一共6吨。 【考点剖析】分析题意找出题目中隐含的等量关系或者确定题目中的单位“1”并找出量和对应的分率是解答题目的关键。 易错讲练13 已知一个数的几分之几是多少，求这个数 25．（24-25六年级下·广东东莞·期末）亮亮的作业不小心沾上了墨水（如图），根据亮亮列的算式，被沾上墨水部分的信息是（    ）。 A．六（1）班收集的是六（2）班的。 B．六（2）班收集的是六（1）班的。 C．六（1）班收集的比六（2）班少。 D．六（2）班收集的比六（1）班少。 【答案】D 【思路引导】A、C的“1”是六（2）班收集的易拉罐数，“1”已知，求六（1）班收集的易拉罐数应该用乘法，A，C错误。B、D的“1”是六（1）班收集的易拉罐数，“1”未知，求六（1）班收集的易拉罐数应该用除法。对于B，六（1）班收集的易拉罐数应为（105÷），B错误。对于D，六（1）班收集的易拉罐数应为（105÷）个，D正确。 【规范解答】A．六（1）班收集的易拉罐数为（个），A错误。 B．六（1）班收集的易拉罐数为（个），B错误。 C．六（1）班收集的易拉罐数为＝＝63（个），C错误。 D．六（1）班收集的易拉罐数为（个），D正确。 故答案为：D 26．（23-24六年级上·全国·课后作业）《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？”题意：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的纳税，过中关时用所余米的纳税，经过内关时再用余米的纳税，最后还剩下5斗米。这个人原来背多少斗米出关？ 【答案】斗 【思路引导】将过内关时剩余米的斗数看作单位“1”，最后剩的米的斗数是过内关时剩余米的（1－），最后剩的米的斗数÷对应分率＝过内关时剩余米的斗数；再将过中关时剩余米的斗数看作单位“1”，过内关时剩余米的斗数是过中关时剩余米的（1－），过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝过中关时剩余米的斗数；最后将背的米的总斗数看作单位“1”，过中关时剩余米的斗数是背的米的总斗数的（1－），过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝背的米的总斗数，据此列式解答。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（斗） 答：这个人原来背斗米出关。 【考点剖析】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义，根据部分数量÷对应分率＝整体数量，列式解答。 易错讲练14 已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 27．（24-25六年级下·广西南宁·期末）神舟载人飞船是中国自行研制的用于天地往返运输人员和物资的载人航天器，达到或优于国际第三代载人飞船技术标准，具有完全自主知识产权及鲜明的中国特色。 请你算一算神舟十六号飞船重多少吨？（得数保留一位小数） 【答案】7.8吨 【思路引导】将神舟十六号飞船的质量看作单位“1”，已知神舟十八号飞船重8吨，比神舟十六号飞船重，即神舟十八号飞船的质量是神舟十六号飞船的（1＋），单位“1”未知，用神舟十八号飞船的质量除以（1＋），求出神舟十六号飞船的质量。 【规范解答】8÷（1＋） ＝8÷ ＝8× ≈7.8（吨） 答：神舟十六号飞船重7.8吨。 28．（24-25六年级下·山东济宁·期末）在千秋展厅，有唐三彩相关展品。唐三彩烧制技艺和广彩瓷烧制技艺都是国家级非物质文化遗产。广彩瓷的烧制温度大约是800摄氏度， ，唐三彩的烧制温度大约是多少摄氏度？解决这个问题列式为800÷（1－），那么横线上应该补充的条件是（    ）。 A．是唐三彩烧制温度的 B．比唐三彩的烧制温度高 C．比唐三彩的烧制温度低 D．唐三彩的烧制温度是广彩瓷烧制温度的 【答案】C 【思路引导】（1）把唐三彩的烧制温度看作单位“1”，广彩瓷的烧制温度是唐三彩烧制温度的，唐三彩的烧制温度＝广彩瓷的烧制温度÷； （2）把唐三彩的烧制温度看作单位“1”，广彩瓷的烧制温度比唐三彩的烧制温度高，唐三彩的烧制温度＝广彩瓷的烧制温度÷（1＋）； （3）把唐三彩的烧制温度看作单位“1”，广彩瓷的烧制温度比唐三彩的烧制温度低，唐三彩的烧制温度＝广彩瓷的烧制温度÷（1－）； （4）把广彩瓷的烧制温度看作单位“1”，唐三彩的烧制温度是广彩瓷烧制温度的，唐三彩的烧制温度＝广彩瓷的烧制温度×，据此解答。 【规范解答】A．800÷ ＝800×5 ＝4000（摄氏度） 所以，唐三彩的烧制温度大约是4000摄氏度。 B．800÷（1＋） ＝800÷ ＝800× ≈667（摄氏度） 所以，唐三彩的烧制温度大约是667摄氏度。 C．800÷（1－） ＝800÷ ＝800× ＝1000（摄氏度） 所以，唐三彩的烧制温度大约是1000摄氏度。 D．800×＝160（摄氏度） 所以，唐三彩的烧制温度大约是160摄氏度。 故答案为：C 易错讲练15 已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 29．（24-25六年级上·重庆黔江·期末）木雕至今已有7000多年的历史，是我国非物质文化遗产之一。振兴木雕厂接受一批雕刻任务，该任务由赵师傅和王师傅共同完成。赵师傅分到的雕刻任务是45个，王师傅的任务占总数的，那么这批雕刻任务数一共是多少个？ 【答案】120个 【思路引导】把任务的总数看作单位“1”，王师傅的任务占总数的，那么赵师傅分到的45个任务占任务总数的（1－），单位“1”未知，用赵师傅分到的雕刻任务数量除以（1－），求出这批雕刻任务总数。 【规范解答】45÷（1－） ＝45÷ ＝45× ＝120（个） 答：这批雕刻任务数一共是120个。 30．（23-24六年级下·浙江嘉兴·期末）小红骑车从甲地去乙地，小明步行从乙地去甲地，两人同时出发。当两人相遇时，小明走了全程的。相遇后两人继续前行，当小红到达乙地后，小明离甲地还有12千米。甲乙两地相距多少千米？ 【答案】18千米 【思路引导】把甲乙两地的距离看作单位“1”，小明走了全程的，则小红走了全程的1－＝，再用小明走的路程占全程的分率÷小红走的路程占全程的分率，即÷＝，求出小明走的路程是小红的几分之几；相遇后两人继续前行，当小红到达乙地后，说明小红又走了全程的，那么小明走了×＝，小明一共走了路程的（＋）；再用1减去小明走了的路程占全程的分率，求出剩下的路程占全程的分率，对应的是12千米，求单位“1”，用12÷剩下路程占全长的分率，即可解答。 【规范解答】÷（1－） ＝÷ ＝× ＝ 12÷（1－－×） ＝12÷（－） ＝12÷（－） ＝12÷ ＝12× ＝18（千米） 答：甲乙两地相距18千米。 【考点剖析】求出当小红到达乙地时，小明共走了全程的几分之几是解答本题的关键。 易错讲练16 运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 31．（24-25六年级上·湖北襄阳·期末）小红和小刚都是集邮爱好者，他们共有240枚邮票。如果小红拿出给小刚，这时两人的邮票数量就同样多。原来小红有（    ）枚邮票。（先将线段图补充完整，再解答） 【答案】150枚；图见详解 【思路引导】由于小红拿出给小刚，那么相当于把小红收集的邮票数量平均分成5份，取了其中的1份给小刚，此时小红剩下4份，小刚得到那一份就和小红一样多了，此时小刚也是4份，如果去掉小红给的那一份，小刚就有3份，据此画图；小刚原来有3份，相当于小红的，小红的邮票数量是单位“1”，小红邮票数量和小刚邮票数量和是小红的1＋，即一共有240枚，单位“1”是小红邮票数量，单位“1”未知，用除法，即240÷（1＋）据此即可求出小红的数量。 【规范解答】如下图所示： 240÷（1＋） ＝240÷ ＝240× ＝150（枚） 答：原来小红有150枚邮票。 32．（21-22六年级下·重庆九龙坡·期末）在某大坝截流时，用载重卡车将一堆石料运到围堰龙口，第一次运了这堆石料的少2万方，第二次运了剩下的多3万方，此时还剩下12万方未运，则这堆石料共有多少万方？ 【答案】42万方 【思路引导】方法一：把这堆石料的总方数设为未知数，用含有字母的式子表示出第一次和第二次运走的石料，等量关系式：这堆石料的总方数－第一次运走的方数－第二次运走的方数＝剩下石料的方数； 方法二：运用逆推还原的方法解答，先把第一次运走之后剩下的方数看作单位“1”，（12＋3）万方刚好占单位“1”的（1－），根据量÷对应的分率＝单位“1”求出第一次运走之后剩下的方数，再把这堆石料的总方数看作单位“1”，第一次运走之后剩下的方数减去2万方刚好占单位“1”的（1－），根据量÷对应的分率＝单位“1”求出这堆石料的总方数，据此解答。 【规范解答】方法一：解：设这堆石料共有x万方。 第一次运走的石料：（x－2）万方 第二次运走的石料：[x－（x－2）]×＋3 ＝[x－x＋2]×＋3 ＝[x＋2]×＋3 ＝x×＋2×＋3 ＝x＋1＋3 ＝（x＋4）万方 x－（x－2）－（x＋4）＝12 x－x＋2－x－4＝12 （x－x－x）－（4－2）＝12 x－2＝12 x＝12＋2 x＝14 x＝14÷ x＝14×3 x＝42 方法二： 第一次运走之后剩下的方数：（12＋3）÷（1－） ＝15÷ ＝15×2 ＝30（万方） 这堆石料的总方数：（30－2）÷（1－） ＝28÷ ＝28× ＝42（万方） 答：这堆石料共有42万方。 【考点剖析】用方程解答时准确表示出第一次运走的方数和第二次运走的方数，用逆推法还原时多就加，少就减，再除以1减分率的差，分步计算，求出最初的结果。 第四单元 比 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：比的意义 1.定义： 两个数相除又叫做两个数的比。 （1）例如：男生人数是女生人数的，我们可以说男生人数和女生人数的比是3比2。 2.各部分名称： （1）在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。 （2）比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 （3）形式：前项:后项 = 前项÷后项 = 比值 (比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示) （4）例如：3:2 = 3÷2 = (或1.5)，其中3是前项，2是后项， (或1.5)是比值。 3.比与分数、除法的联系与区别： 比 前项 比号 (:) 后项 (不能为0) 比值 (表示两个数的关系) 除法 被除数 除号 (÷) 除数 (不能为0) 商 (表示一种运算结果) 分数 分子 分数线 (-) 分母 (不能为0) 分数值 (表示一个数) 联系： (b ≠ 0) 区别： 比表示两个数量之间的关系；分数是一个数；除法是一种运算。 4.注意： （1）比的后项不能为0。(因为除数不能为0，分母不能为0) （2）比值是一个数，可以是整数、分数或小数。 知识点梳理02：比的基本性质 1.性质内容： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。字母表示：如果 a:b = k，那么 (a×m):(b×m) = k，(a÷m):(b÷m) = k (其中 m≠0)。 2.与商不变的性质、分数的基本性质的联系： 比的基本性质与商不变的性质、分数的基本性质在本质上是一致的。 知识点梳理03：化简比 1.定义： 把两个数的比化成最简单的整数比。 2.最简整数比的特征： 比的前项和后项都是整数，且它们的最大公因数是1（即互质数）。 3.化简方法： （1）整数比化简： 比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。 例如：12:18 = (12÷6):(18÷6) = 2:3 （2）分数比化简： 比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，转化成整数比，再进行化简；或者利用求比值的方法，前项除以后项，结果写成比的形式。 例如： = ( × 15) : ( × 15) = 10 : 12 = 5 : 6 或 = = = = 5:6 （3）小数比化简： 先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，转化成整数比，再进行化简。 例如：0.75:1.2 = (0.75×100):(1.2×100) = 75:120 = (75÷15):(120÷15) = 5:8 （4）带单位的比化简： 若单位不同，先统一单位，再化简。 例如：2小时:30分钟 = 120分钟:30分钟 = 120:30 = 4:1 知识点梳理04：求比值和化简比的区别 项目 求比值 化简比 意义 前项除以后项所得的商 把比化成最简单的整数比的过程 方法 前项÷后项 运用比的基本性质，或求比值的方法（结果需为比） 结果 是一个数（整数、分数、小数） 是一个比（前项、后项为互质的整数） 表示形式 可以是整数、分数、小数 必须是比的形式（如3:4，5/6 读作5比6） 例如： （1）求比值：4:5 = 4÷5 = 0.8 或 （2）化简比：①4:5 = 4:5 (已是最简比)； ②12:18 = 2:3 知识点梳理05：按比分配 1.意义： 把一个数量按照一定的比进行分配，这种分配方法叫做按比分配。 2.解题步骤： （1）方法一（归一法）： ①先求出总份数：前项 + 后项 = 总份数。 ②再求出每份是多少：总量 ÷ 总份数 = 每份数量。 ③最后求出各部分数量：每份数量 × 各部分对应的份数 = 各部分数量。 （2）方法二（分数法）： ①先求出总份数：前项 + 后项 = 总份数。 ②再求出各部分数量占总量的几分之几： a：部分量1占总量的分率 = b：部分量2占总量的分率 = ③最后求出各部分数量：总量 × 各部分对应的分率 = 各部分数量。 知识点梳理06：易错点提示 1.混淆“比”和“比值”： 比是表示两个数的关系，有前项和后项；比值是一个数。 2.比的后项为0： 尤其是在体育比赛中记分，如“3:0”，这只是一种计分形式，不表示数学意义上的比。 3.化简比不彻底： 没有将前项和后项除以它们的最大公因数，得到的不是最简整数比。 4.运用比的基本性质时，忘记“0除外”。 5.求比值和化简比的方法混淆，结果形式写错。 6.按比分配时： （1）审题不清，弄错部分量与总数量的对应关系。 （2）计算时，总份数找错，或各部分对应的份数找错。 （3）结果忘记带单位名称（在解决实际问题时）。 【优选真题 易错讲练】8个考点 共16题 易错讲练1 比的意义 1．（24-25六年级上·河北衡水·期末）将甲班人数调到乙班后，两班的人数相等，则甲、乙两班原来的人数比是（    ）。 A．1∶1 B．5∶3 C．5∶4 【答案】B 【思路引导】将甲班人数看作单位“1”，将甲班人数调到乙班后，两班的人数相等，说明甲班人数比乙班人数多了甲班人数的×2，乙班人数是甲班人数的（1－×2），两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出甲、乙两班原来的人数对应分率的比，化简即可。 【规范解答】1∶（1－×2） ＝1∶（1－） ＝1∶ ＝（1×5）∶（×5） ＝5∶3 甲、乙两班原来的人数比是5∶3。 故答案为：B 2．（24-25六年级下·贵州六盘水·期末）“茶倒七分满”是我国的传统礼仪，是指给客人倒茶时茶水的体积与杯子的容积的比是7∶10，根据倒茶礼仪，倒入茶水后，没装茶水的部分占整个杯子的( )（填分数），请在图中画出茶水水面的位置。 【答案】；见详解 【思路引导】根据题意，茶水的体积与杯子的容积的比是7∶10，即茶水的体积是杯子容积的。将杯子容积看作单位“1”，用单位“1”减去，求出没装茶水的部分占整个杯子的几分之几。从下往上数，在杯子的第7小格处，画出茶水水面的位置。 【规范解答】1－＝ 所以，倒入茶水后，没装茶水的部分占整个杯子的。 茶水位置如图： 3．（22-23六年级上·河南南阳·期末）加工一批零件，师傅单独加工15天完成，徒弟每天能加工30个。现在先由师傅单独加工3天，然后两人共同加工，完成任务时，师徒加工零件个数的比是3∶2。这批零件一共有多少个？ 【答案】450个 【思路引导】将零件总个数看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，根据完成任务时，师徒加工零件个数的比是3∶2，师傅完成总个数的，徒弟完成总个数的，根据工作总量÷工作效率＝工作时间，求出师傅加工总天数，师傅加工总天数－师傅单独加工的天数＝两人合作天数，即徒弟加工天数，徒弟每天加工个数×徒弟加工天数＝徒弟加工个数，徒弟加工个数÷对应分率＝零件总个数，据此列式解答。 【规范解答】（天） 9－3＝6（天） 30×6÷ ＝180÷ ＝180× ＝450（个） 答：这批零件一共有450个。 【考点剖析】关键是确定单位“1”，理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系，部分数量÷对应分率＝整体数量。 易错讲练2 比的读法、写法及各部分的名称 4．（21-22六年级上·湖南娄底·期末）将比化简后是( )，化简后的比读作( )。 【答案】 3∶10 3比10 【思路引导】比也可写为6∶20，化简比根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变，据此化简；再根据比的读法读出化简后的比即可。 【规范解答】 ＝6∶20 ＝（6÷2）∶（20÷2） ＝3∶10 将比化简后是3∶10，化简后的比读作3比10。 【考点剖析】此题主要考查了化简比的方法和比的读法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数。 5．（19-20六年级上·河南商丘·期末）在5∶7中，5是比的( )，7是比的( )，比值是( )。若5变成15，要使比值不变，7应变成( )。 【答案】 前项 后项 21 【思路引导】（1）在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，比的前项除以比后项所得的商叫做比值； （2）计算比的前项变成15时扩大的倍数，根据比的基本性质比的后项扩大相同的倍数，求出比的后项即可。 【规范解答】（1）在5∶7中，5是比的前项，7是比的后项，比值是； （2）15÷5×7 ＝3×7 ＝21 所以，比的后项应变成21。 【考点剖析】掌握比的各部分名称和比的基本性质是解答题目的关键。 6．（23-24六年级上·广西玉林·期末）既可以看作分数，也可以看成一个比。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】由分数、除法与比的关系可知，两个数的比也可以写成分数形式，据此解答。 【规范解答】＝8÷7＝8∶7，则既可以看作分数，也可以看成一个比。 故答案为：√ 【考点剖析】a∶b（b≠0）也可以写成，仍读作“a比b”。 易错讲练3 比与分数、除法的关系 7．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）二十四节气中的“夏至”是一年中白昼最长的一天。2024年6月21日是“夏至”，这一天湘西地区白昼时长的等于黑夜时长的，那么白昼和黑夜的时长比是（    ）。 A．5∶7 B．7∶5 C．7∶25 D．25∶7 【答案】B 【思路引导】已知白昼时长的等于黑夜时长的，即×白昼时长＝×黑夜时长。等式可以变为白昼时长＝×黑夜时长÷，然后等式的两边同时除以“黑夜时长”，即变为白昼时长÷黑夜时长＝÷，然后根据比与除法的关系化成比后再化简成整数比即可。 【规范解答】×白昼时长＝×黑夜时长 白昼时长＝×黑夜时长÷ 白昼时长÷黑夜时长＝÷ 白昼时长∶黑夜时长＝∶ ∶ ＝（×25）∶（×25） ＝7∶5 白昼和黑夜的时长比是7∶5。 故答案为：B 8．（24-25六年级上·浙江绍兴·期末）（    ）∶8＝＝＝62.5%＝（    ）（填小数）。 【答案】5；24；25；0.625 【思路引导】题中已知62.5%，需要利用百分数与分数、比、小数的转化规则，分别求出比的前项、分数的分子等。 百分数化分数，先把百分数写成分母是100的分数再化简； 百分数化小数，去掉百分号，小数点向左移动两位； 比与分数的关系是a∶b＝（b≠0），再根据分数的基本性质“分子分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变”进行计算。 【规范解答】根据分析： 将62.5%转化为小数，62.5%＝0.625； （    ）∶8＝62.5%，即（   ）÷8＝0.625，0.625×8＝5； 62.5%＝0.625＝，＝； ＝； 5∶8＝＝＝62.5%＝0.625 9．（21-22六年级上·山西忻州·期末）一方有难，八方支援，近来西安疫情也是受到四面八方支援。秦晋之好。绵延千年，抗击疫情，让我们认识了真正的英雄。他们有“遥知百战胜，定扫鬼方还”的决绝，他们有“谓我不愧君，青鸟明丹心”的赤诚，他们有“驰驱一世豪杰，相与济时艰”的担当，山西省医护工作队720人，咸阳市医护工作队560人，星夜兼程，支援西安疫情防控。从山西省调出几人到咸阳市医护工作队，才能使两工作队人数的比达到2∶3？ 【答案】208人 【思路引导】根据题意，设从山西省调出人到咸阳市医护工作队，使两工作队人数的比达到2∶3，即咸阳市医护工作队的人数是山西省的，由此得出等量关系：原来咸阳市医护工作队的人数＋调进的人数＝（原来山西省医护工作队的人数－调出的人数）×，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设从山西省调出人到咸阳市医护工作队，才能使两工作队人数的比达到2∶3。 560＋＝（720－）× 560＋＝1080－1.5 ＋1.5＝1080－560 2.5＝520 ＝520÷2.5 ＝208 答：从山西省调出208人到咸阳市医护工作队，才能使两工作队人数的比达到2∶3。 【考点剖析】本题考查列方程解决问题，将比转化成分数，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。 易错讲练4 比的基本性质 10．（23-24六年级下·甘肃临夏·期末）一个比的前项是8，如果前项增加16，要使比值不变，后项应该（    ）。 A．增加16 B．乘2 C．除以 D．增加24 【答案】C 【思路引导】原来比的前项是8，前项增加16后，前项变为8＋16＝24。24÷8＝3，即前项乘3。比的基本性质是比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。因为前项乘3，要使比值不变，后项也应该乘3，也就是后项除以。 【规范解答】8＋16＝24 24÷8＝3 除以一个数等于乘它的倒数，3的倒数是，所以后项应该除以。 故答案为：C 11．（24-25六年级上·湖南长沙·期末）30分钟∶2.5小时＝( )∶100，化成最简整数比是( )，比值是( )。 【答案】 20 1∶5 0.2 【思路引导】先统一单位，然后根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变；用比的前项除以比的后项所得的商即为比值，据此解答即可。 【规范解答】30分钟∶2.5小时 ＝30分钟∶150分钟 ＝（30÷30）∶（150÷30） ＝1∶5 1∶5＝20∶100 1∶5 ＝1÷5 ＝0.2 30分钟∶2.5小时＝20∶100，化成最简整数比是1∶5，比值是0.2。 12．（22-23六年级上·福建漳州·期中）已知甲∶乙＝3∶4，乙∶丙＝3∶2，那么甲、乙、丙三个数的大小关系是（    ）。 A．甲＞乙＞丙 B．丙＞乙＞甲 C．乙＞甲＞丙 D．甲＝乙＝丙 【答案】C 【思路引导】已知甲和乙的比，乙和丙的比，要求得甲、乙、丙三个数的大小关系，可以先求得它们的连比；因为：甲∶乙＝3∶4；乙∶丙＝3∶2，可以以乙为中间量，先求得3和4的最小公倍数是12，再根据比的性质，把每个比的前项、后项，分别扩大到原来的几倍，使甲和乙的比的后项为12，乙和丙的比的前项为12，求得三个数的连比，进而解答。 【规范解答】3和4的最小公倍数是12； 则甲∶乙＝3∶4＝9∶12 乙∶丙＝3∶2＝12∶8 甲∶乙∶丙＝9∶12∶8； 三个数的大小关系为：乙＞甲＞丙。 已知甲∶乙＝3∶4，乙∶丙＝3∶2，那么甲、乙、丙三个数的大小关系是乙＞甲＞丙。 故答案为：C 【考点剖析】“连比”是两个以上的部分量的连续相比，它反映了各部分所占分数与总份数之间的关系，因此，本题可以利用连比来确定三个数的大小。 易错讲练5 比的化简 13．（24-25六年级下·江西赣州·期末）手工课上，一张长方形卡纸被分成①②两部分（单位：cm），如下图所示。②的周长是( )cm，①和②的面积比是( )。 【答案】 6＋2a 3∶2 【思路引导】由图可知，图②是长方形，长3cm，宽acm，根据“长方形周长＝（长＋宽）×2”计算出该图形的周长； 由图可知，图①是长方形，长4.5cm，宽acm，根据“长方形面积＝长×宽”分别计算出①和②的面积，写出对应的比，再根据比的基本性质，前项和后项同时除以1.5a，将其化简为最简单的整数比。 【规范解答】（3＋a）×2 ＝3×2＋2a ＝（6＋2a）cm 所以②的周长是（6＋2a）cm； 4.5a∶3a ＝（4.5a÷1.5a）∶（3a÷1.5a） ＝3∶2 因此，①和②的面积比是3∶2。 14．（24-25六年级上·湖南怀化·期末）《庄子·天下篇》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是一根一尺长的木棒，第一天截取它长度的一半，以后每天都截取它前一天长度的一半，那么将永远也截取不完。如果按照这种截取方法，那么第三天截取后，剩余的木棒长度与截取掉的木棒长度之比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】把这根木棒的长度看作单位“1”，第一天截取它长度的一半，以后每天都截取它前一天长度的一半，所以第一天截取了，还剩下1－＝；第二天截取了的，即，还剩下－＝；第三天截取了的，即，此时还剩下－＝；那么第三天截取后，一共截取掉的是（1－），根据比的意义得出剩余的木棒长度与截取掉的木棒长度之比，并化简比。 【规范解答】第一天截取了：1×＝ 还剩下：1－＝ 第二天截取了：×＝ 还剩下：－＝－＝ 第三天截取了：×＝ 还剩下：－＝－＝ ∶（1－） ＝∶ ＝（×8）∶（×8） ＝1∶7 那么第三天截取后，剩余的木棒长度与截取掉的木棒长度之比是1∶7。 故答案为：C 15．（21-22六年级下·天津南开·期末）客、货两车分别从A、B两地同时出发相向而行，客、货两车的速度比是4∶3，相遇后，客车的速度减少20%，货车的速度增加，这样，当客车到达B地时，货车离A地还有25千米，A、B两地相距多少千米？ 【答案】700千米 【思路引导】客、货两车的速度比是4∶3，可将客、货车速度分别看作4、3，则相遇后客车速度为4－4×20%，火车速度为3＋3×，根据比的基本性质：比的前项、后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变，得出相遇后客、货车的速度比。根据按比分配的原则，当客车到达B地时，货车离A地还有25千米，则此时客车行驶路程－货车行驶路程＝25千米，运用路程差÷速度差＝路程总长，据此可得出答案。 【规范解答】根据题意，相遇后客车和货车的速度比是： （4－4×20%）：（3＋3×） ＝3.2∶4 ＝4∶5 25÷（） ＝25÷（） ＝25÷（） ＝25÷ ＝25×28 ＝700（千米） 答：A、B两地相距700千米。 【考点剖析】本题主要考查的是相遇问题及比的应用，解题的关键是得出相遇后的速度比，运用相遇问题相关知识点得出答案。 易错讲练6 求比值 16．（24-25六年级上·福建龙岩·期末）的最简整数比是( )；的比值是( )。 【答案】 2∶7 【思路引导】根据比的基本性质，将前项和后项同时乘7，再同时除以2将其化简为最简单的整数比； 用比的前项除以后项即可计算出比值。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 因此，的最简整数比是2∶7；的比值是。 17．（24-25六年级上·浙江绍兴·期末）根据下图，下列结论错误的是（    ）。 A．甲是乙的。 B．甲比乙多。 C．乙比甲少。 D．乙与甲的比值是。 【答案】C 【思路引导】由图可知，甲的长度为5份，乙的长度为4份，且每份的长度都相等，根据分数与除法的关系，比与分数、除法的关系分析各选项，进而确定符合题意答案。 【规范解答】A．甲是5份，乙是4份，所以甲是乙的5÷4＝，该选项正确。 B．甲比乙多的份数为5－4＝1份，所以甲比乙多1÷4＝，该选项正确。 C．乙比甲少的份数为5－4＝1份，所以乙比甲少1÷5＝，而不是，该选项错误。 D．乙与甲的比为4∶5，比值为4∶5＝4÷5＝，该选项正确。 所以结论错误的是选项C中的说法。 故答案为：C 18．（24-25六年级上·重庆江北·期末）把“7.8千克∶0.26千克”化简为最简整数比是( )，比值是( )。 【答案】 30∶1 30 【思路引导】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。 用比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值。根据比值的意义，用最简比的前项除以比的后项即得比值。 【规范解答】7.8千克∶0.26千克 ＝（7.8÷0.26）∶（0.26÷0.26） ＝30：1 30∶1 ＝30÷1 ＝30 填空如下： 把“7.8千克∶0.26千克”化简为最简整数比是（30∶1），比值是（30）。 易错讲练7 按比分配问题 19．（24-25六年级上·湖南永州·期末）欢欢、乐乐和迎迎三家一起到饭店用餐，一共用去750元，家长们决定按照每家人数比分摊餐费。求三家各应付多少元？ 【答案】欢欢家：250元；乐乐家：200元；迎迎家：300元 【思路引导】欢欢家有5口人，乐乐家有4口人，迎迎家有6口人，所以三家的人数比为5∶4∶6。总份数为5＋4＋6＝15份。一共用去750元，那么每份的金额是750÷15＝50元，用50乘5可得出欢欢家应付的餐费；用50乘4可得出乐乐家应付的餐费；用50乘6可得出迎迎家应付的餐费。 【规范解答】三家的人数比为5∶4∶6。 5＋4＋6＝15（份） 750÷15＝50（元） 50×5＝250（元） 50×4＝200（元） 50×6＝300（元） 答：欢欢家应付250元，乐乐家应付200元，迎迎家应付300元。 20．（24-25六年级上·福建龙岩·期末）为了预防传染疾病，我们要做好日常消毒工作。消毒液和水按1∶29的比配制成稀释液。 （1）要配制600毫升的稀释液，需要多少毫升的消毒液？ （2）如果在600毫升的稀释液中倒入5毫升消毒液和145毫升水。明明说：“稀释液的浓度没有发生变化”，他说对了吗？请说明理由。 【答案】 （1）20毫升 （2）对；理由见详解 【思路引导】（1）已知消毒液和水的比是1∶29，那么稀释液总共的份数是1＋29＝30份。要配制600毫升的稀释液，每份的体积是600÷30＝20毫升。消毒液占1份，所以需要的消毒液体积是20×1＝20毫升。 （2）原来稀释液中消毒液和水的比例是1∶29，倒入5毫升消毒液和145毫升水后，消毒液的总体积是20＋5＝25毫升，水的总体积是600－20＋145＝725毫升。此时消毒液和水的比例为25∶725，根据比的基本性质，两边同时除以25，得到1∶29，和原来的比相同。据此解答。 【规范解答】（1）600÷（1＋29） ＝600÷30 ＝20（毫升） 20×1＝20（毫升） 答：需要20毫升的消毒液。 （2）（20＋5）∶（600－20＋145） ＝25∶（580＋145） ＝25∶725 ＝（25÷25）∶（725÷25） ＝1∶29 答：明明说对了，因为倒入后消毒液和水的比仍为1∶29，浓度不变。 21．（23-24六年级上·湖北省直辖县级单位·期末）请根据阅读材料中的信息解决问题： “楚韵虾乡▪奔跑潜江”，中国虾谷▪2023潜江返湾湖湿地马拉松于11月19日8时在潜江返湾湖莫岭广场鸣枪开跑，10196名跑者参与了这场“最美湿地赛道”上的全程马拉松、半程马拉松、健康跑等项目的比拼。园林小学张老师就参加了全程马拉松比赛，他一路坚持，当他跑到了“距离终点还有15千米”的提示牌处时，他已跑完了全程的，真是太了不起了！ 此次潜江返湾湖湿地马拉松一经上线就热度不减，三个项目都有大量长跑爱好者踊跃参与。此次参加全程马拉松的有2000人，半程马拉松3000人，健康跑5000人。已知全程马拉松男女比例为3∶1，半程马拉松男女比例为7∶3，健康跑男女比例为12∶13。 整个赛事以返湾湖运动主题公园为起终点，穿过风景如画、烟波浩渺的返湾湖湿地公园，途经莫岭大道、彩虹栈桥等，让跑友们近距离感受“云梦缩影、观鸟天堂”的湖光之美、绿色之美、生态之美。沿途观众如潮、热情似火。 (1)在起点处，有一个长100米、宽5米的长方形观看场地。比赛开始时，场地上挤满了观众。最有可能的观众人数约是（    ）人。 A．200 B．500 C．2000 D．20000 (2)这次潜江马拉松比赛的全程是多少千米？（列方程解答） (3)参加这次潜江马拉松比赛的总人数的男女人数之比是多少？ 【答案】(1)C (2)42千米 (3)3∶2 【思路引导】（1）1平方米大约能站4个成年人，根据长方形面积＝长×宽，求出观看场地的面积，观看场地的面积×1平方米站的人数＝观众人数，据此分析。 （2）将全程看作单位“1”，张老师跑道提示牌处，跑完了全程的，全程×跑完的对应分率＝跑完的距离，设全程是x千米，根据全程－跑完的距离＝还剩的距离，列出方程解答即可。 （3）将比的前后项看成份数，全程总人数÷总份数，求出一份数，一份数分别乘男女对应份数，求出全程男女人数；半程总人数÷总份数，求出一份数，一份数分别乘男女对应份数，求出半程男女人数；健康跑总人数÷总份数，求出一份数，一份数分别乘男女对应份数，求出健康跑男女人数。 两数相除又叫两个数的比，分别求出男女总人数，写出总人数的男女人数之比，根据比的基本性质，化简即可。比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 【规范解答】（1）100×5×4 ＝500×4 ＝2000（人） 最有可能的观众人数约是2000人。 故答案为：C （2）解：设这次潜江马拉松比赛的全程是x千米。 x－x＝15 x＝15 x÷＝15÷ x＝15× x＝42 答：这次潜江马拉松比赛的全程是42千米。 （3）全程：2000÷（3＋1） ＝2000÷4 ＝500（人） 男：500×3＝1500（人） 女：500×1＝500（人） 半程：3000÷（7＋3） ＝3000÷10 ＝300（人） 男：300×7＝2100（人） 女：300×3＝900（人） 健康跑：5000÷（12＋13） ＝5000÷25 ＝200（人） 男：200×12＝2400（人） 女：200×13＝2600（人） （1500＋2100＋2400）∶（500＋900＋2600） ＝6000∶4000 ＝（6000÷2000）∶（4000÷2000） ＝3∶2 答：参加这次潜江马拉松比赛的总人数的男女人数之比是3∶2。 【考点剖析】关键是具有一定的生活经验，理解分数乘法和比的意义，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 易错讲练8 比的应用 22．（24-25六年级下·河南南阳·期末）仓库里有一批粮食要运出。第一天运出了总数的，第二天运出了200吨，这时已经运出的和没有运出的比是。这批粮食共有多少吨？ 【答案】750 【思路引导】根据题意可知，把粮食的总数看作单位“1”，已知已经运出的和没有运出的比是3∶2，则两天运出的数量是总数的；则用－即可求出第二天运出了总数的几分之几；根据分数除法的意义，用第二天运出的量除以第二天所占分率即可求出粮食的总数。 【规范解答】 （吨） 答：这批粮食共有750吨。 23．（24-25六年级上·湖北襄阳·期末）《种太阳》儿歌道出儿童及全人类对阳光、温暖与无尽能量的渴望。如今，中国科学家让其照进现实，“种下”人造太阳——东方超环（EAST），即全超导托卡马克核聚变实验装置，成为探寻未来高效清洁能源的重要路径。在聚变反应中所需要的原料有氢、氘（dāo）和氚（chuān），这三种原料的比是25∶49∶51，如果有1000克原料，这三种原料分别是多少克？ 【答案】氢200克；氘392克；氚是408克 【思路引导】由题意可知，这三种原料的比是25∶49∶51，则这三种原料一共有（25＋49＋51）份，根据原料的总质量求出比中每份的量，最后乘它们各自对应的份数，据此解答。 【规范解答】1000÷（25＋49＋51） ＝1000÷125 ＝8（克） 氢：8×25＝200（克） 氘：8×49＝392（克） 氚：8×51＝408（克） 答：氢是200克，氘是392克，氚是408克。 24．（23-24六年级上·湖南张家界·期末）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向开往对方出发地。已知甲车和乙车速度的比是5∶3，经过1.5小时两车相遇，相遇时甲车还剩全程的。两车在相遇后继续前行，当乙车行到全程的时，甲车距离B地还有34千米，AB两地相距（    ）千米。 【答案】；204 【思路引导】已知甲车和乙车的速度比是5∶3，那么在相同的时间内，它们行驶的路程比是5∶3；把AB两地的距离看到单位“1”，则相遇时，甲车行驶了全程的，用1－，即可求出相遇时甲车还剩全程的几分之几； 在相同的时间内，甲车和乙车行驶的路程比是5∶3，则甲车行驶的路程是乙车的，当乙车行到全程的时，甲车行了全程的×，把两地的全长看作单位“1”，则甲车距离B地还有（1－×），对应的甲车距离B地还有34千米，求单位“1”，用34÷（1－×），即可解答。 【规范解答】1－ ＝1－ ＝ 34÷（1－×） ＝34÷（1－） ＝34÷ ＝34×6 ＝204（千米） 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向开往对方出发地。已知甲车和乙车速度的比是5∶3，经过1.5小时两车相遇，相遇时甲车还剩全程的。两车在相遇后继续前行，当乙车行到全程的时，甲车距离B地还有34千米，AB两地相距206千米。 【考点剖析】本题主要是要清楚，相同时间内，速度比等于路程比，同时要找清楚甲车走的路程是乙车的几分之几。 第五单元 圆 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：圆的认识 1.圆的定义： 一条线段绕着它固定的一个端点在平面上旋转一周，另一个端点所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的点叫做圆心。 2.圆的各部分名称及特征： （1）圆心 (O)： 圆中心的一点，它决定圆的位置。 （2）半径 (r)： 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。 ①一个圆有无数条半径。 ②在同圆或等圆中，所有半径的长度都相等。 ③半径决定圆的大小。 （3）直径 (d)： 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。 ①一个圆有无数条直径。 ②在同圆或等圆中，所有直径的长度都相等。 （4）半径与直径的关系： 在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，即 或 。 3.圆的对称性： （1）圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。 （2）每条对称轴都是直径所在的直线。 知识点梳理02：用圆规画圆 1.画圆步骤： （1）定圆心：把圆规的两脚分开，有针尖的一脚固定在一点上，这个点就是圆心。 （2）定半径：根据所画圆的大小，调整圆规两脚之间的距离，这个距离就是半径。 （3）旋转一周：把装有铅笔尖的一脚绕圆心旋转一周，就画出一个圆。 2.注意事项： （1）画圆时，圆规两脚之间的距离不能改变。 （2）针尖要固定好，不能移动。 （3）旋转时要平稳，用力均匀。 知识点梳理03：圆的周长 1.圆的周长 (C) 的意义： 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2.圆周率 (π)： （1）任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母 π (pài) 表示。 （2）π是一个无限不循环小数，π ≈ 3.1415926535...，在小学阶段的计算中，通常取 π ≈ 3.14。 3.圆的周长计算公式： （1）已知直径 (d)，求周长： （2）已知半径 (r)，求周长： 4.半圆的周长： 半圆的周长等于圆周长的一半加上一条直径。 （1） 或 5.圆的周长公式的应用： （1）已知周长求直径： （2）已知周长求半径： 知识点梳理04：圆的面积 1.圆的面积 (S) 的意义： 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 2.圆的面积计算公式的推导： 通常采用“转化”的方法，将圆等分成若干个小扇形，然后拼成一个近似的长方形。这个长方形的长近似于圆周长的一半 ()，宽近似于圆的半径 (r)。因为长方形的面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 。 3.圆的面积计算公式： 4.圆的面积公式的应用： （1）已知半径求面积： （2）已知直径求面积：先求半径 ，再用 （3）已知周长求面积：先求半径 ，再用 5.环形（圆环）的面积： 环形面积 = 外圆面积 - 内圆面积。 （1）设外圆半径为 R，内圆半径为 r，则 知识点梳理05：扇形的认识 1.扇形的定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 2.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角（如∠AOB）。扇形的大小与圆心角的大小和半径的长短有关。 3.扇形的各部分名称：半径（两条）、弧（一条曲线）、圆心角。 4.特殊扇形： （1）圆心角是180°的扇形是一个半圆。 （2）圆心角是90°的扇形是一个四分之一圆。 知识点梳理06：圆的知识的实际应用 1.解决与圆的周长有关的实际问题：车轮滚动一周前进的路程（车轮周长）、围绕圆形花坛跑一圈的长度、钟面上时针/分针尖端走过的路程等。 2.解决与圆的面积有关的实际问题：圆形草坪的占地面积、圆形铁片的面积、给圆形桌面配玻璃等。 3.组合图形的周长与面积： （1）周长： 注意区分是哪些边的长度之和，特别是组合图形中“内边”是否计算。 （2）面积： 通常采用“割补法”或“加减法”，将组合图形转化为基本图形（如圆、长方形、正方形、三角形等）的面积之和或差。例如：求“外方内圆”、“外圆内方”中正方形与圆之间部分的面积。 知识点梳理07：易错点提示 1.概念混淆： 半径和直径的概念及关系（易忽略“同圆或等圆中”）；周长和面积的概念（一个是长度，一个是面积）。 2.圆周率 (π) 的取值： 计算时要明确题目要求，π取3.14还是保留π。 3.公式运用错误： 周长和面积公式混淆；已知直径或周长求面积时，忘记先求半径。 4.半圆周长与圆周长一半的区别： 半圆周长包括直径，圆周长的一半不包括直径。 5.单位问题： 长度单位（如厘米、米）和面积单位（如平方厘米、平方米）的区分和正确使用。 6.计算粗心： 涉及π的计算较繁琐，容易出错；平方的计算（如 是 r × r，不是 r × 2）。 7.环形面积计算： 容易写成 ，正确应为 。 8.审题不清： 如“占地面积”是求面积，“走了多少米”是求周长；“半圆”和“半圆形”在具体问题中的含义。 【优选真题 易错讲练】14个考点 共28题 易错讲练1 圆的周长 1．（24-25六年级上·湖南岳阳·期末）小明将一个圆形的纸卡片沿直尺的边滚动了一周（如图）这个圆的直径大约是( )厘米。（结果保留整厘米数） 【答案】3 【思路引导】圆形纸卡片沿直尺滚动一周，滚动的距离就是圆的周长。从图中直尺刻度可知，滚动前圆与直尺接触点大概在0厘米处，滚动后大概在9.4厘米处，所以圆的周长C≈9.4厘米。 圆的周长公式为C＝πd，变形可得d＝C÷π。把C≈9.4厘米，π≈3.14代入公式，算出结果（得数保留整数）。 【规范解答】由图可知：C≈9.4厘米 d＝C÷π ＝9.4÷3.14 ≈2.99 ≈3（厘米） 这个圆的直径大约是3厘米。 2．（24-25六年级上·湖北襄阳·期末）下图是王林在研究圆的面积计算公式时用的方法，此时近似梯形的上底与下底的和相当于圆的（    ）。 A．半径 B．直径 C．周长 D．周长的 【答案】D 【思路引导】右侧梯形中所有阴影三角形的底边长之和可看作所拼成梯形的上底与下底之和，而左侧圆形中阴影三角形边长对应圆的边长的一半，据此解答即可。 【规范解答】由右侧梯形图可知，梯形上底由3个阴影三角形的底边组成， 梯形下底由5个阴影三角形的底边组成， 由左侧圆形又知，圆周长的一半由8个阴影三角形的底边组成， 即此时近似梯形的上底与下底的和相当于圆的周长的。 故答案为：D 易错讲练2 半圆的周长 3．（24-25六年级上·重庆巴南·期末）要在一个长方形的纸片上剪出一个周长是的半圆，则这张长方形纸片的面积至少是（    ）。 A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【思路引导】根据半圆的周长公式：周长＝半径×π＋半径×2；半径＝周长÷（π＋2），代入数据，求出据半径，因为长方形的纸片上剪半圆，所以长方形的长等于圆的直径；长方形的宽至少等于圆的半径，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，求出长方形纸片的面积，据此解答。 【规范解答】15.42÷（3.14＋2） ＝15.42÷5.14 ＝3（cm） （3×2）×3 ＝6×3 ＝18（cm2） 要在一个长方形的纸片上剪出一个周长是15.42cm的半圆，则这张长方形纸片的面积至少是18cm2。 故答案为：B 4．（24-25六年级上·浙江宁波·期末）图1是一个半径为50米的半圆形花坛，李爷爷习惯饭后绕着它的周边匀速散步。李爷爷从O点出发，按箭头所指的方向步行，最后回到出发点。他步行过程中距离与时间的关系如图2所示。 （1）李爷爷绕半圆形花坛散步一圈需要多少米？ （2）观察图2，请你计算李爷爷散步的速度？ （3）如果李爷爷只在散步途中休息了一次，请看图分析，在图1上用“☆”标出休息的位置。 【答案】（1）257米 （2）50米/分 （3）图见详解 【思路引导】（1）根据题意和图意可知，求李爷爷绕半圆形花坛散步一圈的长度，就是求半圆的周长；根据半圆的周长＝直径＋圆周长的一半，其中圆的直径＝半径×2，圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解。 （2）观察李爷爷步行过程中距离与时间的关系图可知，他步行50米，用时1分钟，根据“速度＝路程÷时间”求出他散步的速度。 （3）从关系图中可知，李爷爷在从B点返回O点的中途休息了一次，据此在图1上用“☆”标出休息的位置。 【规范解答】（1）50×2＋2×3.14×50× ＝100＋157 ＝257（米） 答：李爷爷绕半圆形花坛散步一圈需要257米。 （2）50÷1＝50（米/分） 答：李爷爷散步的速度是50米/分。 （3）如图： 易错讲练3 圆的周长的应用 5．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）有两辆轮胎不一样大小的客车，甲车轮胎直径是0.8米，乙车轮胎直径是0.6米。甲车轮胎一分钟转300圈，乙车轮胎一分钟转400圈。现甲、乙两车从桥头同时出发（车长大约8米），桥全长3760米。小东、莉莉和小文为此展开关于哪辆车会先通过这座桥的讨论： 小东：甲车先通过，因为甲车的轮胎大。 莉莉：乙车先通过，因为乙车每分钟转的圈数多。 小文：甲、乙两车同时通过，因为它们的速度一样。 谁的结论说的正确？根据上面的结论，算出甲、乙两车通过这座桥所需要的时间。 【答案】小文；5分钟 【思路引导】轮胎周长决定每转一圈行驶的距离，轮胎是圆形，周长公式为C＝πd（d为直径，π取3.14），甲车轮胎直径是0.8米，周长为3.14×0.8＝2.512米（每转1圈，甲车前进2.512米）；乙车轮胎直径是0.6米，周长为3.14×0.6＝1.884米（每转1圈，乙车前进1.884米）。 根据速度＝周长×每分钟转数，甲车轮胎一分钟转300圈，速度为2.512×300＝753.6米/分钟；乙车轮胎一分钟转400圈，速度为1.884×400＝753.6米/分钟。所以甲、乙两车速度相等，因此小东和莉莉结论错误；小文“速度一样，同时通过”的结论正确。 桥全长3760米，车长大约8米，那么总路程为：3760＋8＝3768米；甲车通过时间为3768÷753.6＝5分钟；乙车通过时间为3768÷753.6＝5分钟。 【规范解答】甲：（米/分钟） 乙：（米/分钟） 3760＋8＝3768（米） （分钟） 答：小文说的结论正确。甲、乙两车通过这座桥所需的时间均为5分钟。 6．（24-25六年级下·海南海口·期末）在现代科技中，数学的应用也是无处不在，如下面飞行器中的数学问题。飞行器甲的发射轨道与飞行器乙的运行轨道分别是以点O和点O'为圆心的两个圆形轨道（如图）。已知飞行器甲的飞行速度为40千米/分，飞行器乙的飞行速度为20千米/分，某行星在B点（假定不动），弧BC与弧AC的长度差为3600千米。早上9：00飞行器甲准时发射，此时飞行器乙正好在A点，要求在C点处对接。 （1）请你计算两个飞行器在几时对接。 （2）飞行器甲的发射轨道与飞行器乙的运行轨道的半径各是多少千米？（结果取整数） 【答案】（1）12：00 （2）飞行器甲1529千米；飞行器乙2293千米 【思路引导】（1）已知飞行器甲、乙的飞行速度分别是40千米/分、20千米/分，弧BC与弧AC的长度差为3600千米，即两个飞行器在C点处对接时飞行的路程差是3600千米，根据追及时间＝路程差÷速度差，求出两个飞行器从出发到对接所需的时间，再加上发射的时刻，即可求出两个飞行器的对接时刻。注意单位的换算：1小时＝60分。 （2）先根据“速度×时间＝路程”分别求出对接时飞行器甲、乙飞行的路程，即弧BC与弧AC的长度； 从图中可知，弧BC的长度占它的圆周长的，弧AC的长度占它的圆周长的，分别把两个圆的周长看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义求出两个圆的周长； 由圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，据此求出飞行器甲的发射轨道的半径与飞行器乙的运行轨道的半径。 【规范解答】（1）3600÷（40－20） ＝3600÷20 ＝180（分） 180分＝3小时 9时＋3小时＝12时 答：两个飞行器在12：00对接。 （2）弧BC的长度：40×180＝7200（千米） 弧AC的长度：20×180＝3600（千米） 飞行器甲运行一圈长： 7200÷ ＝7200× ＝9600（千米） 飞行器甲的发射轨道的半径： 9600÷3.14÷2≈1529（千米） 飞行器乙运行一圈长： 3600÷ ＝3600×4 ＝14400（千米） 飞行器乙的运行轨道的半径： 14400÷3.14÷2≈2293（千米） 答：飞行器甲的发射轨道的半径约是1529千米，飞行器乙的运行轨道的半径约是2293千米。 【考点剖析】解答本题的关键是先根据追及问题的公式求出追及时间，再根据路珵＝速度×时间，分别求出两个飞行器在对接时飞行的路程，也就是两个弧长，从图中得出两个弧长分别占它们圆周长的几分之几，根据分数除法的意义求出两个圆的周长，最后利用圆的周长公式求出两个圆的半径。 易错讲练4 含圆的组合图形的周长 7．（24-25六年级下·内蒙古赤峰·期末）当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人以其外观较小，强大的自主感知、规划能力，已经成为新时代人们日常生活的重要助手，受到越来越多的消费者的青睐。如图，一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周。这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1.5分米。请你计算扫地机器人的底面圆心走过的路线长是多少分米？ 【答案】76.82分米 【思路引导】通过观察图形可知扫地机器人的底面圆心走过的路线等于半径是（5＋1.5）分米的圆的周长加上2个18分米，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。 【规范解答】2×3.14×（5＋1.5）＋18×2 ＝6.28×6.5＋36 ＝40.82＋36 ＝76.82（分米） 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长是76.82分米。 8．（20-21六年级上·四川·期末）如图，从地到地，走路线①比走路线②近。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】如下图：根据圆周长的计算公式分别求出路线①以为直径的半圆形，路线②分别以、、为直径的半圆组成的路线的长度，再比较即可解答。 【规范解答】如图： 路线①长度： 路线②长度： 所以路线①和路线②一样近。 故答案为：× 【考点剖析】本题主要考查借助圆的周长公式比较长度，解答本题的关键是乘法分配律的应用。 易错讲练5 圆的面积 9．（24-25六年级上·河北衡水·期末）下面两个图形的阴影部分面积相比，（    ）。（单位：厘米） A．甲图形面积大 B．乙图形面积大 C．一样大 【答案】C 【思路引导】观察两个图形可知，阴影部分的面积＝大圆的面积－小圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出两个图形阴影部分的面积，再比较，得出结论。 【规范解答】甲阴影部分的面积： π×82－π×（8÷2）2 ＝π×82－π×42 ＝π×64－π×16 ＝48π（平方厘米） 乙阴影部分的面积： π×82－π×42 ＝π×64－π×16 ＝48π（平方厘米） 48π＝48π 两个图形的阴影部分面积相比，一样大。 故答案为：C 10．（24-25六年级上·河南郑州·期末）如图，小扬同学用两张相同的正方形卡纸剪图形，剪了一个最大的扇形和一个最大的圆，剩下的卡纸（    ） A．甲最多 B．乙最多 C．一样多 【答案】C 【思路引导】根据题意，设正方形的边长为a。分别计算甲、乙中阴影部分的面积，再用正方形面积减去阴影部分面积得到剩下卡纸的面积，最后比较两者剩下面积的大小。据此解答。 【规范解答】设正方形的边长为a，正方形的面积为a2。 甲中，最大扇形的半径为a，扇形面积为×π×a2，则甲剩下的卡纸面积为a2－πa2。 乙中，最大圆的直径为a，半径为，圆的面积为π×2＝πa2，则乙剩下的卡纸面积为a2－πa2。所以甲和乙剩下的卡纸面积一样多。 故答案为：C 易错讲练6 圆的面积的应用 11．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）下面四幅图中，正方形的边长都是10cm。关于四幅图中阴影面积的大小，说法（    ）是正确的。 A．四幅图的阴影部分面积都相等 B．甲、丙的阴影部分面积相等，但与乙、丁的阴影部分面积不相等 C．丁的阴影部分面积最小 D．乙的阴影部分面积最大 【答案】A 【思路引导】图甲，圆的直径等于正方形的边长10cm，甲的阴影面积＝正方形的面积－圆的面积； 图乙，2个圆的直径之和等于正方形的边长10cm，据此得出1个圆的半径是10÷2÷2＝2.5cm；乙的阴影面积＝正方形的面积－4个圆的面积； 图丙，半圆的直径等于正方形的边长10cm，丙的阴影面积＝正方形的面积－2个半圆的面积； 图丁，圆的半径等于正方形的边长10cm，丁的阴影面积＝正方形的面积－圆的面积的； 根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出四幅图阴影部分的面积，再比较大小，得出结论。 【规范解答】甲的阴影面积： 10×10－3.14×（10÷2）2 ＝10×10－3.14×52 ＝10×10－3.14×25 ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） 乙的阴影面积： 10×10－3.14×（10÷2÷2）2×4 ＝10×10－3.14×2.52×4 ＝10×10－3.14×6.25×4 ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） 丙的阴影面积： 10×10－3.14×（10÷2）2÷2×2 ＝10×10－3.14×52÷2×2 ＝10×10－3.14×25÷2×2 ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） 丁的阴影面积： 10×10－3.14×102× ＝10×10－3.14×100× ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） 综上所述，四幅图的阴影部分面积都相等。 故答案为：A 12．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）如图，AB＝BC＝CD＝4厘米，∠ABC和∠BCD都是直角。一枚半径为1厘米的游戏币从点A出发，沿A——BC——D的路径无滑动地滚动到点D。 （1）计算游戏币从A滚动到D的过程中圆心走过的路径长度。 （2）游戏币从A滚动到C的过程中扫过的面积是多少？ 【答案】（1）11.57厘米 （2）20.28平方厘米 【思路引导】（1）游戏币从A滚动到D的过程中圆心走过的路径长度可分为四段：第一段从点A到点B上方平行的线段，也就是线段AB的长度；第二段是以点B为圆心，半径为1厘米的圆弧长；第三段是点B 到点C的线段减去游戏币的半径；第四段为点C到点D的线段减去游戏币的半径；最后根据圆的周长＝2πr，把这四段的相加，即为游戏币从A滚动到D过程中圆心走过的路径长度。 （2）如图所示，游戏币从A滚动到C的过程中扫过的面积＝1个圆的面积＋长方形ABMK的面积＋扇形BNM的面积＋长方形BTFN；最后根据长方形面积＝长×宽，圆的面积＝πr2，代入相应数值计算，所得结果即为游戏币从A滚动到C的过程中扫过的面积。 【规范解答】（1） （厘米） 答：游戏币从A滚动到D的过程中圆心走过的路径长度是11.57厘米。 （2） （平方厘米） 答：游戏币从A滚动到C的过程中扫过的面积是20.28平方厘米。 【考点剖析】无论是计算圆心走过的路径长度还是滚动过程扫过的面积，解答的关键是分段列出路径长度和扫过面积的组成部分，注意不要忽视了在B点处滚动圆心走过的弧形长度和扫过的扇形面积。 易错讲练7 圆环的面积 13．（24-25六年级上·山西长治·期末）如图是寓意“海上生明月，天涯共此时”的“月光环”景观灯，其外直径是36m，内直径是22m，计算“月光环”正面的近似面积的正确算式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据题意得：“月光环”是一个圆环，大圆直径D为36米，小圆直径d为22米，则圆环面积＝，据此计算可得出答案。 【规范解答】“月光环”正面的近似面积为： 故答案为：D 14．（24-25六年级上·吉林四平·期末）求出阴影部分的周长和面积。 【答案】周长：25.98dm；面积：10.99dm2 【思路引导】看图可知，大圆半径－1＝小圆半径，阴影部分的周长＝大圆周长的一半＋小圆周长的一半＋两个圆的半径差×4，圆周长的一半＝圆周率×半径； 阴影部分的面积＝圆环的面积÷2，圆环的面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方）。 【规范解答】4－1＝3（dm） 周长：3.14×4＋3.14×3＋1×4 ＝12.56＋9.42＋4 ＝25.98（dm） 面积：3.14×（42－32）÷2 ＝3.14×（16－9）÷2 ＝3.14×7÷2 ＝10.99（dm2） 阴影部分的周长和面积分别是25.98dm、10.99dm2。 【考点剖析】关键是看懂图示，掌握并灵活运用圆的周长和圆环面积公式。 易错讲练8 求最大面积 15．（23-24六年级上·湖南怀化·期末）用10m长的绳子，分别围成长方形，正方形、圆，面积最大的（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆 D．一样大 【答案】C 【思路引导】已知用10m长的绳子，分别围成长方形，正方形、圆，则它们的周长都是10m，然后根据长方形、正方形、圆的面积公式分别求出正方形，长方形，圆的面积进行比较即可。 【规范解答】由分析可知： 长方形：设长为3m，宽为2m，3×2＝6（平方米） 正方形：10÷4＝2.5（米），2.5×2.5＝6.25（平方米） 圆：10÷3.14÷2≈1.6（米），3.14×1.62＝8.0384（平方米） 8.0384＞6.25＞6，所以圆的面积最大。 故选：C 【考点剖析】本题考查了圆，正方形以及长方形的周长与面积公式。结论：在周长相等的情况下，圆的面积最大。 16．（22-23六年级上·湖北武汉·期末）一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？ 【答案】47.44平方米 【思路引导】如图： 观察图形可知，这只羊能吃到草的面积等于半径为4米圆的的面积，那么这只羊无法吃到的草地面积＝长方形的面积－圆的面积；根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。 【规范解答】长方形草地的面积： 10×6＝60（平方米） 能吃到草的面积（圆的面积）： 3.14×42× ＝3.14×16× ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 无法吃到的草地面积： 60－12.56＝47.44（平方米） 答：这只羊无法吃到的草地面积是47.44平方米。 【考点剖析】画出图形帮助理解题意，先分析出羊能吃到草的面积是一个圆的面积，进而得出羊无法吃到的草地面积是由哪些图形面积相加或相减得到，再根据图形的面积公式解答。 易错讲练9 含圆的组合图形的面积 17．（24-25六年级上·河南漯河·期末）求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】11.69平方厘米 【思路引导】观察图形可知，阴影部分的面积可以看作是半径为5厘米的圆的面积，加上半径为3厘米的圆的面积，再减去长为5厘米、宽为3厘米的长方形的面积。 半径为3厘米的圆的面积：根据圆的面积公式S＝πr2（r为半径，π取3.14），可得该部分面积为×3.14×52＝19.625平方厘米。半径为3厘米的圆的面积：同理，该部分面积为×3.14×32＝7.065平方厘米。长为5厘米、宽为3厘米的长方形的面积：根据长方形的面积公式S＝a×b（a为长，b为宽），可得该部分面积为5×3＝15平方厘米。那么阴影部分的面积就是19.625＋7.065－15＝11.69平方厘米。 【规范解答】阴影部分的面积是半径为5厘米的圆的面积，加上半径为3厘米的圆的面积，减去长方形的面积。 ×3.14×52 ＝×3.14×25 ＝×3.14 ＝19.625（平方厘米） ×3.14×32 ＝×3.14×9 ＝×3.14 ＝7.065（平方厘米） 5×3＝15（平方厘米） 19.625＋7.065－15＝11.69（平方厘米） 阴影部分的面积是11.69平方厘米。 18．（22-23六年级上·河南郑州·期末）下图中阴影部分的面积最大的是（    ）。 A．  B．   C．   【答案】C 【思路引导】A．阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积；其中正方形的边长等于圆的直径； B．阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积；把正方形分成两个一样的三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径； C．阴影部分的面积＝大圆的面积－小圆的面积； 根据正方形的面积公式S＝a2，三角形的面积公式S＝ah÷2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出各选项图中阴影部分面积，再比较大小，得出结论。 【规范解答】A．（2×2）×（2×2）－3.14×22 ＝4×4－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44 B．3.14×22－（2×2）×2÷2×2 ＝3.14×4－4×2÷2×2 ＝12.56－8 ＝4.56 C．3.14×22－3.14×12 ＝3.14×4－3.14×1 ＝12.56－3.14 ＝9.42 9.42＞4.56＞3.44 所以，阴影部分的面积最大是9.42。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查组合图形面积的求法，分析出组合图形是由哪些基本图形组成，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，根据图形面积公式解答。 易错讲练10 方中國和圆中方的面积问题 19．（24-25六年级上·广东汕头·期末）剪一个面积是28.26平方厘米的圆，至少需要边长是（    ）厘米的正方形。 A．9 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【思路引导】在正方形内剪一个最大的圆，这个圆的直径＝正方形的边长，其中，这个圆半径的平方＝圆的面积÷π，直径＝半径×2。 【规范解答】＝28.26÷3.14＝9 9＝3×3 3×2＝6（厘米） 剪一个面积是28.26平方厘米的圆，至少需要边长是6厘米的正方形。 故答案为：C 20．（22-23六年级上·河北沧州·期末）如图，小圆面积是正方形的（    ），大圆面积是正方形的（    ）。 A．；2倍 B．； C．2倍；2倍 D．不能确定 【答案】B 【思路引导】如图： 设大圆半径为R，小圆半径为r，那么正方形ABCD的边长为2r，根据正方形面积公式：S＝a2，圆的面积公式：S＝πr2，即可求出正方形的面积为：2r×2r＝4r2，小圆的面积为：πr2，再用小圆面积除以正方形面积，即可求出小圆面积是正方形面积的几分之几；接着把正方形分成如图所示的两个三角形，三角形ABD以大圆直径为底，即底为：2R，大圆半径为高，即高为：R；根据三角形面积＝底×高÷2，求出三角形ABD的面积为∶2R×R÷2＝R2，再用三角形ABD的面积乘2，即能求出正方形的面积是：2R2；根据圆的面积公式：S＝πr2，求出大圆的面积是：π×R2＝πR2；最后再用求出的圆面积除以正方形面积，即能求出大圆面积是正方形面积的几分之几。 【规范解答】设大圆半径为R，小圆半径为r，那么正方形ABCD的边长为2r。 2r×2r＝4r2 πr2÷4r2＝ 2R×R÷2 ＝2R2÷2 ＝R2 R2×2＝2R2 πR2÷2R2＝ 小圆面积是正方形面积的，大圆面积是正方形面积的。 故答案为：B 【考点剖析】解决本题的关键在于根据用小圆半径和大圆半径分别求出正方形面积。 易错讲练11 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 21．（24-25六年级上·重庆渝中·期末）在一个边长为8厘米的正方形中画一条对角线、一个半圆和一个四分之一圆（如图所示），阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】16 【思路引导】 由图可知，①和②的形状相同，面积相等，③和④的形状相同，面积相等，则①＋③＋⑤＝②＋④＋⑤，②④⑤面积的和等于三角形BCE的面积，三角形BCE的面积等于正方形ABCD面积的，所以阴影部分的面积等于正方形面积的，据此解答。 【规范解答】8×8× ＝64× ＝16（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是16平方厘米。 22．（24-25六年级上·安徽黄山·期末）科创社团准备举行四驱车比赛，比赛场地示意图如下图。场地外围为赛道，如需给比赛场地铺草皮，需要准备多少平方米草皮？王新同学制作的四驱车速度约为2米/秒，如沿赛道跑一周需要多长时间？ 【答案】39.25平方米；15.7秒 【思路引导】观察图形可知：比赛场地是一个不规则图形，右下角的小半圆可以填补到左边的空白半圆处，这样比赛场地就变为一个以10米为直径的半圆，根据圆的面积＝πr2，求出圆的面积，再除以2即可求出需要草皮的面积。 观察图形可知：比赛场地周长的上半部分是以10米为直径的圆的周长的一半，下半部分的两条半圆弧可以组成以（10÷2）米为直径的圆。根据圆的周长＝πd，分别求出两部分的长度，再把它们相加可以求出比赛场地的周长。最后根据路程÷速度＝时间，用场地的周长除以2，即可求出沿赛道跑一周需要多长时间。 【规范解答】（10÷2）2×3.14÷2 ＝52×3.14÷2 ＝25×3.14÷2 ＝39.25（平方米） 10×3.14÷2＋10÷2×3.14 ＝15.7＋15.7 ＝31.4（米） 31.4÷2＝15.7（秒） 答：需要准备39.25平方米草皮；沿赛道跑一周需要15.7秒。 易错讲练12 弧、圆心角、扇形的认识 23．（24-25六年级上·山西晋中·期末）操作。 （1）以图中O点为圆心，画一个半径是的圆。 （2）在圆里画一条直径，使直径的一个端点A在处，用数对表示A（    ），B（    ）。 （3）在所画圆中画一个扇形，使扇形的面积正好是圆面积的。该扇形的圆心角是（    ）°。 【答案】（1）图见详解 （2）A（9，6）；B（15，6） （3）图见详解；60 【思路引导】（1）把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就是画出的圆。 （2）根据数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行；由于直径的一个端点在（9，x）处，由图即可知道x＝6，由此即可判断另一个端点的位置。 （3）根据分数的意义，把这个圆平均分成6份，取1份，用阴影部分表示即可。再用360°÷6，即可求出扇形圆心角，据此解答。 【规范解答】（1）如下图： （2）x＝6； A（9，6），B（15，6） 在圆里画一条直径，使直径的一个端点A在（9，x）处，用数对表示A（9，6），B（15，5）。 （3）360°÷6＝60° 图如下： （扇形位置不唯一） 24．（24-25六年级上·重庆渝中·期末）弧度制规定：长度等于半径的圆弧，所对的圆心角为1弧度（图示），那么1弧度约等于（    ）度。 A．1 B．57.3 C．60 D．62.3 【答案】B 【思路引导】圆的周长＝2×圆周率×半径，将圆的周长看作单位“1”，1弧度是圆周长的，圆心角×1弧度对应分率＝1弧度的度数，π取3.14，计算即可。 【规范解答】r÷2πr＝＝ 360×＝360×＝360×≈57.3（度） 1弧度约等于57.3度。 故答案为：B 易错讲练13 画扇形 25．（24-25六年级上·河南郑州·期末）如果A、B、C三个点都在圆上，这个圆的圆心应该在哪里？ （1）请在图中标出圆心的位置，并用字母O表示。 （2）画出这个圆。 （3）在圆中画一个圆心角是135°的扇形，并涂上阴影。 【答案】见详解 【思路引导】圆的特点是圆心到圆上任意一点距离相等（也就是半径相等）。如果A、B、C三个点都在圆上，那么圆心到A、B、C的距离相等。 （1）由图可发现∠C是直角，直角三角形外接圆的圆心，是斜边的中点。 （2）用圆规画圆，圆规针尖对准圆心O，调整两脚间的距离等于半径也就是OA或者OB的长度，旋转一周画出完整的圆。 （3）用量角器：把量角器中心对准圆心O，让量角器的0°刻度线和圆的任意一条半径重合（比如和OA重合）。在量角器上找到135°的刻度，在圆上对应位置点个点，然后把这个点和O连接起来，这样就形成了一个圆心角是135°的扇形。最后用彩笔或铅笔把这个扇形区域涂上阴影。 【规范解答】 26．（24-25六年级上·江西吉安·期末）根据要求画一画。 （1）以点（5，4）为圆心O，在图中画一个半径为4cm的圆。 （2）在这个圆中画一个扇形并涂色，使扇形的面积正好是圆面积的。 【答案】（画法不唯一） 【思路引导】（1）数对（5，4）表示第5列第4行，据此找出点O的位置，再根据圆的半径即可画出圆。 （2）要使扇形面积（涂上阴影）正好是圆面积的，则扇形的圆心角是360°÷4＝90°，据此画出扇形（画法不唯一）。 【规范解答】（1）如图所示： （2）如图所示： （画法不唯一） 易错讲练14 扇形的周长和面积 27．（24-25六年级上·江西吉安·期末）如图，圆的半径都为r，圆的圆心都在三角形的顶点上，涂色部分的面积为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据三角形的内角和是180°可知，三个白色扇形的面积和刚好是半径为r的圆的面积的一半，则涂色部分的面积等于三个半径为r的圆的面积的和减一个半径为r的圆的面积的，根据圆的面积公式，列式并化简即可。 【规范解答】 圆的半径都为r，圆的圆心都在三角形的顶点上，涂色部分的面积为。 故答案为：C 28．（22-23六年级上·北京怀柔·期末）如图，甲、乙、丙三位同学用相同的正方形卡纸剪图形，甲剪了一个最大的扇形，乙剪了一个最大的圆，丙剪了四个最大的圆，三个人剩下的卡纸（    ）。 A．甲最多 B．乙最多 C．丙最多 D．一样多 【答案】D 【思路引导】假设出正方形的边长，甲中扇形的半径等于正方形的边长，乙中圆的半径等于正方形边长的一半，丙中小圆的半径等于正方形边长的，利用“”分别求出三位同学所剪图形的面积，所剪的图形面积越大剩下的卡纸面积越小，所剪的图形面积相等时剩下卡纸的面积也相等，所剪的图形面积越小剩下的卡纸面积越大，据此解答。 【规范解答】假设正方形的边长为2。 甲： ＝ ＝ 乙： ＝ ＝ 丙： ＝ ＝ ＝ 由上可知，甲、乙、丙三位同学剪的图形面积相等，所以三个人剩下的卡纸一样多。 故答案为：D 【考点剖析】熟练掌握圆的面积计算公式并求出三个图形的面积是解答题目的关键。 第六单元 百分数（一） 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：百分数的意义和读写法 1. 百分数的意义 （1）定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。 （2）核心：百分数只表示两个数之间的倍比关系，不表示具体的数量，因此后面不能带单位。 例如：①“出勤率是95%”表示出勤人数占总人数的；②“今年粮食产量比去年增产20%”表示增产的产量是去年产量的。 2. 百分数的读写法 （1）写法：百分数通常不写成分数形式，而是在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。 例：①百分之三十五写作 35%；②百分之一百二十写作 120%；③百分之零点六写作 0.6%。 （注意：%的两个小圆圈要写小，避免与数字混淆。） （2）读法：读百分数时，先读“百分之”，再读百分号前面的数。 例：①35%读作“百分之三十五”；②120%读作“百分之一百二十”。 知识点梳理02百分数与分数、小数的互化 1. 百分数与小数的互化 （1）小数化百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号（%）。 例：①0.35 = 35%（小数点右移两位得35，添%）；②1.2 = 120%；③0.006 = 0.6%。 （2）百分数化小数：去掉百分号（%），同时把小数点向左移动两位（位数不足时用0补足）。 例：①65% = 0.65（去掉%，小数点左移两位得0.65）；②120% = 1.2；③0.8% = 0.008。 2. 百分数与分数的互化 （1）分数化百分数： 方法①：先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再化成百分数。 例：① = 0.75 = 75%；② ≈ 0.333 = 33.3%。 方法②：若分数的分母是100的因数，可先将分数化成分母是100的分数，再写成百分数。 例：① = = 20%；② = = 15%。 （2）百分数化分数：先把百分数改写成分母是100的分数，再约分成最简分数（分子是小数的，先化成整数）。 例：①60% = = ；12.5% = = = 。 知识点梳理03：“求一个数是另一个数的百分之几”的问题 1.意义：这类问题与“求一个数是另一个数的几分之几”的意义相同，只是结果要用百分数表示。 2.解题方法：用“一个数”除以“另一个数”，再将结果化成百分数。 通用公式：比较量 ÷ 单位“1”的量 × 100% = 百分率（百分之几） 关键：找准单位“1”的量和与单位“1”相比的比较量（即“一个数”是比较量，“另一个数”是单位“1”的量）。 3.常见百分率： （1）出勤率 = × 100% （2）合格率 = × 100% （3）成活率 = × 100% （4）发芽率 = × 100% （所有百分率都≤100%） 知识点梳理04：“求一个数的百分之几是多少”的问题 1.意义：与“求一个数的几分之几是多少”的意义相同，用乘法计算。 2.解题方法：单位“1”的量 × 所求量对应的百分数 = 所求量 关键：准确找到单位“1”的量，并确认给出的百分数是所求量占单位“1”的百分之几。 知识点梳理05：“求一个数比另一个数多（或少）百分之几”的问题 1.意义：求一个数比另一个数多（或少）的部分是另一个数（单位“1”的量）的百分之几。 2.解题方法： （1）先求一个数比另一个数多（或少）的具体数量（相差量）。 （2）再用相差量 ÷ 单位“1”的量 × 100% 通用公式： ①求A比B多百分之几：(A - B) ÷ B × 100% ②求A比B少百分之几：(B - A) ÷ B × 100% ③关键：找准单位“1”的量（通常是“比”字后面的那个量），以及两个量的相差量。 知识点梳理06：“已知一个数比另一个数多（或少）百分之几，求这个数”的问题 1.特征：单位“1”的量是已知的，求比单位“1”多（或少）百分之几的那个数。 2.解题方法： （1）方法一：单位“1”的量 ± 单位“1”的量 × 多（或少）的百分数 = 所求量 （2）方法二：单位“1”的量 × [1 ± 多（或少）的百分数] = 所求量 （3）关键：理解“比单位‘1’多百分之几”就是“单位‘1’的（1 + 百分之几）”，“比单位‘1’少百分之几”就是“单位‘1’的（1 - 百分之几）”。 【优选真题 易错讲练】14个考点 共28题 易错讲练1 百分数、分数、小数和比的互化 1．（24-25六年级上·福建龙岩·期末）27÷（    ）＝0.45＝＝（    ）∶40＝（    ）%。 【答案】 60；20；18；45 【思路引导】将0.45化为分数是，根据分数与除法的关系得＝9÷20，根据商不变的规律，将被除数和除数同时乘3计算出除数； 根据分数与比的关系得＝9∶20，然后根据比的基本性质，将前项和后项同时乘2计算出前项； 小数化为百分数，将小数的小数点向右移动两位，再加上百分号。据此解答。 【规范解答】0.45＝＝＝ ＝9÷20 ＝（9×3）÷（20×3） ＝27÷60 ＝9∶20 ＝（9×2）∶（20×2） ＝18∶40 将0.45的小数点向右移动两位是45，再加上百分号是45%。 综上，27÷60＝0.45＝＝18∶40＝45%。 2．（24-25六年级上·湖北十堰·期末）（填小数）。 【答案】18；8；75；0.75 【思路引导】根据分数与除法的关系：分子做被除数，分母做除数；＝3÷4；再根据商不变性质：被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变；3÷4＝（3×6）÷（4×6）＝18÷24； 再根据分数与比的关系：分子做比的前项，分母做比的后项；＝3∶4，再根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变；3∶4＝（3×2）∶（4×2）＝6∶8；再根据分数化小数的方法：用分子除以分母，得到的商就是小数；＝3÷4＝0.75；再根据小数化百分数的方法：小数点向右移动两位，加上百分号即可；0.75＝75%，据此解答。 【规范解答】18÷24＝＝6∶8＝75%＝0.75 易错讲练2 含百分数的运算 3．（24-25六年级上·山西长治·期末）计算下面各题，能简算的要简算。                   【答案】4.3； 26； 【思路引导】，把百分数转化为分数，除法转化为乘法，然后利用乘法分配律逆运算进行计算。 ，把百分数转化为分数，再利用乘法交换律进行计算。 ，把除法转化为乘法，再利用乘法分配律进行计算。 ，先计算括号内的加法，再计算括号外的除法。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝4.3×1 ＝4.3 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝10＋21－5 ＝31－5 ＝26 ＝ ＝ ＝ ＝ 4．（24-25六年级上·浙江绍兴·期末）已知a、b、c（均不为0）三个数满足，这三个数中最大的是（    ）。 A．a B．b C．c D．无法判断 【答案】C 【思路引导】因为b÷＝b×2，7%＝0.07，＝0.8，所以原等式可转化为a×0.8＝b×2＝c×0.07。在乘法算式中，当积一定时，一个因数越大，另一个因数就越小。2＞0.8＞0.07，所以2＞＞7%。因数2最大，所以与它相乘的b最小；因数7%最小，所以与它相乘的c最大。 【规范解答】b÷＝b×2 7%＝0.07 ＝0.8 转化为a×0.8＝b×2＝c×0.07； 2＞0.8＞0.07，即2＞＞7%；所以b＜a＜c。 a、b、c（均不为0）这三个数最大的是c。 故答案为：C 易错讲练3 整数、小数、分数、百分数的简便运算 5．（24-25六年级上·山东济南·期末）脱式计算，能简算的用简便方法计算。                  【答案】；7； 【思路引导】（1）先把除法化成乘法，把25%化成，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成，再按顺序计算； （2）根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成，再按顺序计算； （3）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法。 【规范解答】（1） （2） （3） 6．（24-25六年级上·广东东莞·期末）计算下面各题，能简算的要简算，并写出主要计算过程。 （1）        （2） （3）            （4） （5）            （6） 【答案】（1）；（2）2.5 （3）；（4） （5）；（6）5 【思路引导】（1）先把12.5%化成，然后把除法转化成乘法，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成，最后按顺序计算即可。 （2）先把、25%化成0.25，再根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成，最后按顺序计算即可。 （3）先算括号里面的除法，再算括号外面的乘法。 （4）先算乘法，再算加法。 （5）在没有括号的算式里，只有乘除法，从左往右依次计算。 （6）先把除法转化成乘法，再根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成，最后按顺序计算即可。 【规范解答】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 易错讲练4 求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题） 7．（24-25六年级上·河南郑州·期末）河南省伏羲山大峡谷谷底有飞瀑、跌水、深潭等景观，是一个湿地公园。我国湿地鸟类资源丰富，在亚洲濒危鸟类中，中国湿地占54%。针对这条信息，下面说法中错误的是（    ）。 A．如果把亚洲濒危鸟类总种数平均分成100份，我国湿地濒危鸟类的种数超过一半 B．若亚洲濒危鸟类有10000种，则我国湿地濒危鸟类有5400种 C．我国湿地濒危鸟类的种数有54种 【答案】C 【思路引导】根据题意，需要结合百分数的意义，对每个选项进行分析。百分数表示一个数是另一个数的百分之几，所以要明确亚洲濒危鸟类总种数是单位“1”，我国湿地濒危鸟类种数是亚洲濒危鸟类总种数的54%。据此解答。 【规范解答】A．因为54%＞50%，所以如果把亚洲濒危鸟类总种数平均分成100份，我国湿地濒危鸟类的种数超过一半，该说法正确。 B．若亚洲濒危鸟类有10000种，我国湿地濒危鸟类种数为10000×54%＝5400（种），该说法正确。 C．由于不知道亚洲濒危鸟类的总种数，所以不能确定我国湿地濒危鸟类的种数就是54种，该说法错误。 故答案为：C 8．（24-25六年级上·重庆渝中·期末）校园篮球比赛，亮亮在上半场20投15中，下半场10投10中。旭旭在上半场投篮12次，下半场投篮18次。在每半场比赛中，亮亮的投篮命中率都高于旭旭，而他们的全场命中率又相同。旭旭在下半场比上半场多命中了( )次。 【答案】9 【思路引导】命中率＝投中次数÷投篮总次数×100%，两人投篮总次数相同，都是30次，因此全场投中次数也相同，列式15÷20×100%，求出亮亮上半场命中率是75%，亮亮下半场10投10中，亮亮下半场命中率是100%，因为在每半场比赛中，亮亮的投篮命中率都高于旭旭，因此旭旭上半场最多投中次数是（12×75%－1）次，下半场最多投中（18－1）次，全场投中次数－旭旭上半场最多投中次数＝旭旭下半场投中次数，分析数据是否合理，再求差即可。 【规范解答】亮亮投篮总次数：20＋10＝30（次） 旭旭投篮总次数：12＋18＝30（次） 全场投中次数都是：15＋10＝25（次） 亮亮上半场命中率：15÷20×100%＝0.75×100%＝75% 旭旭上半场最多投中次数：12×75%－1＝12×0.75－1＝9－1＝8（次） 旭旭下半场最多投中次数：18－1＝17（次） 旭旭下半场投中次数：25－8＝17（次） 以上数据都合理。 17－8＝9（次） 旭旭在下半场比上半场多命中了9次。 【考点剖析】关键是理解百分率的意义，掌握百分率的求法。 易错讲练5 求一个数比另一个数多/少百分之几 9．（24-25六年级上·浙江绍兴·期末）六（1）班男生人数比女生人数多25%，那么男、女生人数的最简整数比是( )。已知六（1）班有36人，那么女生有( )人，比男生少( )%。 【答案】 5∶4 16 20 【思路引导】把女生人数看作单位“1”，因为男生人数比女生人数多25%，所以男生人数是女生人数的1＋25%＝1＋0.25＝1.25倍。则男、女生人数的比为1.25∶1，将其化为最简整数比，前项和后项同时乘4，得到（1.25×4）∶（1×4）＝5∶4。 已知男、女生人数比是5∶4，那么总人数一共是5＋4＝9份。六（1）班有36人，所以一份的人数是36÷9＝4人。女生占4份，所以女生人数是4×4＝16人。男生人数是4×5＝20人，女生比男生少的人数是20－16＝4人。则女生比男生少的百分比为4÷20×100%＝20%。 【规范解答】把女生人数看作单位“1”。 1＋25% ＝1＋0.25 ＝1.25 男生人数∶女生人数＝1.25∶1 1.25∶1 ＝（1.25×4）∶（1×4） ＝5∶4 5＋4＝9（份） 36÷9＝4（人） 4×4＝16（人） 4×5＝20（人） 20－16＝4（人） 4÷20×100% ＝0.2×100% ＝20% 男、女生人数的最简整数比是5∶4；女生有16人；女生比男生少20%。 10．（20-21六年级上·重庆万州·期末）2020年12月17日，探月工程“嫦娥五号”任务取得圆满成功。“嫦娥五号”从出发奔月到回归地球共经历了23天，其中8天完成从地球到月球的旅程，在月工作2天，其余的时间用于返回地球。在月球上，“嫦娥五号”首次实现了国旗展开。所展开的国旗由国产特殊材料制作，既能够在月球表面不褪色、不变形、不串色，又能够耐高低温、防静电、防月球尘埃等，其周长为10分米，重量仅12克。 （1）“嫦娥五号”在月工作的天数占它从出发奔月到回归地球共经历的总天数的。 （2）“嫦娥五号”返回地球用的时间比从地球到月球用的时间多 %。 （3）月球上展开的国旗长宽之比为3∶2，其面积是 平方分米。 【答案】（1） （2）62.5 （3）6 【思路引导】（1）用“嫦娥五号”在月工作的天数除以它从出发奔月到回归地球共经历的总天数即可。 （2）先用“嫦娥五号”从出发奔月到回归地球的总时间减去从地球到月球的时间，再减去在月工作的时间，即是“嫦娥五号”返回地球的所用的时间； 求出返回地球用的时间比从地球到月球用的时间多百分之几，先用减法求出多的时间，再除以从地球到月球用的时间即可。 （3）已知长方形国旗的周长，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长方形的长、宽之和＝周长÷2；又已知长和宽的比是3∶2，把长看作3份，宽看作2份，一共是（3＋2）份；用长、宽之和除以它们的份数和，即可求出一份数；再用一份数分别乘长、宽的份数，求出长、宽；最后根据长方形的面积＝长×宽，求出球上展开的国旗的面积。 【规范解答】（1）2÷23＝ “嫦娥五号”在月工作的天数占它从出发奔月到回归地球共经历的总天数的。 （2）返回地球用时：23－8－2＝13（天） （13－8）÷8×100% ＝5÷8×100% ＝0.625×100% ＝62.5% “嫦娥五号”返回地球用的时间比从地球到月球用的时间多62.5%。 （3）长、宽之和：10÷2＝5（分米） 一份数： 5÷（3＋2） ＝5÷5 ＝1（分米） 长：1×3＝3（分米） 宽：1×2＝2（分米） 面积：3×2＝6（平方分米） 月球上展开的国旗的面积是6平方分米。 【考点剖析】（1）明确求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算； （2）明确求一个数比另一个数多或少百分之几，用两数的差值除以另一个数； （3）先根据长方形的周长公式求出长、宽之和，再把长、宽的比看作份数，求出一份数，进而求出长、宽，然后根据长方形的面积公式解答。 易错讲练6 求一个数的百分之几是多少 11．（24-25六年级上·河南郑州·期末）我国是一个缺水严重的国家。我国的淡水资源总量为28000亿立方米，占全球水资源总量的6%，仅次于巴西、俄罗斯、加拿大、美国和印度尼西亚，名列世界第六位。但是，我国的人均水资源量不足2200立方米，仅为世界平均水平的，是全球人均水资源最贫乏的国家之一。 ①根据上面的信息，28000÷6%解决的问题是（    ）。 ②据统计：我国660个城市中，有30%的城市供水不足。在这些供水不足的城市中，又有的城市严重缺水。我国严重缺水的城市有多少个？ ③如果一个水龙头1分钟滴水20毫升，每天浪费多少毫升水？如果每个成年人每天大约需要饮用2000毫升水，那么这个水龙头每天浪费的水大约够几个成年人喝一天？ 【答案】①全球水资源总量是多少亿立方米； ②66个； ③14个 【思路引导】①把全球水资源总量看作单位“1”，我国的淡水资源总量占全球水资源总量的6%，全球水资源总量＝我国的淡水资源总量÷6%； ②把我国城市的总数量看作单位“1”，供水不足的城市占总数量的30%，供水不足的城市数量＝我国城市的总数量×30%，严重缺水的城市数量占供水不足城市数量的，严重缺水的城市数量＝供水不足的城市数量×，即严重缺水的城市数量＝我国城市的总数量×30%×； ③1天有24个小时，1个小时有60分钟，那么1天有（60×24）分钟，则每天浪费（20×60×24）毫升水，最后除以每个成年人每天需要饮用水的毫升数，结果取整数，据此解答。 【规范解答】①分析可知，28000÷6%解决的问题是全球水资源总量是多少亿立方米。 ②660×30%× ＝198× ＝66（个） 答：我国严重缺水的城市有66个。 ③1小时＝60分钟，1天＝24小时。 20×60×24 ＝1200×24 ＝28800（毫升） 28800÷2000≈14（个） 答：这个水龙头每天浪费的水大约够14个成年人喝一天。 12．（23-24六年级上·福建厦门·期末）改革开放40多年来，我国铁路运行的列车发生了巨大的变化，从普通列车到快列车，再到高速列车（如“和谐号”“复兴号”），中国铁路技术装备已领跑世界。小雪收集了一些关于我国列车运行速度的信息： 信息1：普通列车运行速度是120千米/时。 信息2：普通列车运行速度是“和谐号”列车的40%。 信息3：快速列车运行的速度是普通列车的，“复兴号”列车的运行速度是快速列车的。 （1）根据信息1和信息2，请你提出一个数学问题并解答。 （2）“复兴号”列车的运行速度是多少？请你选择相关信息列式解答。 （3）如下图，A、B两地与B、C两地的路程比是3∶5。王叔叔乘坐普通列车从A地到B地用2小时，从B地到C地换乘快速列车，王叔叔从B地到C地用了多少小时？ 【答案】（1）“和谐号”列车的运行速度是多少千米/时？300千米/时 （2）信息1和信息3；350千米/时 （3）小时 【思路引导】（1）根据信息1和信息2，提出问题，合理即可。 如提问：“和谐号”列车的运行速度是多少千米/时？ 已知普通列车运行速度是“和谐号”列车的40%，把“和谐号”列车的运行速度看作单位“1”，单位“1”未知，用普通列车的运行速度除以40%，即可求出“和谐号”列车的运行速度。 （2）要求“复兴号”列车的运行速度，需要信息1和信息3。 已知普通列车运行速度是120千米/时，快速列车的运行速度是普通列车的，把普通列车的运行速度看作单位“1”，单位“1”已知，用普通列车的运行速度乘，求出快速列车的运行速度； 又已知“复兴号”列车的运行速度是快速列车的，是把快速列车的运行速度看作单位“1”，单位“1”已知，用快速列车的运行速度乘，即可求出“复兴号”列车的运行速度。 （3）已知普通列车运行速度是120千米/时，从A地到B地用时2小时，根据“速度×数量＝路程”，求出A地到B地的距离； 已知AB∶BC＝3∶5，用A、B两地的距离除以3，求出一份数，再用一份数乘5，求出B、C两地的距离； 已知从B地到C地换乘快速列车，根据“时间＝路程÷速度”，求出从B地到C地的时间。 【规范解答】（1）提问：“和谐号”列车的运行速度是多少千米/时？（答案不唯一） 120÷40% ＝120÷0.4 ＝300（千米/时） 答：“和谐号”列车的速度是300千米/时。 （2）选择信息1和信息3。 快速列车的运行速度：120×＝150（千米/时） “复兴号”列车的运行速度：150×＝350（千米/时） 答：“复兴号”列车的运行速度是350千米/时。 （3）A、B两地的距离： 120×2＝240（千米） B、C两地的距离： 240÷3×5 ＝80×5 ＝400（千米） 乘快速列车从B地到C地的时间： 400÷150＝（小时） 答：王叔叔从B地到C地用了小时。 【考点剖析】（1）本题考查百分数除法的实际应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据百分数除法的意义解答。 （2）本题考查百分数乘法的实际应用，找出单位“1”，注意两个单位“1”的不同，单位“1”已知，根据百分数乘法的意义解答。 （3）本题考查比的应用以及行程问题中的速度、时间、路程之间的关系。 易错讲练7 比一个数多/少百分之几的数是多少 13．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）唐老师用U盘拷贝一个1.8G的文件。他查看了两个U盘的属性，发现第一个U盘总容量是8G，已经用了6.4G。第二个U盘总容量是16G，已用空间为70%。 （1）唐老师要将这个文件存在哪一个U盘中合适？写出计算过程。 （2）文件保存速度非常快，这个1.8G的文件，24秒时显示已经保存了15%。照这样的速度，保存这个文件还需要多少时间？ 【答案】（1）第二个；见详解 （2）136秒 【思路引导】（1）用8减去6.4算出第一个U盘剩余容量；再把第二个U盘的总容量看作单位“1”，已用空间为70%，则剩余容量为（1－70%），用16乘（1－70%）算出第二个U盘剩余容量；再把这个1.8G的文件与两个U盘剩余容量比较，从而得解； （2）把文件保存总共需要的时间看作单位“1”，24秒时显示已经保存了15%，则所花去的时间24秒也占总共需要时间的15%，用24÷15%算出总共需要的时间，再减去24秒即可得还需要的时间。 【规范解答】（1）8－6.4＝1.6（G） 16×（1－70%） ＝16×（1－0.7） ＝16×0.3 ＝4.8（G） 1.6＜1.8＜4.8 答：唐老师要将这个文件存在第二个U盘中合适。 （2）24÷15%－24 ＝24÷0.15－24 ＝160－24 ＝136（秒） 答：保存这个文件还需要136秒。 14．（24-25六年级上·广西南宁·期末）在学校的科技小制作活动中，有两个机器人在进行移动操作。一个机器人的形状是直径为10厘米的圆形，另一个是边长为10厘米的正方形。它们在一条长轨道上，初始时两者相距28厘米。正方形机器人每秒移动4厘米，圆形机器人比正方形机器人快40%。 （1）当圆形机器人和正方形机器人刚好完全接触（重叠面积最大时），没有重合部分的面积是多少？ （2）正方形和圆形同时开始运动，经过多少秒后恰好完全分开？ 【答案】（1）21.5平方厘米 （2）5秒 【思路引导】（1）重叠时，圆在正方形内，相当于正方形内画一个最大的圆，求没有重合部分的面积，就是用正方形面积－圆的面积；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 （2）把正方形机器人的速度看作单位“1”，圆形机器人的速度是正方形机器人速度的（1＋40%），用正方形机器人的速度×（1＋40%），求出圆形机器人的速度。求经过多少秒后恰好完全分开，先求出正方形机器人走过的路程与圆形机器人走过的路程和，正方形机器人与圆形机器人相距的距离＋正方形机器人的边长的长度＋圆形机器人的直径的长度，就是两个机器人完全分开后的路程，再根据时间＝路程÷速度，用正方形机器人走过的路程与圆形机器人走过的路程和÷正方形机器人的速度与圆形机器人的速度和，即可解答。 【规范解答】（1）10×10－3.14×（10÷2）2 ＝10×10－3.14×52 ＝100－3.14×25 ＝100－78.5 ＝21.5（平方厘米） 答：没有重合部分的面积是21.5平方厘米。 （2）4×（1＋40%） ＝4×140% ＝5.6（厘米） （28＋10＋10）÷（4＋5.6） ＝（38＋10）÷9.6 ＝48÷9.6 ＝5（秒） 答：经过5秒后恰好完全分开。 【考点剖析】解答本题的关键是求出正方形机器人与圆形机器人走过的路程。 易错讲练8 已知一个数的百分之几是多少，求这个数 15．（23-24六年级上·河南南阳·期末）为了改善人民群众的宜居环境，凤瑞公园里要建一个直径是24m的圆形大花坛，在花坛的周围铺一条1m宽的小路，这条小路的面积是( )m2；但是这项工程现在需要提前3天完成，就要把原来的工作效率提高12%，原计划完成这一工程用( )天。 【答案】 78.5 28 【思路引导】小路的形状是个圆环，花坛直径÷2＝小圆半径，小圆半径＋小路宽＝大圆半径，根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），求出小路的面积； 设原计划完成这一工程用x天，则现在需要（x－3）天，将这项工程看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，原计划的效率是，现在的效率是，现在的效率是原来的（1＋12%），根据原计划的效率×现在对应百分率＝现在的效率，列出方程求出x的值即可。 【规范解答】24÷2＝12（m） 12＋1＝13（m） 3.14×（132－122） ＝3.14×（169－144） ＝3.14×25 ＝78.5（m2） 解：设原计划完成这一工程用x天。 为了改善人民群众的宜居环境，凤瑞公园里要建一个直径是24m的圆形大花坛，在花坛的周围铺一条1m宽的小路，这条小路的面积是78.5m2；但是这项工程现在需要提前3天完成，就要把原来的工作效率提高12%，原计划完成这一工程用28天。 【考点剖析】关键是掌握并灵活运用圆环面积公式，本题的难度主要在求原计划天数，关键是理解工作时间、工作效率、工作总量之间的关系，找到等量关系，用方程解决问题。 16．（24-25六年级下·贵州六盘水·期末）今年的学校运动会，六年级举行了篮球比赛。六（1）班全场得了48分，________。 ①下半场得分与上半场的比是5∶7     ②上半场得分是下半场的 ③上半场得分比下半场多40% 请选择一条信息，提出一个数学问题并解答。 （1）我选择的信息：________（填序号）。 （2）我提出的问题：________________________________。 （3）解答。 【答案】（1）① （2）上半场和下半场各得了多少分？ （3）上半场28分，下半场20分 【思路引导】（1）可以从①、②、③中任选一条信息，我选择信息①。（答案不唯一） （2）根据选择的信息①，问题：六（1）班上半场和下半场各得了多少分？（答案不唯一） （3）下半场得分与上半场的比是5∶7，把全场得分看作5＋7＝12份，全场得分的份数对应的是48分，用48÷12求出1份是多少分，再用1份的分数分别乘上半场、下半场的份数即可解答。 【规范解答】（1）我选择的信息：①。（答案不唯一） （2）我提出的问题：上半场和下半场各得了多少分？（答案不唯一） （3）48÷（5＋7） ＝48÷12 ＝4（分） 4×5＝20（分） 4×7＝28（分） 答：上半场得了28分，下半场得了20分。 17．（2024·广东韶关·小升初真题）如图为王老师的电脑杀毒的过程图，电脑显示扫描这些文件已经用时30分，如果保持扫描速度不变，请你估一估，还要等( )分钟杀毒软件才能扫描完这些文件。 【答案】20 【思路引导】根据题意可知，下载60%用了30分，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算，则下载完一共需要30÷60%＝50（分），再利用总时间－已经下载的时间＝剩下的时间。 【规范解答】30÷60%＝50（分） 50－30＝20（分） 所以，还要等20分钟杀毒软件才能扫描完这些文件。 易错讲练9 已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 18．（24-25六年级上·湖南永州·期末）光明小学计划修建一幢办公楼，用了40万元，比原计划节约了20%，则节约了( )万元。 【答案】10 【思路引导】把原计划修建办公楼的钱数看作单位“1”，则实际用的钱数是原计划的1－20%＝80%，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法解答，用40÷（1－20%）求出原计划用的钱数，再根据求一个数的百分之几是多少，用乘法，求节约了多少钱，用原计划花的钱数乘20%列式解答即可。 【规范解答】40÷（1－20%）×20% ＝40÷0.8×0.2 ＝50×0.2 ＝10（万元） 所以节约了10万元。 19．（23-24六年级上·福建厦门·期末）实验小学组织五、六年级的同学种一批树苗，把这批树苗按5∶8分配给五、六年级。植树结束后，李老师发现：六年级同学完成分配任务后，又帮助五年级同学种植了一些正好一共种植了2000棵，超额完成分配任务的25%，而五年级同学只完成了分配任务的60%。五年级同学实际种植了多少棵？ 【答案】600棵 【思路引导】根据题意，六年级一共种植了2000棵，超额完成分配任务的25%，把六年级分配任务的棵数看作单位“1”，则六年级实际种植的棵数是分配任务的（1＋25%），单位“1”未知，用六年级实际种植的棵数除以（1＋25%），求出六年级分配任务的棵数； 已知这批树苗按5∶8分配给五、六年级，即分配给五年级的棵数占5份，分配给六年级的棵数占8份；用六年级分配任务的棵数除以8，求出一份数，再用一份数乘5，即是五年级分配树苗的棵数； 已知五年级同学只完成了分配任务的60%，把五年级分配任务的棵数看作单位“1”，根据求一个数的百分之几是多少，用五年级分配任务的棵数乘60%，即可求出五年级实际种植的棵数。 【规范解答】六年级分配树苗的棵数： 2000÷（1＋25%） ＝2000÷1.25 ＝1600（棵） 五年级分配树苗的棵数： 1600÷8×5 ＝200×5 ＝1000（棵） 五年级同学实际种植： 1000×60% ＝1000×0.6 ＝600（棵） 答：五年级同学实际种植了600棵。 【考点剖析】本题考查百分数乘除法的实际应用以及比的应用，关键是分清两个不同的单位“1”，单位“1”已知，根据百分数乘法的意义解答；单位“1”未知，根据百分数除法的意义解答。 易错讲练10 已知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 20．（24-25六年级上·重庆渝中·期末）宋叔叔把他的手机充满电后，如果只用于打电话，32小时内会耗尽电量；如果只用于上网，20小时内会耗尽电量；如果不使用手机，80小时内会耗尽电量。宋叔叔上火车时，手机电量为75%。在火车上，他使用手机上网、打电话和不使用手机的时长都相同。火车刚到目的地，他的手机电量为25%。他一共坐了多少小时的火车？ 【答案】16小时 【思路引导】把手机充满电后的总电量看作单位“1”，宋叔叔打电话每小时耗电，上网每小时耗电，不使用手机每小时耗电，在火车上，他使用手机上网、打电话和不使用手机的时长都相同，每小时耗电为（＋＋）÷3，宋叔叔在火车上手机的耗电量为（75%－25%），宋叔叔一共坐火车的时间＝耗电总量÷每小时的耗电量，据此解答。 【规范解答】（＋＋）÷3 ＝（＋＋）÷3 ＝÷3 ＝× ＝ （75%－25%）÷ ＝0.5÷ ＝0.5×32 ＝16（小时） 答：他一共坐了16小时的火车。 21．（24-25六年级上·河北保定·期末）李阿姨通过手机APP查看电动自行车充电状态，显示的信息如下表。观察信息，解决下面的问题。 电池详细信息： 目前状态 充电中 电池充电已完成 92% 充满电池还要等待 32分钟 （1）这块电池的电量从0%到100%，需充电多长时间？ （2）李阿姨的电动自行车充满电，夏季可行驶50千米（即夏季续航里程为50千米）。冬季因为气温低，续航里程只能达到夏季的80%。如果李阿姨有急事要马上出门，那么目前电量最多能行驶多少千米？ 【答案】（1）400分钟 （2）36.8千米 【思路引导】把需充电时间看作单位“1”，电池充电已完成92%，还有（1－92%）电池没有冲，对应的充满电池还有等待的时间32分钟，求单位“1”，用30÷（1－92%）解答。 （2）根据题意，电池充电已完成92%，即电池电量占充满电的92%；用夏季李阿姨电动自行车充满电行驶的路程×92%，求出电池电量占充满电的92%时行驶的路程；再把电车电量为92%时夏季可行驶的路程看作单位“1”，冬季行驶的路程是夏季的80%，用夏季电车电量为92%行驶的路程×80%，求出冬季行驶的路程，据此解答。 【规范解答】（1）32÷（1－92%） ＝32÷8% ＝400（分钟） 答：需充电400分钟。 50×92%×80% ＝46×80% ＝36.8（千米） 答：目前电量最多能行驶36.8千米。 第七单元 扇形统计图 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：扇形统计图的认识 1.定义： 用整个圆的面积表示总数（单位“1”），用圆内各个扇形的面积表示各部分数量占总数的百分数。 2.特点： （1）直观地反映出各部分数量占总数量的百分比。 （2）清楚地看出各部分数量与总数量之间的关系。 （3）不能直接看出各部分数量的具体多少（除非知道总数）。 知识点梳理02：扇形统计图的解读与信息提取 1.读懂标题和图例： 明确统计图所表示的内容和各个扇形代表的类别。 2.获取各部分百分比： 直接从图中读出各部分数量占总数量的百分比。 3.比较各部分大小： 通过扇形面积的大小（或百分比数值）比较不同部分的多少。 （1）扇形面积越大，对应的百分比越大，该部分数量越多（在总数相同的情况下）。 4.计算具体数量： 如果已知总数量，可以根据各部分的百分比求出各部分的具体数量。 （1）公式：部分数量 = 总数量 × 该部分所占百分比 5.计算部分与部分之间的关系： （1）一个部分比另一个部分多（少）占总数的百分之几：用百分比直接相减。 （2）一个部分是另一个部分的百分之几：用一个部分的百分比除以另一个部分的百分比。 知识点梳理03：扇形统计图与其他统计图的比较 统计图类型 特 点 优 点 缺 点 适用情况 条形统计图 用直条的长短表示数量的多少。 能清楚地看出各种数量的多少，便于比较。 不能直观反映部分与整体的关系。 表示各个数量的多少，进行数量间的比较。 折线统计图 用折线的起伏表示数量的增减变化。 不仅能表示数量的多少，还能清楚地反映数量的增减变化情况。 不能直观反映部分与整体的关系。 表示数量随时间或其他因素的变化趋势。 扇形统计图 用整个圆表示总数，用扇形表示各部分占总数的百分比。 能清楚地表示出各部分数量与总数量之间的关系（部分与整体的关系）。 不能直接看出各部分的具体数量，也不易看出数量的增减变化。 表示各部分数量占总数量的百分比，反映部分与整体的关系。 【优选真题 易错讲练】3个考点 共9题 易错讲练1 扇形统计图的特点及绘制 1．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）如图是某地居民人均消费支出情况统计图。 经济学家恩格尔提出了恩格尔系数：恩格尔系数＝×100% 对生活水平划分如下表： 恩格尔系数 大于60% 50%~60% 40%~50% 30%~40% 20%以下 生活水平 贫穷 温饱 小康 相对富裕 极其富裕 （1）根据这些信息，把统计图填完整。这个地区生活水平是（    ）。 （2）如果文化教育支出与赡养老人支出相差4800元，那么食品支出是多少元？ 【答案】（1）房贷或房租：25%；食品：36%；相对富裕 （2）14400元 【思路引导】（1）因为扇形统计图各部分占比之和为100%，已知服装占6%，交通占5%，其他占4%，文化教育占18%，赡养老人占6%，因为图中房贷或房租对应的扇形圆心角是90°，90°÷360°×100%＝25%，即房贷或房租占25%，然后用100%依次减去6%、5%、4%、18%、6%、25%，剩下的即为食品占比；再根据食品占比与表格中的恩格尔系数比较，从而得知生活水平。 （2）已知文化教育支出与赡养老人支出相差4800元，文化教育支出占比18%，赡养老人支出占比6%，那么总支出为4800÷（18%－6%），再根据食品支出占比36%，可求出食品支出为总支出乘36%。 【规范解答】（1）90°÷360°×100% ＝0.25×100% ＝25% 100%－6%－5%－4%－18%－6%－25% ＝94%－5%－4%－18%－6%－25% ＝89%－4%－18%－6%－25% ＝85%－18%－6%－25% ＝67%－6%－25% ＝61%－25% ＝36% 填图如下： 30%＜36%＜40% 这个地区生活水平是相对富裕。 （2）4800÷（18%－6%）×36% ＝4800÷12%×36% ＝40000×36% ＝14400（元） 答：食品支出是14400元。 2．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）材料一：习近平生态文明思想的鲜明主题是努力实现人与自然和谐共生，习总书记提出要大力推动我国新能源高质量发展，为共建清洁美丽世界作出更大贡献。在国家政策的引导和支持下，我国新能源汽车行业的迅猛发展，新能源汽车以其环保、节能、使用成本低等优点，越来越受到人们的青睐。2014年“中国电动汽车百人会”刚成立时，国内新能源汽车销量仅7.5万辆，2024年已经增长到950万辆，中国新能源汽车全球占比达到50%，国际能源署测算2030年全球新能源汽车年需求量将达4500万辆，是2022年的4.5倍。 材料二：下面是某区域2024年各季度新能源汽车销售盘情况统计图。 （1）计算这个区域2024年第四季度销售新能源汽车多少万辆？并将上面的条形统计图和扇形统计图中缺失的数据补充完整。 （2）2030年全球新能源汽车总量超过2024年全球新能源汽车总量的百分之几？（百分号前保留一位小数） 【答案】（1）45万辆；图见详解 （2）136.8% 【思路引导】（1）从两幅统计图中可知，2024年第二季度某区域中国新能源汽车销量为24万辆，占2024年总销量的20%，把2024年某区域中国新能源汽车的总销量看作单位“1”，单位“1”未知，根据百分数除法的意义求出2024年某区域中国新能源汽车的总销量； 再用2024年某区域中国新能源汽车的总销量减法第一季度、第二季度、第三季度的销量，即是第四季度的销量，据此把条形统计图补充完整； 用“1”减去第二季度、第三季度、第四季度分别占2024年某区域中国新能源汽车总销量的百分比，即是第一季度占2024年某区域中国新能源汽车总销量的百分之几，据此把扇形统计图补充完整。 （2）已知2024年某区域中国新能源汽车已经增长到950万辆，全球占比达到50%，把2024年全球新能源汽车总量看作单位“1”，单位“1”未知，根据百分数除法的意义求出2024年某区域全球新能源汽车总量； 求2030年全球新能源汽车总量超过2024年全球新能源汽车总量的百分之几，先用减法求出2030年超过2024年全球新能源汽车总量的辆数，再除以2024年全球新能源汽车总量即可。 【规范解答】（1）24÷20% ＝24÷0.2 ＝120（万辆） 第四季度：120－18－24－33＝45（万辆） 第一季度占：1－20%－27.5%－37.5%＝15% 如图： 答：这个区域2024年第四季度销售新能源汽车45万辆。 （2）950÷50% ＝950÷0.5 ＝1900（万辆） （4500－1900）÷1900×100% ＝2600÷1900×100% ≈1.368×100% ＝136.8% 答：2030年全球新能源汽车总量超过2024年全球新能源汽车总量的136.8%。 3．（23-24六年级上·陕西西安·期末）“保护环境，从我做起。”下面是在某超市调查的顾客使用购物袋的情况的统计图。 根据以上信息解答下列问题。 （1）一共调查了多少名顾客？ （2）请你先算一算，之后将上面统计图补充完整。 （3）照这样计算，如果这个超市在某时段内共接待了320名顾客，那么自备环保购物袋的顾客比购买环保购物袋的顾客多多少人？ 【答案】（1）120名 （2）见详解 （3）64人 【思路引导】（1）从两幅统计图中可知，C类顾客有12人，占总人数的10%，把总人数看作单位“1”，单位“1”未知，用C类顾客的人数除以10%，即可求出总人数。 （2）结合条形统计图中的数据，用总人数减去A类、C类、D类顾客的人数，即是B类顾客的人数；据此把条形统计图补充完整。 分别用A类、D类顾客的人数除以总人数，求出A类、D类顾客占总人数的百分比；据此把扇形统计图补充完整。 （3）把顾客总人数看作单位“1”，从扇形统计图中可知，自备环保购物袋的顾客、购买环保购物袋的顾客分别占总人数的30%、10%，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，分别求出这两类顾客的人数，再相减，即可求解。 【规范解答】（1）12÷10% ＝12÷0.1 ＝120（名） 答：一共调查了120名顾客。 （2）B类顾客有：120－36－12－42＝30（名） A类顾客占总人数的： 36÷120×100% ＝0.3×100% ＝30% D类顾客占总人数的： 42÷120×100% ＝0.35×100% ＝35% 如下图： （3）320×30%－320×10% ＝320×0.3－320×0.1 ＝96－32 ＝64（人） 答：自备环保购物袋的顾客比购买环保购物袋的顾客多64人。 【考点剖析】本题考查条形统计图、扇形统计图的综合应用，根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 易错讲练2 统计图的选择（扇形统计图） 4．（24-25六年级上·河南郑州·期末）某城市滨河路（南北方向）和新兴路（东西方向）相交形成一个十字路口，下面是该十字路口日常情况下某一天部分时段的车流量统计表。 时段 7：00－8：00 10：00－11：00 13：00－14：00 16：00－17：00 19：00－20：00 滨河路（南北方向）（辆） 356 257 174 388 190 新兴路（东西方向）（辆） 231 169 114 258 159 (1)如果要统计该十字路口不同时段车流量的增减变化情况，应绘制（    ）统计图；如果要统计某一时段车流量占全天车流量的百分比，应绘制（    ）统计图。 A．条形；折线 B．折线；扇形 C．条形；扇形 (2)19：00－20：00时段，新兴路（东西方向）的车流量大约是滨河路（南北方向）车流量的几分之几，列出算式是（    ）。 A．190÷159 B．159÷190 C．（190－159）÷190 【答案】(1)B (2)B 【思路引导】（1）根据题意，折线统计图的特点是能清晰反映数据的增减变化情况；扇形统计图的特点是能直观展示各部分数量占总数量的百分比。所以要统计不同时段车流量的增减变化情况，应选折线统计图；要统计某一时段车流量占全天车流量的百分比，应选扇形统计图。据此解答。 （2）根据题意，求新兴路（东西方向）的车流量大约是滨河路（南北方向）车流量的几分之几，就是用新兴路的车流量÷滨河路的车流量。据此解答。 【规范解答】（1）因为折线统计图适合展示数据的变化趋势，扇形统计图适合展示部分与整体的关系，所以第一空选折线，第二空选扇形。 故答案为：B （2）19：00－20：00时段，新兴路车流量是159辆，滨河路车流量是190辆，所以算式为159÷190。 故答案为：B 5．（24-25六年级上·河南郑州·期末）我国古代绘画以独特的水墨运用自成风流，类型丰富多样，人物画、花鸟画、山水画等各具特色，展现了不同的审美追求与文化内涵。若想统计某个朝代各类型画作占全部画作的百分比，选用（    ）统计图更为恰当，要想知道各朝代山水画的发展变化情况，选择（    ）统计图比较合适。 A．条形；折线 B．扇形；折线 C．折线；条形 D．都可以 【答案】B 【思路引导】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可。 【规范解答】据分析可知，我国古代绘画以独特的水墨运用自成风流，类型丰富多样，人物画、花鸟画、山水画等各具特色，展现了不同的审美追求与文化内涵。若想统计某个朝代各类型画作占全部画作的百分比，选用扇形统计图更为恰当，要想知道各朝代山水画的发展变化情况，选择折线统计图比较合适。 故答案为：B 6．（24-25六年级上·河南郑州·期末）巩义市某小学开展了丰富多彩的劳动教育实践活动。小航将他们班参加活动的情况绘制成了两幅统计图。 （1）根据图上信息，小航班参加劳动教育实践活动的共（    ）人。 （2）根据两幅统计图的信息将条形统计图补充完整。 （3）参加校园保洁的人数比餐饮制作的人数少（    ）%。 【答案】（1）50 （2）见详解 （3）25 【思路引导】（1）从扇形统计图可知餐饮制作人数占总人数的40%，从条形统计图可知餐饮制作有20人，已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算。 （2）已知总人数是50人，餐饮制作20人、手工编织10人、校园保洁15人，那么衣物洗护的人数为50－20－10－15＝5人。在条形统计图中，衣物洗护对应的条形高度画到5的位置即可。 （3）先求出校园保洁比餐饮制作少的人数为20－15＝5人，再除以餐饮制作的人数乘100%即可计算出校园保洁人数比餐饮制作人数少的百分比。 【规范解答】（1）20÷40% ＝20÷0.4 ＝50（人） 所以小航班参加劳动教育实践活动的共50人。 （2）50－20－10－15 ＝30－10－15 ＝20－15 ＝5（人） 所以参加衣物洗护的有5人。 如图： （3）（20－15）÷20×100% ＝5÷20×100% ＝0.25×100% ＝25% 所以参加校园保洁的人数比餐饮制作的人数少25%。 易错讲练3 统计图表的综合应用 7．（24-25六年级上·湖北襄阳·期末）春节快到了，光明小学就学生对春节文化习俗的了解情况进行了随机调查。（了解程度为：A—非常了解，B—了解较多，C—了解较少，D—不了解。）并将调查结果绘制成了条形统计图和扇形统计图。 （1）调查时，如果在学校中任意抽样，方法（    ）是最好的。 ①从每班随机抽10名学生；②从女生鼓号队中选一些成员； ③从男生足球队中选一些成员；④选一些对春节文化习俗有了解的学生。 （2）本次共调查了（    ）人，调查的学生中对春节文化习俗“非常了解”的占总调查人数的（    ）%。 （3）本次调查的学生中对春节文化习俗“了解较少”的有（    ）人，请将条形统计图补充完整。 （4）若光明小学共有学生1500人，请你估计全校所有学生对春节文化习俗“了解较多”的有（    ）人。 【答案】（1）① （2）500；24 （3）160；图见详解 （4）600 【思路引导】（1）抽样调查时，为了保证结果的代表性和随机性，应尽量覆盖不同群体。①从每班随机抽10名学生，能涵盖不同班级、不同情况的学生，抽样最科学；②只从女生鼓号队选，③只从男生足球队选，④只选有了解的学生，都具有局限性，不能代表整体。据此解答。 （2）从条形统计图可知，“了解较多”（B类）的人数是200人，从扇形统计图可知B类占40%，已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算； “非常了解”（A类）的人数从条形统计图看是120人，求占总调查人数的百分之几，用除法计算。 （3）已知总人数500人，A类120人，B类200人，D类（从条形图看）20人，所以“了解较少”（C类）的人数为500－120－200－20＝160人。补充条形统计图时，在C类对应的位置画出高度为160的直条。 （4）总调查人数中“了解较多”的占40%，全校共1500人，求一个数的百分之几是多少，用乘法计算。 【规范解答】（1）调查时，如果在学校中任意抽样，方法①是最好的。 （2）200÷40% ＝200÷0.4 ＝500（人） 120÷500×100% ＝0.24×100% ＝24% 本次共调查了500人，调查的学生中对春节文化习俗“非常了解”的占总调查人数的24%。 （3）500－120－200－20 ＝380－200－20 ＝180－20 ＝160（人） 本次调查的学生中对春节文化习俗“了解较少”的有160人。 如图： （4）1500×40% ＝1500×0.4 ＝600（人） 全校所有学生对春节文化习俗“了解较多”的有600人。 8．（24-25六年级上·广东东莞·期末）2023年9月21日下午，“天宫课堂”第四课正式开课，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮进行太空科普授课。小林对本校六年级同学们最感兴趣的实验情况进行了调查，并将调查结果记录在了下面的统计图表中。 学生对四个实验最感兴趣情况统计表： 实验 感兴趣人数 A（球型火焰实验） 24 B（奇妙乒乓球实验） 42 C（动量守恒实验） 18 D（又见陀螺实验） 根据上面统计图表的信息完成下面各题。 （1）把不完整的统计表和统计图补充完整，并在下面写出思考过程。 （2）对动量守恒实验最感兴趣的学生人数比对又见陀螺实验最感兴趣的学生人数少百分之几？ 【答案】（1）见详解 （2） 【思路引导】（1）已知对A实验感兴趣的人数是24人，占六年级总人数的20%，列除法可以求出六年级的总人数。总人数减去对A、B、C实验感兴趣的人数就是对D实验感兴趣的人数。那么对B、C实验感兴趣的人数占总人数的百分比，列除法解答，据此把统计表和统计图补充完整； （2）用对C（动量守恒实验）最感兴趣的人数与对D（又见陀螺实验）最感兴趣的人数差除以对D实验最感兴趣的人数，据此解答。 【规范解答】（1）六年级总人数：（人） D（又见陀螺实验）人数： （人） B（奇妙乒乓球实验）： C（动量守恒实验）： 实验 感兴趣人数 A（球型火焰实验） 24 B（奇妙乒乓球实验） 42 C（动量守恒实验） 18 D（又见陀螺实验） 36 （2） 答：对C（动量守恒实验）最感兴趣的学生人数比对D（又见陀螺实验）最感兴趣的学生人数少。 9．（24-25六年级上·山西长治·期末）用白色和黑色圆形按照下面的方法摆图形。 按照这样的方法摆下去，第5个图形中，共有( )个圆形；当某一个图形中有10个黑色的圆形时，那么这个图形中白色的圆形有( )个。 【答案】 25 90 【思路引导】第1个图形：圆形总数1＝12个，黑色圆形数1，白色圆形数0。 第2个图形：圆形总数4＝22个，黑色圆形数2，白色圆形数4－2＝2个。 第3个图形：圆形总数9＝32个，黑色圆形数3，白色圆形数9－3＝6个。 第4个图形：圆形总数16＝42个，黑色圆形数4，白色圆形数16－4＝12个。 由此可推出规律：第n个图形中，圆形总数为n2，黑色圆形数为n，白色圆形数为n2－n。根据规律，第5个图形中，圆形总数为52＝25个。当黑色圆形数n＝10时，根据白色圆形数公式n2－n，可得白色圆形数为102－10＝100－10＝90个。 【规范解答】由分析可知： 第n个图形中，圆形总数为n2个，黑色圆形数为n，白色圆形数为（n2－n）个。 n＝5 52＝25（个） n＝10 102－10 ＝100－10 ＝90（个） 第5个图形中，共有25个圆形；当某一个图形中有10个黑色的圆形时，那么这个图形中白色的圆形有90个。 第八单元 数学广角-数与形 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：数与形找规律的步骤 1、寻找数量关系； 2、用代数式表示规律； 3、验证规律。 知识点梳理02：寻找数与形规律的方法 1、算式的规律 （1）把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容。在探索“式”的规律时，要从组成“式的要素中去探索。 （2）在数学算式中探索规律，应仔细观察算式的特点和结果的特点，进而根据规律找出这一类算式的结果。 2、数字排列的规律 （1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中。 （2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律。 （3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律。 （4）相邻两数的关系中隐含着规律。 3、图形的变化规律 在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题。 重点是能够发现图形之间的数量关系，以及增长的规律。 【优选真题 易错讲练】5个考点 共15题 易错讲练1 算式规律题 1．（24-25六年级上·山西晋中·期末）明明是个善于观察，乐于思考的好孩子。他通过数形结合（如图），发现了求两个连续自然数平方差的规律。请你根据明明发现的规律，直接写出下面算式的结果：( )；( )。 【答案】 11 4049 【思路引导】由图可知：每个图形阴影部分的面积＝大正方形面积－空白部分正方形面积。假设大正方形边长为a（a为整数），空白正方形边长则为（a－1），阴影部分面积S＝a2－（a－1）2，即两个相邻自然数的平方差；由算式可知：两个相邻自然数的平方差其结果为两个相邻自然数的和，据此解答。 【规范解答】6＋5＝11；2025＋2024＝4049。 2．（24-25六年级下·湖南株洲·期末）探究规律：观察下面的图形和算式，你发现什么规律？完成填空。 (1)1＝( )2；1＋3＝( )2；1＋3＋5＝( )2。 (2)1＋3＋5＋7＋9＋11＝( )2。 (3)＝( )。 【答案】(1) 1 2 3 (2)6 (3)1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15 【思路引导】（1）观察图形，第一个图形是1个小正方形，即1＝12； 第二个图形是由1个小正方形和3个小正方形组成，一共4个小正方形，，即1＋3＝4＝22； 第三个图形是由1个、3个、5个小正方形组成，一共9个小正方形，，即1＋3＋5＝9＝32。 规律总结：从1开始的连续奇数相加，有几个奇数，和就是几的平方。 （2）1、3、5、7、9、11是从1开始的连续奇数，一共有6个奇数，根据上述规律，1＋3＋5＋7＋9＋11＝62。 （3）因为82表示有8个从1开始的连续奇数相加，从1开始连续的8个奇数依次为1、3、5、7、9、11、13、15，所以82＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15。 【规范解答】（1）分析可知：1＝12；1＋3＝22；1＋3＋5＝32。 （2）1、3、5、7、9、11是从1开始的连续6个奇数，所以1＋3＋5＋7＋9＋11＝62。 （3）82表示从1开始8个连续奇数相加，所以82＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15。 3．（24-25六年级下·湖南株洲·期末）观察下列等式：1，＋＝9，＋＋36，依此类推，第5个等式是：( )，结果等于( )。 【答案】 ＋＋ 225 【思路引导】1；＋＝（1＋2）2＝32＝9，＋＋（1＋2＋3）2＝62＝36…由此可知，第几个算式，就从1的立方依次加到几的立方，结果等于从1依次加到几的和的平方，据此分析。 【规范解答】＋＋ ＝（1＋2＋3＋4＋5）2 ＝152 ＝225 第5个等式是：＋＋，结果等于225。 易错讲练2:图形拼接的周长或面积规律 4． （24-25六年级上·重庆长寿·期末）如图： 60个这样的小梯形拼出的图形是( )，周长是( )cm。 【答案】 平行四边形 182 【思路引导】看图可知，1个小梯形是梯形，周长＝1×上底＋1×下底＋1×2；2个小梯形拼出的是平行四边形，周长＝2×上底＋2×下底＋1×2；3个小梯形拼出的是梯形，周长＝3×上底＋3×下底＋1×2；4个小梯形拼出的是平行四边形，周长＝4×上底＋4×下底＋1×2……由此可知，单数个小梯形拼出的是梯形，双数个小梯形拼出的是平行四边形，周长＝几个梯形就用几×上底＋几个梯形就用几×下底＋1×2；据此解答。 【规范解答】根据分析： 60是双数，拼出的图形是平行四边形 60×1＋60×2＋1×2 ＝60＋120＋2 ＝182（cm） 60个这样的小梯形拼出的图形是平行四边形，周长是182cm。 5．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）“黄金螺旋线”是一种优美的曲线，它是由长度不一、但圆心角都是90°的弧组成的。如图是彤彤尝试画它的步骤，第一步中弧所在扇形的半径是1厘米，第二步中弧所在扇形的半径是1厘米，第三步中弧所在扇形的半径是2厘米，按照这样的方法继续画下去，第 步中的弧所在扇形的半径是21厘米。 【答案】八 【思路引导】观察图形可知，第一步，弧所在扇形的半径是1厘米；第二步，弧所在扇形的半径是1厘米；第三步，弧所在扇形的半径是1＋1＝2厘米；第四步，弧所在扇形的半径是1＋2＝3厘米；第五步，弧所在扇形的半径是2＋3＝5厘米……以此类推，从第三步开始，弧所在扇形的半径依次是前两步中弧所在扇形的半径之和，据此解答。 【规范解答】分析可知： 第一步：1厘米 第二步：1厘米 第三步：1＋1＝2（厘米） 第四步：1＋2＝3（厘米） 第五步：2＋3＝5（厘米） 第六步：3＋5＝8（厘米） 第七步：5＋8＝13（厘米） 第八步：13＋8＝21（厘米） 所以，第八步中的弧所在扇形的半径是21厘米。 6．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形（第2幅），画3个正方形能得到8个直角三角形（第3幅），画n个正方形能得到 个直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为 平方厘米。 第1幅            第2幅          第3幅         第4幅 【答案】 4n－4 6.28 【思路引导】由图可知，第1幅图形有1个正方形，0个直角三角形； 第2幅图形有2个正方形，有（4×1）个直角三角形； 第3幅图形有3个正方形，有（4×2）个直角三角形； 第4幅图形有4个正方形，有（4×3）个直角三角形 …… 以此类推，每增加一个正方形就增加4个直角三角形，那么第n个图形有n个正方形，4（n－1）个直角三角形。 从图中可知：大正方形的面积是小正方形面积的2倍。据此可知：最大正方形的面积是最小正方形面积的2×2×2＝8倍。最大正方形的面积是8×8＝64平方厘米，最小正方形的面积就是64÷8＝8平方厘米。又知：最小正方形的边长＝圆的直径，那么最小正方形的面积＝8＝（2r）2＝（2r）×（2r）＝4r2，r2＝8÷4＝2。因此第4幅图中圆的面积为2×3.14＝6.28平方厘米。 【规范解答】由分析可得： 画n个正方形能得到（4n－4）个直角三角形。 8×8÷（2×2×2） ＝8×8÷8 ＝8（平方厘米） 8＝（2r）2 ＝（2r）×（2r） ＝4r2 8÷4×3.14＝6.28（平方厘米） 画n个正方形能得到12个直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为6.28平方厘米。 【考点剖析】找出正方形个数和直角三角形个数的变化规律是解答题目的关键。 易错讲练3 图形搭建所需材料数量规律 7．（24-25六年级下·山东济宁·期末）在运河文化展厅展示了房屋模型，乐乐对此十分好奇，搭建3间这样的房屋模型一共使用了13根木棒。他想知道，如果按照同样的搭建规律，要搭建10间这样的房屋模型，一共需要用到（    ）根木棒。 A．40 B．41 C．42 D．53 【答案】B 【思路引导】由图可知，搭建1间这样的房屋模型需要5根木棒，搭建2间这样的房屋模型需要（5＋4×1）根木棒，搭建3间这样的房屋模型需要（5＋4×2）根木棒……以此类推，每次增加4根木棒，那么搭建n间这样的房屋模型需要[5＋4×（n－1）]根木棒，最后求出n＝10时含有字母式子的值，据此解答。 【规范解答】5＋4×（n－1） ＝5＋（4n－4） ＝5＋4n－4 ＝5－4＋4n ＝（1＋4n）根 当n＝10时。 1＋4n ＝1＋4×10 ＝1＋40 ＝41（根） 所以，一共需要用到41根木棒。 故答案为：B 8．（24-25六年级下·江西抚州·期末）小棒摆摆乐！用小棒按照一定的规律摆八边形： (1)如果摆成7个八边形，需要( )根小棒，29根小棒可以摆成( )个八边形。 (2)如果要摆成n个八边形，需要( )根小棒。 【答案】(1) 50 4 (2)（7n＋1）/（1＋7n） 【思路引导】观察可知，摆1个八边形需要8根小棒，8＝1×7＋1；摆2个八边形需要15根小棒，15＝2×7＋1；摆3个八边形需要22根小棒，22＝3×7＋1……，由此可知，小棒数量＝摆几个八边形就用几×7＋1；八边形的数量＝（小棒数量－1）÷7，据此分析。 【规范解答】（1）7×7＋1 ＝49＋1 ＝50（根） （29－1）÷7 ＝28÷7 ＝4（个） 如果摆成7个八边形，需要50根小棒，29根小棒可以摆成4个八边形。 （2）n×7＋1＝（7n＋1）根 如果要摆成n个八边形，需要（7n＋1）根小棒。 9．（24-25六年级下·天津津南·期末）下面图形都是由面积为1的正方形组成的，观察图形的变化规律，第⑥个图形中正方形的数量是( )个。 …… 【答案】27 【思路引导】能够根据图形发现规律：从左往右，右面每幅图比左边每幅图多的小正方形个数依次为3、4、5、…，据此可知：第⑤个图形中正方形的数量比第④个图形中正方形的数量多6个，第⑥个图形中正方形的数量比第⑤个图形中正方形的数量多7个，据此解答。 【规范解答】第①个图形正方形个数：2个 第②个图形正方形个数：2＋3＝5（个） 第③个图形正方形个数：5＋4＝9（个） 第④个图形正方形个数：9＋5＝14（个） 第⑤个图形正方形个数：14＋6＝20（个） 第⑥个图形正方形个数：20＋7＝27（个） 第⑥个图形中正方形的数量是27个。 易错讲练4 图形排列的数量规律 10．（24-25六年级下·湖北黄冈·期末）如图，1张桌子可坐4人，2张桌子拼起来可坐6人，3张桌子拼起来可坐8人。像这样10张桌子可坐( )人，( )张桌子拼起来可坐38人。 【答案】 22 18 【思路引导】1张桌子可坐4人，4＝1×2＋2；2张桌子拼起来可坐6人，6＝2×2＋2；3张桌子拼起来可坐8人，8＝3×2＋2……由此可知，坐的人数＝几张桌子就用几×2＋2；桌子数＝（坐的人数－2）÷2。 【规范解答】10×2＋2 ＝20＋2 ＝22（人） （38－2）÷2 ＝36÷2 ＝18（张） 像这样10张桌子可坐（22）人，（18）张桌子拼起来可坐38人。 11．（24-25六年级上·湖南衡阳·期末）A、B、C、D、E五支足球队进行循环赛（每两队之间要比赛1场）。到现在为止，A队已经比了4场，B队已经比了3场，C队已经比了2场，E队已经比了1场，则D队已经比了( )场。 【答案】2 【思路引导】由题意可知，A队已经赛了4场，A队分别与B队、C队、D队、E队进行了比赛；E队赛了1场，E队只与A队进行了比赛；B队赛了3场，B队分别与A队、C队、D队进行了比赛，最后求出D队比赛的场数，据此结合画图解答。 【规范解答】如图： 由图可知：D队与A队进行了1场比赛，又与B队进行了1场比赛，所以D队已经比了2场比赛。 12．（24-25六年级下·河北邢台·期末）将黑、白棋子按一层白、一层黑、一层白、一层黑……排成正三角形的形状，如图：当这样的一个正三角形中黑棋子比白棋子多5颗时，这个正三角形一共排了( )层，排成这个正三角形一共用了( )颗棋子。 【答案】 10 55 【思路引导】①根据图中可知，有两层时黑色棋子比白色棋子多1颗棋子；有三层时黑色棋子比白色棋子少；有四层时黑色棋子比白色棋子多2颗棋子；有五层时黑色棋子比白色棋子少；有六层时黑色棋子比白色棋子多3颗棋子；根据这样的规律可知： 当有偶数层时，黑色棋子比白色棋子多（层数÷2）颗棋子；当有奇数层时，黑色棋子比白色棋子少，据此规律解答； ②棋子的总数＝1＋2＋3＋……＋层数即可求解。 【规范解答】①（层），即正三角形中黑棋子比白棋子多5颗时，这个正三角形一共排10层； ② （颗） 则这个正三角形一共用了55颗棋子。 易错讲练5 图形分割数量规律 13．（24-25六年级下·天津南开·期末）如图，用“＋”字形分割正方形，分割一次，分成了4个小正方形，分割两次分成了7个小正方形，请思考分割的次数和正方形个数的关系，如果分成了361个正方形，共用“＋”字形分割了( )次。 【答案】120 【思路引导】没有分割前只有1个正方形，分割一次时变成了4个小正方形，增加了（4－1）个小正方形。分割两次时分成了7个小正方形，比上一次又增加了（7－4）个小正方形。由此可见，每分割一次就比上一次多增加3个小正方形。将361个正方形减去最初的1个正方形，求出差，再将差除以3，即可求出分割了多少次。 【规范解答】4－1＝3（个） 7－4＝3（个） 所以，每分割一次就比上一次多增加3个小正方形。 （361－1）÷3 ＝360÷3 ＝120（次） 所以，如果分成了361个正方形，共用“＋”字形分割了120次。 14．（24-25六年级上·广东云浮·期末）如下图，按规律继续画下去，第（6）个图形共有( )个。 【答案】25 【思路引导】 从图中可知：每一个图形，中间对角线处，分别有2个、3个、4个、5个，即的个数＝序号＋1，第（6）个图形中间对角线处就有6＋1＝7个；第（1）个图形有2个，第（2）个图形有（1＋3＋1）个，第（3）个图形有（2＋4＋2）个，第（4）个图形有（1＋3＋5＋3＋1）个，据此第（6）个图形共有（1＋3＋5＋7＋5＋3＋1）个。再根据从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方。计算即可。 【规范解答】6＋1＝7（个） 1＋3＋5＋7＋5＋3＋1 ＝（1＋3＋5＋7）＋（5＋3＋1） ＝42＋32 ＝16＋9 ＝25（个） 15．（23-24六年级下·江苏盐城·期末）如下图，按这样的规律，第四个图形中有( )个白色三角形。 【答案】40 【思路引导】看图可知，第一个图形有1个白色三角形；第二个图形有4个白色三角形，4＝1×3＋1；第三个图形有13个白色三角形，13＝4×3＋1；由此可知，后一个图形白色三角形的个数＝前一个图形白色三角形的个数×3＋1，据此计算出第四个图形白色三角形的个数。 【规范解答】13×3＋1 ＝39＋1 ＝40（个） 第四个图形中有40个白色三角形。 压轴题型练1 求一个数的几分之几的问题 1．（22-23六年级上·四川资阳·期末）甲、乙、丙三人共同加工1260个零件，甲加工了全部零件的，乙加工零件是丙加工零件个数的。三人谁加工零件最多？为什么？（说明道理） 【答案】丙；见详解 【思路引导】将加工的全部零件看作单位“1”，将全部零件数乘，求出甲加工了多少； 将加工的全部零件减去甲的，求出乙和丙一共加工了多少个。乙加工零件是丙加工零件个数的，那么乙加工的和丙加工的数量比是2∶3，那么乙加工的是两人一起加工的。将两人一起加工的乘，求出乙加工的，同理再求出丙加工了多少。比较三人加工的数量，找出加工零件最多的人。 【规范解答】甲：1260×＝420（个） 1260－420＝840（个） 乙：840× ＝840× ＝336（个） 丙：840× ＝840× ＝504（个） 答：丙加工的零件最多，因为504＞420＞336。 【考点剖析】本题考查了分数乘法和比的应用，求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。 2．（21-22六年级上·山东临沂·期末）根据下列选项列式，能得出算式5×（1－）－的是（    ）。 A．仓库里有5吨苹果，第一次运走吨后，第二次又运走吨，还剩多少吨苹果？ B．仓库里有5吨苹果，第一次运走吨后，第二次又运走余下的，还剩多少吨苹果？ C．仓库里有5吨苹果，梨的质量比苹果的少，运走吨梨后，还剩多少吨梨？ D．仓库里有5吨苹果，梨的质量比苹果的还少吨，有多少吨梨？ 【答案】C 【思路引导】A．根据减法的意义，用苹果的总吨数分别减去第一次、第二次运走的吨数，即是还剩下的苹果吨数； B．先用苹果的总吨数减去第一次运走的吨数，就是余下的吨数；第二次又运走余下的，是把余下的吨数看作单位“1”，用余下的吨数乘，求出第二次运走的吨数；然后用苹果的总吨数分别减去第一次、第二次运走的吨数，即是还剩下的苹果吨数； C．根据“梨的质量比苹果的少”，把苹果的质量看作单位“1”，则梨的质量是苹果的（1－），单位“1”已知，用乘法求出梨的质量，再减去运走的吨梨，就是还剩的梨的质量； D．把苹果的质量看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用苹果的质量乘，求出苹果的是多少吨，再减去吨，就是梨的质量。 分别列出各选项的算式，再与原算式相比较，得出结论。 【规范解答】A．列式为：5－－，与原式不相同，不符合题意； B．列式为：5－－（5－）×，与原式不相同，不符合题意； C．列式为：5×（1－）－，与原式相同，符合题意； D．列式为：5×－，与原式不相同，不符合题意； 故答案为：C 【考点剖析】区分“”和“吨”的不同，前者不带单位，是分率；后者带单位，是具体的数量。 压轴题型练2 整数乘法运算定律推广到分数乘法 3．（24-25六年级上·重庆南岸·期末）芳芳发现：计算分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。因为有乘法交换律，所以两个分数相乘，互相交换分子，积不变。例如：。她根据这一发现，在计算时通过合理变化，用乘法分配律非常快地求出了结果。猜一猜她是怎么做的，然后把她的计算过程写出来。 【答案】见详解； 【思路引导】观察，参照例子，可以交换中两个分子的位置，变成，积不变；这样算式变成，两个乘法算式中有相同的因数，运用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算即可求出结果。 【规范解答】根据乘法交换律a×b＝b×a把变成，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。 4．（24-25六年级上·江西抚州·期末）计算下面各题，怎么简便就怎么算。                          【答案】；52； 【思路引导】“”先计算乘法，再计算加法； “”根据乘法分配律a×b＋a×c＝a×（b＋c）将提出来，再计算； “”将2024写成2023加上1，再根据乘法分配律展开计算。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝52 ＝ ＝ ＝ ＝ 压轴题型练3 分数的连乘运算 5．（22-23六年级上·四川·期末）将一张长方形的纸对折3次后，现在的面积是原来的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】把原来这张长方形纸的面积看作单位“1”，对折1次后，每份是原来的，对折2次后，每份是原来的，对折3次后，每份是原来的，据此解答。 【规范解答】分析可知： ＝ ＝ 所以，现在的面积是原来的。 故答案为：C 【考点剖析】理解这张纸每次对折后的面积都是对折前面积的是解答题目的关键。 6．（2024·四川成都·小升初真题）已知、、都是最简真分数，并且它们的乘积是，则a＋b＋c＝（    ）。 A．20 B．18 C．24 D．21 【答案】D 【解析】根据分数乘法的计算方法把分子与分子相乘作分子，分母与分母相乘作分母，然后根据约分后的积确定abc的积，再根据最简分数的意义确定a、b、c的值并计算它们的和即可。 【规范解答】，则abc＝315，315＝3×3×5×7，所以a＝5，b＝7，c＝3×3＝9，则a＋b＋c＝5＋7＋9＝21。 故答案为：D 【考点剖析】关键是掌握分数乘法的计算方法。 压轴题型练4 连续求一个数的几分之几是多少的问题 7．（20-21六年级上·四川乐山·期末）佳香饭店老板采购了一桶油重100千克，第一个月用去了它的，第二个月用去第一个月的。 (1)100×表示( )。 (2)100××表示( )。 (3)100×100××表示( )。 (4)两个月一共用去多少千克油，列式为( )。 (5)还剩多少千克油，列式为( )。 【答案】(1)第一个月用的量 (2)第二个月用的量 (3)第一个月比第二个月多用的量 (4)100×＋100×× (5)100－100×－100×× 【思路引导】单位“1”×分率＝分率对应量，单位“1”已知用乘法，单位“1”未知用除法； （1）单位“1”为总共的油，已知用乘法，找到分率表示的意义，即可理解算式的意义； （2）单位“1”为第一个月用的油，由第（1）小题的算式可得单位“1”已知，用乘法，找到分率表示的意义，即可求解； （3）根据第（1）小题与第（2）小题，已知两个式子表示的意义，据此即可求解； （4）根据第（1）小题与第（2）小题，已知第一个月与第二个月用去的油的列式，相加即可表示出两个月一共用的油； （5）根据第（1）小题与第（2）小题，已知第一个月与第二个月用去的油的列式，用总的油减去第一个月与第二个月的油，即可表示出剩下的油。 【规范解答】（1）单位“1”为总共的油100千克，表示的是第一个月用的分率，单位“1”×第一个月用的分率＝第一个月用的量，即100×表示第一个月的用量。 （2）单位“1”为第一个月用的量100×，表示的是第二个月用的分率，单位“1”×第二个月用的分率＝第二个月用的量，即100××表示第二个月的用量。 （3）第一个月用的量为100×，第二个月的用量为100××，两者相减，即表示为第一个月比第二个月多用的量。 （4）第一个月用的量为100×，第二个月的用量为100××，要表示第一个月与第二个月一共的用的量，即两者相加为100×＋100××。 （5）总共的量为100千克，第一个月用的量为100×，第二个月的用量为100××，要表示剩下的量，即用总共的量减去第一个月与第二月的即可，列式为100－100×－100××。 【考点剖析】熟练掌握单位“1”的知识点，弄清楚分率表示的意义是解题的关键。 8．（19-20六年级上·福建福州·期末）名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，第三天截取的长度与最初木棒总长度的比是（    ）。 A．1∶4 B．1∶8 C．1∶16 D．1∶32 【答案】B 【思路引导】把一尺长的木棒看作单位“1”，第一天截取它的一半，即截取了，还剩下；第二天截取的一半，即，还剩下；第三天取的一半，即；最后根据比的意义，写出第三天截取的长度与最初木棒总长度之比，再化简比。 【规范解答】第一天截取： 还剩下： 第二天截取： 还剩下： 第三天截取： ∶1 ＝（×8）∶（1×8） ＝1∶8 第三天截取的长度与最初木棒总长度的比是1∶8。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查分数乘法的意义以及比的意义与化简比，利用分数乘法的意义求出第三天截取的长度是解题的关键。 压轴题型练5 已知总量及一部分分率，求另—部分量 9．（22-23六年级下·安徽·期末）我国古代数学名著《九章算术》里有这样一道题：今有人持百斗米出三关，内关四而取一，中关五而取一，外关十而取一，余米几斗？意思是：有个人带了100斗米出三道关，内关按总货物的收税，中关按余下货物的收税，外关按余下货物的收税，最后还剩( )斗米。 【答案】54 【思路引导】将出关前米的斗数看作单位“1”，内关按总货物的收税，还剩出关前的（1－）；再将过内关后余下的斗数看作单位“1”，中关按余下货物的收税，还剩过内关后余下的（1－）；再将过中关后余下的斗数看作单位“1”，外关按余下货物的收税，还剩过中关后余下的（1－），出关前的斗数×过内关后余下的对应分率×过中关后余下的对应分率×过外关后余下的对应分率＝最后剩下的斗数，据此列式计算。 【规范解答】100×（1－）×（1－）×（1－） ＝100××× ＝75×× ＝60× ＝54（斗） 最后还剩54斗米。 【考点剖析】关键是确定单位“1”，确定对应分率，根据整体数量×部分对应分率＝部分数量，列式计算。 10．（24-25六年级上·安徽芜湖·期末）“双十二”期间，小芳在网上商城买了一本240页的故事书，计划两个星期看完。现在小芳已经看了全书的，还剩多少页没看完？ 【答案】144页 【思路引导】把这本故事书的总页数240页看作单位“1”，已经看了全书的，剩余全书的（1－）即没看完，据此列分数乘法算式解答。 【规范解答】 （页） 答：还剩144页没看完。 压轴题型练6 求比一个数多/少几分之几的数是多少 11．（21-22六年级下·浙江金华·期末）在一个教学实验活动中，先往一个长方体容器中注水，使水深为4厘米，然后将一块不规则冰块完全浸没水中，水的高度上升到7厘米。（冰块能完全浸没） （1）冰块的体积是多少立方厘米？ （2）已知冰融化成水，体积减小原来的，当冰块完全融化时，容器内的水深是多少厘米？ 【答案】（1）300立方厘米 （2）6.7厘米 【思路引导】（1）根据题意，将一块不规则冰块完全浸没水中，水上升了（7－4）厘米，那么冰块的体积等于水上升部分的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算即可求出冰块的体积。 （2）根据题意，冰融化成水，体积减小原来的，意思是，水的体积比冰块的体积小，把冰块的体积看作单位“1”，水的体积是冰块体积的（1－），单位“1”已知，用冰块的体积乘（1－），求出冰块融化成水后的体积； 根据长方体的体积公式V＝abh，求出原来长方体容器水深4厘米时水的体积； 根据长方体的高h＝V÷S，用长方体容器内原来水的体积加上冰块融化成水后的体积，除以容器的底面积，即可求出当冰块完全融化时，容器内的水深。 【规范解答】（1）10×10×（7－4） ＝10×10×3 ＝100×3 ＝300（立方厘米） 谷：冰块的体积是300立方厘米。 （2）冰融化成水，水的体积： 300×（1－） ＝300× ＝270（立方厘米） 原来容器内水的体积： 10×10×4 ＝100×4 ＝400（立方厘米） 冰化成水后，容器内水深： （270＋400）÷（10×10） ＝670÷100 ＝6.7（厘米） 答：容器内的水深是6.7厘米。 【考点剖析】（1）本题考查不规则物体体积的算法，明确放入物体的体积等于水上升部分的体积，然后利用长方体的体积计算公式列式计算。 （2）本题考查分数乘法的应用以及长方体体积计算公式的灵活运用，明确求比一个数多或少几分之几的数是多少，用乘法计算。 12．（24-25六年级下·河南许昌·期末）鱼肉富含动物蛋白质和磷质等，营养丰富，滋味鲜美，易被人体消化吸收，对人类体力和智力的发展具有重大作用。四海鱼店今天售出鲢鱼315千克，售出的草鱼的质量比鲢鱼多，售出的乌鱼的质量比草鱼少，四海鱼店今天售出乌鱼多少千克？ 【答案】252千克 【思路引导】分析题目，先把鲢鱼的质量看作单位“1”，则草鱼的质量是鲢鱼的（1＋），根据求一个数的几分之几是多少用乘法求出草鱼的质量；再把草鱼的质量看作单位“1”，则乌鱼的质量是草鱼的（1－），再用草鱼的质量乘（1－）即可求出乌鱼的质量。 【规范解答】315×（1＋）×（1－） ＝315×× ＝378× ＝252（千克） 答：四海鱼店今天售出乌鱼252千克。 压轴题型练7 位置与方向 13．（22-23六年级上·福建莆田·期末）根据要求填一填，算一算。    （1）少年宫在学校东偏（    ）（    ）°方向上，距离是（    ）米。 （2）小明家在学校西偏（    ）（    ）°方向上，距离是（    ）米。 （3）医院在学校正东面，并且学校、少年宫、医院三点正好可以围成一个等腰三角形。这个等腰三角形的另外两个角分别是（          ）°和（          ）°。 （4）这天小明从家步行到图书馆，平均每分钟走50米，请你算一算，从家到图书馆一共用了多少分钟？ 【答案】（1）北；30；400 （2）南；55；600 （3）30；120或75；75 （4）32分钟 【思路引导】以学校为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离200米。 （1）从图中可知，学校与少年宫的图上距离是2厘米，那么实际相距（200×2）米，根据图上的方向、角度和距离，得出少年宫与学校的位置关系。 （2）从图中可知，学校与小明家的图上距离是3厘米，那么实际相距（200×3）米，根据图上的方向、角度和距离，得出小明家与学校的位置关系。 （3）根据等腰三角形的特征可知，等腰三角形的两个底角的度数相等； 情况一：如果等腰三角形的一个底角是30°，那么另一个底角也是30°；用三角形的内角和180°减去两个底角的度数，即是顶角的度数； 情况二：如果等腰三角形的顶角是30°，用三角形的内角和180°减去顶角的度数，再除以2，即是底角的度数。 （4）从图中可知，从小明家到图书馆的图上距离是8厘米，那么实际距离是（200×8）米；又已知小明的速度，根据“时间＝路程÷速度”，求出小明从家到图书馆用的时间。 【规范解答】（1）200×2＝400（米） 少年宫在学校东偏北30°方向上，距离是400米。 （2）90°－35°＝55° 200×3＝600（米） 小明家在学校西偏南55°方向上，距离是600米。 （3）情况一：如果等腰三角形的底角是30°； 顶角：180°－30°－30°＝120° 情况二：如果等腰三角形的顶角是30°； 底角：（180°－30°）÷2 ＝150°÷2 ＝75° 这个等腰三角形的另外两个角分别是30°和120°或75°和75°。 （4）200×8＝1600（米） 1600÷50＝32（分钟） 答：从家到图书馆一共用了32分钟。 【考点剖析】（1）（2）本题考查方向与位置的知识，找准观测点，根据方向、角度和距离确定物体的位置。 （3）本题考查等腰三角形的特征以及三角形的内角和的运用，注意要分情况讨论。 （4）本题考查行程问题，掌握速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。 14．（22-23六年级上·河南郑州·期末）志愿者马叔叔要给B地、C地、D地运送防疫物品。 （1）他从A地出发，向（    ）偏（    ）25°方向，行走（    ）千米到达B地，继续向（    ）偏（    ）（    ）°行走（    ）千米到达C地。 （2）以C地为观测点，B地在C地的（    ）偏（    ）（    ）°方向。 （3）马叔叔最终的目的地是D地，D地位于C地的南偏西45°、距离C地30千米的位置上，请你在图上标出D地的位置。 （4）如果马叔叔早上8：00从A地出发，那他12：00前能把防疫物品送到D地吗？（马叔叔平均每小时行走50千米，中间卸货时间不计） 【答案】（1）东；北；100；北；西；40；60 （2）南；东；40 （3）见详解 （4）能 【思路引导】以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离20千米。 （1）从图中可知，A地与B地图上相距5厘米，那么实际相距100千米；B地与C地图上相距3厘米，那么实际相距60千米；根据方向、角度和距离描述马叔叔从A地到C地的路线。 （2）以C地为观测点，根据方向、角度得出B地与C地的位置关系。 （3）在C地的南偏西45°方向上画30÷20＝1.5厘米长的线段，即是D地。 （4）根据题意，早上8：00到12：00，共有4小时，用加法求出从A地到D地的实际距离；然后根据“路程÷速度＝时间”，求出马叔叔从A地到D地所需的时间，再与4小时相比较，得出结论。 【规范解答】（1）20×5＝100（千米） 20×3＝60（千米） 他从A地出发，向东偏北25°方向，行走100千米到达B地，继续向北偏西40°行走60千米到达C地。 （2）以C地为观测点，B地在C地的南偏东40°方向。 （3）如图： （4）12时－8时＝4（小时） A地到D地相距：100＋60＋30＝190（千米） 190÷50＝3.8（小时） 3.8＜4 答：他12：00前能把防疫物品送到D地。 【考点剖析】（1）（2）（3）本题考查方向与位置的知识，找准观测点，根据方向、角度和距离确定物体的位置。 （4）本题考查行程问题，掌握速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。 压轴题型练8 自然数与倒数的和或差的问题 15．（23-24六年级上·北京丰台·期末）两个自然数的和是18，它们倒数的和是，这两个自然数分别是( )。 【答案】6和12 【思路引导】假设这两个自然数为A、B，根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，可知A的倒数是，B的倒数是；根据题意可知， ，根据异分母分数加法的计算方法，可得，根据分数和除法的关系，可知，据此算出AB的结果，最后结合这两个自然数的和是18，推出A和B即可。 【规范解答】解：设这两个自然数为A、B，由题意可得： 已知 可推出 所以这两个自然数分别是6和12。 【考点剖析】本题考查了倒数的认识以及异分母分数的加法的计算方法，熟记异分母分数加法的计算方法是解答本题的关键。 16．（23-24五年级下·全国·单元测试）一个非零自然数与它的倒数和是20.05，这个自然数是（    ）。 A． B．21 C．20 D． 【答案】C 【规范解答】把20.05化成带分数是20 20＝20＋ 20×＝1 所以这个自然数是20。 故答案为：C 压轴题型练9 分数的连除运算 17．（23-24六年级上·福建莆田·期末）“一盒药一共12片，每次吃半片，每天吃3次。可以吃几天？”解决这个问题时，小明的计算过程是这样的：，小红的计算过程是这样的：。小明的算式中“”这一步表示( )，小红的算式中“”这一步表示( )。 【答案】 每天吃几片药 一盒药一共可以吃几次 【思路引导】每次吃半片，即片，每天吃3次，根据乘法的意义，×3表示每天吃几片药，小明用12除以每天吃的片数，可以求出一盒药可以吃几天；一盒药一共12片，每次吃片，根据除法的意义，表示一盒药一共可以吃几次，小红用一共可以吃的次数除以每天吃的次数，即可求出可以吃的天数。 【规范解答】通过分析可得：小明的算式中“”这一步表示每天吃几片药，小红的算式中“”这一步表示一盒药一共可以吃几次。 18．（23-24六年级上·浙江嘉兴·期末）计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。                                        【答案】；16；5 ；；12 【思路引导】×÷，把除法换算成乘法，原式化为：××，再按照运算顺序，再进行计算； 16×＋16×，根据乘法分配律，原式化为：16×（＋），再进行计算； 36×（－），根据乘法分配律，原式化为：36×－36×，再进行计算； ÷÷，把除法换算成乘法，原式化为：××，再进行计算； 1÷[÷（＋）]，先计算小括号里的加法，再计算中括号里的除法，最后计算括号外的除法； 3.2×＋÷0.75，把小数化成分数，0.75＝，原式化为：3.2×＋÷，再把除法换算成乘法，原式化为：3.2×＋×，再根据乘法分配律，原式化为：×（3.2＋），再进行计算。 【规范解答】×÷ ＝×× ＝× ＝ 16×＋16× ＝16×（＋） ＝16×1 ＝16 36×（－） ＝36×－36× ＝33－28 ＝5 ÷÷ ＝×× ＝× ＝ 1÷[÷（＋）] ＝1÷[÷（＋）] ＝1÷[÷] ＝1÷[×] ＝1÷ ＝1× ＝ 3.2×＋÷0.75 ＝3.2×＋÷ ＝3.2×＋× ＝×（3.2＋） ＝×（3.2＋5.8） ＝×9 ＝12 压轴题型练10 分数的乘、除法的混合运算 19．（24-25六年级上·重庆江北·期末）下面各题，怎样算简便就怎样算。                                     【答案】；；55 ；； 【思路引导】（1）先把除法转化成乘法，再运用乘法交换律a×b＝b×a把变成，再按顺序计算； （2）按从左往右的顺序计算； （3）先把除法转化成乘法，再运用乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c计算把变成，再按顺序计算； （4）先把除法转化成乘法，再运用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成，再按顺序计算； （5）先计算括号里面的加法、减法，再算括号外面的除法。 （6）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后算括号外面的乘法。 【规范解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝34－6＋27 ＝55 （4） ＝ ＝ ＝ ＝ （5） ＝ ＝ ＝ ＝ （6） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 20．（24-25六年级上·重庆黔江·期末）脱式计算，能简算的要简算。            34－34×         ×＋÷13        48×（＋）÷         （156×－26）× 【答案】；；17； ；51；16 【思路引导】（1）先把分数除法转化为分数乘法，再约分计算； （2）（3）利用乘法分配律简便计算； （4）先把分数除法转化为分数乘法，再利用乘法分配律简便计算； （5）先利用乘法分配律计算括号里面的，再计算括号外面的分数除法； （6）按照四则混合运算的顺序，先计算括号里面的分数乘法，再计算括号里面的减法，最后计算括号外面的分数乘法。 【规范解答】（1） ＝ ＝ ＝ （2）34－34× ＝34×（1－） ＝34× ＝ （3） ＝ ＝ ＝17 （4）×＋÷13 ＝×＋× ＝×（＋） ＝×1 ＝ （5）48×（＋）÷ ＝（48×＋48×）÷ ＝（28＋6）÷ ＝34÷ ＝34× ＝51 （6）（156×－26）× ＝（48－26）× ＝22× ＝16 压轴题型练11 分数的四则混合运算 21．（24-25六年级下·重庆忠县·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。           46.7×0.82＋4.67×1.8            375＋625÷25                  【答案】47；46.7；10 400；1；116 【思路引导】（1）根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把36×（＋）变成36×＋36×进行简算。 （2）先根据积不变的规律把46.7×0.82＋4.67×1.8变成4.67×8.2＋4.67×1.8，按照乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把算式变成4.67×（8.2＋1.8）进行简算。 （3）先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成进行简算。 （4）先算除法，再算加法。 （5）先算小括号里面的减法，再算乘法，最后算除法。 （6）先算小括号里面的减法，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成进行简算。 【规范解答】（1）36×（＋） ＝36×＋36× ＝20＋27 ＝47 （2）46.7×0.82＋4.67×1.8 ＝4.67×8.2＋4.67×1.8 ＝4.67×（8.2＋1.8） ＝4.67×10 ＝46.7 （3） ＝ ＝ ＝ ＝10 （4）375＋625÷25 ＝375＋25 ＝400 （5） ＝ ＝35÷35 ＝1 （6） ＝ ＝ ＝ ＝128－12 ＝116 22．（24-25六年级上·重庆忠县·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                               【答案】；；； 31；；0 【思路引导】（1）按照先算括号里的加法，再算括号外的除法，最后算乘法的顺序计算； （2）先把分数除法转化成分数乘法，再根据逆用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把算式写成（＋）×，再进一步计算； （3）先把2024写成2023＋1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把算式写成2023×＋1×，再进一步计算； （4）根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把算式写成×12＋×12，再进一步计算； （5）按照先算小括号里的乘法，再算中括号里的除法，最后算括号外的乘法的运算顺序计算； （6）按照运算顺序先算出除法，得到算式：1－－，再根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）把算式写成1－（＋） ，再进一步计算。 【规范解答】÷（＋）×   ＝÷（＋） × ＝÷× ＝×× ＝× ＝     ×＋÷ ＝×＋× ＝（＋）× ＝1× ＝       2024× ＝（2023＋1）× ＝2023×＋1× ＝2022＋ ＝ （＋）×12 ＝×12＋×12 ＝9＋22 ＝31          ×[÷（×）]   ＝×[÷] ＝×[×] ＝× ＝       1－÷－ ＝1－×－ ＝1－－ ＝1－（＋） ＝1－1 ＝0 压轴题型练12 分数除法相关的简便计算 23．（24-25六年级下·贵州黔东南·期末）脱式计算，能简便的用简便方法计算。                                  【答案】24；25 ； 【思路引导】（1）先把除法转化成乘法，再根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c的逆运算把28.5×＋1.8×－0.3×变成（28.5＋1.8－0.3）×进行简算； （2）先把97÷4＋改写成97×＋3×，再根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c的逆运算把算式变成（97＋3）×进行简算； （3）先把2024拆成2025－1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把（2025－1）×变成2025×－1×进行简算； （4）先计算括号里面的－，算式变成－（＋），再根据减法的性质a－（b＋c）＝a－b－c把算式变成－－，再交换“－”和“－”的位置进行简算。 【规范解答】（1）28.5×＋1.8÷－0.3×   ＝28.5×＋1.8×－0.3×   ＝（28.5＋1.8－0.3）×    ＝30×                                  ＝24                           （2）97÷4＋   ＝97×＋3×   ＝（97＋3）×   ＝100× ＝25 （3）2024×                              ＝（2025－1）× ＝2025×－1× ＝2024－                ＝                   （4）－（－＋） ＝－（＋） ＝－－ ＝－－ ＝1－ ＝ 24．（24-25六年级上·安徽宣城·期末）下面各题怎样简便怎样算。                       【答案】； 24； 【思路引导】“”先计算小括号内的加法，再计算括号外的乘法； “”将除法写成乘法形式，再根据乘法分配律a×b＋a×c＝a×（b＋c）将提出来，再计算； “”先计算小括号内的乘法、加法，再计算括号外的除法； “”将2024写成2025减去1，再根据乘法分配律展开计算。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 压轴题型练13 解分数方程 25．（24-25六年级上·重庆九龙坡·期末）解方程。            【答案】；； 【思路引导】第一个：根据等式的性质1，等式两边同时加上8，再根据等式的性质2，等式两边同时除以3即可求解； 第二个：根据等式的性质2，等式两边同时除以5，再根据等式的性质1，等式两边同时加上0.4即可求解； 第三个：先化简等号左边的式子，即原式变为：，再根据等式的性质2，等式两边同时除以即可求解。 【规范解答】 解： 解： 解： 26．（21-22六年级下·重庆九龙坡·期末）在某大坝截流时，用载重卡车将一堆石料运到围堰龙口，第一次运了这堆石料的少2万方，第二次运了剩下的多3万方，此时还剩下12万方未运，则这堆石料共有多少万方？ 【答案】42万方 【思路引导】方法一：把这堆石料的总方数设为未知数，用含有字母的式子表示出第一次和第二次运走的石料，等量关系式：这堆石料的总方数－第一次运走的方数－第二次运走的方数＝剩下石料的方数； 方法二：运用逆推还原的方法解答，先把第一次运走之后剩下的方数看作单位“1”，（12＋3）万方刚好占单位“1”的（1－），根据量÷对应的分率＝单位“1”求出第一次运走之后剩下的方数，再把这堆石料的总方数看作单位“1”，第一次运走之后剩下的方数减去2万方刚好占单位“1”的（1－），根据量÷对应的分率＝单位“1”求出这堆石料的总方数，据此解答。 【规范解答】方法一：解：设这堆石料共有x万方。 第一次运走的石料：（x－2）万方 第二次运走的石料：[x－（x－2）]×＋3 ＝[x－x＋2]×＋3 ＝[x＋2]×＋3 ＝x×＋2×＋3 ＝x＋1＋3 ＝（x＋4）万方 x－（x－2）－（x＋4）＝12 x－x＋2－x－4＝12 （x－x－x）－（4－2）＝12 x－2＝12 x＝12＋2 x＝14 x＝14÷ x＝14×3 x＝42 方法二： 第一次运走之后剩下的方数：（12＋3）÷（1－） ＝15÷ ＝15×2 ＝30（万方） 这堆石料的总方数：（30－2）÷（1－） ＝28÷ ＝28× ＝42（万方） 答：这堆石料共有42万方。 【考点剖析】用方程解答时准确表示出第一次运走的方数和第二次运走的方数，用逆推法还原时多就加，少就减，再除以1减分率的差，分步计算，求出最初的结果。 压轴题型练14 已知一个数的几分之几是多少，求这个数 27．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）下面问题中，所有能用解决的问题有（    ）。 ①小明回家，行了千米，已经行全程的，回家的路程是多少千米？ ②小明小时看了一本书的，他每小时看这本书的几分之几？ ③小明5分钟走了千米，那么6分钟走多少千米？ ④小明6分钟行了千米，那么5分钟行多少千米？ A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【思路引导】①回家的全程为单位“1”，已知全程的是千米，求回家的路程需要用除法，据此列式即可。 ②这本书的总页数为单位“1”，小明小时看了这本书的，那么他每小时看这本书的几分之几，就需要用分率除以所对应的时间，据此列式即可。 ③要想求出6分钟走多少千米，需要先求出1分钟走多少千米，再乘时间6分钟，据此列式即可。 ④要想求出5分钟走多少千米，需要先求出1分钟走多少千米，再乘时间5分钟，据此列式即可。 【规范解答】①全程为单位“1”，求回家的路程需要用除法，列式为，能用解决。 ②求每小时看这本书的几分之几，就需要用分率除以所对应的时间，列式为，能用解决。 ③需要先求出速度再乘时间6分钟，就可以求出6分钟走多少千米，列式为，不能用解决。 ④需要先求出速度再乘时间5分钟，就可以求出5分钟走多少千米，列式为，不能用解决。 所以能用解决的有①②。 故答案为：B 28．（23-24六年级上·四川成都·期末）李老师买来一些红色和黑色签字笔作为奖品，其中黑色签字笔比红色签字笔多10支。如果黑色签字笔发出，红色签字笔发出，那么红色和黑色签字笔剩下的支数恰好相等。红色和黑色签字笔各买了多少支？（用方程解答）。 【答案】40支；50支 【思路引导】分别将黑色和红色签字笔数量看作单位“1”，黑色签字笔发出，还剩黑色签字笔的（1－），红色签字笔发出，还剩红色签字笔的（1－），求一个数的几分之几是多少用乘法。设红色签字笔有x支，则黑色签字笔有（x＋10）支，根据黑色签字笔数量×剩下的对应分率＝红色签字笔数量×剩下的对应分率，列出方程求出x的值是红色签字笔数量，红色签字笔数量＋10＝黑色签字笔数量。 【规范解答】解：设红色签字笔有x支。 （x＋10）×（1－）＝（1－）x （x＋10）×＝x x＋2＝x x＋2－x ＝x－x x＝2 x÷＝2÷ x＝2×20 x＝40 40＋10＝50（支） 答：红色和黑色签字笔各买了40支、50支。 【考点剖析】关键是确定单位“1”，理解分数乘法的意义，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 压轴题型练15 已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 29．（24-25六年级上·山西长治·期末）某博物馆，有一群可爱的“红领巾讲解员”，他们参与周末红色研学志愿讲解活动，用动听的声音，热忱的服务，积极向来自五湖四海的游客宣讲着红色故事。截至目前，已建25个少先队校外实践教育基地，有102名红领巾讲解员参$